题型4 多边形证明 类型1 三角形全等与相似（专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 类型一三角形全等与相似（专题训练） 1．（2023·四川宜宾·统考中考真题）已知：如图， ， ， ．求 证： ． 【答】见解析 【分析】根据平行线的性质得出 ，然后证明 ，证明 ，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 即 在 与 中 ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题 的关键． 2．（2023·福建·统考中考真题）如图， ．求证： ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】见解析 【分析】根据已知条件得出 ，进而证明 ，根据全等三角形的 性质即可得证． 【详解】证明： ， 即 ． 在 和 中， ． 【点睛】本小题考查等式的基本性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直 观、推理能力等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 3．（2023·全国·统考中考真题）如图，点在线段 上，在 和 中， ． 求证： ． 【答】证明见解析 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【分析】直接利用 证明 ，再根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】解：在 和 中， ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的 关键． 4．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，B、D 相交于点，=B，∥DB．求证：=BD． 【答】见解析 【分析】要证明=BD，只要证明△≌△BD，根据//DB 可得∠= B ∠，∠= D ∠，又知=B，则可得 到△≌△BD，从而求得结论． 【详解】（方法一） //DB ∵ ， = B ∴∠∠，∠= D ∠． 在△与△BD 中 = B ∵∠∠，∠= D ∠，=B， BD ∴△≌△ ． =BD ∴ ． （方法二）∵//DB， = B ∴∠∠． 在△与△BD 中， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ， BD ∴△≌△ ． =BD ∴ ． 5．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，在四边形 中，点E 是边 上一点，且 ， ． (1)求证： ； (2)若 ， 时，求 的面积． 【答】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由 求出 ，然后利用 证明 ，可得 ，再由等边对等角得出结论； （2）过点E 作 于F，根据等腰三角形的性质和含 直角三角形的性质求出 和 ，然后利用勾股定理求出 ，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）解：过点E 作 于F， 由（1）知 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质， 含 直角三角形的性质以及勾股定理等知识，正确寻找证明三角形全等的条件是解题的 关键． 6 如图， ， ，点 在 上，且 ．求证： ． 【答】见解析 【分析】 由题意易得 ，进而可证 ，然后问题可求证． 【详解】 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 证明：∵ ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ． ∴ ． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 7 如图，点、B、D、E 在同一条直线上， ．求证： ． 【答】见解析 【分析】 根据 ，可以得到 ，然后根据题目中的条 件，利用S 证明△B △ ≌DEF 即可． 【详解】 证明：点，B，，D，E 在一条直线上 ∵ ∴ 在 与 中 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ 【点睛】 本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即S、S、 SS、SSS，直角三角形可用L 定理，但、SS，无法证明三角形全等，本题是一道较为简 单的题目． 8 如图，已知 ， ， 与 相交于点 ，求证： ． 【答】证明见解析 【分析】 根据全等三角形的性质，通过证明 ，得 ，结合等腰三角形的 性质，即可得到答． 【详解】 ∵ ， ∴ （S）， ∴ ， ∴ ． 【点睛】 本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三 角形的性质，从而完成求解． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 9 如图，点D 在B 上，点E 在上，B=，∠B=∠，求证：BD=E 【答】证明见详解． 【分析】 根据“S”证明△BE △ ≌D，然后根据全等三角形的对应边相等即可得到结论 【详解】 证明：在△BE 和△D 中， ∵ , △BE △D (S) ≌ ， ∴E=D， ∴BD=B–D=-E=E． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SS、S、 S 和L）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 10 如图，在四边形 中， 与 相交于点E．求证： ． 【答】见解析 【分析】 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 直接利用SSS 证明△D △ ≌BD，即可证明． 【详解】 解：在△D 和△BD 中， ， △ ∴D △ ≌BD（SSS）， ∠ ∴ D=∠BD． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意灵活运用SSS 的方法． 