专题2.3 整式的加减【十大题型】（解析版）

专题23 整式的加减【十大题型】 【人版】 【题型1 去括号与添括号】.....................................................................................................................................1 【题型2 利用去括号法则化简】.............................................................................................................................3 【题型3 利用添括号与去括号求值】.....................................................................................................................5 【题型4 利用整式的加减比较大小】.....................................................................................................................7 【题型5 整式的加减中的错看问题】.....................................................................................................................8 【题型6 整式的加减中的不含某项问题】........................................................................................................... 10 【题型7 整式的加减中的遮挡问题】...................................................................................................................11 【题型8 整式的加减中的项与系数问题】........................................................................................................... 13 【题型9 整式加减的运算或化简求值】............................................................................................................... 14 【题型10 整式加减的应用】..................................................................................................................................17 【知识点1 去括号的法则】 （1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 相同；如果括号 外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． （2）去括号规律：①+（b+）=+b+，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一 起去掉，括号内各项不变号；②-（b-）=-b+，括号前是“-”号，去括号时连同它前面的 “-”号一起去掉，括号内各项都要变号． 说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有 改变式子的值． 【知识点2 添括号的法则】 添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前 面是负号，括号括号里的各项都改变符号．添括号与去括号可互相检验． 【题型1 去括号与添括号】 【例1】（2022 秋•招远市期末）下列各式由等号左边变到右边变错的有（ ） ①﹣（b﹣）＝﹣b﹣ ②（x2+y）﹣2（x﹣y2）＝x2+y 2 ﹣x+y2 ③﹣（+b）﹣（﹣x+y）＝﹣+b+x﹣y 3 ④﹣（x﹣y）+（﹣b）＝﹣3x 3 ﹣y+﹣b． ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 1 【分析】根据去括号的方法逐一化简即可． 【解答】解：根据去括号的法则： ①应为﹣（b﹣）＝﹣b+，错误； ②应为（x2+y）﹣2（x﹣y2）＝x2+y 2 ﹣x+2y2，错误； ③应为﹣（+b）﹣（﹣x+y）＝﹣﹣b+x﹣y，错误； 3 ④﹣（x﹣y）+（﹣b）＝﹣3x+3y+﹣b，错误． 故选：D． 【变式1-1】（2022 秋•江汉区期中）下列添括号正确的是（ ） ．+b﹣＝﹣（b﹣） B．+b﹣＝+（b﹣） ．﹣b﹣＝﹣（b﹣） D．﹣b+＝+（b﹣） 【分析】根据添括号法则即可判断． 【解答】解：、+b﹣＝﹣（﹣b+），原添括号错误，故此选项不符合题意； B、+b﹣＝+（b﹣），原添括号正确，故此选项符合题意； 、﹣b﹣＝﹣（b+），原添括号错误，故此选项不符合题意； D、﹣b+＝+（﹣b+），原添括号错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-2】（2022 秋•乐清市校级月考）给下列多项式添括号．使它们的最高次项系数变 为正数： （1）﹣x2+x＝ ﹣（ x 2 ﹣ x ） ； （2）3x2 2 ﹣xy2+2y2＝ ﹣（ 2 xy 2 3 ﹣ x 2 2 ﹣ y 2 ） ； （3）﹣3+22 +1 ﹣ ＝ ﹣（ 3 2 ﹣ 2 + 1 ﹣ ） ； （4）﹣3x2y2 2 ﹣x3+y3＝ ﹣（ 3 x 2 y 2 +2 x 3 ﹣ y 3 ） ． 【分析】最高系数项的系数是负数，则多项式放在带负号的括号内，依据添括号法则即 可求解． 【解答】解：（1）﹣x2+x＝﹣（x2﹣x）； （2）3x2 2 ﹣xy2+2y2＝﹣（2xy2 3 ﹣x2 2 ﹣y2）； （3）﹣3+22 +1 ﹣ ＝﹣（3 2 ﹣ 2+ 1 ﹣）； （4）﹣3x2y2 2 ﹣x3+y3＝﹣（3x2y2+2x3﹣y3） 故答是：（1）﹣（x2﹣x）；（2）﹣（2xy2 3 ﹣x2 2 ﹣y2）；（3）﹣（3 2 ﹣ 2+ 1 ﹣）； （4）﹣（3x2y2+2x3﹣y3）． 【变式1-3】（2022 秋•滨湖区校级期末）去分别按下列要求把多项式5﹣b 2 ﹣ 2+1 3 b2添上 括号： （1）把前两项括到前面带有“+”号的括号里，后两项括到前面带有“﹣”号的括号里； 1 （2）把后三项括到前面带有“﹣”号的括号里； （3）把含有字母的项括到前面带有“+”号的括号里，把含有字母b 的项括到前面带有 “﹣”号的括号里． 【分析】（1）根据添括号法则解答即可； （2）根据添括号法则解答即可； （3）根据添括号法则解答即可． 【解答】解：（1）5﹣b 2 ﹣ 2+1 3 b2＝+（5﹣b）﹣（22−1 3 b2）； （2）5﹣b 2 ﹣ 2+1 3 b2＝5﹣（b+22−1 3 b2）； （3）5﹣b 2 ﹣ 2+1 3 b2＝5 2 ﹣ 2﹣b+1 3 b2＝+（5 2 ﹣ 2）﹣（b−1 3 b2）． 【题型2 利用去括号法则化简】 【例2】（2022 秋•滨湖区校级期末）去括号，合并同类项 （1）﹣3（2s 5 ﹣）+6s； （2）3x [5 ﹣ x﹣（1 2x 4 ﹣）]； （3）62 4 ﹣b 4 ﹣（22+1 2 b）； （4）﹣3（2x2﹣xy）+4（x2+xy 6 ﹣） 【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去小括号，再去中括号，再合并同类项即可； （3）先去括号，再合并同类项即可； （4）先去括号，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）﹣3（2s 5 ﹣）+6s ＝﹣6s+15+6s ＝15； （2）3x [5 ﹣ x﹣（1 2x 4 ﹣）] ＝3x [5 ﹣ x−1 2 x+4] ＝3x 5 ﹣x+1 2 x 4 ﹣ ¿−3 2x 4 ﹣； 1 （3）62 4 ﹣b 4 ﹣（22+1 2 b） ＝62 4 ﹣b 8 ﹣ 2 2 ﹣b ＝﹣22 6 ﹣b； （4）﹣3（2x2﹣xy）+4（x2+xy 6 ﹣） ＝﹣6x2+3xy+4x2+4xy 24 ﹣ ＝﹣2x2+7xy 24 ﹣ ． 【变式2-1】（2022 秋•大理市校级期中）去括号，合并同类项得：3b 2 [ 4+ ﹣﹣﹣ （+3b）] +＝ 4 2 ﹣ ． 【分析】直接利用去括号法则进而化简，再合并同类项求出答． 【解答】解：3b 2 [ 4+ ﹣﹣﹣ （+3b）]+ ＝3b 2+4 ﹣ ﹣（+3b）+ ＝3b 2+4 3 ﹣ ﹣﹣b+ ＝4 2 ﹣． 故答为：4 2 ﹣． 