专题06 一元二次方程特殊解的两种考法（解析版）

专题06 一元二次方程特殊解的两种考法 类型一、换元法 例1．若 ，则 的值是（ ） ． B．1 ．1 或 D．1 或6 【答】B 【分析】设 ，而 ，可得 ，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设 ， ∴ ∴ ， ∴ ， ∴ 或 ， 解得： ， （不符合题意舍去）； ∴ ， 故选B 【点睛】本题考查的是利用换元法与因式分解的方法解一元二次方程，非负数的性质，熟练的换元是解本 题的关键． 例2．已知 和2 是关于x 的一元二次方程 的两根，则关于x 的方程 的 根为 ． 【答】 ， 【分析】设 ，将方程 化为 ，进而得到 ， 是方程 的两根，由此求解即可． 【详解】解：设 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∵ 和2 是关于x 的一元二次方程 的两根， ∴ ， 是方程 的两根， ， ， ， ， 方程 的根为 ， ， 故答为： ， ． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练运用整体换元法是解题关键． 【变式训练1】已知实数x 满足 ，则代数式 的值为 ． 【答】2023 【分析】设 ，则原方程转化为关于t 的一元二次方程 ，利用因式分解法解该方程即可 求得t 的值；然后整体代入所求的代数式进行解答，注意判断方程的根的判别式 ，方程有解． 【详解】解：设 ， 由原方程，得 ， 整理，得 ， 所以 或 ． 当 时， ，则 ； 当 时， 即 时， ，方程无解，此种情形不存在． 故答是：2023． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量 代换． 【变式训练2】已知 ，且 ，则 的值是 ． 【答】 或 【分析】将已知等式两边同除以 进行变形，再利用换元法和因式分解法解一元二次方程即可得． 【详解】解：∵ ∴将 两边同除以 得： 令 ，则 因式分解得： ，解得 或 ，即 的值是 或 故答为： 或 ． 【点睛】本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，将已知等式进行正确变形是解题关键． 【变式训练3】若 ，则 ． 【答】4 【分析】先设 ，原方程可化为 ，解此一元二次方程，再验根即可． 【详解】解：设 ，原方程可化为 ， 化为一般式得： ， 解得：t=4 或t=-2， ∵ ， ∴t=4， ∴ 4， 故答为：4． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解决本题的关键是熟练掌握用换元法解方程． 【变式训练4】阅读材料，解答问题：材料1 为了解方程 ，如果我们把 看作一个整体， 然后设 ，则原方程可化为 ，经过运算，原方程的解为 ， ．我们把以 上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，满足 ，且 ，显然m，是方程 的两个不相 等的实数根，由韦达定理可知 ． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：解方程： ． (2)间接应用：已知两个不相等实数m，满足： ，求 的值． (3)拓展应用：已知实数x，y 满足： ，求 的值． 【答】(1) ；(2) ；(3)7 【分析】（1）仿照题意利用换元法解方程即可； （2）仿照题意利用韦达定理进行求解即可； （3）设 ， ，则可得 ，进一步得到 ，再证明 ， 推出 ；由 ，可得 ，即 ． 【详解】（1）解：设 ，则方程 可化为 ， ∴ ， ∴ 或 ， ∴ 或 （舍去）， ∴ ； （2）解：∵实数m，满足： ， ∴实数m，是方程 的两个实数根， ∴ ， ∴ ； （3）解：设 ， ， ∵ ， ∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ； ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了换元法解方程，一元二次方程根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键． 类型二、构造法 例1 已知、b、均为实数，且 ， ，则 ______． 【答】4 【详解】 ∵+b=4，b=22-4 +10 ∴、b 可看作方程x2-4x+22-4 +10=0 的两实数解 ∴（x-2）2+2（- ）2=0 ∴x-2=0 或- =0 解得x=2，= ∴b=2×3-4 × +10=4 ∴b=4× =4 故答为：4 ． 【变式训练1】解方程组： ． 【答】 或 ． 【详解】∵ ，由①得：y＝x 3 ﹣③． 将③代入②得：x2+x（x 3 ﹣）﹣2＝0． ∴2x2 3 ﹣x 2 ﹣＝0． ∴（2x+1）（x 2 ﹣）＝0．