专题08 一元二次方程应用的四种考法（解析版）

专题08 一元二次方程应用的四种考法 类型一、销售利润问题 例．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240 元，按每千克400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10 元，则平均每周的销售量可增加40 千克． (1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600 元，请回答： ①每千克茶叶应降价多少元？ ②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ (2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000 元吗？请说明理由． 【答】(1)①30 元或80 元②八折 (2)该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000 元 【分析】（1）①设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量每件利润 元列出方程求解即可；②为了 让利于顾客因此应下降价80 元，求出此时的销售单价即可确定几折． （2）设每千克茶叶应降价y 元，列方程整理后为 ，代入根的判别式得 ，方程无解， 故不能达到要求． 【详解】（1）解：①设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得： ． 解得： ． 答：每千克茶叶应降价30 元或80 元． ②由①可知每千克茶叶可降价30 元或80 元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80 元． 此时，售价为： 元， ． 答：该店应按原售价的八折出售． （2）解：该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000 元，理由如下： 设每千克茶叶应降价y 元．根据题意，得： 0,整理得： ， ∵ ，∴原方程没有实数根， 即该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000 元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程． 【变式训练1】某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60 元，当售价为100 元时，平均 每天能售出200 双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间 存在如图所示的函数关系． (1)求出y 与x 的函数关系式； (2)公司希望平均每天获得的利润达到8910 元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？ (3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000 元的利润？若能，求出定价； 若不能，请说明理由． 【答】(1)y 与x 的函数关系式为y=10x＋200； (2)当每双运动鞋的售价为87 元时，企业每天获得的销售利润达到8910 元并且优惠力度最大 (3)降价10 元时，公司每天能获得9000 元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50% 【分析】（1）由题意，设y 与x 的函数关系式为y＝kx＋b，然后由待定系数法求解析式，即可得到答； （2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解； （3）由题意，列出一元一次不等式，求出不等式的解集，然后列一元二次方程，即可求出答． 【详解】（1）解：设y 与x 的函数关系式为y＝kx＋b (k≠0)， 由图可知其函数图象经过点（0 , 200）和（10 , 300）， 将其代入y=kx+b 得 解得 ∴y 与x 的函数关系式为y=10x＋200； （2）解：由题意得 （10x＋200)(100－x－60)＝8910， 整理得 x2－20x＋91＝0， 解得：x1＝7, x2＝13； 当x＝7 时，售价为100－7＝93（元）， 当x＝13 时，售价为100－13＝87（元）， ∵优惠力度最大， ∴取x＝13， 答：当每双运动鞋的售价为87 元时，企业每天获得的销售利润达到8910 元并且优惠力度最大； （3）解：公司每天能获得9000 元的利润，理由如下： ∵要保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的50%， 100 ∴ －60－x ≥ 60×50%, 解得：x≤10； 依题意，得 (100－60－x)(10x＋200)＝9000， 整理得 x2－20x＋100＝0， 解得：x1＝x2＝10； ∴降价10 元时，公司每天能获得9000 元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50% 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练 掌握题意，正确的列出方程，从而进行解题． 