专题27.7 相似三角形的证明与计算专项训练（60道）（解析版）

专题277 相似三角形的证明与计算专项训练（60 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共60 题，针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对相似三角形的证明与 计算的理解！ 一．解答题（共60 小题） 1．（2021·辽宁·大连市第三十四中学九年级阶段练习）如图，在ΔABC中，点D在AB边上， ∠ABC=∠ACD （1）求证：ΔABC ∽ΔACD； （2）若AD=4 , AB=9求AC的长 【答】（1）见解析；（2）6 【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答． （2）根据相似三角形的性质即可求出答． 【详解】解：（1）证明：∵∠B= D ∠，∠=∠， B D ∴△∽△； （2）解：∵△B D ∽△， ∴AC AD =AB AC ，即AC 4 =9 AC ， 解得：=6 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，属于基 础题型． 2．（2022·广西贺州·九年级期末）如图，在矩形BD 中，B＝2，B＝3，点E 是D 的中点， F⊥BE 于点F，求F 的长． 1 【答】24 【分析】根据已知可证明△BE~∆FB，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵D∥B， ∴∠EB=∠BF， =90° ∠ ，∠FB=90°， ∴△BE∽△FB ∴AB FC = BE BC ， ∵B=3，E 是D 的中点， ∴E=15 ， ∴BE=25， ∴2 FC =2.5 3 ， ∴F=24． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定 与性质，是解题的关键． 3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在Rt △ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于 D． 求证：△ACD∽△ABC． 【答】见解析 【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可． 【详解】证明：∵CD⊥AB于D． ∴∠ADC=∠ACB=90°， ∵∠A=∠A， 1 ∴△ACD∽△ABC． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准 确运用进行推理证明． 4．（2021·上海·九年级期末）如图，在平行四边形BD 中，B=8，点E、F 是对角线BD 上的 两点，且BE=EF=FD，E 的延长线交B 于点G，GF 的延长线交D 于点． （1）求D 的长； （2）设△BEG的面积为，求四边形EF 的面积．（用含的代数式表示） 【答】（1）2；（2）7a 2 【分析】（1）根据平行四边形的性质得AD // BC，根据相似三角形的判定得 △BEG∽△DEA，△BFG∽△DFH，由BE=EF=FD 可得出BE ED =1 2，DF BF =1 2，根据相 似三角形的性质即可求解； （2）由BE=EF 可得△BEG与△EFG的面积相等，根据相似三角形的面积比等于相似比的 平方可得S△AED与S△DFH的值，S△AED-S△DFH即可得四边形EF 的面积． 【详解】解：（1）∵平行四边形BD，B=8， ∴AD // BC，AD=BC=8， ∴△BEG∽△DEA，△BFG∽△DFH， ∴BE ED = BG AD ，DF BF = HD BG ， BE=EF=FD ∵ ， ∴BE ED =1 2，DF BF =1 2， BG= ∴ 1 2D=4，D=1 2BG， D=2 ∴ ； （2）∵BE=EF， ∴S△BEG=S△EFG=， ∴S△BFG=2a， 1 ∵△BEG∽△DEA，△BFG∽△DFH，BE ED =1 2，DF BF =1 2， ∴S△AED=4 a，S△DFH=a 2， ∴四边形EF 的面积=S△AED-S△DFH=7 a 2 ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的 判定和性质是解题的关键． 5．（2021·湖南省岳阳开发区长岭中学九年级阶段练习）已知：如图，∠BD=∠，D=2, =8， 求B． 【答】4 【分析】由∠＝∠，∠BD＝∠可证明△DB∽△B，由相似三角形的性质可知AD AB = AB AC ，从而 可求得B 的长． 【详解】解：∵∠＝∠，∠BD＝∠， △ ∴DB∽△B． ∴AD AB = AB AC ，即2 AB = AB 8 ． 解得：B＝4（负值已舍去）． ∴B＝4． 【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，由相似三角形的性质得到2 AB = AB 8 是解题的关键． 