11 如图，在△B 中，∠B＝90°，点E 在的延长线上，ED⊥B 于点D，若B＝ED，求证： E＝DB． 【分析】由“S”可证△B △ ≌ED，可得E＝B，＝D，由线段的和差关系可得结论． 【解答】证明：∵ED⊥B， ∠ ∴ DE＝∠B＝90°，∠＝∠，B＝DE， △ ∴B △ ≌ED（S）， ∴E＝B，＝D， ∴E＝BD． 12 如图，点在线段BD 上，且B⊥BD，DE⊥BD，⊥E，B＝DE．求证：B＝D． 【分析】证明△B △ ≌DE（S），可得出结论． 【解答】证明：∵B⊥BD，ED⊥BD，⊥E， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∠ ∴ E＝∠B＝∠DE＝90°， ∠ ∴ B+∠ED＝90°，∠ED+∠ED＝90°， ∠ ∴ B＝∠ED． 在△B 和△DE 中， { ∠ACB=∠CED BC=DE ∠ABC=∠CDE ， △ ∴B △ ≌DE（S）， ∴B＝D． 13 如图，点D 在B 上，点E 在上，B＝，∠B＝∠，求证：BD＝E． 【分析】要证BD＝E 只要证明D＝E 即可，而证明△BE △ ≌D，则可得D＝E． 【解答】证明：在△BE 与△D 中 { ∠A=∠A AB=AC ∠B=∠C ， △ ∴BE △ ≌D． ∴D＝E． ∴BD＝E． 14 如图，∠B＝∠E，BF＝E，∥DF．求证：△B △ ≌DEF． 【分析】首先利用平行线的性质得出∠B＝∠DFE，进而利用全等三角形的判定定理S，进 而得出答． 【解答】证明：∵∥DF， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∠ ∴ B＝∠DFE， ∵BF＝E， ∴B＝EF， 在△B 和△DEF 中，{ ∠B=∠E BC=EF ∠ACB=∠DFE ， △ ∴B △ ≌DEF（S）． 15 如图，平分∠BD，B＝D．求证：B＝D． 【分析】由“SS”可证△B △ ≌D，可得B＝D． 【解答】证明：∵平分∠BD， ∠ ∴ B＝∠D， 又∵B＝D，＝， △ ∴B △ ≌D（SS）， ∴B＝D． 16 如图，已知B∥D，B＝D，BE＝F． 求证： （1）△BF △ ≌DE； （2）F∥DE． 【分析】 （1）先由平行线的性质得∠B＝∠，从而利用SS 判定△BF △ ≌DE； （2）根据全等三角形的性质得∠FB＝∠DE，由等角的补角相等可得∠FE＝∠DEF，再由 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 平行线的判定可得结论． 【解答】 证明：（1）∵B∥D， ∠ ∴ B＝∠， ∵BE＝F， ∴BE﹣EF＝F﹣EF， 即BF＝E， 在△BF 和△DE 中， ∵{ AB=CD ∠B=∠C BF=CE ， △ ∴BF △ ≌DE（SS）； （2）∵△BF △ ≌DE， ∠ ∴ FB＝∠DE， ∠ ∴ FE＝∠DEF， ∴F∥DE． 17 如图，点、E、F、B 在同一直线上，点、D 在B 异侧，B∥D，E＝DF，∠＝∠D． （1）求证：B＝D； （2）若B＝F，∠B＝40°，求∠D 的度数． 【分析】 （1）根据平行线的性质求出∠B＝∠，根据S 推出△BE △ ≌DF，根据全等三角形的性质得 出即可； （2）根据全等得出B＝D，BE＝F，∠B＝∠，求出F＝D，推出∠D＝∠FD，即可求出答． 【解答】 （1）证明：∵B∥D， ∠ ∴ B＝∠， 在△BE 和△DF 中， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm { ∠A=∠D ∠B=∠C AE=DF ， △ ∴BE △ ≌DF（S）， ∴B＝D； （2）解：∵△BE △ ≌DF， ∴B＝D，BE＝F，∠B＝∠， ∠ ∵ B＝40°， ∠ ∴ ＝40° ∵B＝F， ∴F＝D， ∠ ∴ D＝∠FD¿ 1 2 ×（180° 40° ﹣ ）＝70°． 18 已知：如图，点B，D 在线段E 上，D=BE，∥EF，∠=∠F．求证：B=DF． 【解析】∵D=BE， ∴D-BD=BE-BD， ∴B=ED， ∥ ∵EF， ∠=∠ ∴ E， 在△B 和△EDF 中， ， △ ∴B △ ≌EDF（S）， ∴B=DF． 19 如图，B=D，B=D，点E 在上． （1）求证：平分∠BD； （2）求证：BE=DE． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【解析】 （1）在△B 与△D 中， △ ∴B △ ≌D（SSS）， ∠ ∴ B=∠D， 即平分∠BD． （2）由（1）∠BE=∠DE， 在△BE 与△DE 中，得 ， △ ∴BE △ ≌DE（SS）， ∴BE=DE． 20 如图，在△B 中，D 是B 边上的中线，E 是B 边上一点，过点作F∥B 交ED 的延长线于 点F． （1）求证：△BDE △ ≌DF； （2）当D⊥B，E=1，F=2 时，求的长． 【解析】 （1）∵ ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ 是 边上的中线，∴ ， △ ∴BDE △ ≌DF． （2）∵△BDE △ ≌DF， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 21 如图， 是 的角平分线，在 上取点 ，使 ． （1）求证： ． （2）若 ， ，求 的度数． 【答】（1）见解析；（2）35° 【分析】 （1）直接利用角平分线的定义和等边对等角求出 ，即可完成求证； （2）先求出∠DE，再利用平行线的性质求出∠ B，最后利用角平分线的定义即可完成求 解． 【详解】 解：（1） 平分 ， ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ， ， ． （2） ， ， ． ． ． 平分 ， ， 即 ． 【点睛】 本题综合考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等内容，解决 本题的关键是牢记概念与性质，本题的解题思路较明显，属于几何中的基础题型，着重考 查了学生对基本概念的理解与掌握． 22 如图，在 中， ，点D，E 分別在边B，上， ，连结 D，BE． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）若 ，求 ， 的度数． （2）写出 与 之间的关系，并说明理由． 