专题23 全等与相似模型之十字架模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题23 全等与相似模型之十字架模型 几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几 何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生 更好地理解和掌握。 .................................................................................................................................................1 模型1 正方形中的十字架模型（全等模型）...........................................................................................................1 模型2 矩形中的十字架模型（相似模型）...............................................................................................................7 模型3 等边三角形中的斜十字模型（相似模型）.................................................................................................12 模型4 直角三角形中的十字模型（相似模型）.....................................................................................................17 ...............................................................................................................................................22 模型1 正方形中的十字架模型（全等模型） “十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的 “十字形”，由此产生了两组相等的锐角 及一组全等的三角形。 条件：1）如图1，在正方形BD 中，若E、F 分别是B、D 上的点，E⊥BF；结论：E=BF。 证明： 四边形 是正方形， ， ，∴ E⊥BF，∴ ， ， ，∴E=BF。 条件：2）如图2，在正方形BD 中，若E、F、G 分别是B、D、B 上的点，E⊥GF；结论：E=GF。 证明：在F 上取一点P，使得GB=PF，连结BP。 四边形 是正方形，∴B//D，∴四边形 是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP， 同1）中证明，可得E=GF。 条件：3）如图3，正方形BD 中，若E、F、G、分别是B、D、B、D 上的点，E⊥GF； 结论：E=GF。 证明：在F、BE 上取一点P、Q，使得GB=PF，=QE，连结BP、Q。 四边形 是正方形，∴B//D，∴四边形 是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP， 同理可证得：四边形 是平行四边形，∴Q//F，Q=F，同1）中证明，可得E=GF。 例1．（2023 江苏吴江九年级期中）如下图，将边长为9m 的正方形纸片BD 折叠，使得点落在边D 上的E 点，折痕为M．若E 的长为6m，则M 的长为 m． 【答】3 【分析】根据图形折叠前后图形不发生大小变化得出∠ME=∠M=90°，进而得出∠DE=∠DE，再证明 △FM △ ≌DE，然后利用勾股定理的知识求出M 的长． 【详解】解：作F⊥D，垂足为F，连接E，E， ∵将正方形纸片BD 折叠，使得点落在边D 上的E 点，折痕为M， ∠ ∴ D=∠M=90°，∠DE=∠DE，∴△M∽△DE，∴∠M=∠ED， 在△FM 和△DE 中∵ ，∴△FM △ ≌DE（S），∴FM=DE=D-E=3m， 又∵在Rt△MF 中，F=9m，∴根据勾股定理得：M= =3 （m）．故答为3 ． 【点睛】本题考查了图形的翻折变换，根据图形折叠前后图形不发生大小变化得出三角形的全等是解决问 题的关键，难度一般． 例2．（2023 年辽宁省丹东市中考数学真题）如图，在正方形 中， ，点E，F 分别在边 ， 上， 与 相交于点G，若 ，则 的长为 ． 【答】 【分析】根据题意证明 ， ，利用勾股定理即可求解． 【详解】解： 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， ．故答为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握这些性质 是解题的关键． 例3．（2024·广东梅州·一模）如图，E、F 分别是正方形 的边 ， 上的点，且 ， ， 相交于点 ，下列结论：① ；② ；③ ；④ 中，正确的结论有 （ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明 是解题的关键．