专题11 一元一次方程特殊解的三种考法（解析版）

专题11 一元一次方程特殊解的三种考法 类型一、整数解问题 例1．已知k 为非负整数，且关于x 的方程 的解为正整数，则k 的所有可能 取值的和为（ ） ．12 B．13 ．14 D． 【答】 【分析】方程整理后，根据方程的解为正整数确定出k 的值即可． 【详解】解： ， 方程去分母得： 方程去括号得： ， 移项合并得： ， 解得： ， 由x 为正整数，k 为非负整数， 得到 ，4，3，2，0， ∴ ，故正确． 故选：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，关键是掌握解方程的基本步骤． 例2．关于x 的方程 的解为整数，则符合条件的正整数m 的值之和为（ ） ．19 B．18 ．8 D．4 【答】 【分析】先将方程化简为 ，根据方程的解为整数，得到关于m 的方程，进而 得出答． 【详解】去分母得： ， 去括号、移项、合并同类项得： ， 方程的解为整数， 或 ， 解得， 或3 或 或15， 符合条件的正整数m 的值之和为： ， 故选：． 【点睛】本题考查含参数的一元一次方程，解题的关键是得到关于参数的方程． 【变式训练1】已知关于x 的方程 有非负整数解，则整数的所有可能的取 值的和为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将 的值算出，最后相加 即可得出答． 【详解】解： 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 将系数化为1，得 ， 是非负整数解， ∴ 取 ， 或 ， 时， 的解都是非负整数， 则 ， 故选D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键． 【变式训练2】已知关于 的方程 有整数解，则正整数 的值为（ ） ． B． 或 ． 或 或 D． 或或 或 【答】 【分析】先解关于x 的方程得到 ，然后根据整数的整除性求解． 【详解】解：整理得 ， ∴ ， ∵x 为整数，m 为正整数， ∴ ， 故选：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解及解法，掌握解一元一次方程的解法是解题的关键． 【变式训练3】若关于x 的方程 的解是整数，且k 是正整数，则k 的值是 （ ） ．1 或3 B．3 或5 ．2 或3 D．1 或6 【答】 【分析】先解方程，再依据解是整数求解即可． 【详解】去分母得 ， 去括号得： 移项合并同类项得： ， 系数化1 得： ， ∵关于x 的方程 的解是整数， ∴ 或 ， ∴ 或 或 或 ∵k 是正整数， ∴ 或 ， 故选：． 【点睛】本题考查一元一次方程的解法，先解方程再利用整数解求值是解题的关键． 类型二、含绝对值的方程 例1．如果|x|＝4，那么x＝ ，如果|x－2|＝8，那么x＝ 【答】 ±4 －6 或10 【详解】如果|x|＝4，那么x＝±4； 如果|x－2|＝8，那么x-2=±8，所以x=10 或x=-6， 故答为±4，－6 或10 例2．若 ， ，则 ． 【答】3 【分析】分两种情况： ； ．依次解出 即可解答． 【详解】当 时， ， ，解得： ， 当 是时， ， ， 此时方程无解，综上， ．故答为：3 【点睛】本题考查解绝对值方程，注意：要分类讨论． 【变式训练1】方程 的解为 ． 【答】 或 【分析】由绝对值的性质可得出 ，从而可分类讨论：①当 时和② 当 时，再根据方程有意义可得出x 的取值范围，最后再次根据绝对值的性质解 方程即可． 【详解】解：∵ ∴ ， ∴ ； 分类讨论：①当 时， ∵方程有意义， ∴ ， 解得： ， ∴ ， ∴ 解得， ，舍去； ②当 时， ∵方程有意义， ∴ ， 解得： ， ∴ ，即 或 ， 解得： 或 ． 故答为： 或 ． 【点睛】本题考查绝对值的性质，解一元一次方程．根据绝对值的性质去绝对值是解题关 键． 【变式训练2】若｜x2｜2x6，则x= ； 【答】4 【分析】分x≤2 和x>2 两种情况求解方程即可． 【详解】解：当x≤2，即x-2≤0 时，方程｜x2｜2x6 变形为： -(x-2)=2x-6 去括号整理得，-3x=-8 解得， （不符合题意，舍去） 当x>2，即x-2>0 时，方程｜x2｜2x6 变形为： x-2=2x-6 移项合并得，x=4． 故答为：4． 