专题06 一元一次方程特殊解的四种考法（教师版）

专题06 一元一次方程特殊解的四种考法 类型一、整数解问题 例已知关于x 的方程 有负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为 ( ) ． B． ． D． 【答】D 【详解】 解：解关于x 的方程 得x ( )， ∵关于x 的方程 的解是负整数， ∴ 是负整数， ∴ 或 或 或 即满足条件的所有整数为-2、-4、-5、-19， ∴满足条件的所有整数的值的和为-2+(-4)+(-5)+(-19)＝-30， 故答为：D． 【变式训练1】关于x 的一元一次方程(k 1) ﹣ x＝4 的解是整数，则符合条件的所有整数k 的 值的和是( ) ．0 B．4 ．6 D．10 【答】 【详解】解：解方程得，x＝ ， ∵关于x 的一元一次方程(k 1) ﹣ x＝4 的解是整数， ∴k 1 ﹣的值为：﹣4，﹣2，﹣1，1，2，4， ∴k 的值为：﹣3，﹣1，0，2，3，5， ∴符合条件的所有整数k 的值的和是：( 3)+( 1)+0+2+3+5 ﹣ ﹣ ＝6， 故选：． 【变式训练2】从 ， ， ，1，2，4 中选一个数作为 的值，使得关于 的方程 的解为整数，则所有满足条件的 的值的积为( ) ． B． ．32 D．64 【答】D 【解析】由 ，解得： ， ∵关于 的方程 的解为整数， ∴满足条件的 的值可以为： ， ，2，4，∴( )×( )×2×4=64， 故选D． 【变式训练3】若整数 使关于 的一元一次方程 有非正整数解，则符合条件 的所有整数 之和为( ) ． B． ．0 D．3 【答】B 【详解】∵ ， ∴x= ， ∵一元一次方程 有非正整数解， =6 ∴ ，=3，=-1，=-2，=-3，=-6， ∴符合条件的所有整数 之和为6+3-1-2-3-6= ，故选B． 【变式训练4】已知关于x 的方程 的解是非正整数，则符合条件的所有 整数m 的和是( ) ． B． ．2 D．4 【答】 【详解】解： ，两边同乘以3，得 去括号，得 ，移项合并同类项，得 因为方程有解，所以 ，所以 要使方程的解是非正整数，则整数 满足： 且 为整数 所以 的值为：-1 或-5，解得：m=-6 或-2 则符合条件的所有整数m 的和是：-6+(-2)=-8，故选： 类型二、含绝对值型 例有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解 方程 ， 解：当 时，方程可化为： ，解得 ，符合题意； 当 时，方程可化为： ，解得 ，符合题意． 所以，原方程的解为 或 ． 请根据上述解法，完成以下两个问题： (1)解方程： ； (2)试说明关于 的方程 解的情况． 【答】(1)x=-1 或x= ；(2)当＞4 时，方程有两个解；当=4 时，方程有无数个解；当＜4 时， 方程无解 【解析】(1)当x＜1 时，方程可化为： ，解得x=-1，符合题意． 当x≥1 时，方程可化为： ，解得x= ，符合题意． 所以，原方程的解为：x=-1 或x= ； (2)当x＜-3 时，方程可化为： ， ， 解得： ， 则 ，解得： ， 当-3≤x≤1 时， 方程可化为： ， 当x＞1 时， 方程可化为： ，解得： ， 则 ，解得： ， 综上：当＞4 时，方程有两个解；当=4 时，方程有无数个解；当＜4 时，方程无解． 【变式训练1】若 ，则 ____． 【答】 或 【解析】 ①当 时， ∵ ，∴ ，解得： ； ②当 时，∵ ，∴ ， 解得： (舍去)； ③当 时，∵ ，∴ ，解得： ． 故答为： 或 ． 【变式训练2】已知关于 的方程 的解满足 ，则符合条件的所有 的值的 和为______． 【答】 【详解】解： ， 解得 ， ， ，即 或 ， 解得 或 ， 则符合条件的所有 的值的和为 ， 故答为： ． 【变式训练3】已知方程 的解是负数，则 值是( ) ． B． ． D． 【答】B 【解析】当x-3≥0 时，即x≥3， ，解得：x=-12，不符合； 当x-3≤0 时，即x≤3， ，解得：x=-2，符合； 将x=-2 代入 ， = ， 故选B． 【变式训练4】有些含绝对值的方程，可以通过分类讨论去掉绝对值，转化成一元一次方 程求解． 例如：解方程 解：当 时，方程可化为： ，符合题意 当 <0 时，方程可化为： =-3，符合题意 所以原方程的解为： 或 =-3 仿照上面解法，解方程： 【答】 或 =-2 【详解】解：当 时，方程可化为： ， ， 符合题意 当 <1 时，方程可化为： ，-2 =4， =-2 符合题意 所以原方程的解为： 或 =-2． 类型三、相同解的问题 例若关于 的方程 的解与方程 的解相同，求 的值． 【答】 【详解】解： ， 去分母可得： 即 关于 的方程 的解与方程 的解相同， 解得： 【变式训练1】若关于x 的方程 的解与方程 的解相同，则的值为___ ___． 【答】 【详解】解：∵ ，∴ ， ∵关于x 的方程 的解与方程 的解相同， ∴方程 的解为 ， ∴ ， 解得： ， 故答为： 【变式训练2】若关于 的方程 的解与方程 的解相同，则 的值 为______． 【答】 【解析】∵ ，∴x=m-1； ∵ ，∴x=4-m， ∵关于 的方程 的解与方程 的解相同， 4-m=m-1, ∴ 解得m= 故填 【变式训练3】如果关于x 的方程 与 的解相同，那么m 的值是( ) ．1 B．±1 ．