题型7 函数的基本性质 类型32次函数45题（专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型三二次函数（专题训练） 1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）已知二次函数 ，下列说法正确的是 （ ） ．对称轴为 B．顶点坐标为 ．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－ 3 【答】 【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可． 【详解】二次函数 的对称轴为 ，顶点坐标为 ∵ ∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为 ∴、B、D 选项错误，选项正确 故选： 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 2 将抛物线 向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ） ．开口方向不变 B．对称轴不变 ．y 随x 的变化情况不变 D．与y 轴的交点不变 【答】D 【分析】 根据二次函数的平移特点即可求解． 【详解】 将抛物线 向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y 随x 的变化情况不变；与y 轴的交点改变 故选D． 【点睛】 此题主要考查二次函数的函数与图象，解题的关键是熟知二次函数图象平移的特点． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 3．（2023·广西·统考中考真题）将抛物线 向右平移3 个单位，再向上平移4 个单位， 得到的抛物线是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线 向右平移3 个单位，再向上平移4 个单位，得到的抛物线的 函数表达式为： ． 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关 键． 4 抛物线 上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如表： x -2 -1 0 6 y 0 4 6 1 下列结论不正确的是（ ） ．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 ．抛物线与x 轴的一个交点坐标为 D．函数 的最大值为 【答】 【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可 【详解】解：由题意得 ，解得 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴抛物线解析式为 ， ∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线 ，该函数的最大值为 ，故、B、D 说法 正确，不符合题意；令 ，则 ，解得 或 ， ∴抛物线与x 轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故说法错误，符合题意；故选． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 5．（2023·辽宁大连·统考中考真题）已知抛物线 ，则当 时，函数的 最大值为（ ） ． B． ．0 D．2 【答】D 【分析】把抛物线 化为顶点式，得到对称轴为 ，当 时，函数的最小 值为 ，再分别求出 和 时的函数值，即可得到答． 【详解】解：∵ ， ∴对称轴为 ，当 时，函数的最小值为 ， 当 时， ，当 时， ， ∴当 时，函数的最大值为2， 故选：D 【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6 已知抛物线 ，下列结论错误的是（ ） ．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 ．抛物线的顶点坐标为 D．当 时，y 随x 的增大而增大 【答】D 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 得解． 【详解】解：抛物线 中，＞0，抛物线开口向上，因此选项正确，不符合题 意； 由解析式得，对称轴为直线 ，因此B 选项正确，不符合题意； 由解析式得，当 时，y 取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为 ，因此 选项正确，不符合题意； 因为抛物线开口向上，对称轴为直线 ，因此当 时，y 随x 的增大而减小，因此D 选项错误，符合题意；故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在 中，对称轴为 ，顶点坐标为 ． 7．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数 的图象与x 轴交于 ， 两点，下列说法正确的是（ ） ．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 ． ， 两点之间的距离为 D．当 时， 的值随 值的增大而增大 【答】 【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵二次函数 的图象与x 轴交于 ， 两点， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ∴ ∴二次函数解析式为 ，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，故，B 选项不正确，不符合题意； ∵ ，抛物线开口向上，当 时， 的值随 值的增大而减小，故D 选项不正确， 不符合题意； 当 时， 即 ∴ ， ∴ ，故选项正确，符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的 交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 8 已知抛物线 （ 是常数， ）经过点 ，当 时， 与其对应的函数值 ．有下列结论：① ；②关于x 的方程 有两 个不等的实数根；③ ．其中，正确结论的个数是（ ） ．0 B．1 ．2 D．3 【答】D 【分析】 根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可 【详解】 ∵抛物线 （ 是常数， ）经过点 ，当 时，与其 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 对应的函数值 ． =1 ∴ ＞0，-b+= -1,4-2b+＞1， -b= -2,2-b ∴ ＞0， 2--2 ∴ ＞0， ∴＞2＞0， b=+2 ∴ ＞0， b ∴＞0， ∵ , △= ∴ = ＞0, ∴ 有两个不等的实数根； b=+2 ∵ ，＞2，=1， +b+=++2+1=2+3 ∴ ， ∵＞2， 2 ∴＞4， 2+3 ∴ ＞4+3＞7， 故选D． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二 次函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键． 9（2023·河南·统考中考真题）二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象一定不经过（ ） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【答】D 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出 、 的正负情况，再由一次函数 的性质解答． 【详解】解：由图象开口向下可知 ， 由对称轴 ，得 ． ∴一次函数 的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出 、 的 正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大． 10 如图，二次函数 的图象的对称轴是直线 ，则以下四个结 论中：① ，② ，③ ，④ ．正确的个数是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【答】B 【解析】 【分析】 由开口方向，对称轴方程，与 轴的交点坐标判断 的符号，从而可判断①②，利用 与 轴的交点位置得到 ＞，结合 ＜ 可判断③，利用当 结合图 像与对称轴可判断④． 【详解】 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 解：由函数图像的开口向下得 ＜ 由对称轴为 ＞ 所以 ＞ 由函数与 轴交于正半轴，所以 ＞ ＜ 故①错误； ， 故②正确； 由交点位置可得： ＞， ＜ ＞ ， ＜ ＜ 故③错误； 由图像知：当 此时点 在第三象限， ＜ ＜ 故④正确； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 综上：正确的有：②④， 故选B． 【点睛】 本题考查的是二次函数的图像与系数的关系，同时考查利用二次函数的图像判断代数式的 符号，掌握以上知识是解题的关键． 11．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，抛物线 与x 轴交于点 ，其中 ，下列四个结论：① ；② ；③ ； ④不等式 的解集为 ．其中正确结论的个数是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【答】 【分析】根据函数图象可得出，b，的符号即可判断①，当 时， 即可判断②；根 据对称轴为 ， 可判断③； ， 数形结合即可判 断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y 轴右边，与y 轴交于正半轴， ∴ ， ∴ ，故①正确． ∵当 时， ， ∴ ，故②错误． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵抛物线 与x 轴交于两点 ，其中 ， ∴ ， ∴ ， 当 时， ， 当 时， ， ， ， ∴ ， ∴ ，故③正确； 设 ， ，如图： 由图得， 时， ，故④正确． 综上，正确的有①③④，共3 个， 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结 合思想解决问题是解题的关键． 12 已知二次函数y=x2−2x−3 的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当 −1<x1<0，1<x2<2，x3>3 时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ． B． ． D． 【答】B 【分析】先求得抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x 轴的交点坐标，画出草图，利用 数形结合，即可求解． 【详解】解：y=x2−2x−3=(x-1)2-4，∴对称轴为直线x=1， 令y=0，则(x-1)2-4=0，解得x1=-1，x2=3， ∴抛物线与x 轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)， 二次函数y=x2−2x−3 的图象如图： 由图象知 ．故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析 式．利用数形结合解题是关键． 13．（2023·四川自贡·统考中考真题）经过 两点的抛物线 （ 为自变量）与 轴有交点，则线段 长为（ ） ．10 B．12 ．13 D．15 【答】B 【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出 ，求得抛物线解析式，根据抛物线与 轴有交点得出 ，进而得出 ，则 ，求得 的横坐标，即可求解． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【详解】解：∵抛物线 的对称轴为直线 ∵抛物线经过 两点 ∴ ， 即 ， ∴ ， ∵抛物线与 轴有交点， ∴ ， 即 ， 即 ，即 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与 轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解 题的关键． 14 如图，已知抛物线 （ ， ，为常数， ）经过点 ，且对称轴 为直线 ，有下列结论：① ；② ；③ ；④无论 ， ， 取何值，抛物线一定经过 ；⑤ ．其中正确结论有（ ） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】D 【分析】 ①根据图像开口向上，对称轴位置，与y 轴交点分别判断出,b,的正负 ②根据对称轴公式 ， 判断 的大小关系 ③根据 时， ，比较 与0 的大小； ④根据抛物线的对称性，得到 与 时的函数值相等结合②的结论判断即可 ⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函 数值的大小即可判断结论． 