【点睛】此题主要考查了绝对值方程的解法，正确去绝对值符号是解答此题的关键． 【变式训练3】解方程： ． 【答】 时， ； 时 【分析】令 ， ，得 ， ，根据这两个数进行分段，去绝对值符 号求 值 【详解】解：①当 时， ， ，不存在； ②当 时， ， ； ③当 时， ， ， 的解是 时， ； 时 ． 【点睛】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程的解法，解题的方法是令每个绝对 值部分为0，将 的值分段去绝对值解方程． 类型三、整体思想求方程的解 例．已知关于x 的一元一次方程 的解为 ，那么关于x 的一元一 次方程 的解为 （ ） ．2013 B．－2013 ．2023 D．－2023 【答】B 【分析】观察两个一元一次方程可得 即可求解． 【详解】解：由题意得： ∴ ， ∵ 的解为 ， ∴ ，解得： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确找出两个式子之间的关系是解题关键． 【变式训练1】已知关于 的一元一次方程 的解是 ，则关 于 的一元一次方程 的解为 （ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据一元一次方程的解的定义，可得 ，关于 的方程化简为 ，解方程即可． 【详解】解：∵关于 的一元一次方程 的解是 ， 即 的解是 ， ∴ ∴ ， ∴ ， 即 解得： ， 故选：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的定义 是解题的关键． 【变式训练2】定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团 方程”，例如：方程 和 为“集团方程”． (1)若关于x 的方程 与方程 是“集团方程”，求m 的值； (2)若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个较大的解为，求的值； (3)若关于x 的一元一次方程 和 是“集团方程”，求关于y 的一元一次方程 的解． 【答】(1) (2) (3) 【分析】（1）先表示两个方程的解，再求值． （2）根据条件建立关于的方程，再求值． （3）先求k，再解方程． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵关于x 的方程 与方程 是“集团方程”， ∴ ， ∴ ； （2）∵“集团方程”的两个解和为1， ∴另一个方程的解是 ， ∵两个解的差是6，且为较大的解， ∴ ， ∴ ． （3）∵ ， ∴ ． ∵关于x 的一元一次方程 和 是“集团方程”， ∴关于x 的一元一次方程 的解为： ． ∵关于y 的一元一次方程 可化为： ， 令 ， ∴ ． 【点睛】本题考查一元一次方程的解，利用“集团方程”的定义找到方程解的关系是求解 本题的关键． 课后训练 1．若关于 的方程 有正整数解，则整数 的值为（ ） ．或 或或 B．或 ． D． 【答】B 【分析】解一元一次方程，可得出原方程的解为 ，结合原方程有正整数解且 为整数， 即可得出 的值． 【详解】解：∵方程 有解， ∴ ， ， ， ． 又 原方程有正整数解，且 为整数， 或． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 2．如果关于x 的方程 无解，那么m 的取值范围是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】只有当 的系数为0 时关于x 的方程 无解，据此求解即可． 【详解】∵关于x 的方程 无解， ∴ ，解得 ， 故选：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，理解一元一次方程无解的定义是解题关键． 3．已知 为常数，且关于 的方程 ，无论 为何值，方程的根总为， 则 的值分别为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】先根据原方程推出 ，再由无论 为何值，方程的根总为 进行求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵无论 为何值，方程的根总为， ∴ ， ∴ ， 故选D． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，正确推出 是解题的关 键． 