专题02 一元二次方程实际应用的四种考法（解析版）

专题02 一元二次方程实际应用的四种考法 【知识点精讲】 应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用 ①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝(1±x)，表示基数，x 表示平均增长率（降低率），表示变化的 次数，b 表示变化次后的量； ②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%； ③传播、比赛问题： ④面积问题：直接利用相应图形的面积公式列方程；b 将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用 面积之间的关系列方程 注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义 类型一、增长率问题 例．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人 民的追捧，第一天票房约3 亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10 亿元，若 把增长率记作x，则方程可以列为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】设平均每天票房的增长率为 ，根据三天后累计票房收入达10 亿元，即可得出关于 的一元二次 方程，此题得解． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为 ， 根据题意得： ． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关 键． 【变式训练1】在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周 作业时长为 分钟，经过去年下半年和今年上半年两次调整后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少 了 ，设每半年平均每周作业时长的下降率为 ，则可列方程为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】设每半年平均每周作业时长的下降率为x,根据现在平均每周作业时长比去年上半年减少了 ， 列方程即可得到结论． 【详解】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为x， 可列方程为 ， 即 故选：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关 键． 【变式训练2】某药店一月份销售口罩500 包，一至三月份共销售口罩1820 包，设该店二、三月份销售口 罩的月平均增长率为 ，则根据题意可列出方程为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据题意列出方程即可作答． 【详解】解：根据题意得： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关 键． 【变式训练3】某市政府决定改善城市面貌，绿化环境，计划经过两年时间绿化面积增加 ，这两年平 均每年绿化面积的增长率为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】本题可设这两年平均每年的增长率为x，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加 ，则有 ，解这个方程即可求出答． 【详解】解：设这两年平均每年的绿地增长率为x，根据题意得， ， 解得 （舍去）， ． 所以，这两年平均每年绿地面积的增长率为 ． 故选：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答此类题目中的关键是明确题意，列出相应的方程，注意增长 的百分率是正值． 类型二、利润问题 例1 某水果商场经销一种高档水果，原售价每千克50 元． (1)连续两次降价后每千克32 元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10 元，每天可售出500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取 适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8 元，若每千克涨价1 元，日销售量将减少20 千克，现 该商场要保证每天盈利6000 元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答】(1)每次下降的百分率为 ； (2)每千克水果应涨价5 元，盈利6000 元． 【分析】（1）设每次降价的百分率为 ，列出方程求解即可； （2）设每千克涨价 元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设每次下降百分率为 ， 根据题意，得 ， 解得： ， (不合题意，舍去)． 答：每次下降的百分率为 ； （2）设每千克涨价x 元， 由题意得： 解得： 或 ， ∵商场规定每千克涨价不能超过8 元，且要尽快减少库存， ∴ ， 答：每千克水果应涨价5 元，盈利6000 元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 例2 今年某村农产品喜获丰收，该村村委会在上直播销售、B 两种优质农产品礼包． (1)已知今年7 月份销售种农产品礼包256 包，8、9 月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基 础上，9 月份的销售量达到400 包．若设8、9 两个月销售量的月平均增长率为x，求x 的值； (2)若B 种农产品礼包每包成本价为16 元，当售价为每包30 元时，每月销量为200 包．为了尽快减少库存， 该村准备在10 月进行降价促销，经调查发现，若B 种农产品礼包每包每降价1 元，月销售量可增加20 包， 当B 种农产品礼包每包降价多少元时，该村销售B 种农产品礼包在10 月份可获利2860 元? 【答】(1) 的值为25% (2)当B 种农产品礼包每包降价3 元时，该村销售B 种农产品礼包在10 月份可获利2860 元 【分析】（1）利用9 月份的销售量=7 月份的销售量 月平均增长率 ，即可得出关于x 的一元二次方 程，解之取其正值即可得出x 的值； （2）设B 种农产品礼包每包降价m 元，则每包的销售利润为 元，月销售量为 包， 利用总利润=每包的销售利润×月销售量，即可得出关于m 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）依题意得： ， 解得： ， （不合题意，舍去）． 答： 的值为25%． （2）设B 种农产品礼包每包降价m 元，则每包的销售利润为 元，月销售量为 包， 依题意得： ， 整理得： ， 解得： ， ∵为了尽快减少库存， ∴ ． 答：当B 种农产品礼包每包降价3 元时，该村销售B 种农产品礼包在10 月份可获利2860 元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式训练1】第19 届亚运会即将在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品 的成本是30 元，如果销售单价定为每件40 元，那么日销售量将达到100 件．