6．（2022·全国·九年级专题练习）已知，如图，△B 中，B＝4，B＝8，D 为B 边上一点， BD＝2．求证：△BD∽△B． 【答】见解析； 1 【分析】由B＝4，B＝8，BD＝2 可知AB CB = BD BA ，再由∠BD＝∠B 可得△BD∽△B； 【详解】证明：∵B＝4，B＝8，BD＝2， ∴AB CB = BD BA ， 又∵∠BD＝∠B， ∴△BD∽△B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决本题的关键． 7．（2021·全国·九年级专题练习）如图，∠1= 2 ∠，AB AE = AC AD ，求证：∠= D ∠． 【答】见解析 【分析】根据∠1= 2 ∠得到∠B= ED ∠ ，结合AB AE = AC AD 得到△B ED ∽△ ，再根据相似三角形对应 角相等即可得到∠= D ∠． 【详解】解：∵∠1= 2 ∠， 1+ E= 2+ E ∴∠ ∠ ∠ ∠， B= ED ∴∠ ∠ ，且AB AE = AC AD ， B ED ∴△∽△ ， 由相似三角形对应角相等可知： = D ∴∠∠． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，属于基础题，熟练掌握相似三角形的判定 方法是解决本题的关键． 8．（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在矩形BD 中，B=2，B=5，BP=1，∠MP=90°，将 ∠MP 绕点P 从PB 处开始顺时针方向旋转，PM 交边B 于点E，P 交边D 于点F，当PE 旋转 至P 处时，∠MP 的旋转随即停止 （1）如图2，在旋转中发现当PM 经过点时，P 也经过点D，求证：△BP PD ∽△ （2）如图3，在旋转过程中，PE PF 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说 明理由 1 （3）设E¿m，连结EF，则在旋转过程中，当m为何值时，△BPE 与△PEF 相似 【答】（1）见解析；（2）PE PF 的值是定值，该定值为1 2 ；（3）当m=0或3 2时，△BPE 与 △PEF 相似 【分析】（1）因为在矩形中，所以只要再证明∠BP= PD ∠ 即可；（2）证明边比为定值，考 虑相似三角形，过点F 作FG B ⊥于G，创造△PGF 并证明其与△EBP 相似；（3）使△BPE PFE ∽△ ，那么BE PE = BP PF ，算出m 值，反证相似 【详解】（1）证明：∵四边形BD 是矩形 B= =90° ∴∠ ∠ BP+ BP=90° ∴∠ ∠ MP=90° ∵∠ PD+ BP=90° ∴∠ ∠ BP= PD ∴∠ ∠ BP PD ∴△ ∽△ （2）过点F 作FG B ⊥于G FGP=90° ∴∠ FGP= B ∴∠ ∠，∠PFG+ FPG=90° ∠ 易知四边形BGF 是矩形， FG=B=2 ∴ MP=90° ∵∠ EPB+ FPG=90° ∴∠ ∠ EPB= FPG ∴∠ ∠ EBP PGF ∴△ ∽△ ∴PE PF = BP FG =1 2 ∴PE PF 的值是定值，该定值为1 2 （3）∵E¿m BE ∴ ¿2−m 1 ①当BE PE = BP PF 时， B= EPF=90° ∵∠ ∠ BPE PFE ∴△ ∽△ ∴BE BP = PE PF ∴2−m 1 =1 2 ∴m=3 2 ②当BP PE = BE PF 时， B= EPF=90° ∵∠ ∠ BPE PEF ∴△ ∽△ ∴BP BE = PE PF ∴ 1 2−m=1 2 ∴m=0 综上，当m=0或3 2时，△BPE 与△PEF 相似 【点睛】本题考察了相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交； 两边对应成比例且夹角相等；三边对应成比例；两角对应相等以及性质定理：对应角相等， 对应边成比例 9．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D 为 B 边上一点，E 为边上一点，且∠ADE=30°，求证：△ABD∽△DCE． 【答】见解析 【分析】利用三角形的外角性质证明∠ED=∠DB，即可证明△BD∽△DE． 【详解】证明：∵B=，且∠B=120°， 1 ∴∠BD=∠B=30°， ∵∠DE=30°， ∴∠BD=∠DE=30°， ∵∠D=∠DE+∠ED=∠BD+∠DB， ∴∠ED=∠DB， ∴△BD∽△DE． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，利用三 角形的外角性质证明∠ED=∠DB 是解题的关键． 10．（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，连接BD，CE，求CE BD 的值． 