47 二次函数在实际应用中的最值问题

二次函数在实际应用中的最值问题 1、某水果店在两周内，将标价为10 元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为81 元/斤，并且两次降价 的百分率相同． （1）求该种水果每次降价的百分率； （2）从第一次降价的第1 天算起，第x 天（x 为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所 示．已知该种水果的进价为41 元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y 与x（1≤x＜15）之 间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？ （3）在（2）的条件下，若要使第15 天的利润比（2）中最大利润最多少1275 元，则第15 天在第14 天的 价格基础上最多可降多少元？ 【答】（1）10%；（2） ，第10 天时销售利润最大；（3）05． 【详解】 解：（1）设该种水果每次降价的百分率是x，10（1﹣x）2=81，x=10%或x=190%（舍去）． 答：该种水果每次降价的百分率是10%； （2）当1≤x＜9 时，第1 次降价后的价格：10×（1 10% ﹣ ）=9，∴y=（9 41 ﹣ ）（80 3 ﹣x）﹣（40+3x）=﹣ 177x+352，∵﹣177＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x=1 时，y 有最大值，y 大= 177×1+352=3343 ﹣ （元）； 当9≤x＜15 时，第2 次降价后的价格：81 元，∴y=（81 41 ﹣ ）（120﹣x）﹣（3x2 64 ﹣ x+400）=﹣ 3x2+60x+80= 3 ﹣（x 10 ﹣ ）2+380，∵﹣3＜0，∴当9≤x≤10 时，y 随x 的增大而增大，当10＜x＜15 时，y 随x 的增大而减小，∴当x=10 时，y 有最大值，y 大=380（元）． 综上所述，y 与x（1≤x＜15）之间的函数关系式为： ，第10 天时销售 利润最大； （3）设第15 天在第14 天的价格基础上最多可降元，由题意得：380 1275≤ ﹣ （4﹣）（120 15 ﹣ ）﹣ （3×152 64×15+400 ﹣ ），252．5≤105（4﹣）﹣115，≤05． 答：第15 天在第14 天的价格基础上最多可降05 元． 2、农经公司以30 元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x （元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表： （1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p 与x 之间的函数表 达式； （2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ （3）若农经公司每销售1 千克这种农产品需支出元（＞0）的相关费用，当40≤x≤45 时，农经公司的日获 利的最大值为2430 元，求的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用） 【答】（1）p= 30 ﹣ x+1500；（2）这批农产品的销售价格定为40 元，才能使日销售利润最大；（3）=2． 【详解】 （1）假设P 与 的一次函数关系,设函数关系式 , 则 ,解得 , ∴ , 检验:当 ,当 当 ,均符合一次函数解析式 ∴所求的函数关系式 , （2）设日销售利润 , 即 , 当 时, 有最大值为3000 元, 故这批农产口的销售价格定为40 元,才能使日销售利润最大, （3）日获利 , 即 , 对称轴这 , 若 ,则当 时, 有最大值,即 （不合题意）, 若 ,则当 时, 有最大值, 把 代入,可得 , 当 时, , 解得 , （舍去）, 综上所述, 的值为2 3、怡然美食店的、B 两种菜品，每份成本均为14 元，售价分别为20 元、18 元，这两种菜品每天的营业额 共为1120 元，总利润为280 元． （1）该店每天卖出这两种菜品共多少份； （2）该店为了增加利润，准备降低种菜品的售价，同时提高B 种菜品的售价，售卖时发现，种菜品售价 每降05 元可多卖1 份；B 种菜品售价每提高05 元就少卖1 份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那 么这两种菜品一天的总利润最多是多少． 【答】（1）60；（2）316． 【详解】 解：(1)、设该店每天卖出、B 两种菜品分别为x、y 份， 根据题意得： ， 解得： ， 答：该店每天卖出这两种菜品共60 份； (2)、设种菜品售价降05 元，即每天卖（20+）份，总利润为元， 因为两种菜品每天销售总份数不变，所以B 种菜品卖（40﹣）份，每份售价提高05 元． 