【变式训练2】某服装店以每件30 元的价格购进一批 恤，如果以每件40 元的价格出售，那么一个月内 能售出300 件，根据以往的销售经验，销售单价每提高1 元，销售量就会减少10 件，设这种 恤的销售单 价提高 元． (1)该服装店希望一个月内销售这种 恤能获得利润3360 元，并且尽可能减少库存，则这种 恤的销售单价 应提高多少元？ (2)当销售单价提高多少元时，该服装店一个月内销售这种 恤获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答】(1)提高2 元． (2)当销售单价提高10 元时，该服装店一个月内销售这种 恤获得的利润最大，最大利润是4000 元． 【分析】（1）设销售单价提高x 元，根据题意列出方程求解即可； （2）设销售利润为 元，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设销售单价提高x 元， 由题意，得 ， 解得 ， ∵要尽可能减少库存， ∴ 不符合题意，故舍去， 答：这种 恤的销售单价应提高2 元； （2）解：设该服装店一个月内销售这种 恤获得的利润为 元， 由题意，得 ， ∵ ，∴当 时， 有最大值，最大值为4000， 答：当销售单价提高10 元时，该服装店一个月内销售这种 恤获得的利润最大，最大利润是4000 元． 【点睛】本题考查了二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是利用利润一单件利润×销售量列出二 次函数解析式． 【变式训练3】嘉海学校八年级开展社会实践活动，下表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息 解决表中的两个问题． 嘉海学校社会实践记录表 团队名称 遇数临风 活动时间 班级人员 王嘉、马俊、张宁 地点 城南蔬菜超市 实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 青菜的进价为2 元/千克． 青菜售价为 元/千克时，每天可销售 千克． 每千克每涨价 元，每天少销售5 千克． 解决问题 问题1 某天超市正好销售 千克的青菜，则获利多少 元？ 问题2 若超市想一天销售青菜获利 元，则青菜的售价为多少元/千克？ 【答】某天超市正好销售 千克的青菜，则获利 元；若超市想一天销售青菜获利 元，则青菜的 售价为3 元/千克或4 元/千克 【分析】问题1：设售价为 元/千克， ，计算得 即可得；问题2：设青菜的售 价为x 元/千克，超市会一天销售青菜获利 元， ，计算得 ， ， 即可得． 【详解】解：问题1：设售价为 元/千克， ， ， ， ， 则获利： （元）， 答：某天超市正好销售 千克的青菜，则获利 元； 问题2：设青菜的售价为x 元/千克，超市会一天销售青菜获利 元， ， ， ， ， 答：若超市想一天销售青菜获利 元，则青菜的售价为3 元/千克或4 元/千克． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，掌握这些知识 点． 类型二、几何图形运动问题 例．如图，已知，B，，D 为矩形的四个顶点， ， ，动点P，Q 分别从点，同时出发， 点P 以 的速度向点B 移动，一直到点B 为止，点Q 以 的速度向点D 移动，设移动的时间为t 秒． (1)当t 为何值时，P，Q 两点间的距离最小？最小距离是多少？ (2)连接 ． ①当 为等腰三角形时，求t 的值； ②在运动过程中，是否存在一个时刻，使得 ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答】(1)当 时， 最小， 的最小距离为 (2)①当 为等腰三角形时，t 的值为 或 或 ；②不存在一个时刻，使得 ，理由见解析 【分析】（1）首先根据题意，得出 ， ，再根据线段之间数量关系，得出 ，再根据垂线段最短，得出当 时， 最小，此时四边形 是矩形，再根据矩 形的性质，得出 ，然后代入数据，得出 ，解出即可得出答； （2）①过点 作 于点 ，得矩形 ，矩形 ，根据矩形的性质，得出 ， ，再根据线段之间数量关系，得出 ，再根据勾股定 理，得出 ， ，然后分三种情况：当 时，当 时，当 时，分别列出方程进行求解，即可得出答； ②当 时，根据勾股定理，得出 ，进而得出 ，整理得出 ，再根据一元二次方程的根与判别式的关系， 即可得出答． 【详解】（1）解：根据题意，可得： ， ， ∵ ， ， ∴ ， 当 时， 最小，此时四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， 解得： ， ∴当 时， 最小， 的最小距离为 ； （2）解：①如图，过点 作 于点 ，得矩形 ，矩形 ， ∴ ， ， ∴ ， 在 中， 根据勾股定理，可得： ， ， 当 时， 可得： ， 整理可得： ， 解得： ； 当 时， 可得： ， 整理可得： ， 解得： 或 （不符合题意，舍去）， 当 时， 为 的中点， ∴ ， 解得： ， 综上可得：当 为等腰三角形时，t 的值为 或 或 ； ②不存在一个时刻，使得 ，理由如下： 当 时， 可得： ， 即 ， 整理可得： ， ∵ ， ∴此方程无实数解， ∴不存在一个时刻，使得 ． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、解一 元二方程、一元二次方程的根与判别式的关系，解本题的关键在利用分类讨论思想解答． 【变式训练1】如图，已知，在直角梯形 中， ， ， ， ， ，动点 从 开始沿 边向点 以 的速度运动，动点 从点 开始沿 边向 以 的速度运动， 、 分别从点 、 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动， 设运动时间为t 秒． (1) 为何值时， ？