4．已知关于x 的方程 有非负整数解，则负整数的所有可能的取值的和为 （ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将 的值算出，最后相加 即可得出答． 【详解】解： ， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 将系数化为1，得 ， ∵ 是非负整数解， ∴ 取 ， ∴ 或 ， 时， 的解都是非负整数， 则 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键． 5．若 与 的解相同，则 的值为 ． 【答】 【分析】求出第一个方程的解，再代入第二个方程并求解即可得出 的值． 【详解】解：方程 ， 解得： ， ∵ 与 的解相同， ∴ ， 解得： ． 故答为： ． 【点睛】本题考查同解方程，同解方程即为方程的解相同的方程．掌握同解方程的定义是 解题的关键． 6．已知关于x 的方程 有整数解，则整数k 的值为 【答】3 或 【分析】把k 当做已知量表示出方程的解，再根据方程的解为整数的条件即可得出k 值． 【详解】解：解关于x 的方程 可得 ， 又∵方程的解为正整数，且k 为整数， ∴ 为 或 即可，即k 的值为3， ， 或 ． 所以符合整数k 的值为：3 或 ． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，根据解得的条件确定k 的可能取值解答本题的 关键． 7．关于x 的一元一次方程 的解为 ，那么关于 的一元一次方程 的解为 ． 【答】2023 【分析】将关于 的一元一次方程变形，然后根据一元一次方程解的定义得到 ， 进而可得 的值． 【详解】解：将关于 的一元一次方程 变形为 ， ∵关于x 的一元一次方程 的解为 ， ∴ ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，熟练掌握整体思想的应用是解 题的关键． 8．已知关于 的方程 有解，那么 的取值范围是 ． 【答】 / 【分析】分别讨论当 时，当 时，当 时，方程的解的情况，然后找到符 合题意的的情况进行求解即可． 【详解】解：①当 时，原方程化为 ， ， ； ②当 时，原方程化为 ， 即 ，此时方程的解为 范围内的全体实数， ； ③当 时，原方程化为 ， 综上， 方程有解． 故答为： ． 【点睛】本题主要考查了绝对值方程，解题的关键在于能够根据题意讨论x 的取值范围进 行去绝对值进行求解． 9．关于x 的方程 无解，那么m、满足的条件是 ． 【答】 且 【分析】根据方程 无解的条件即可解答． 【详解】解：∵ ， 当 ， ∴ ， 当 ， 时，即 ； 此时方程有无数个解； 当 ， 即 时， 此时，方程无解； 综上：关于x 的方程 无解， 且 ． 故答为： 且 ． 【点睛】本题考查了一元整式方程的无解问题，根据方程无解得出关于m，的值是解题关 键． 10．已知关于x 的方程 是一元一次方程．求： (1)m 的值． (2)先化简，再求值： 【答】(1) (2) ， 【分析】（1）一元一次方程中，一次项指数为1，系数不为0，由此可解； （2）先去括号，合并同类项，再将m 的值代入求解． 【详解】（1）解： 关于x 的方程 是一元一次方程， ， ， ， ， ； （2）解： ， 当 时，原式 ． 【点睛】本题考查一元一次方程的定义，整式的化简求值，解题的关键是根据一元一次方 程中一次项指数为1 求出m 的值． 11．讨论方程 的解的情况． 【答】当 ，原方程无解；当 时， ，或 ；当 时， ， 或 ，或 ，或 ；当 时， ，或 ，或 ；当 时， ，或 【分析】分 ， ， ， 四种情况解析：当 时，原方程无解；当 时，原方程为 ，解为 ，或 ；当 时，原方程为 ，有四个解 ，或 ，或 ，或 ；当 时，原方 程为： ，有三个解 ，或 ，或 ；当 时，原方程为： ，有两个解 ，或 ． 【详解】当 ，原方程无解； 当 时，原方程可化为： ， 解得 ，或 ； 当 ，此时原方程可化为： ， 此时原方程有四解： ， 即： ，或 ，或 ，或 ； 当 时，原方程可化为： ， 此时原方程有三解： ，或 ，或 ； 当 时，原方程有可化为： ， 此时原方程有二解： ， 即 ，或 ． 【点睛】本题主要考查了解绝对值方程等，解决问题的关键是熟练掌握绝对值的定义，绝 对值的化简，分类讨论．