专题23 全等与相似模型之十字架模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题23 全等与相似模型之十字架模型 几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几 何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生 更好地理解和掌握。 .................................................................................................................................................1 模型1 正方形中的十字架模型（全等模型）.......................................................................................................1 模型2 矩形中的十字架模型（相似模型）...........................................................................................................6 模型3 等边三角形中的斜十字模型（相似模型）...............................................................................................8 模型4 直角三角形中的十字模型（相似模型）...................................................................................................9 ...............................................................................................................................................10 模型1 正方形中的十字架模型（全等模型） “十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的 “十字形”，由此产生了两组相等的锐角 及一组全等的三角形。 条件：1）如图1，在正方形BD 中，若E、F 分别是B、D 上的点，E⊥BF；结论：E=BF。 证明： 四边形 是正方形， ， ，∴ E⊥BF，∴ ， ， ，∴E=BF。 条件：2）如图2，在正方形BD 中，若E、F、G 分别是B、D、B 上的点，E⊥GF；结论：E=GF。 证明：在F 上取一点P，使得GB=PF，连结BP。 四边形 是正方形，∴B//D，∴四边形 是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP， 同1）中证明，可得E=GF。 条件：3）如图3，正方形BD 中，若E、F、G、分别是B、D、B、D 上的点，E⊥GF； 结论：E=GF。 证明：在F、BE 上取一点P、Q，使得GB=PF，=QE，连结BP、Q。 四边形 是正方形，∴B//D，∴四边形 是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP， 同理可证得：四边形 是平行四边形，∴Q//F，Q=F，同1）中证明，可得E=GF。 例1．（2023 江苏吴江九年级期中）如下图，将边长为9m 的正方形纸片BD 折叠，使得点落在边D 上的E 点，折痕为M．若E 的长为6m，则M 的长为 m． 例2．（2023 年辽宁省丹东市中考数学真题）如图，在正方形 中， ，点E，F 分别在边 ， 上， 与 相交于点G，若 ，则 的长为 ． 例3．（2024·广东梅州·一模）如图，E、F 分别是正方形 的边 ， 上的点，且 ， ， 相交于点 ，下列结论：① ；② ；③ ；④ 中，正确的结论有 （ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 例4．（23-24 江苏九年级期中）苏科版八下数学材中，对正方形的性质和判定进行了探究，同时课本94 页第19 题对正方形中特殊线段的位置和数量关系也进行了探究，在此，我们也来作进一步的探究，如图 1，探究所提供的正方形 的边长都为2． 【探究】(1)如图2，在正方形 中，如果点E、F 分别在 、 上，且 ，垂足为M，那么 与 相等吗？证明你的结论． 【应用】(2)如图3，在正方形 中，动点E、F 分别在边 、 上，将正方形 沿直线 折 叠，使点B 对应的点M 始终落在边 上（点M 不与点、D 重合），点落在点处， 与 交于点P， 设 ，求线段 的长（用含t 的式子表示）． 