专题06 整式的加减专题复习——规律探究(原卷版)

专题06 整式的加减专题复习——规律探究（原卷版） 第一部分 典例剖析+针对训练 类型一 数式规律 典例1（2021 秋•南岗区校级期中）有一列数，按一定规律排列而成：﹣1，3，﹣9，27，﹣81，243，…， 其中某三个相邻数的和是1701，则这三个数中最小的数是 ． 典例2（2022 秋•涟水县校级月考）观察下面三行数，并按规律填空： ① 2 ﹣，4，﹣8，16，﹣32，64， ， ，…； ②0，6，﹣6，18，﹣30，66， ，…； ③ 3 ﹣，3，﹣9，15，﹣33，63， ，…． （1）按第①行数的规律，分别写出第7 和第8 个数； （2）请你分别写出第②③行的第7 个数； （3）取每行数的第9 个数，计算这三个数的和． 针对训练1 1．（2021•武汉）按照一定规律排列的个数：﹣2、4、﹣8、16、﹣32、64、…，若最后三个数的和为 768，则为（ ） ．9 B．10 ．11 D．12 2．（2021 秋•新洲区期中）有一串数：﹣2018，﹣2014，﹣2010，﹣2006，﹣2002…按一定的规律排列， 那么这串数中前 个数的和最小． 类型二 数阵、数表规律 典例3（2020 秋•江汉区月考）将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照以上规律排列，第25 行第20 个数 是 ． 典例4（2019 秋•江汉区期中）有这样一对数，如下表，第+3 个数比第个数大2（其中是正整数） 第1 个 第2 个 第3 个 第4 个 第5 个 …… b （1）第5 个数表示为 ；第7 个数表示为 ； （2）若第10 个数是5，第11 个数是8，第12 个数为9，则＝ ，b＝ ，＝ ； （3）第2019 个数可表示为 ． 针对训练2 1．（2021 秋•播州区期中）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端 的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6， 10，15，…，我们把第一个数记为1，第二个数记为2，第三个数记为3，…，第个数记为，则6＝ ， 2020＝ ． 2．（2018 秋•江夏区期中）已知一列数：1、﹣2、3、﹣4、5、﹣6、……，将这列数排成下列形式： 按照上述规律排列下去，第10 行数的第1 个数是（ ） ．﹣46 B．﹣36 ．37 D．45 3．（2017 秋•海淀区校级期中）如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数， 使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． （1）可求得x＝ ，第2017 个格子中的数为 ． （2）判断：前m 个格子中所填整数之和是否可能为2018？若能，求出m 的值，若不能，请说明理由． （3）若取前3 格子中的任意两个数记作、b，且≥b，那么所有的|﹣b|的和可以通过计算|9 |+|9 |+| ﹣★ ﹣☆ | ★﹣☆得到，其结果为 ；若、b 为前19 格子中的任意两个数记作、b，且≥b，则所有的|﹣b|的和为 ． 类型三 图形的增长规律 典例4（2021•汉川市模拟）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形 数”，而把1、4、9、16、…，这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1 的“正 方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．则第10 个图形中右下方的“三角形数”中的所有点 数是 ． 典例5（2020 秋•江夏区期中）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14 个图中黑色小正方形 地砖的数量是（ ） ．360 B．363 ．365 D．369 针对训练3 1．（2021 秋•中山市期中）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 10 个图形共有 个〇． 2．（2018 秋•硚口区期中）对于大于或等于2 的整数的平方进行如下“分裂”，如下分别将22、32、42分 裂成从1 开始的连续奇数的和，依此规律，则20182的分裂数中最大的奇数是 ． 3．（2022•仙居县校级开学）如图，都是由棱长为1 的正方体叠成的立体图形，例如第（1）个图形由1 个 正方体叠成，第（2）个图形由4 个正方体叠成，第（3）个图形由10 个正方体叠成，依次规律，第 （10）个图形由（ ）个正方体叠成． ．120 B．165 ．220 D．286 类型四 乘方规律 典例6（2022•内蒙古）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据 其中的规律可得70+71+72+…+72022的结果的个位数字是（ ） ．0 B．1 ．7 D．8 典例7（2022 秋•东港区校级月考）求1+2+22+23+……+22007的值，可令S＝1+2+22+23+……+22007，则2S＝ 2+22+23+24+……+22008，因此2S﹣S＝22009 1 ﹣，即S＝22009 1 ﹣，仿照以上推理，计算出1+3+32+33+…… +32022值为 ． 针对训练4 1．（2021 秋•罗湖区期中）观察等式：2+22＝23 2 ﹣；2+22+23＝24 2 ﹣；2+22+23+24＝25 2 ﹣；……，已知按 一定规律排列的一组数：2501，2502，2503，……，2999，21000．若2500＝，用含的式子表示这组数之和是（ ） ．22 2 ﹣ B．210 2 ﹣5 2 ﹣ ．22﹣ D．220﹣ 2．（2019 秋•汾阳市期末）任意大于1 的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连续奇数的和，如：23＝ 3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后，其中有一个奇数是203，则m 的值是 （ ） ．13 B．14 ．15 D．16 3 ．