则=（20 14 05 ﹣ ﹣ ）（20+）+（18 14+05 ﹣ ）（40﹣） =（6 05 ﹣ ）（20+）+（4+05）（40﹣）=（﹣052 4+120 ﹣ ）+（﹣052+16+160） =﹣2+12+280=﹣（﹣6）2+316， 当=6，最大，=316 答：这两种菜品每天的总利润最多是316 元． 4、“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为1000 元，试营业期间统计发现，影城每天售 出的电影票张数y（张）与电影票售价x（元/张）之间满足一次函数：y= 4x+220 ﹣ （10≤x≤50，且x 是整 数），设影城每天的利润为（元）（利润=票房收入﹣运营成本）． （1）试求与x 之间的函数关系式； （2）影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答】（1）= 4x ﹣ 2+220x 1000 ﹣ ；（2）影城将电影票售价定为27 或28 元/张时，每天获利最大，最大利 润是2024 元． 【详解】 （1）根据题意，得：=（﹣4x+220）x 1000= 4 ﹣ ﹣x2+220x 1000 ﹣ ； （2）∵= 4 ﹣x2+220x 1000= 4 ﹣ ﹣（x 275 ﹣ ）2+2025，∴当x=27 或28 时，取得最大值，最大值为2024，答： 影城将电影票售价定为27 或28 元/张时，每天获利最大，最大利润是2024 元． 5、把函数 的图象绕点 旋转 ，得到新函数 的图象，我们称 是 关于点 的相关函数． 的图象的对称轴与 轴交点坐标为 ． （1）填空：的值为 （用含 的代数式表示） （2）若 ，当 时，函数 的最大值为 ，最小值为 ，且 ，求 的解析式； （3）当 时， 的图象与 轴相交于 两点（点 在点 的右侧）．与 轴相交于点 ．把线段 原点 逆时针旋转 ，得到它的对应线段 ，若线 与 的图象有公共点，结合函数图象， 求 的取值范围． 【答】（1） ；（2） ；（3） 或 或 【详解】 解：（1） 顶点 围绕点 旋转 180°的对称点为 ， ，函数的对称轴为： ， ， 故答为： ； （2） 时， ， ①当 时， 时，有最小值 ， 时，有最大值 ， 则 ，无解； ② 时， 时，有最大值 ， 时，有最小值 ， （舍去）； ③当 时， 时，有最大值 ， 时，有最小值 ， ， 解得： 或2（舍去0）， 故 ； （3） ， ， 点 的坐标分别为 ， 当 时， 越大，则 越大，则点 越靠左， 当 过点 时， ，解得： ， 当 过点 时，同理可得： ， 故： 或 ； 当 时， 当 过点 时， ，解得： ， 故： ； 综上，故： 或 或 ． 6、湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了 淡水鱼， 计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养 天的总成本为 万元；放养 天的总 成本为 万元（总成本=放养总费用+收购成本）． （1）设每天的放养费用是 万元，收购成本为 万元，求 和 的值； （2）设这批淡水鱼放养天后的质量为 （ ），销售单价为 元/ ．根据以往经验可知： 与的 函数关系为 ； 与的函数关系如图所示． ①分别求出当 和 时， 与的函数关系式； ②设将这批淡水鱼放养天后一次性出售所得利润为 元，求当为何值时， 最大？并求出最大值． （利润=销售总额-总成本） 【答】（1）的值为004，b 的值为30（2）①y= t+15，y= t+30②当t 为55 天时，最大，最大值为 180250 元 【详解】 （1）由题意得 解得 答：的值为004，b 的值为30 （2）①当0≤t≤50 时，设y 与t 的函数关系式为y=k1t+ 1 把点（0，15）和（50，25）的坐标分别代入y=k1t+1，得 解得 y ∴与t 的函数关系式为y= t+15 当50＜t≤100 时，设y 与t 的函数关系式为y=k2t+2 把点（50，25）和（100，20）的坐标分别代入y=k2t+2，得 解得 y ∴与t 的函数关系式为y= t+30 ②由题意得，当0≤t≤50 时， =20000×（ t+15）-（400t+300000）=3600t 3600 ∵ ＞0，∴当t=50 时，最大值=180000（元） 当50 ＜t≤100 时，= （100t+15000 ）（ t+30 ）- （400t+300000 ）=-10t2+1100t+150000=-10 （t-55 ） 2+180250 -10 ∵ ＜0，∴当t=55 时，最大值=180250 综上所述，当t 为55 天时，最大，最大值为180250 元 7、某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建 围墙的总长度为50m ．设饲养室为长为x（m），占地面积为 ． （1）如图，问饲养室为长x 为多少时，占地面积y 最大？ （2）如图 ，现要求在图中所示位置留2m 的门，且仍使饲养室占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长 比（1）中的长多2m 就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确． 【答】（1）x=25；（2）小敏的说法不正确． 【详解】 （1）∵ = ，∴当x=25 时，占地面积y 最大； （2） = ，∴当x=26 时，占地面积y 最大．即当饲养室长为26m 时， 占地面积最大．∵26-25=1≠2，∴小敏的说法不正确． 8、铁岭“荷花节”举办了为期15 天的“荷花美食”厨艺秀．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价 为50 元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x 天（1≤x≤15 且x 为整数）时每盒成本为p 元， 已知p 与x 之间满足一次函数关系；第3 天时，每盒成本为21 元；第7 天时，每盒成本为25 元，每天的销 售量为y 盒，y 与x 之间的关系如下表所示： 第x 天 1≤x≤6 6＜x≤15 每天的销售量y/盒 10 x+6 （1）求p 与x 的函数关系式； （2）若每天的销售利润为元，求与x 的函数关系式，并求出第几天时当天的销售利润最大，最大销售利润 是多少元？ （3）在“荷花美食”厨艺秀期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325 元？请直接写出结果． 【答】（1）p=x+18；（2）第13 天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361 元； （3）第7、8、9、 10、11、12、13 天共7 天销售利润不低于325 元． 【详解】 （1）设p=kx+b（k≠0），∵第3 天时，每盒成本为21 元；第7 天时，每盒成本为25 元，∴ ， 解得： ，所以p=x+18； （2）1≤x≤6 时，=10[50﹣（x+18）]= 10 ﹣ x+320，6＜x≤15 时，=[50﹣（x+18）]（x+6）=﹣x2+26x+192，所 以，与x 的函数关系式为 ， 当1≤x≤6 时，∵﹣10＜0，∴随x 的增大而减小，∴当x=1 时，最大为﹣10+320=310，6＜x≤15 时，=﹣ x2+26x+192=﹣（x 13 ﹣ ）2+361，∴当x=13 时，最大为361， 综上所述，第13 天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361 元； （3）=325 时，﹣x2+26x+192=325，x2 26 ﹣ x+133=0，解得x1=7，x2=19，所以，7≤x≤13 时，即第7、8、9、 10、11、12、13 天共7 天销售利润不低于325 元． 9、2016 年12 月29 日至31 日，黔南州第十届旅游产业发展大会在“中国长寿之乡”﹣﹣罗甸县举行，从 中寻找到商机的人不断涌现，促成了罗甸农民工返乡创业热潮，某“火龙果”经营户有、B 两种“火龙 果”促销，若买2 件种“火龙果”和1 件B 种“火龙果”，共需120 元；若买3 件种“火龙果”和2 件B 种“火龙果”，共需205 元． （1）设，B 两种“火龙果”每件售价分别为元、b 元，求、b 的值； （2）B 种“火龙果”每件的成本是40 元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该“火龙果”经 营户每天销售B 种“火龙果”100 件；若销售单价每上涨1 元，B 种“火龙果”每天的销售量就减少5 件． ①求每天B 种“火龙果”的销售利润y（元）与销售单价（x）元之间的函数关系？ ②求销售单价为多少元时，B 种“火龙果”每天的销售利润最大，最大利润是多少？ 【详解】 （1）根据题意得： ，解得：=35，b=50； （2）①由题意得：y=（x 40 ﹣ ）[100 5 ﹣（x 50 ﹣ ）] ∴y= 5 ﹣x2+550x 14000 ﹣ ； ②∵y= 5 ﹣x2+550x 14000= 5 ﹣ ﹣（x 55 ﹣ ）2+1125，∴当x=55 时，y 最大=1125，∴销售单价为55 元时，B 商品 每天的销售利润最大，最大利润是1125 元． 10、鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50 元/个，根据市场调研发现售价是80 元/个时，每周可卖 出160 个，若销售单价每个降低2 元，则每周可多卖出20 个．设销售价格每个降低x 元（x 为偶数），每 周销售为y 个． （1）直接写出销售量y 个与降价x 元之间的函数关系式； （2）设商户每周获得的利润为元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？ （3）若商户计划下周利润不低于5200 元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？ 【答】（1）y=10x+160；（2）5280 元；（3）10000 元 【详解】 （1）依题意有：y=10x+160； （2）依题意有：=（80 50 ﹣ ﹣x）（10x+160）= 10 ﹣ （x 7 ﹣）2+5290，∵-10＜0 且x 为偶数，故当x=6 或 x=8 时，即故当销售单价定为74 或72 元时，每周销售利润最大，最大利润是5280 元； （3）依题意有：﹣10（x 7 ﹣）2+5290≥5200，解得4≤x≤10，则200≤y≤260，200×50=10000（元）． 答：他至少要准备10000 元进货成本． 11、鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50 元/个，根据市场调研发现售价是80 元/个时，每周可卖 出160 个，若销售单价每个降低2 元，则每周可多卖出20 个．设销售价格每个降低x 元（x 为偶数），每 周销售为y 个． （1）直接写出销售量y 个与降价x 元之间的函数关系式； （2）设商户每周获得的利润为元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？ （3）若商户计划下周利润不低于5200 元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？ 【答】（1）y=10x+160；（2）5280 元；（3）10000 元 【详解】 （1）依题意有：y=10x+160； （2）依题意有：=（80 50 ﹣ ﹣x）（10x+160）= 10 ﹣ （x 7 ﹣）2+5290，∵-10＜0 且x 为偶数，故当x=6 或 x=8 时，即故当销售单价定为74 或72 元时，每周销售利润最大，最大利润是5280 元； （3）依题意有：﹣10（x 7 ﹣）2+5290≥5200，解得4≤x≤10，则200≤y≤260，200×50=10000（元）． 答：他至少要准备10000 元进货成本． 12、某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售已知西瓜的成本为6 元/千克，规定 销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元 /千克)的函数关系如下图所示： (1)求y 与x 的函数解析式(也称关系式)； (2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值 【答】(1)y 与x 的函数解析式为 ；(2)这一天销售西瓜获得利润的最大值为 1250 元 【详解】 (1)当6 x≤10 时，由题意设y＝kx＋b(k＝0)，它的图象经过点(6，1000)与点(10，200)， ∴ ， 解得 ， ∴当6 x≤10 时， y＝-200x+2200， 当10＜x≤12 时，y＝200， 综上，y 与x 的函数解析式为 ； (2)设利润为元， 当6 x≤10 时，y＝－200x＋2200， ＝(x－6)y＝(x－6)(－200x＋200)＝－200 ＋1250， ∵－200＜0，6 x≤10 ≦ ， 当x＝ 时，有最大值，此时=1250； 当10＜x≤12 时，y＝200，＝(x－6)y＝200(x－6)＝200x－1200， 200 ∴ ＞0， ∴＝200x－1200 随x 增大而增大， 又∵10＜x≤12， ∴当x＝12 时，最大，此时=1200， 1250＞1200， ∴的最大值为1250， 答：这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250 元 13、我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30 元，物价部门规定其销售单价不 低于成本价且不高于成本价的2 倍，经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关 系，如图所示． （1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450 元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利 是多少元？ 【答】（1） ；（2）每千克60 元，最大获利为1950 元 【详解】 解： （1）设一次函数关系式为 由图象可得，当 时， ； 时， ∴ ，解得 ∴ 与 之间的关系式为 ． （2）设该公司日获利为 元，由题意得 ∵ ； ∴抛物线开口向下； ∵对称轴 ； ∴当 时， 随着 的增大而增大； ∵ ， ∴ 时， 有最大值； ． 即，销售单价为每千克60 元时，日获利最大，最大获利为1950 元．