【拓展】(3)如图4，在正方形 中，E 是 的中点，F、G 分别是 、 上的动点，且 ， 求 的最小值． 模型2 矩形中的十字架模型（相似模型） 矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩 形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。 1）条件：如图1，在矩形BD 中，若E 是B 上的点，且DE⊥，结论： 证明： 四边形 为矩形， ， ； DE⊥， ， ， ， ， 2）条件：如图2，在矩形BD 中，若E、F 分别是B、D 上的点，且EF⊥，结论： 证明：如图，过点F 作 于点G，则 ； 四边形 为矩形， ， 四边形 为矩形， ； ； EF⊥， ， ； ， ， ，易证：D=B，FG=B， 3）条件：如图3，矩形BD 中，若E、F、M、分别是B、D、D、B 上的点，EF⊥M，结论： 证明：如图：过点、F 作 、 垂直 ， ； 四边形 为矩形， ， 四边形 为矩形， ； ∵EF⊥M， ，∴ ； 又∵ （对顶角相等），∴ ； ∴ ， ，易证：=B，FG=B， 例1．（2024·山西大同·模拟预测）矩形 中，E 为AD边上一点，且 ， ．将 沿 翻折到 处，延长 交 边于G 点，延长 交CD边于点，且 ，则线段 的长为 ． 例2．（22-23 下·衢州·二模）在矩形 中，E 是 边的中点，连接 ，过点B 作 于点F， 射线 与直线 交于点P，设 ． (1)如图①，若 ，求证： ；(2)如图②，当点P 恰好与点D 重合时，试确定m 的值； (3)作点B 关于直线 的对称点 ，当以点P，D， 为顶点的三角形是等腰三角形时，求 的值． 例3．（2023 年河南九年级中考三模数学试题）综合与实践 【问题发现】(1)如图1，在正方形 中，点E，F，G，分别在边 ， ， ， 上，且 于点．试猜想线段 与 的数量关系为__________； 【类比探究】(2)如图2，在矩形 中， ， ，点E，F，G，分别在边 ， ， ， 上，连接 ， ，且 ，垂足为．试写出线段 与 的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】(3)如图3，在四边形 中， ， ，点M，分别在边 ， 上， 连接 ， ，且 ，垂足为．已知 ， ，若点M 为 的三等分点，直接写出 线段 的长． 模型3 等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 条件：如图1，已知等边△B，BD=E（或D=E）， 结论：①D=BE，②D 和BE 夹角为60°，③。 证明：如图，在等边 中， ， ， 在 与 中， ， ，∴D=BE， ； ，∴D 和BE 夹角为60°； ， ， ，同理： ， 例1．（23·24 下·淄博·一模）如图，等边 ，点E，F 分别在，B 边上， ，连接F，BE，相交 于点P．(1)求 的度数；(2)求证： ． 例2．（23·24·南通·模拟预测）如图，已知 是等边 内的一点，且 ，延长 ， ，分 别交 ， 于点D，E．若 ， ，则 的周长等于 ． 例3．（23·24 下·吉安·模拟预测）课本再现： (1)如图1，D，E 分别是等边三角形的两边 上的点，且 ．求证： ．下面是小涵同 学的证明过程：证明：∵ 是等边三角形，∴ ． ∵ ，∴ ，∴ ． 小涵同学认为此题还可以得到另一个结论： 的度数是 ； 迁移应用：(2)如图2，将图1 中的 延长至点G，使 ，连接 ．利用（1）中的结论完成 下面的问题．①求证： ；②若 ，求证： ；拓展提升：(3)在等边 中， 若点D，E 分别在射线 上，连接 交于点F，且 ，将 绕点逆时针旋转到 ， 且使得 ．直线 与直线 交于点P，若 ，则 的值为 模型4 直角三角形中的十字模型（相似模型） 该模型主要分等腰直角三角形和普通直角三角形两类情况讨论。 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△B 中，B=B，B⊥B，结论：①D 为B 中点，②BF⊥D，③F：F=2：1，④∠BD=∠DF， ⑤∠FB=∠FD，⑥∠E=135°，⑦ ，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点作B 的垂线交BF 于点，过点作G 垂直于，∴∠B=90°，∴∠B+∠B=90° ∵B⊥B，∴∠B=90°，∴∠B=∠B=90°，∵BF⊥D，∴∠B+∠DB=90°，∴∠B=∠DB， ∵B=B，∴ ，∴BD=，∵D 为B 中点，∴BD=D=，∴B=2， 易证：四边形BG 为正方形，即B//G，∴ ，∴F：F=B：=2：1 ∵B=B，B⊥B，∴∠B=45°，∵∠B=90°，∴∠B=∠G=45°， ∵D=，F=F，∴ ，∴∠F=∠DF，∠F=∠FD， ∴∠BD=∠DF，∵∠F=∠FB，∴∠FB=∠FD， 如图2，过点作Q 垂直于BF，∴∠BQ=90°， ∵B⊥B，∴∠BD=∠BQ=90°，∴∠BE+∠QB=90°，∵B=B，∴ ， ∴Q=BE，E=BQ，∵BF⊥D，Q⊥BF，易证： ，∴E：Q=F：F=2：1。 ∴E=BQ=BE+EQ=Q+EQ，∴Q=EQ，∴ QE 为等腰直角三角形，∴∠QE=45°， ∴∠E=135°， 。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形B 中，B=kB，B⊥B，①D 为B 中点，②BF⊥D，③F：F=2：k2，④∠BD=∠DF，⑤ ∠FB=∠FD，⑥∠E=135°，⑦ ，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证 明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 例1．（23·24 上·深圳·期中）如图，在 中， ， ，点D 为 边上的中点， 连接 ，过点B 作 于点E，延长 交 于点F．则 的长为 ． 例2．（23·24 下·沧州·二模）如图，在 中， ， ，点D 是线段 上的一点， 连接 ，过点B 作 ，分别交 、 于点E、F，与过点且垂直于 的直线相交于点G，连接 ，下列结论错误的是（ ） ． B．若点D 是B 的中点，则 ．当B、、F、D 四点在同一个圆上时， D．若 ，则 例3．（23·24 下·三明·期末）如图①，在 中， ， ，点D 在边 上，过点作 ，垂足为M，交 于点E． (1)小亮通过探究发现 ，请你帮他说明理由；(2)如图②， 平分 交 于点，小明 通过度量猜想有 ，他的猜想正确吗？请你帮他说明理由；(3)如图③，连接 ，若D 是 的中 点，小刚通过探究得到结论 ，请你帮他说明理由． 1．（23-24 江苏八年级期末）如图，将边长为3 的正方形BD 纸片沿EF 折叠，点落在B 边上的点G 处，点 D 与点重合，G 与EF 交于点P，取G 的中点Q，连接PQ，则 GPQ 的周长最小值是（ ） ． B． ． D． 2．（2023 安徽省芜湖市九年级期中）如图，正方形 中，点E、F、分别是 的中点， 交于G，连接 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ ．正确的有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 3．（23·24 下·贵港·一模）如图，在等边 的 ， 边上各任取一点 ， ，且 ， ， 相交于点 ，下列三个结论：①若P=2P，则B=6P；②若 ， ，则 ，③ ，其中正确的是（ ） ．①② B．①③ ．②③ D．①②③ 4．（23·24·德州·二模）如图，正方形BD 中，点E 为B 边上的一点，连接E，过点D 作DM⊥E，垂足为 点M，交B 于点F．将△MF 沿B 翻折得到△F．延长DM，交于点P． 给出以下结论① ； ② ；③ ；④若 ，则 ；．其中正确的是（ ） ．①②③④ B．①②③ ．①②④ D．③④ 5．（23·24 下·江门·模拟预测）如图，在Rt△B 中，∠B=90°，=B．点D 是线段B 上的一点，连接D，过点 作G⊥D，分别交D、B 于点G、E，与过点B 且垂直于B 的直线相交于点F，点D 是B 的中点，连接DE． 则 = ； 6．（23·24 下·山西·一模）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝B＝2，E 是B 边上的中线，过点B 作E 的垂 线BD，垂足为，交于点D，则D 的长为 ． 7．（23-24 九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在 中， ， ，点D 为 边上 一动点（不与点B、重合）， 垂直 交 于点E，垂足为点，连接 并延长交 于点F，下面结 论：①若 是 边上的中线，则 ；②若 平分 ，则 ；③若 ，则 ；④当 时， ．正确的有（填序号） ． 8．（23·24 上·珠海·期中）在 中， ， ，D 为 中点，连接 ，过点作 于点E，交 于点M．过点B 作 交 的延长线于点F，则下列结论正确的有 （请 填序号）① ；② ；③连接 ，则有 是等边三角形；④连接 ， 则有 垂直平分 ． 9．（23·24 上·无锡·期末）如图，在边长为3 的等边 中，D、E 分别为边 上的点 ， 与 相交于点P， ．若 ，则 ． 10．（2024·江苏泰州·模拟预测）如图所示，在矩形 中，F 是 上一点， 平分 交 于 点E，且 ，垂足为点M， ， ，则 的长是 11．（2023·北京海淀·一模）如图，正方形 中，点 分别在 上， 交于 点 ；(1) _______．(2)在线段 上截取 ，连接 的角平分线交 于点 ． ①依题意补全图形；②用等式表示线段 与 的数量关系，并证明． 12．