期末测试压轴题考点模拟训练（解析版）(2)

期末测试压轴题考点模拟训练 一、单选题 1．一个自然数的一个平方根是 ，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据平方根定义得原数为2，故相邻的下一个自然数是2+1，再求得平方根即可 【详解】根据题意，平方根为是数2，则与它相邻的下一个自然数是2+1，所以它的平方根 是 ，故此题选择D 【点睛】此题考查平方根定义，这里准确确定被开方数是解题关键 2．在解方程组 时，甲同学正确解得 乙同学把看错了，而得到 那么 ， ，的值为（ ） ． ， ， B． ， ， ． ， ， D．不能确定 【答】B 【详解】解：由甲同学的解正确，可知3+2×7=8， 解得 且 ①， 由于乙看错，所以 ②， 解由①②构成的方程组可得： 故选B． 3．如图，点M 在等边△B 的边B 上，BM＝8，射线D⊥B 垂足为点，点P 是射线D 上一动 点，点是线段B 上一动点，当MP+P 的值最小时，B＝9，则的长为（ ） ．15 B．12 ．13 D．10 【答】 【分析】由=B， ，作点M 关于直线D 的对称点G，过G 作 于点 ，交D 于P，则此时MP+P 的值最小，再由直角三角形即可求出答 【详解】如图： 是等边三角形 ， 作点M 关于直线D 的对称点G，过G 作 于点 ，交D 于P， 为最小值 ， 故答选 【点睛】本题考查轴对称中的最短路径问题、等边三角形的性质、直角三角形的性质，正 确作图是关键． 4．已知 ， ， ，D 为平面直角坐标系内一点，若 ，则D 的 坐标为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】过点作平行于y 轴的直线，过点B 作平行于x 轴的直线，相交于点E，则 ， ，根据勾股定理得 ，同理，再逐项计算出 的长度，即可解答． 【详解】解：过点作平行于y 轴的直线，过点B 作平行于x 轴的直线，相交于点E，如图， ∵ ， ，∴ ， ， 在Rt 中，由勾股定理得 ， ∵ ， 当点D 的坐标为 时， ，此时 ，故选 项符合题意； 当点D 的坐标为 时， ， 此时 ，故B 选项不符合题意； 当点D 的坐标为 时， ，此时 ，故选项 不符合题意； 当点D 的坐标为 时， ，此时 ，故D 选 项不符合题意．故选：． 【点睛】本题主要考查坐标与图形性质、勾股定理，根据题意画出图形，利用勾股定理求 出 、 的长度是解题关键． 5．如图，在同一直角坐标系中，正比例函数 ， ， ， 的图象分 别为， ， ， ，则下列关系中正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】首先根据直线经过的象限判断k 的符号，再进一步根据直线的陡峭趋势（直线越 陡 越大）判断k 的绝对值的大小，最后判断四个数的大小 【详解】解：根据直线经过的象限，知 ， ， ， ，根据直线越陡 越大，知 ， ，所以 ．故选B． 【点睛】此题主要考查了正比例函数图象的性质，直线越陡 越大，熟练掌握正比例函数 的性质是解题关键． 二、填空题 6． 如图， 平分 , (单位:度)，其中 为有理数,且 ，则 _______． 【答】 【分析】先根据 得到,b 的值，求出 ，设 , 得到 =11°，根据平行线的性质与外角定理得到 ，故可求解． 【详解】 为有理数 为有理数 ∴ =11°， 反向延长线射线 至点 ，作B E ∥，则 ∥E B ∥， 设 , ∴ , ∵ 又 ∥E B ∥， ∴ 故答为：22 ． 【点睛】此题主要考查角度的求解，解题的关键是熟知二次根式的运算、二元一次方程的 解法及三角形外角定理、平行线的性质． 7．如图在平面直角坐标系上有点 ，点第一次跳动至点 ，第四次向右跳动5 个单位至点 ， ，依此规律跳动下去，点第200 次跳动至点 的坐标是 ． 【答】 【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵 坐标是次数的一半，然后写出即可． 【详解】观察发现，第2 次跳动至点的坐标是 ， 第4 次跳动至点的坐标是 ， 第6 次跳动至点的坐标是 ， 第8 次跳动至点的坐标是 ， 第2 次跳动至点的坐标是 ， 第200 次跳动至点的坐标是 ， 故答为 ． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动 的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键． 8．中国古代著名的《算法统宗》中有这样一个问题:“只闻隔壁客分银，不知人数不知银， 七两分之多四两，九两分之少半斤”大意为:“一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两; 若每人分九两，则还差八两，问共有多少人?所分银子共有多少两?”