2 D．±2 【答】D 【详解】解： ， 去分母得5x-1=14，移项、合并同类项得5x=15，系数化为1 得x=3， 把x=3 代入 得1=2|m|-3，∴2|m|=4， | ∴m|=2，∴m=±2， 故选：D． 类型四、解的情况 例已知关于x 的方程 为一元一次方程，且该方程的解与关于x 的方程 的解相同． (1)求m，的值； (2)在(1)的条件下，若关于y 的方程||y+＝m+1 2 ﹣y 无解，求的值． 【答】(1) ；(2) ． 【解析】(1)∵关于x 的方程(m+3)x|m| 2 ﹣+6＝0 是一元一次方程， | ∴m| 2 ﹣＝1，m+3≠0，解得：m＝3， 当m＝3 时，方程为：6x+6＝0，解得：x＝﹣， ，2(2x+1) 10 ﹣ ＝5(x+)，解得：x＝﹣5 8 ﹣， 5 8 ∴﹣﹣＝﹣，∴＝﹣2； (2)把m＝3，＝﹣2 代入||y+＝m+1 2 ﹣y，得：||y+＝4+4y，∴y＝ ， ∵y 的方程||y+＝4+4y 无解，∴ ，∴＝﹣4． 故答为：(1) ；(2) 【变式训练1】若关于x 的方程 无解，则=______． 【答】-2 【详解】解：-2(x-)=x+3， 去括号得：-2x+2-x=3， 移项合并得：-(2+)x=3-2， 因为方程无解， 所以2+=0 且3-2≠0， 解得=-2， 故答为：-2． 【变式训练2】解关于x 的方程： 【答】当 时，方程有唯一解为 ；当 时，方程无解． 【解析】 ，移项、整理得： ， 当 ，即 时，方程有唯一解为： ； 当 ，即 时，方程无解． 故答为：当 时，方程有唯一解为 ；当 时，方程无解． 【变式训练3】如果关于x 的方程 无解，那么m 的取值范围( ) ．任意实数 B． ． D． 【答】D 【详解】解：由题意得：当m-2=0 时关于 的方程 无解， 解得m=2， 故选D． 课后作业 1．若 是关于x，y 的二元一次方程，则的值( ) ．－2 B．3 ．3 或－3 D．2 或－2 【答】 【详解】解：由题意得：||-1=1，且-2≠0，解得：=-2， 故选：． 2．关于x 的方程 的解为负数，则k 的取值范围是( ) ． B． ． D． 【答】B 【详解】解： ，整理得： ， ∵关于x 的方程 的解为负数，∴ ，解得： ． 故选：B． 3．若关于 的方程 无解，则 ， 的值分别为( ) ． ， B． ， ． ， D． ， 【答】D 【详解】解：∵ ， ∴ ，∴ ， ∵关于 的方程 无解， ∴ ，∴ ， 故选D． 4．已知 为非负整数，且关于 的方程 的解为正整数，则 的所有可能取值为 ( ) ．2，0 B．4，6 ．4，6，12 D．2，0，6 【答】 【详解】解：方程去括号得：3x−9＝kx，移项合并得：(3−k)x＝9，解得：x＝ ， 由x 为正整数，k 为非负整数，得到k＝2，0， 故选：． 5．已知关于 的一元一次方程的 解是偶数，则符合条件的所有整 数 的和为( ) ． B． ． D． 【答】 【详解】解：去分母： ， 去括号： ， 移项合并同类项： ， 系数化为1： ， ∵方程解是偶数，令 ，(k 为整数)， ∴ ， ∵取整数， ∴ 或 ， 当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ， ∴符合条件的所有整数的和为 ， 故选：． 6．已知关于 的一元一次方程 的解为 ，则关于 的一元一次 方程 的解为_____________． 【答】 【详解】∵ 的解为 ， ∴ ，解得： ， ∴方程 可化为 ， ∴ ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答为： ． 7．为非负整数，当＝______时，方程 的解为整数． 【答】或 【详解】∵x−5=0，∴ ， ∵为非负整数， ∴当方程的解为整数时， 或 ． 故答为：1 或5． 8．已知 为有理数，定义一种新的运算△： △ = ，若关于 的方程 △ = 有正整数解，且 为正整数．则符合条件的所有的 的值的积为______． 【答】10 【详解】解：∵ x△=19， 2 ∴x-x+1=19，∴x= , ∵x 为正整数，∴2-1=1，2，3，6，9，18， ∵为正整数，∴=1，2，5， 1×2×5=10 ∴ ， 故答为；10． 9．嘉淇在解关于x 的一元一次方程 ＝3 时，发现正整数 被污染了； (1)嘉淇猜 是2，请解一元一次方程 ； (2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？ 【答】(1) ；(2)2 【解析】(1)解： ， 去分母，得 ； 移项，合并同类项，得 ； 系数化为1，得 ． (2)解：设被污染的正整数为m，则有 ， 解之得， ， ∵ 是正整数，且m 为正整数，∴ ． 10．(1)已知关于x 的方程 是关于x 的一元一次方程，求 的值； (2)已知：方程2-3(x+1)＝8 的解与关于x 的方程 -k+5＝-2x 的解互为倒数，求k 的值． 【答】(1)k-x= ；(2) 【解析】(1)解：由题意得 ， ∴ ，∴k=2，或k=0， 当k=2 时，k-2=0，(不符合题意，舍去)，∴k=0， 把k=0 代入方程得：-2x+1=0，解得x= ， ∴ =0- =- ． (2)2-3(x+1)＝8， 2-3x-3=8，x=-3， 由题意将x= 代入方程 -k+5＝-2x 得： 解得： ， ∴k 的值为 ．