在求两位数的平方时，可以用“ 列竖式” 的方法进行速算，求解过程如图所示： 则第4 个方框中x+y 的值是（ ） ．11 B．12 ．13 D．14 类型五 幻方规律 典例8（2021 秋•江阴市期中）小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在 将﹣1、2、﹣3、4、﹣5、6、﹣7、8 分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4 个数字之和 都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中+b 的值为（ ） ．﹣6 或﹣3 B．﹣8 或1 ．﹣1 或﹣4 D．1 或﹣1 典例9（2020•冷水江市一模）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1～9 这九个数字填 入3×3 的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等．如图的幻方中，m＝ ． 针对训练5 1．（2021 秋•南安市期中）现有七个数﹣1，﹣2，﹣2，﹣4，﹣4，﹣8，﹣8 将它们填入图1（3 个圆两两 相交分成7 个部分）中，使得每个圆内部的4 个数之积相等，设这个积为m，如图2 给出了一种填法， 此时m＝64，在所有的填法中，m 的最大值为 ． 2．将9 个数填入幻方的九个方格中，使处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和相等，如 表一：按此规律将满足条件的另外6 个数填入表二，则表二中这9 个数的和为 （用含的整式表示）． 表一 4 9 2 3 5 7 8 1 6 表二 +5 +1 1 ﹣ 类型六 其他规律 典例10（2019 秋•武昌区校级期中）某初中七（5）班学生军训排列成7×7＝49 人的方阵，做了一个游戏， 起初全体学生站立，官每次任意点4 个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且 学生都正确完成指令，同一名学生可以多次被点，则15 次点名后蹲下的学生人数可能是（ ） ．3 B．27 ．49 D．以上都不可能 针对训练6 1．（2019 秋•硚口区期中）把几个不同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}； {1，4，7}；…我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素．规定：当整数x 是集合的一个元素 时，100﹣x 也必是这个集合的元素，这样的集合又称为黄金集合，例如{ 1 ﹣，101}就是一个黄金集合． 若一个黄金集合所有元素之和为整数m，且1180＜m＜1260，则该黄金集的元素的个数是（ ） ．23 B．24 ．24 或25 D．26 第二部分 专题提优训练 1．观察下面一列数：1，1 2 ，2，1 3 ，1，3，1 4 ，2 3 ，3 2 ，4，1 5 ，1 2 ，1，2，5，1 6 ，…（已写出了第1 至第 16 个数）． （1）第7，第8，第9，第10 个数的积是 ，前16 个数的积是 ； （2）按此规律，第30 个数是 ； （3）在上面这列数中，从左起第m 个数记为F（m），当F（m）¿ 9 2020 时，求m 的值． 2．（2021 秋•丹江口市期中）观察一列数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…，将这列数排成下列形式： （1）在表中，第12 行第6 个数是 ； （2）在表中，“2021”是其中的第 行，第 个数； （3）将表中第行的最后一个数记为，如第1 行的最后一个数记为1，即1＝1，第2 行的最后一个数记为 2，即2＝3，如此下去，3＝﹣6，4＝﹣10，…，第行的最后一个数记为，则用含的式子表示||为 ； （4）在（3）的条件下，计算1 a1 + 1 a2 −1 a3 −1 a4 + 1 a5 + 1 a6 −1 a7 −1 a8 + 1 a9 + 1 a10 ． 3．（2022•东莞市校级一模）找出以下图形变化的规律，则第2022 个图形中黑色正方形的数量是 3033 ． 4．（2020 秋•西城区校级期中）古希腊毕达格拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究 各种多边形数，比如：他们研究过图1 中的1，3，6，10，…．由于这些数能够表示成三角形，将其称 为三角形数；类似的，称图2 中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数． （1）请你写出一个既是三角形数又是正方形数的自然数 ． （2）类似地，我们将k 边形数中第个数记为（，k）（k≥3）．以下列出了部分k 边形数中第个数的表达 式： 三角形数：（，3）¿ 1 2 2+1 2 正方形数：（，4）＝2 五边形数：（，5）¿ 3 2 2−1 2 六边形数：（，6）＝22﹣ … 根据以上信息，得出（，k）＝ ．（用含有和k 的代数式表示） 5．（2020 秋•江夏区校级月考）观察下列等式：12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，…，若 12+22+32+42+52+…+2的个位数字是1（0＜≤2020，且为整数），下列选项中，的最大值是（ ） ．2001 B．2006 ．2011 D．2019 6．（2021•碧江区 模拟）观察等式：2+22＝23 2 ﹣：2+22+23＝24 2 ﹣；2+22+23+24＝25 2 ﹣，…已知按一定规 律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100，若250＝，则用含的式子表示这组数的和是 ． 7．（2019 秋•武汉期中）如图，在边长为1 厘米的正方形格有12 个格点，用这些格点做三角形顶点，一共 可以连成面积为2 平方厘米的三角形个数为（ ） ．24 B．32 ．28 D．12 8．（2020 秋•盐都区校级期中）有一长方体形状的物体，它的长、宽、高分别为，b，（＞b＞），有三种 不同的捆扎方式（如图所示的虚线），哪种方式用绳最少？说明理由．