∴2x+1＝0 或x 2 ﹣＝0． ∴x1＝﹣ ，x2＝2． 当x＝﹣ 时，y＝﹣ ． 当x＝2 时，y＝﹣1． 原方程组的解为： 或 ． 【变式训练2】已知实数 ， 满足等式 ， ，则 的值是______． 【答】 【详解】解：∵实数 ， 满足等式 ， ， ∴m，是方程 的两实数根， ∴ ， ， ∴ ， 故答为： 【变式训练3】已知、b、满足 ， ， ，则 _______． 【答】3 【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得： ，即 ， ∴ ，∴=3,b=-1,=1， ∴+b+=3-1+1=3， 故答为3． 课后作业 1．用换元法解方程 时，如果设 ，那么原方程可化为（ ） ． B． ． D． ． 【答】 【分析】设 ，原方程中用 代替 ，这样原方程转化为： ，然后把方程两边乘以y 得到整式方程． 【详解】解：设 ，原方程转化为 ， 方程两边乘以y 得， ． 故选：． 2 若实数x，y 满足 ，则 的值为（ ） ．1 B． ．1 或 D． 或2 【答】 【分析】设： ，则 变为 ，进而解含的一元二次方程，即可求出 的值． 【详解】解：设： ，则 变为 ， ∴ ，则 ， 解得： ， ， 即 的值为 或1， 故选：． 【点睛】本题考查解一元二次方程，整体思想，能够将方程转化为一元二次方程是解决本题的关键． 3．若关于 的一元二次方程 （ ）有一个根为 ，则方程 必有一 根为 ． 【答】 【分析】把 化为 再结合题意得到 解出即可． 【详解】解： ， ． 令 ，则 ∵方程 （ ）有一个根为 ， 方程 有一根为 ， 有一根为 ， 故答为： 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的含义，掌握利用整体未知数求解方程的根是解此题的关键． 4．若 ，求 的值为 ． 【答】4 【分析】设 ，把原方程变形，求得x，即可得出 的数值． 【详解】解：设 ，则原方程为 ， 整理得 ， ， ∴ ， ， 解得 ， ， ∵ 是非负数， ∴ ． 故答为：4． 【点睛】本题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 5．解方程： ． 【答】 【分析】设 ，用完全平方公式将方程化为关于y 的一元二次方程，求出方程的解得到y 的值，即 为 的值，进而求出x 的值，将x 的值代入原方程进行检验，即可得到原分式方程的解． 【详解】解：设 ， 则 ， 原方程化成 ， 解这个方程，得 ， ， 当y＝1 时， =1，即 ．由 ，此方程无实根， 当y＝－2 时， ，即 ，解得： ， 经检验，x＝－1 是原分式方程的解， ∴原方程的解为x＝－1． 【点睛】题目主要考查了换元法解分式方程，关键是利用 进行转化，进而设 ， 将原方程转化为一元二次方程． 6．解关于 的方程： ． 【答】 或 或 或 【分析】先求出“ ”的值，再代入公式求出即可． 【详解】解： ， 分为两种情况：①当方程是一元二次方程时， ， ， ∴ ∴ ， ； ②当方程是一元一次方程时， 且 ， 解得 ， 当 时，方程为 ， 解得 ； 当 时，方程为 ， 解得 ． 所以，方程的解为： ， ， 或 ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程，掌握公式法解一元二次方程是解此题的关键． 7．阅读下列材料：方程： 是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设 ，那么 ，于是原方程可变为 ， 解这个方程得： ， ． 当 时， ，∴ ；当 时， ，∴ 所以原方程有四个根： ， ， ， ． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)利用换元法解方程 得到方程的解为______． (2)若 ，求 的值． (3)利用换元法解方程： ． 【答】(1) ， (2) (3) ， 【分析】（1）设 ，代入得到 ，解得 ， ，当 时， ， 得到 ，此方程无解；当 时， ，得到 ， ； （2）设 ，代入得到 ． 解得 ， ，根据 ，得到 ； （3）设 ，则 ，代入得到 ，得到 ，解得 ，检验后得到 ，得到 ，得到 ， ，检验后即得． 【详解】（1）设 ，则 ， 于是原方程可变为 ， 解这个方程得： ， ， 当 时， ， 移项得： ， ∵ ， ∴此方程无解， 当 时， ， 解得 ， ； 故答为： ， ； （2）设 ，则该方程变为 ． 解得： ， ． ∵ ∴ ，即 （3）设 ，则 ， 原方程变形为： ， 去分母，得 ， 即 解得， ． 经检验， 是分式方程的根． ∴ 即 解得： ， ． 经检验， 是分式方程的根． ∴原分式方程的解为： ， ． 【点睛】本题主要考查了解特殊形式的高次方程、分式方程．解决问题的关键是熟练掌握换元法的一般步 骤设元、换元、解元、还原几步．解分式方程注意验根．