为什么？ (2)当 m 时，求t 的值． 【答】(1) (2) 或 【分析】（1）当 时，可得四边形 是平行四边形，必有 ，列出等式计算即可， （2）分两种情况，在 利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）由题意知， ， ， ， ∵ ， ， ∴四边形 为平行四边形， ∴ ， ∴ ， 解得： ， 即当 时， ． （2）如图1，过 作 于 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ， ， ， ∴ ， 在 中， ， ， ， ∴ ， ∴ ， 解得： ， （不合图，舍去）； 如图2， 过 作 于 ， 则四边形 是矩形， ∴ ， ， ， ∴ ， 在 中， ， ， ， ∴ ， ∴ ， 解得： （不合图，舍去）， ； 综上所述，满足条件的t 的值为6 或7． 【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰梯形等知识，解题 关键是正确理解题意，列出方程． 【变式训练2】如图，在矩形 中， ，动点P、Q 分别从点、同时出发，点P 以 的速度向点B 移动，一直到点B 为止，点Q 以 的速度向点D 移动（点P 停止移动时，点Q 也 停止移动）．设移动时间为t（s）．连接 ， ． (1)用含t 的式子表示线段的长： __________； __________． (2)当t 为何值时，P、Q 两点间的距离为 ？ (3)当t 为何值时，四边形 的形状可能为矩形吗？若可能，求出t 的值；若不可能，请说明理由． 【答】(1) ， (2) 、 出发06 和54 秒时， ， 间的距离是 (3) 、 出发3 秒时四边形 为矩形 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）可通过构建直角三角形来求解．过 作 于 ，如果设出发秒后， ．那么可根据 路程 速度时间，用未知数表示出 的值，然后在直角三角形 中，求出未知数的值． （3）利用矩形的性质得出当 时，四边形 为矩形求出即可 【详解】（1）解：由题意得： ， ∵ ， ∴ ； 故答为 ， ； （2）解：设出发秒后 、 两点间的距离是 ． 则 ， ，作 于 ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， 由勾股定理得： ， 解得： 或 ， 答： 、 出发06 和54 秒时， ， 间的距离是 ； （3）解：四边形 的形状有可能为矩形；理由如下： 当四边形 为矩形，则 ， 即 ， 解得： ． 答：当 、 出发3 秒时四边形 为矩形． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理及矩形的性质，本题结合几何知识并根据题意列出方 程是解题的关键． 【变式训练3】如图， 为矩形的四个顶点， ， ，动点 分别从点 同时出发，点 以 的速度向点 移动，一直到达 为止，点Q 以 的速度向 移动． (1) 两点从出发开始到几秒时，四边形 的面积为 ？ (2) 两点从出发开始到几秒时，点P 和点Q 的距离是 ？ (3) 两点从出发开始到几秒时，点 组成的三角形是等腰三角形？ 【答】(1) 两点从出发开始到 秒时，四边形 的面积为 (2) 两点从出发开始到 秒或 秒时，点P 和点Q 的距离是 (3)经过 秒或 秒或 秒或 秒时，点 组成的三角形是等腰三角形 【分析】（1）设 两点从出发开始到 秒时，四边形 的面积为 ，根据梯形面积公式列方 程求解即可； （2）过点 作 于点 ，设 两点从出发开始到 秒时，点P 和点Q 的距离是 ，根据勾 股定理列方程求解即可； （3）根据等腰三角形不同的腰进行分类讨论，求解即可． 【详解】（1）解：设 两点从出发开始到 秒时，四边形 的面积为 ， 根据题意得： ， ， 则 ， 解得： ， 答： 两点从出发开始到 秒时，四边形 的面积为 ； （2）解：过点 作 于点 ， 设 两点从出发开始到 秒时，点P 和点Q 的距离是 ， 根据题意可得： ， ， 根据勾股定理得： ， 整理得： ， 解得： 或 ， 答： 两点从出发开始到 秒或 秒时，点P 和点Q 的距离是 ； （3）解：过点 作 于点 ， 于点 ， 设运动时间为， 则 ， 分三种情况： 当 时， ， ∵ ， ∴ ； 当 时，在直角 中， 由勾股定理得： ， 解得： ； 当 时，在直角 中， 由勾股定理可得 ， 解得： （舍去）； 综上所述：经过 秒或 秒或 秒或 秒时，点 组成的三角形是等腰三 角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理，一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的 关键是作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程． 类型三、工程问题 例．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000 米的公路进行路面“白改黑”工程． 该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30 米，大型 设备每小时铺设路面60 米． (1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多 ，当这个工 程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？ (2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000 米多了 9000 米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m 小时， 同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m 米，使用时间增加了 小时，求m 的值． 【答】(1)300；(2)5 【分析】（1）设小型设备的使用时间为x 小时，则大型设备的使用时间为 小时，根据题意列 出方程，即可求解； （2）由（1）得：大型设备的原来使用时间为 小时，根据题意可得小型设备的使用时间为 小时，大型设备铺设公路每小时为 米，大型设备的使用时间为 小时，根据 题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设小型设备的使用时间为x 小时，则大型设备的使用时间为 小时，根据题 意得： ， 解得： ， 答：小型设备的使用时间为300 小时； （2）解：由（1）得：大型设备的原来使用时间为 小时， 根据题意得：小型设备的使用时间为 小时，大型设备铺设公路每小时为 米，大型设备 的使用时间为 小时， ∴ ， 整理得： ， 解得： （舍去）． 即m 的值为5． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解 题的关键． 【变式训练1】“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一红门店接到一批3200 袋粽子的订单，决定 由甲、乙两组共同完成．已知甲组3 天加工的粽子数比乙组2 天加工的粽子数多300 袋．两组同时开工， 甲组原计划加工10 天、乙组原计划加工8 天就能完成订单． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； (2)两组人员同时开工2 天后，临时又增加了500 袋的任务，甲组人员从第3 天起提高了工作效率，乙组的 工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100 袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1 天完成 任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 【答】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200 袋、150 袋粽子 (2)400 【分析】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工 袋、 袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一 次方程组，从而解决问题． （2）根据“甲组平均每天每多加工100 袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1 天完成任务”，考虑设 “甲组平均每天比原计划平均每天多加工 袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量之 和，列出方程． 【详解】（1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工 袋、 袋粽子 由题意得： 解得： 答：甲、乙两组平均每天各能加工200 袋、150 袋粽子． （2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工 袋粽子 由题意得： 整理得： 解得： ， ， 又∵甲、乙两组加工的天数均为整数 ∴ 200+100×2=400 ∴ （袋） 答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400 袋粽子． 【点睛】本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计算是解题的关 键． 【变式训练2】2020 年新冠疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以 应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500 万个，第三天生产720 万个， 若每天增长的百分率相同，试回答下列问题： （1）求每天增长的百分率； （2）经调查发现，1 条生产线最大产能是1500 万个/天，若每增加1 条生产线，每条生产线的最大产能将 减小50 万个/天． ①现该厂要保证每天生产口罩6500 万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越 大），应该增加几条生产线？ ②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000 万件，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理 由． 【答】（1）20%；（2）①4 条；②不能，理由见解析． 【分析】（1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天