【答】❑ √2 【分析】由等腰直角三角形的性质可推出∠DAE=∠BAC=45°，AE=❑ √2 AD, AC=❑ √2 AB，从而可得出∠EAC=∠DAB，AE AD = AC AB =❑ √2，即证明 △DAB∼△EAC，得出CE BD =❑ √2． 【详解】解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴∠DAE=∠BAC=45°，AE=❑ √2 AD，AC=❑ √2 AB， ∴∠EAC=∠DAB，AE AD = AC AB =❑ √2， ∴△DAB∼△EAC， ∴CE BD =❑ √2． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质．掌握三角形相似的 判定条件是解题关键． 11．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在△B 中，D 是角平分线，点E 是边AC上一点， 且满足∠ADE=∠B． 1 (1)证明：Δ ADB∼Δ AED； (2)若AE=3，AD=5，求B 的长． 【答】(1)见解析 (2)25 3 【分析】（1）证出∠BD=∠ED．根据相似三角形的判定可得出结论； （2）由相似三角形的性质可得出AD AE = AB AD ，则可得出答． （1） ∵D 是∠B 的角平分线， ∴∠BD=∠ED． ∵∠DE=∠B， ∴△DB∽△ED． （2） ∵△DB∽△ED， ∴AD AE = AB AD ， ∵E=3，D=5， ∴5 3= AB 5 ， ∴AB=25 3 ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角 形的判定定理和性质定理是解题的关键． 12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△B 与△DE 中，∠＝∠E，∠1＝∠2； （1）证明：△B DE ∽△ ． （2）请你再添加一个条件，使△B DE ≌△ ．你补充的条件为： ． 1 【答】(1)证明见解析；(2)见解析 【分析】(1)由∠1= 2, ∠证出∠B= DE ∠ 再由∠= E, ∠即可得出结论; (2)由S 证明△B DE ≌△ 即可 【详解】(1) 1= 2 ∵∠ ∠， 1+ D= 2+ D ∴∠ ∠ ∠ ∠， B= DE ∴∠ ∠ ． = E ∵∠∠， B DE ∴△∽△ ． (2)补充的条件为：B=D（答不唯一）；理由如下： 由(1)得：∠B= DE ∠ ， 在△B 和△DE 中， ¿， B DE ∴△≌△ ； 故答为B=D（答不唯一）． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及相似三角形的判定 13．（2022·全国·九年级单元测试）如图，BD、E 是△ABC的高． （1）求证：△ACE∽△ABD； （2）若BD＝8，D＝6，DE＝5，求B 的长． 【答】（1）见解析；（2）B＝25 3 ． 【分析】（1）BD、CE是△ABC的高，可得∠ADB=∠AEC=90°，进而可以证明 △ACE∽△ABD； （2）在Rt △ABD中，BD=8，AD=6，根据勾股定理可得AB=10，结合（1） △ACE∽△ABD，对应边成比例，进而证明△AED∽△ACB，对应边成比例即可求出 1 BC的长． 【详解】解：（1）证明：∵BD、CE是ΔABC的高， ∴∠ADB=∠AEC=90°， ∵∠A=∠A， ∴△ACE∽△ABD； （2）在Rt △ABD中，BD=8，AD=6， 根据勾股定理，得 AB= ❑ √A D 2+B D 2=10， ∵△ACE∽△ABD， ∴ AC AB = AE AD ， ∵∠A=∠A， ∴△AED∽△ACB， ∴ DE BC = AD AB ， ∵DE=5， ∴BC=5×10 6 =25 3 ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定 与性质． 14．（2022·全国·九年级课时练习）如图，AB // EF // CD，E 为AD与BC的交点，F 在 BD上，求证：1 AB + 1 CD = 1 EF ． 【答】见解析 【分析】根据已知条件可得△≝∽△DAB , △BEF ∽△BCD，根据相似三角形的性质列 出比例式，即可证明结论 【详解】∵AB // EF , EF // DC ∴△≝∽△DAB , △BEF ∽△BCD ∴EF AB = FD BD , EF CD = BF BD 1 ∴EF AB + EF CD = FD BD + BF BD = BD BD =1 ∴EF AB + EF CD = EF EF ∴ 1 AB + 1 CD = 1 EF 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，将线段比转化为AB ,CD , EF之间的关系 是解题的关键． 15．（2022·全国·九年级课时练习）（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形BD 上，使直角顶点与D 重合，三角板的一边交B 于点P，另一边交B 的延长线于点Q．