【变式2-2】（2022 秋•铜官区期末）将下列各式去括号，并合并同类项． （1）（7y 2 ﹣x）﹣（7x 4 ﹣y） （2）（﹣b+3）﹣（﹣b） （3）（2x 5 ﹣y）﹣（3x 5 ﹣y+1） （4）2（2 7 ﹣x）﹣3（6x+5） （5）（﹣8x2+6x）﹣5（x2−4 5 x+1 5 ） （6）（32+2 1 ﹣）﹣2（2 3 5 ﹣﹣） 【分析】原式各项去括号合并即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝7y 2 ﹣x 7 ﹣x+4y＝11y 9 ﹣x； （2）原式＝﹣b+3 + ﹣b＝2； （3）原式＝2x 5 ﹣y 3 ﹣x+5y 1 ﹣＝﹣x 1 ﹣； （4）原式＝4 14 ﹣ x 18 ﹣ x 15 ﹣ ＝﹣32x 11 ﹣ ； （5）原式＝﹣8x2+6x 5 ﹣x2+4x 1 ﹣＝﹣13x2+10x 1 ﹣； （6）原式＝32+2 1 2 ﹣﹣ 2+6+10＝2+8+9． 【变式2-3】（2022 秋•广信区期中）将42 2 ﹣（2﹣b2）﹣3（2+b2）先去括号，再合并同类 项得（ ） ．﹣2﹣b2 B．﹣2+b2 ．2﹣b2 D．﹣22﹣b2 【分析】首先把括号外的数利用分配律乘到括号内，然后利用去括号法则去掉括号，最 1 后合并同类项即可． 【解答】解：42 2 ﹣（2﹣b2）﹣3（2+b2） ＝42 2 ﹣ 2+2b2 3 ﹣ 2 3 ﹣b2 ＝﹣2﹣b2． 故选：． 【题型3 利用添括号与去括号求值】 【例3】（2022 秋•北碚区校级期中）若代数式2mx2+4x 2 ﹣（y2 3 ﹣x2 2 ﹣x 3 ﹣y+1）的值与x 的取值无关，则m20192020的值为（ ） ．﹣32019 B．32019 ．32020 D．﹣32020 【分析】根据关于字母x 的代数式2mx2+4x 2 ﹣（y2 3 ﹣x2 2 ﹣x 3 ﹣y+1）的值与x 的取值无 关，可得x2、x 的系数都为零，可得答． 【解答】解：2mx2+4x 2 ﹣（y2 3 ﹣x2 2 ﹣x 3 ﹣y+1）＝（2m+6）x2+（4+4）x 2 ﹣y2+6y 2 ﹣． 由代数式的值与x 值无关，得 x2及x 的系数均为0， 2m+6＝0，4+4＝0， 解得m＝﹣3，＝﹣1． 所以m20192020＝（﹣3）2019（﹣1）2020＝﹣32019． 故选：． 【变式3-1】（2022 秋•开封期末）已知﹣b＝5，+d＝﹣3，则（b+）﹣（﹣d）的值为（ ） ．2 B．﹣2 ．8 D．﹣8 【分析】先把所求代数式去括号，再添括号化成已知的形式，再把已知整体代入即可求 解． 【解答】解：根据题意可得：（b+）﹣（﹣d）＝（+d）﹣（﹣b）＝﹣3 5 ﹣＝﹣8，故 选D． 【变式3-2】（2022 秋•乐亭县期末）观察下列各式：（1）﹣+b＝﹣（﹣b）；（2）2 3 ﹣x ＝﹣（3x 2 ﹣）；（3）5x+30＝5（x+6）；（4）﹣x 6 ﹣＝﹣（x+6）．探索以上四个式 子中括号的变化情况，思考它和去括号法则有什么不同？利用你的探索出来的规律，解 答下面的题目： 已知2+b2＝5，1﹣b＝﹣2，求1+2+b+b2的值． 【分析】注意观察等号两边的变化，等号右边添加了括号，然后观察符号的变化即可； 根据已知条件计算出b 的值，然后再代入求值即可． 【解答】解：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号 1 前面是负号，括号括号里的各项都改变符号． 1 ∵﹣b＝﹣2， ∴b＝3， 1+ ∴ 2+b+b2＝（2+b2）+b+1＝5+3+1＝9． 【变式3-3】（2022 秋•乐亭县期末）阅读下列材料： 为了简化计算，提高计算速度，我们在日常的加减运算中，通常会利用运算律来计算较 长且繁杂的代数式．例如计算1+2+3+4+5+ +99+100 ⋯ 时我们可以运用加法的运算律来简 化计算，即1+2+3+4+5+ +99+100 ⋯ ＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+ + ⋯（50+51）＝ 101×50＝5050． 请你根据阅读材料给出的方法计算： （1）+（+m）+（+2m）+（+3m）+ + ⋯（+100m）； （2）（m+3m+5m+ +2021 ⋯ m）﹣（2m+4m+6m+ +2022 ⋯ m）． 【分析】（1）仿照规律，由此即可求出结论． （2）利用加法结合律，再乘以数字的个数即可得． 【解答】解：（1）+（+b）+（+2b）+（+3b）+…+（+99b）， ＝（++99b）+（+b++98b）+…+（+49b++50b）， ＝（2+99b）×50， ＝101+5050b． （2）（m+3m+5m+ +2021 ⋯ m）﹣（2m+4m+6m+ +2022 ⋯ m）． ＝（m 2 ﹣m）+（3m 4 ﹣m）+（5m 6 ﹣m）+…+（2021m 2022 ﹣ m） ＝﹣m×1011 ＝﹣1011m． 