根据四 边形 是正方形及 ，可证出 ，则得到：① ； 可判断④； 可以证出 ，则② 一定成立；用反证法可证明 ，即可判断③． 【详解】解： 四边形 是正方形， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， （故①正确）； ∴ ∵四边形 是正方形，∴ ∴ （故④正确）； ∴ ∵四边形 是正方形，∴ ， ， ∴ 一定成立（故②正确）；假设 ， ， （线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， 在 中， ， ，这与正方形的边长 相矛盾， 假设不成立， （故③错误）；∴正确的有①②④共3 个正确，故选：． 例4．（23-24 江苏九年级期中）苏科版八下数学材中，对正方形的性质和判定进行了探究，同时课本94 页第19 题对正方形中特殊线段的位置和数量关系也进行了探究，在此，我们也来作进一步的探究，如图 1，探究所提供的正方形 的边长都为2． 【探究】(1)如图2，在正方形 中，如果点E、F 分别在 、 上，且 ，垂足为M，那么 与 相等吗？证明你的结论． 【应用】(2)如图3，在正方形 中，动点E、F 分别在边 、 上，将正方形 沿直线 折 叠，使点B 对应的点M 始终落在边 上（点M 不与点、D 重合），点落在点处， 与 交于点P， 设 ，求线段 的长（用含t 的式子表示）． 【拓展】(3)如图4，在正方形 中，E 是 的中点，F、G 分别是 、 上的动点，且 ， 求 的最小值． 【答】(1) ，理由见解析(2) (3) 【分析】（1）据正方形的性质，可证出 ，即可得证；（2）过 作 ，交 于 ， 连接 ，由（1）得同理可证： ，由折叠的性质在 中 即可求解； （3）过点 作 ，过点 作 ，当 、 、 三点共线时， 的值最小，可求 解． 【详解】（1） ．证明： 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， 在 和 中 ， ， ． （2）解：过 作 ，交 于 ，连接 ， 四边形 是正方形， ， 四边形 是平行四边形， ， 将正方形 沿直线 折叠，使点B 对应的点M 始终落在边 ， ， ， ， ， ， 由（1）得同理可证： ， ，设 ， ， ， ， ， ，在 中 ， ， 整理得： ， ． （3）解：如图，过点 作 ，过点 作 ， 当 、 、 三点共线时， 的值最小， 四边形 是平行四边形， ， ，由（2）可证： ， ， 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， 当 、 、 三点共线时， ， 的值最小 ， 的值最小 ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，平行四边形的判定 及性质，正方形的性质，折叠的性质，动点线段最小值问题，掌握相关的判定方法及性质，理解折叠的性 质，会根据动点的特征找出线段和最小值的条件是解题的关键． 模型2 矩形中的十字架模型（相似模型） 矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩 形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。 1）条件：如图1，在矩形BD 中，若E 是B 上的点，且DE⊥，结论： 证明： 四边形 为矩形， ， ； DE⊥， ， ， ， ， 2）条件：如图2，在矩形BD 中，若E、F 分别是B、D 上的点，且EF⊥，结论： 证明：如图，过点F 作 于点G，则 ； 四边形 为矩形， ， 四边形 为矩形， ； ； EF⊥， ， ； ， ， ，易证：D=B，FG=B， 3）条件：如图3，矩形BD 中，若E、F、M、分别是B、D、D、B 上的点，EF⊥M，结论： 证明：如图：过点、F 作 、 垂直 ， ； 四边形 为矩形， ， 四边形 为矩形， ； ∵EF⊥M， ，∴ ； 又∵ （对顶角相等），∴ ； ∴ ， ，易证：=B，FG=B， 例1．（2024·山西大同·模拟预测）矩形 中，E 为AD边上一点，且 ， ．将 沿 翻折到 处，延长 交 边于G 点，延长 交CD边于点，且 ，则线段 的长为 ． 【答】 /35 【分析】过E 作 于M，根据矩形性质和折叠性质，结合勾股定理求得 ，可求得 ，证 明 ，求得 和 ，设 ，证明四边形 是矩形，得到 ， ，在 中， ， ，由勾股定理求解即可． 【详解】解：过E 作 于M，如图，则 ， ∵四边形 是矩形， ，∴ ， ， ∵ 沿 翻折到 处， ，∴ ， ， ， 设 ，则 ，在 中，由勾股定理得 ， ∴ ，则 ，∴ ， ， ∵ ， ，∴ ， ∴ ，即 ，∴ ， ， 设 ，∵ ∴四边形 是矩形，∴ ， ， 在 中， ， ，由勾股定理得 ， 则 ，解得 ，∴ ．∴ 故答为： ． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、翻折性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用相关知 识求解是解答的关键． 例2．