(注:当时1 斤=16 两，故 有“半斤八两”这个成语)设共有x 人，所分银子共有y 两，则所列方程组为 【答】 【分析】题中涉及两个未知数：共有x 人，所分银子共有y 两；两组条件：每人分七两， 则剩余四两；每人分九两，则还差八两；列出二元一次方程组即可 【详解】两组条件：每人分七两，则剩余四两；每人分九两，则还差八两； 解： 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找到等量关系，列方程组是解答本题的关键 9．（1）如图1，Rt MB △ 中，∠MB=90°，点 在数轴-1 处，点在数轴1 处，M=MB，B=1， 则数轴上点对应的数是______． （2）如图2，点M 是直线 上的动点，过点M 作M 垂直x 轴于点，点P 是y 轴上 的动点，当以M，，P 为顶点的三角形为等腰直角三角形时点M 的坐标为_______． 【答】（1） ；（2）（-3，-3），（-1，1），（ ， ）． 【分析】（1）通过勾股定理求出线段MB，结合M=MB，进而可得点对应的数； （2）分六种情况考虑：①如图1，当点M 在第二象限，M 为直角边时；②如图2，当点M 在第二象限，M 为斜边时，③如图2，当M 在第三象限时，M 为直角边时，④如图2，当 M 在第三象限时，M 为斜边时，⑤如图3，当M 在第一象限时，M 为直角边时，⑥如图 3，当M 在第一象限时，M 为斜边时，分别列方程，即可得到所有满足题意的M 坐标． 【详解】（1）在Rt MB △ 中，∠MB=90°，B=1，M=2， ∴ ， M=MB ∵ ， M= ∴ ， ∵点M 在数轴-1 处， ∴数轴上点对应的数是： ． 故答是： ； （2）①如图1，当点M 在第二象限，M 为直角边时，则M=MP， 设点M(x，2x+3)，则有 ，解得：x=-1， M(-1 ∴ ，1)； ②如图2，当点M 在第二象限，M 为斜边时，这时P=MP，∠MP=45°，P=， ， 设点M(x，2x+3)，则有 ，解得： ， M( ∴ ， )； ③如图2，当M 在第三象限时，M 为直角边时，则M=MP，PM M ⊥ ， 设点M(x，2x+3)，则有：-x=-（2x+3），解得：x=-3， M(-3 ∴ ，-3)； ④如图2，当M 在第三象限时，M 为斜边时，则∠P=45°，即=P， 设点M(x，2x+3)，则有： ，化简得：-2x=-2x-3， 这方程无解，这时不存在符合条件的M 点； ⑤如图3，当M 在第一象限时，M 为直角边时，则M=MP，PM M ⊥ ， 设点M(x，2x+3)，则有： x=2x+3，解得：x=-3（不符合题意，舍去）； ⑥如图3，当M 在第一象限时，M 为斜边时，则∠P=45°，即=P， 设点M(x，2x+3)，则有： ，化简得：2x=2x+3， 这方程无解，这时不存在符合条件的M 点． 综上，符合条件的点M 坐标是(-3，-3)，(-1，1)，( ， )． 故答是：(-3，-3)，(-1，1)，( ， )． 【点睛】本题主要考查实数与数轴，勾股定理，一次函数与等腰直角三角形的综合，掌握 等腰直角三角形的性质定理，一次函数的图象和性质，是解题的关键．特别要注意分类讨 论的思想，分类讨论时，考虑问题要全面，做到不重不漏． 10．如图， ，P 为射线 上任意一点（点P 和点B 不重合），分别以 ， 为边在 内部作等边 和等边 ，连结 并延长交 于点F，若 ， ，则 ． 【答】2 【分析】连接 ，过点E 作 ，由题意可得 ，可得 ， ，可求 ，根据勾股定理可求 ， ， ， ，可求 ， ， ，由 ， ，可得 ． 【详解】解：如图：连接 ，过点E 作 ， ∵ ， 是等边三角形， ∴ ， ， ， ∴ 且 ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ， ∵ ∴ ， ， ∵ ∴ ，∴ ， 故答为2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，构造直角 三角形用勾股定理求线段的长度是本题的关键． 11．我国古代数学名著《九章算术》中有云：“今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，缠 木七周，上与木齐．问葛长几何？”大意为：有一根木头长2 丈，上、下底面的周长为3 尺，葛生长在木下的一方，绕木7 周，葛梢与木头上端刚好齐平，则葛长是 尺．(注：l 丈等于10 尺，葛缠木以最短的路径向上生长，误差忽略不计) 【答】29． 【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化 下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出． 【详解】解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20 尺， 另一条直角边长7×3=21（尺）， 因此葛藤长 =29（尺）． 