据市场调查，销售单价每提 高1 元，日销售量将减少2 件． (1)若销售单价定为每件45 元，求每天的销售利润； (2)要使每天销售这种纪念品盈利1600 元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多 少元？ 【答】(1)1350 元 (2)50 元 【分析】（1）根据 ，计算求解即可； （2）设该纪念品的售价单价应定为每件 元，则销售量为 件，由题意得， ，计算求解，然后判断即可． 【详解】（1）解：由题意知， （元）， ∴当销售单价定为每件45 元，每天的销售利润为1350 元； （2）解：设该纪念品的售价单价应定为每件 元，则销售量为 件， 由题意得， ，解得 ， ， ∵ ，∴该纪念品的售价单价应定为每件50 元． 【点睛】本题考查了实数运算的应用，一元二次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运 用． 【变式训练2】服装店购进一批甲、乙两种款型的时尚T 恤衫，甲种款型共用了10400 元，乙种款型共用 了6400 元，甲种款型的件数是乙种款型件数的2 倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30 元 (1)甲、乙两种款型的T 恤衫各购进多少件？ (2)该服装店第一个月甲种款型的T 恤衫以200 元/件的价格售出20 件、乙种款型的T 恤衫以250 元/件的价 格售出10 件；为了促销，第二个月决定对甲、乙两种款式的T 恤衫都进行降价元销售，其中甲种款型的T 恤衫的销售量增加4 件、乙种款型的T 恤衫的销售增加件，结果第二个月的销售总额比第一个月的销售总 额增加了1000 元，求第二个月的销售利润． 【答】(1)甲种款型的T 恤衫购进80 件，乙种款型的T 恤衫购进40 件；(2)3580 【分析】(1)设乙种款型的T 恤衫购进x 件，则甲种款型的T 恤衫购进 件，根据甲种款型每件的进价比乙 种款型每件的进价少30 元列出分式方程，解方程即可； (2)根据第二个月的销售总额比第一个月的销售总额增加了1000 元，列出一元二次方程，解方程，即可解 决问题． 【详解】（1）设乙种款型的T 恤衫购进x 件，则甲种款型的T 恤衫购进 件， 依题意得 解得 ， 经检验， 是原方程的解，且符合题意， ∴ ， 答：甲种款型的T 恤衫购进80 件，乙种款型的T 恤衫购进40 件； （2）乙种款型每件的进价为 (元) 则甲种款型每件的进价为 (元)， 由题意得： 整理得 ， 解得 (不符合题意，舍去)， ∴ 答：第二个月的销售利润为3580 元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列 出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程． 类型三、工程问题 例．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2020 年投入资金1000 万元，2022 年投入资金1440 万元，现假定 每年投入资金的增长率相同． (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率． (2)2022 年老旧小区改造的平均费用约为每个80 万元．2023 年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增 加10%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2023 年最多可以改造多少个老旧小区？ 【答】(1)该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%； (2)该市在2023 年最多可以改造19 个老旧小区 【分析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x,利用2022 年投入资金金额=2020 年投入 资金金额×（1+年平均增长率），即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该市在2023 年可以改造y 个老旧小区，根据2023 年改造老旧小区所需资金不多于2023 年投入资 金金额，即可得出关于y 的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论． 【详解】（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x, 依题意得： ， 解得： ， （不合题意，舍去）． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为 ． （2）解：设该市在2023 年可以改造y 个老旧小区， 依题意得： ， 解得： ， 又∵y 为整数， ∴y 的最大值为19． 答：该市在2023 年最多可以改造19 个老旧小区． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关 系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【变式训练1】公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5 至7 月份统计，某品牌头盔5 月份销售2250 个，7 月份销售3240 个，且从5 月份到7 月份销售量的月增长 率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能 是900 个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30 个/天，现该厂要保证每天生产 头盔3900 个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【答】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20% (2)在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4 条生产线 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x 条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得： ， 解得： ， （不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%． （2）解：设增加x 条生产线． ， 解得 ， （不符合题意，舍去）， 答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4 条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． 【变式训练2】“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一红门店接到一批3200 袋粽子的订单，决定 由甲、乙两组共同完成．已知甲组3 天加工的粽子数比乙组2 天加工的粽子数多300 袋．两组同时开工， 甲组原计划加工10 天、乙组原计划加工8 天就能完成订单． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； (2)两组人员同时开工2 天后，临时又增加了500 袋的任务，甲组人员从第3 天起提高了工作效率，乙组的 工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100 袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1 天完成 任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 【答】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200 袋、150 袋粽子 (2)400 【分析】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工 袋、 袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一 次方程组，从而解决问题． （2）根据“甲组平均每天每多加工100 袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1 天完成任务”，考虑设 “甲组平均每天比原计划平均每天多加工 袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量之 和，列出方程． 【详解】（1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工 袋、 袋粽子 由题意得： 解得： 答：甲、乙两组平均每天各能加工200 袋、150 袋粽子． （2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工 袋粽子 由题意得： 整理得： 解得： ， ， 又∵甲、乙两组加工的天数均为整数 ∴ ∴200+100×2=400（袋） 答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400 袋粽子． 【点睛】本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计算是解题的关 键． 【变式训练3】甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000 米．甲，乙分别从桥梁两端 向中间施工．计划每天各施工5 米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1 米桥梁施工所需成本不一样． 甲每合格完成1 米桥梁施工成本为10 万元，乙每合格完成1 米桥梁施工成本为12 万． (1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米． (2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每 合格完成1 米隧道施工成本增加万元时，则每天可多挖 米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天 少挖 米．若最终每天实际总成本在少于150 万的情况下比计划多 万元．求的值． 【答】(1)甲最多施工2500 米 (2)的值为6 【分析】（1）设甲工程队施工x 米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲 总施工成本的 ，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1 米隧道施工成本增加万元时，则每 天可多挖 米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖 米，即可得出关于的一元二次方程，解 之即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲工程队施工x 米，则乙工程队施工（5000-x）米， 依题意，得：12（5000-x）≥ ×10x， 解得：x≤2500， 答：甲最多施工2500 米． （2）依题意，得： ， 整理，得： ， 解得： ， ， 当 时，总成本为： （万元）， ∵ ， ∴ 不符合题意舍去； 当 时，总成本为： （万元）， ∵ ， ∴ 符合题意； 答：的值为6． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各 数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 类型四、几何图形问题 例．在平面直角坐标系 中，过原点 及点 、 作矩形 ， 的平分线交 于点 ．点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿射线 方向移动；同时点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿 轴正方向移动．设移动时间为秒． (1)填空： _______， _______（用含的代数式表示） (2)设 的面积为 ， 的面积为 ，当为何值时， 的值为 ． (3)求当为何值时， 为直角三角形． 【答】(1) ； (2) (3) 或 或 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间，即可表达 ， ； （2）连接 ，过点 作 于点 ，根据 ，得 ，又根据 ，则 ，根据勾股定理得 ，推出 是等腰直角三角形，得 ； 是直角三角形， 当 在 左侧时 ，根据三角形面积公式得： ；当 在 右侧时 ，面积为： ，分类讨论 ，即可求出 时的值； （3）当 为直角三角形时， 或 或 ，根据 是等腰直角三角形， 则 ；根据勾股定理，即可求出的值． 【详解】（1）∵点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿射线 方向移动；同时点 从点 出 发，以每秒 个单位长度的速度沿 轴正方向移动 ∴ ； ． （2）连接 ，过点 作 于点 ∵四边形 是矩形，点 ，点 ∴ ， ∵ ∴ ∴在直角三角形 中， ∴ ∵ ∴ ∴在直角三角形 中， ∴ ∴ 是等腰直角三角形 ∴ ∵ 当 在 左侧时，即 时， ∴ ∴ ∴当 时 ∴解得 ， （舍） 不满足 ； 在 右侧时， 时， ∴ ∴ ∴当 时，解得 ， （舍） ∴当 ， ． （3）连接 ， ， 由（2）得 ， ∵ 是直角三角形， ∴ ∵ ∴ ， ∴在 ， ∴ ∵ 为直角三角形时 ∴ 或 或 ∵ 是等腰直角三角形，则 ∴ 或 时， ∴ 整理得： 解得： （舍）， ∴ 时， ∴ 解得： ， ∴ 或 ∴综上所述，当 或 或 时， 为直角三角形时． 【点睛】本题考查动点问题，直角三角形和一元二次方程的知识，解题的关键是掌握动点的运动轨迹，勾 股定理和解一元二次方程的解法． 【变式训练1】等边 ，边长为 ，点P 从点出发以 向点B 运动，同时点Q 以 向点运动， 当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为， (1)求当 为直角三角形时的时间； (2) 的面积能否为 ，若存在求时间，若不存在请说明理由． 【答】(1) 或者 (2)存在，2 【分析】（1）根据题意有 ， ，即 ，即可得 ，分当 为直角 三角形,且 时和当 为直角三角形,且 时，两种情况讨论，根据含 角的直角 三角形的性质列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）过Q 点作 于点M，先求出 ，即有 ，进而有 ，即 ，令 ，可得 ，解方程即可求解． 【详解】（1）根据题意有 ， ，即 ， ∵ ， ∴ ， 当 为直角三角形,且 时，如图， ∵等边 中， ， ∴ ， ∴