（2024·河南·一模）综合与实践 数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形 中，已知 ，求证： ． 甲小组同学的证明思路如下：由同角的余角相等可得 ．再由 ， ，证得 （依据：________），从而得 ． 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知 ，同样可证得 ，证明思路如下： 由 ， 可证得 ，可得 ，再根据角的等量代换即可 证得 ． 完成任务：（1）填空：上述材料中的依据是________（填“ ”或“ ”或“ ”或“ ”） 【发现问题】同学们通过交流后发现，已知 可证得 ，已知 同样可证得 ， 为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究． 【迁移探究】（2）在正方形 中，点E 在 上，点M，分别在 上，连接 交于点P． 甲小组同学根据 画出图形如图2 所示，乙小组同学根据 画出图形如图3 所示．甲小组 同学发现已知 仍能证明 ，乙小组同学发现已知 无法证明 一定成立． ①在图2 中，已知 ，求证： ；②在图3 中，若 ，则 的度数为多少? 【拓展应用】（3）如图4，在正方形 中， ，点E 在边 上，点M 在边 上，且 ，点F，分别在直线 上，若 ，当直线 与直线 所夹较小角的度数为 时，请直接写出 的长． 13．（23-24 八年级上·湖北宜昌·期中）请阅读，完成证明和填空． 九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下： (1)如图1，正三角形 中，在 、 边上分别取点 、 ，使 ，连结 、 ，发现 ，且 请证明： (2)如图2，正方形 中，在 、 边上分别取点 、 ，使 ，连结 、 ，那么 ______，且 ______度． (3)如图3，正五边形 中，在 、 边上分别取点 、 ，使 ，连结 、 ，那么 ______，且 ______度． (4)在正边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论． 请大胆猜测，用一句话概括你的发现：________________________________． 14．（23-24 八年级下·江西宜春·期中）[特例感知]如图1，在正方形 中，点E，F 分别为 ， 的中点， 、 交于点G． （1）易证 ，可知 、 的关系为___________；（2）连接 ，若 ，求 的长． [初步探究]如图2，在正方形 中，点E 为 边上一点， 分别交 、 于F、G，垂足为． 求证： ． [基本应用]如图3，将边长为6 的正方形 折叠，使得点落在边 的中点M 处，折痕为 ，点P、Q 分别在边 、 上，请直接写出折痕 的长： ________． [应用拓展]如图4，在四边形 中， ， ， ， ， 于 E， 交 于F，则 长为________． 15．（23·24 下·成都市·九年级期中）已知四边形 中， 、 分别是 、 边上的点， 与 交于点 ．（1）如图①，若四边形 是矩形，且 ，求证： ； （2）如图②， 若四边形 是平行四边形，试探究：当 与 满足什么关系时， 成立？并证明你的 结论；（3）如图③，若 ， ， ， ，请直接写出 的值． 16．（23-24 九年级下·江苏连云港·期中）【实践探究】 （1）如图1，矩形 中， 交 于点E，则 的值是______； 【变式探究】（2）如图2， 中， 为 边上一点，连接 ，交 于点E，若 ，求 的长； 【灵活应用】（3）如图3，在矩形 中， ，点E，F 分别在 上，以 为折痕，将四边 形 翻折，使得 的对应边 恰好经过点，过点作 交 于点，若 ，设 的 面积为 的面积为 的面积为 ，若 ，则 的值为_______． 17．（2024·广东深圳·中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相 邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中 平行四边形”． (1)如图1 所示，四边形 为“垂中平行四边形”， ， ，则 ________； ____ ____； (2)如图2，若四边形 为“垂中平行四边形”，且 ，猜想 与 的关系，并说明理由； (3)①如图3 所示，在 中， ， ， 交 于点 ，请画出以 为边的垂 中平行四边形，要求：点 在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）； ②若 关于直线 对称得到 ，连接 ，作射线 交①中所画平行四边形的边于点 ，连 接 ，请直接写出 的值． 18．（24-25 九年级上·陕西西安·阶段练习）【数学模型】（1）如图1，在矩形 中， ， ， 点 、 分别在边 、 上， ，垂足为点 ，则 ． 【模型探究】（2）如图2，在平行四边形 中，点 、 分别在边 、 上， 与 交于点 ， 且 ，请证明： ；