答：葛藤长29 尺． 故答为：29． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展 成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解． 12．如图，点D 是Rt B △斜边B 的中点，点E 在边上．△'B′′与△B 关于直线BE 对称，连结′． 且∠′'＝90°．若＝4，B＝3．则E 的长为 ． 【答】 【分析】由轴对称的性质和直角三角形斜边中线的性质得：D＝'D＝'D＝ B＝ 'B'，证明 △'''B'' △ （L），得'＝'B'＝B＝3，设E＝x，则E＝4 x ﹣，根据勾股定理列方程可得结论． 【详解】解：连接D，'D， '' ∵∠＝90°， 由轴对称性质得：D＝'D＝'D＝ B＝ 'B'， ∴、D、'三点共线， ' ∴＝'B'， '' 'B'' ∵△ △ ≌ （L）， ' ∴＝'B'＝B＝3， 设E＝x，则E＝4 x ﹣， E ∵＝'E， 在Rt 'E △ 中，由勾股定理得： ， 解得： E ∴＝ ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了轴对称、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是 学会用方程的思想解决问题，属于中考填空题的压轴题． 13．已知实数在数轴上的位置如图所示，化简 = 【答】- 【详解】根据数轴可知1＜＜2，可知＜ ，即- ＜0，因此根据绝对值的性质和二次根 式的性质，可得 = -+-2 =- 故答为- 点睛：此题主要考查了二次根式的性质，解题关键是利用绝对值的非负性，和二次根式的 性质，注意在解题时二次根式的估算 14．如图，B＝12，B⊥B 于点B，B⊥D 于点，D＝5，B＝10，E 是D 的中点，则E 的长是 ． 【答】65/ 【详解】解：如图，延长E 交B 于点F， ∵点E 是D 的中点, ∴DE=E， ∵B⊥B，B⊥D, ∴D∥B, ∴∠DE=∠BE 且DE=E，∠ED=∠EF, ∴△ED≌△FE（S）, ∴D=F=5，E=EF, ∴BF=B-F=5, ∴在Rt△BF 中， , ， 故答为：65． 15．如图，直线 与 轴、 轴分别交于 两点，以 为边在 轴左侧作等 边三角形 将 沿 轴上下平移，使点 的对应点 恰好落在直线 上，则点 的坐标为 【答】 【分析】根据直线y=2x+2 可以求得点和点B 的坐标，从而可以求得点到B 的距离，从而 可以得到′的横坐标，然后代入y=2x+2 ，即可得到点′的坐标，本题得以解决． 【详解】∵y=2x+2 ， ∴当x=0 时，y=2 ；当y=0 时，x=- ， ∴点（− ，0），点B（0，2 ）， B ∵△是等边三角形，B=2 ， ∴点到B 的距离是：2 ×s60°＝2 × ＝3， 将x=-3 代入y=2x+2 ，得y=-6+2 ， ∴点′的坐标为（-3，-6+2 ）， 故答为（-3，-6+2 ）． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质、坐标与图形变化-平 移，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等边三角形的性质和平移的 性质解答． 三、解答题 16．如图1，在平面直角坐标系中，（m，0），B（，0），（﹣1，2），且满足式|m+2|+ （m+ 2 ﹣）2＝0． （1）求出m，的值． （2）①在x 轴的正半轴上存在一点M，使△M 的面积等于△B 的面积的一半，求出点M 的 坐标； ②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△M 的面积等于△B 的面积的一半仍然成立，若 存在，请直接在所给的横线上写出符合条件的点M 的坐标； （3）如图2，过点作D⊥y 轴交y 轴于点D，点P 为线段D 延长线上一动点，连接P，E 平 分∠P，F⊥E，当点P 运动时， 的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明 理由． 【答】（1）m= 2 ﹣，=4；（2）①M 的坐标为（3，0）；②点M 的坐标为（3，0）或（﹣ 3，0）或（0，6）或（0，﹣6）；（3）2． 【分析】（1）根据非负数的性质列出方程组，解方程组即可； （2）①根据三角形的面积公式计算即可； ②分点M 在x、y 轴上两种情况计算； （3）根据角平分线的定义、垂直的定义得到∠PF=∠BF，设∠PF=∠BF=x，∠DE=y，结合图 形得到x=y，得到答． 