【详解】 ①图像开口朝上，故 ，根据对称轴“左同右异”可知 ， 图像与y 轴交点位于x 轴下方，可知<0 故①正确； ② 得 故②错误； ③ 经过 又由①得<0 故③正确； ④根据抛物线的对称性，得到 与 时的函数值相等 当 时 ，即 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 即 经过 ，即经过 故④正确； ⑤当 时, , 当 时, 函数有最小值 化简得 ， 故⑤正确． 综上所述：①③④⑤正确． 故选D． 【点睛】 本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图像的关系，结合图像逐项分析, 结已知条件得出结论是解题的关键． 15．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，拋物线 （ 为常数）关于 直线 对称．下列五个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的有（ ） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 【答】B 【分析】由抛物线的开口方向、与y 轴交点以及对称轴的位置可判断、b、的符号，由此可 判断①正确；由抛物线的对称轴为 ，得到 ，即可判断②；可知 时和 时的y 值相等可判断③正确；由图知 时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线 的对称轴为 可得 ，因此 ，根据图像可判断⑤正确． 【详解】①∵抛物线的开口向上， ∵抛物线与y 轴交点在y 轴的负半轴上， 由 得， ， ， 故①正确； ② 抛物线的对称轴为 ， ， ， ，故②正确； ③由抛物线的对称轴为 ，可知 时和 时的y 值相等． 由图知 时， ， ∴ 时， ． 即 ． 故③错误； ④由图知 时二次函数有最小值， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ， 故④错误； ⑤由抛物线的对称轴为 可得 ， ， ∴ ， 当 时， ． 由图知 时 故⑤正确． 综上所述：正确的是①②⑤，有3 个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置． 熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合是解题的关键． 16 点P(m，)在以y 轴为对称轴的二次函数y＝x2+x+4 的图象上．则m﹣的最大值等于 （ ） ． B．4 ．﹣ D．﹣ 【答】 【解析】 【分析】 根据题意，可以得到的值以及m 和的关系，然后将m、作差，利用二次函数的性质，即可 求出m﹣的最大值． 【详解】 解：∵点P（m，）在以y 轴为对称轴的二次函数y＝x2+x+4 的图象上， ∴＝0， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴＝m2+4， m ∴ ﹣＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m 4 ﹣＝﹣（m﹣ ）2﹣ ， ∴当m＝ 时，m﹣取得最大值，此时m﹣＝﹣ ， 故选：． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握二次函数的 性质是解题的关键． 17．（2023·四川凉山·统考中考真题）已知抛物线 的部分图象如图所 示，则下列结论中正确的是（ ） ． B． ． D． （ 为实数） 【答】 【分析】根据开口方向，与y 轴交于负半轴和对称轴为直线 可得 ， ，由此即可判断；根据对称性可得当 时， ，当 时， ，由 此即可判断B、；根据抛物线开口向上，对称轴为直线 ，可得抛物线的最小值为 ，由此即可判断D． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y 轴交于负半轴， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， ∵抛物线对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故中结论错误，不符合题意； ∵当 时， ，抛物线对称轴为直线 ， ∴当 时， ， ∴ ，故B 中结论错误，不符合题意； ∵当 时， ，抛物线对称轴为直线 ， ∴当 时， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ，故中结论正确，符合题意； ∵抛物线对称轴为直线 ，且抛物线开口向上， ∴抛物线的最小值为 ， ∴ ， ∴ ，故D 中结论错误，不符合题意； 故选． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，熟练掌 握二次函数的相关知识是解题的关键． 18 如图，二次函数 的图像与 轴相交于 ， 两点，对称轴是直线 ，下列说法正确的是（ ） 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ． B．当 时， 的值随 值的增大而增大 ．点 的坐标为 D． 【答】D 【分析】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可． 【详解】解：、根据图像可知抛物线开口向下，即 ，故该选项不符合题意； B、根据图像开口向下，对称轴为 ，当 ， 随 的增大而减小；当 ， 随 的增大而增大，故当 时， 随 的增大而增大；当 ， 随 的增大而减小，故 该选项不符合题意； 、根据二次函数 的图像与 轴相交于 ， 两点，对称轴是直线 ， 可得对称轴 ，解得 ，即 ，故该选项不符合题意； D、根据 可知，当 时， ，故该选项符合题意；故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以 及抛物线与 轴交点 得到 是解决问题的关键． 19．（2023·四川南充·统考中考真题）抛物线 与x 轴的一个交点为 ，若 ，则实数 的取值范围是( ) ． B． 或 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ． D． 或 【答】B 【分析】根据抛物线有交点，则 有实数根，得出 或 ，分类讨 论，分别求得当 和 时 的范围，即可求解． 【详解】解：∵抛物线 与x 轴有交点， ∴ 有实数根， ∴ 即 解得： 或 ， 当 时，如图所示， 依题意，当 时， ， 解得： ， 当 时， ，解得 ， 即 ， 当 时， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 当 时， ， 解得： ∴ 综上所述， 或 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 20 抛物线 经平移后，不可能得到的抛物线是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】通过了解平移过程，得到二次函数平移过程中不改变开口大小和开口方向，所以 不变，选出答即可． 【详解】解：