则DP DQ（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）将（1）中“正方形BD”改成“矩形BD”，且D＝2，D＝4，其他条件不变． ①如图2，若PQ＝5，求P 长． ②如图3，若BD 平分∠PDQ．则DP 的长为 ． 【答】（1）＝；（2）①1，②2❑ √10 3 【分析】（1）先证明△DP≌△DQ，即可求解； （2）①先证明△DP∽△DQ，可得AP CQ ＝AD CD ＝2 4 ＝ 1 2，设P＝x，则Q＝2x， 再由勾股定理，即可求解； ②过点B 作BE⊥DP 交DP 延长线于点E，BF⊥DQ 于点F，根据△DP∽△DQ，可得 ∠PD=∠Q，AP CQ ＝AD CD ＝2 4 ＝ 1 2，从而得到∠BPE=∠Q，再由角平分线的性质定理可得 BE=BF，进而证得△BEP≌△BFQ，得到BP=BQ，从而得到AP=2 3，再由勾股定理，即可求 解． 【详解】解∶（1）在正方形BD 中， = ∠∠BD=∠DQ=∠D=90°，D=D， ∵∠PDQ=90°， 1 ∴∠PDQ=∠D=90°， ∴∠DP＋∠PD＝∠DQ＋∠PD＝90°， ∴∠DP=∠DQ， ∴△DP≌△DQ， ∴DP=DQ； 故答为∶= （2）①∵四边形BD 是矩形， ∴∠＝∠D＝∠BD＝90°． ∵∠DP＋∠PD＝∠DQ＋∠PD＝90°， ∴∠DP＝∠DQ． 又∵∠＝∠DQ＝90°． ∴△DP∽△DQ， ∴AP CQ ＝AD CD ＝2 4 ＝ 1 2， 设P＝x，则Q＝2x， ∴PB＝4－x，BQ＝2＋2x． 由勾股定理得，在Rt△PBQ 中，PB2＋BQ2＝PQ2， 代入得（4－x）2＋（2＋2x）2＝52， 解得x＝1，即P＝1． ∴P 的长为1． ②如图，过点B 作BE⊥DP 交DP 延长线于点E，BF⊥DQ 于点F， 由①得：△DP∽△DQ， ∴∠PD=∠Q，AP CQ ＝AD CD ＝2 4 ＝ 1 2， ∴Q=2P， ∵∠PD=∠BPE， ∴∠BPE=∠Q， ∵BD 平分∠PDQ，BE⊥DE，BF⊥DQ， ∴BE=BF， 1 ∵∠E=∠BFQ=90°， ∴△BEP≌△BFQ， ∴BP=BQ， 设P=m，则BQ=BP=4-m，Q=2m， 2+2 ∴ m=4-m，解得：m=2 3， 即AP=2 3， ∴DP= ❑ √A D 2+ A P 2=❑ √ 2 2+( 2 3) 2 =2❑ √10 3 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形和全等三角形的判定和性质，角平分 线的性质定理，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 16．（2022·全国·九年级专题练习）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型： 如图1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠2+∠BAD=180°， ∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D ；又因为ACB=∠AED=90°，可得 △ABC ∽△DAE，进而得到BC AC =¿______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在△ABC中， AB=AC=10，BC=12，点P 是B 边上的一个动点（不与B、重合），点D 是边上的一 个动点，且∠APD=∠B． ①求证：△ABP∽△PCD； ②当点P 为B 中点时，求D 的长； 拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当△APD为等腰三角形时，请直接写出BP 的长． 【答】感知：（1）AE DE ；应用：（2）①见解析；②36；拓展：（3）2 或11 3 【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解； （2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠，根据三角形的外角性质得到∠BP=∠PD，即可 求证； ②根据相似三角形的性质计算，即可求解； 1 （3）分P=PD、P=D、D=DP 三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即 可求解． 【详解】感知：（1）∵△B∽△DE， ∴BC AE = AC DE ， ∴BC AC = AE DE ， 故答为：AE DE ； 应用：（2）①∵∠P=∠B+∠BP，∠P=∠PD+∠PD，∠PD=∠B， ∴∠BP=∠PD， ∵B=， ∴∠B=∠， ∴△BP∽△PD； ②B=12，点P 为B 中点， ∴BP=P=6， ·∵△BP∽△PD， ∴AB PC = BP CD ，即10 6 = 6 CD ， 解得：D=36； 拓展：（3）当P=PD