【详解】（1）由题意得： ，解得： ，∴m= 2 ﹣，=4； （2）①设点M 的坐标的坐标为（x，0），△B 的面积 6×2=6，由题意得： x×2 6，解得：x=3，△M 的面积等于△B 的面积的一半时，点M 的坐标为（3，0）； ②当点M 在x 轴上时，由①得：点M 的坐标为（3，0）或（﹣3，0），当点M 在y 轴上 时，设点M 的坐标的坐标为（0，y），由题意得： |y|×1 6，解得：y=±6． 综上所述：符合条件的点M 的坐标为（3，0）或（﹣3，0）或（0，6）或（0，﹣6）； （3） 2，不会改变． ∵E 平分∠P，∴∠EP=∠E． ∵F⊥E，∴∠EP+∠PF=90°，∠E+∠BF=90°，∴∠PF=∠BF，设∠PF=∠BF=x，∠DE=y． ∵D⊥y 轴，∴D∥x 轴，∴∠PD=∠PB=2x，则∠PD=90° 2 ﹣x． ∵∠EF=90°，∴y+90° 2 ﹣x+x=90°，解得：x=y，∴∠PD=2∠DE，即 2． 【点睛】本题考查了非负数的性质、角平分线的定义、三角形的面积公式，掌握非负数的 性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 17．“一村一品，绽放致富梦”，泰顺县恩代洋村因猕猴桃被入选全国“一村一品”示范 村镇．为更新果树品种，恩代洋村某果农计划购进 、 、 三种果树苗木栽植培育．已 知 种果苗每捆比 种果苗每捆多10 元， 种果苗每捆30 元，购买50 捆 种果苗所花钱 比购买60 捆 种果苗的钱多100 元．（每种果苗按整捆购买，且每捆果苗数相同） （1） 、 种果苗每捆分别需要多少钱； （2）现批发商推出限时赠送优惠活动：购买一捆 种果苗赠送一捆 种果苗．（最多赠送 10 捆 种果苗） ①若购买 种果苗7 捆、 种果苗5 捆和 种果苗10 捆，共需多少钱； ②若需购买 种果苗10 捆，预算资金为600 元，在不超额的前提下，最多可以买多少捆 果苗．求所有满足条件的方，并指出哪种方购买费用最少．（每种至少各1 捆） 【答】（1）50 元；40 元；（2）①640 元；②见解析 【分析】（1）根据题意设 中果苗每捆 元，则 中果苗每捆 元，列出方程，解 方程即可得到答； （2）①由题意，列出等式，然后进行计算，即可得到答； ②根据题意，可分为 和 两种情况进行分析，分别求出满足条件的方，然后计 算费用即可． 【详解】解：（1）设 中果苗每捆 元，则 中果苗每捆 元 解得： 种果苗每捆： 元 答： 种果苗每捆50 元， 种果苗每捆40 元． （2）①∵7 捆 种果苗可免费赠送7 捆 种果苗， ∴所需总费用为： （元） ②可设购买 种果苗 捆， 种果苗 捆 当 时， （）当 时， ， ∴ ∴ ，此时 ，费用为580 元 （）当 时， ， ∴ ∴ ，此时 ，费用为590 元 （）当 时， ， ∴ ，不合题意，舍去 当 时， （）当 时， ， ∴ ∴ ，此时 ，费用为600 元 （）当 时， ， ∴ ∴ ，此时 ，不合题意，舍去 （）当 时， ，不合题意，舍去 综上所述，最多可购买 种果苗和 种果苗共12 捆，有三种方：可买 种果苗9 捆， 种 果苗3 捆； 种果苗10 捆， 种果苗2 捆； 种果苗11 捆， 种果苗1 捆；其中当 种果 苗10 捆， 种果苗2 捆时，所花费用最少，为580 元 【点睛】此题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解答此类应用类题目的 关键是仔细审题，得出等量关系，从而转化为方程或不等式解题，难度一般，第二问需要 分类讨论，注意不要遗漏． 18．规定：在平面直角坐标系内，某直线绕原点顺时针旋转 ，得到的直线 称为的 “旋转垂线”． (1)求出直线 的“旋转垂线”的解析式； (2)若直线 的“旋转垂线”为直线 ．求证： ； (3)如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点P 是直线 上一点， 度，求点P 的坐标． 【答】(1)直线 的“旋转垂线”的解析式是： (2)见解析 (3) 【分析】（1）先求出直线 与坐标轴的交点，再求出这两个交点绕原点顺时针旋 转 后的点，再用待定系数法求出直线 的“旋转垂线”的解析式即可； （2）分别求出直线 和直线 与坐标轴的交点，再利“直 线 绕原点顺时针旋转 得到的直线 ”得到这些交点横 纵坐标的相等关系，从而得解； （3）作 交 的延长线于点，作 ，作 于D，先证明 ， 从而证明 ，继而推导点的坐标，再用待定系数法求出直线 的解析 式，最后用两直线求交点的方法求出点P 的坐标． 【详解】（1）解：如图1， 由 得： ， ， ∴点绕点顺时针旋转90°后对应的点是 ， 点B 绕点顺时针旋转90°后对应的点是 ， 设 的解析式为： ， 将点 ， 代入得： 解得： ， ∴ 的解析式为： ， 即直线 的“旋转垂线”的解析式是： ； （2）证明：如图2，设直线 与 轴、 轴分别交于点 ，直线 与 轴、 轴分别交于点 ， 对于直线 当 时， ， ∴ 当 时， ， 解得： ， ∴ 同理可得： ， ， 依题意得：点 绕点顺时针旋转90°后对应的点是 ， 点 绕点