【知识点3 整式的加减】 几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并 同类项． 整式的加减步骤及注意问题： （1）整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类 项． （2）去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括 号外是“-”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． 【题型4 利用整式的加减比较大小】 【例4】（2022 秋•内乡县期末）如果M＝x2+3x+12，＝﹣x2+3x 5 ﹣，那么M 与的大小关系 1 是（ ） ．M＞ B．M＜ ．M＝ D．无法确定 【分析】先求出M﹣的值，再根据求出的结果比较即可． 【解答】解：∵M＝x2+3x+12，＝﹣x2+3x 5 ﹣， ∴M﹣ ＝（x2+3x+12）﹣（﹣x2+3x 5 ﹣） ＝x2+3x+12+x2 3 ﹣x+5 ＝2x2+17， ∵不论x 为何值，2x2≥0， ∴M﹣＞0， ∴M＞， 故选：． 【变式4-1】（2022 秋•澄海区期末）已知＝3+32b2+2b2+3b，B＝3﹣2b2+b2+3b．与B 的关系 是（ ） ．＜B B．＞B ．≤B D．≥B 【分析】首先作差，根据整式的加减运算法则，即可求得﹣B＝42b2+b2≥0，继而可求得 答． 【解答】解：﹣B＝（3+32b2+2b2+3b）﹣（3﹣2b2+b2+3b）＝3+32b2+2b2+3b﹣3+2b2﹣b2﹣ 3b＝42b2+b2≥0， ≥ ∴B． 故选：D． 【变式4-2】（2022 秋•确山县期中）整式5m2 6 ﹣m+3 和整式5m2 7 ﹣m+5 的值分别为 M、，则M、之间的大小关系是（ ） ．M＞ B．M＜ ．M＝ D．无法确定 【分析】利用作差法判断大小即可． 【解答】解：M﹣＝（5m2 6 ﹣m+3）﹣（5m2 7 ﹣m+5） ＝5m2 6 ﹣m+3 5 ﹣m2+7m 5 ﹣ ＝m 2 ﹣， 所以则M、之间的大小关系无法确定． 故选：D． 【变式4-3】（2022 秋•澄海区期末）若P＝42+2+2，Q＝+22 5 ﹣，则P 与2Q 之间的大小关 系是（ ） ．P＞2Q B．P＝2Q ．P＜2Q D．无法确定 【分析】求出P 与2Q 的差即可比较P 与2Q 的大小． 1 【解答】解：∵P＝42+2+2，Q＝+22 5 ﹣， ∴P 2 ﹣Q ＝42+2+2 2 ﹣（+22 5 ﹣） ＝42+2+2 2 4 ﹣﹣ 2+10 ＝12＞0， ∴P＞2Q． 故选：． 【题型5 整式的加减中的错看问题】 【例5】（2022 秋•滦州市期末）小文在做多项式减法运算时，将减去22+3 5 ﹣误认为是加 上22+3 5 ﹣，求得的答是2+ 4 ﹣（其他运算无误），那么正确的结果是（ ） ．﹣2 2+1 ﹣ B．﹣32+ 4 ﹣ ．2+ 4 ﹣ D．﹣32 5+6 ﹣ 【分析】直接利用整式的加减运算法则计算得出答． 【解答】解：设原多项式为，则+22+3 5 ﹣＝2+ 4 ﹣， 故＝2+ 4 ﹣﹣（22+3 5 ﹣） ＝2+ 4 2 ﹣﹣ 2 3+5 ﹣ ＝﹣2 2+1 ﹣ ， 则﹣2 2+1 ﹣ ﹣（22+3 5 ﹣） ＝﹣2 2+1 2 ﹣ ﹣ 2 3+5 ﹣ ＝﹣32 5+6 ﹣ ． 故选：D． 【变式5-1】（2022 秋•鹿邑县月考）小宇在计算﹣B 时，误将﹣B 看错成+B，得到的结果 为4x2 2 ﹣x+1，已知B＝2x2+1，则﹣B 的正确结果为 ﹣ 2 x 1 ﹣ ． 【分析】先根据题意求出多项式，然后根据整式的加减运算法则即可求出﹣B 的正确结 果． 【解答】解：由题意可知：+B＝4x2 2 ﹣x+1， ∴＝（4x2 2 ﹣x+1）﹣（2x2+1） ＝4x2 2 ﹣x+1 2 ﹣x2 1 ﹣ ＝2x2 2 ﹣x， ∴﹣B ＝（2x2 2 ﹣x）﹣（2x2+1） ＝2x2 2 ﹣x 2 ﹣x2 1 ﹣ ＝﹣2x 1 ﹣， 故答为：﹣2x 1 ﹣． 【变式5-2】（2022 秋•阳东区期中）由于看错了运算符号，“小马虎”把一个整式减去一 1 个多项式2 3 ﹣b 误认为加上这个多项式，结果得出的答是+2b，则原题的正确答是 8 b 3 ﹣ ． 【分析】根据整式的运算法则即可求出答． 【解答】解：设该整式为， + ∴（2 3 ﹣b）＝+2b， ∴＝+2b﹣（2 3 ﹣b） ＝+2b 2+3 ﹣ b ＝﹣+5b， ∴正确答为：﹣+5b﹣（2 3 ﹣b）＝﹣+5b 2+3 ﹣ b＝8b