【答】（1） ； ；（2） ，见解析 【分析】 （1）利用三角形的内角和定理求出 的大小，再利用等腰三角形的性质分别求出 ， ． （2）利用三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，求出用含 分别表示 ， ，即可得到两角的关系． 【详解】 （1） ， ， ． 在 中， ， ， ， ， ． ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2） ， 的关系： ． 理由如下：设 ， ． 在 中， ， ， ． ， 在 中， ， ． ． ． ． 【点睛】 本题主要通过求解角和两角之间的关系，考查三角形的内角和定理、三角形外角的性质和 等腰三角形的性质．三角形的内角和等于 ．三角形的外角等于与其不相邻的两个内角 之和．等腰三角形等边对等角． 23 如图，已知 ， ， 与 相交于点 ，求证： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ． 【答】证明见解析 【分析】 根据全等三角形的性质，通过证明 ，得 ，结合等腰三角形的 性质，即可得到答． 【详解】 ∵ ， ∴ （S）， ∴ ， ∴ ． 【点睛】 本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三 角形的性质，从而完成求解． 24．（2023·湖南·统考中考真题）在 中， 是斜边 上的高． (1)证明： ； (2)若 ，求 的长． 【答】(1)见解析 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (2) 【分析】（1）根据三角形高的定义得出 ，根据等角的余角相等，得出 ，结合公共角 ，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵ 是斜边 上的高． ∴ ， ∴ ， ∴ 又∵ ∴ ， （2）∵ ∴ ， 又 ∴ ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题 的关键． 25．（2023·湖南·统考中考真题）如图， ，点 是线段 上的一点， 且 ．已知 ． (1)证明： ． (2)求线段 的长． 【答】(1)见解析 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm (2) 【分析】（1）根据题意得出 ， ，则 ，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得： ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题 的关键． 26．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图， 中，点E 是 的中点，连接 并 延长交 的延长线于点F． (1)求证： ； (2)点G 是线段 上一点，满足 ， 交 于点，若 ，求 的长． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 【答】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 ， ，证明 ，推出 ，即可解答； （2）通过平行四边形的性质证明 ，再通过（1）中的结论得到 ，最后证明 ，利用对应线段比相等，列方程即可解答． 【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形， ， ， ， 是 的中点， ， ， ， ∴ ， ； （2）解： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设 ,则 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 可得方程 ， 解得 ， 即 的长为 ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和 性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键． 27．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，在 中，对角线 与 相交于点 ， ，过点 作 交 于点 ． (1)求证： ； (2)若 ， ，求 的长． 【答】(1)见详解 (2) 【分析】（1）可证 ，从而可证四边形 是菱形，即可得证； （2）可求 ，再证 ，可得 ，即可求解． 【详解】（1）证明： ， ， 四边形 是平行四边形， 四边形 是菱形， ． （2）解： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ， ， ， ， ， 解得： ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判 定及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 28．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，点E、F、G、分别是 各边的中点， 连接 相交于点M，连接 相交于点． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)若 的面积为4，求 的面积． 【答】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形 ，四边 形 均为平行四边形，进而得到： ，即可得证； （2）连接 ，推出 ， ，进而得到 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ，求出 ，再根据 ，即可得解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ， ∵点E、F、G、分别是 各边的中点， ∴ ， ∴四边形 为平行四边形， 同理可得：四边形 为平行四边形， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形； （2）解：连接 ， ∵ 为 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 同理可得： ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的中位线