（22-23 下·衢州·二模）在矩形 中，E 是 边的中点，连接 ，过点B 作 于点F， 射线 与直线 交于点P，设 ． (1)如图①，若 ，求证： ；(2)如图②，当点P 恰好与点D 重合时，试确定m 的值； (3)作点B 关于直线 的对称点 ，当以点P，D， 为顶点的三角形是等腰三角形时，求 的值． 【答】(1)见解析(2) (3) 或2 或 【分析】(1)根据正方形的性质，证明△BE △ ≌BP 即可．(2) 设BE=E=x，则B=D=2x，证明△DF∽△BD， △DF∽△EBF 即可．(3)根据等腰三角形的性质，分三种情况求解． 【详解】（1）如图，∵ =1，四边形BD 是矩形， ∴D=B，∴四边形BD 是正方形，∴B=B，∠B=∠BP=90°， ∵ ，∴∠BE=∠BP，∴△BE △ ≌BP，∴E=BP． （2）∵ 矩形 中，E 是 边的中点，∴设BE=E=x，则B=D=2x，∠BD=90°． ∵ ，∠DF=∠BD，∴△DF∽△BD，∴ ， ∵ 四边形 是矩形，∴D∥B，∴△DF∽△EBF， ∴ ，∴ ， 解得 ， （舍去），∴BD=DF+EF=3EF= ， ∴ ，∴ ． （3）当 时，∵ 四边形 是矩形，∴B=D，D=B，∠D=∠B=∠BP=90°， ∵ E 是 边的中点， ，∴ D=B=2BE，∠PFE=90°， ∵P，D， 为顶点的三角形是等腰三角形，∴ ，∴ ，∴ ， ∠ ∴ ED=∠DE，∴D=E，∴s∠BE= ，∴∠BE=30°，根据（1）证明，得∠BE=∠BP=30°， ∴t∠BE=t30°= ，t∠BP=t30°= ， ∴ ， ，∴ = ． 如图，当点P 在D 的延长线上时，此时 落在D 上， 根据题意，得∠BF=∠ F=45°，∴∠ PD=∠P D=45°，∴ ， ∠ ∵ BF=45°，∴∠BE=45°，∴四边形BE 是正方形，故 是D 的中点， ∴ =D，∴ = ．如图，∵ ，设B=x，则D=mx，BE= ， ∠ ∵ BG=90°-∠FBE，∠EB=90°-∠FBE，∴∠BG=∠EB，∴t∠BG= t∠EB， ∴ ，∴ ，解得G= ，∵四边形BD 是矩形，∴B∥D，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ，∴ ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和 性质，等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数，熟练掌握矩形的性质，三角形的相似和特殊角的三 角函数是解题的关键． 例3．（2023 年河南九年级中考三模数学试题）综合与实践 【问题发现】(1)如图1，在正方形 中，点E，F，G，分别在边 ， ， ， 上，且 于点．试猜想线段 与 的数量关系为__________； 【类比探究】(2)如图2，在矩形 中， ， ，点E，F，G，分别在边 ， ， ， 上，连接 ， ，且 ，垂足为．试写出线段 与 的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】(3)如图3，在四边形 中， ， ，点M，分别在边 ， 上， 连接 ， ，且 ，垂足为．已知 ， ，若点M 为 的三等分点，直接写出 线段 的长． 【答】(1)证明见解析(2) ，证明见解析(3) 或 ． 【分析】（1）过点作 交于，过点G 作 交于M，证明 即可求解； （2）过点作 交于Q，过点G 作 交于P，由（1）可得 ，再结合相似三角形 的性质可得结论； （3）如图3，过点D 作 于S，根据垂直的定义得到 ， 根据已知条件得到 或 ，根据勾股定理得到 或 ，根据相似三角 形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：相等，理由如下：过点作 交于，过点G 作 交于M， ∵四边形 是正方形， ∴ ，四边形 是矩形，四边形 是矩形， ∴ ， ， ，∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ；故答为：相等； （2）解： ； 理由：过点作 交于Q，过点G 作 交于P，∴ ， 由（1）同理可得， ， ， ，∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ； ∴ ； （3）解：如图3，过点D 作 于S， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵点M 为 的三等分点， ， ∴ 或 ， ∵ ， ∴ 或 ， 由（2）同理可得： ， ∴ ， ∴ 或 ， 解得： 或 ． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角 形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，正确地作出辅助线是解题的关键． 模型3 等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 条件：如图1，已知等边△B，BD=E（或D=E）， 结论：①D=BE，②D 和BE 夹角为60°，③ 。 证明：如图，在等边 中， ， ， 在 与 中， ， ，∴D=BE， ； ，∴D 和BE 夹角为60°； ， ， ，同理： ， 例1．（23·24 下·淄博·一模）如图，等边 ，点E，F 分别在，B 边上， ，连接F，BE，相交 于点P．(1)求 的度数；(2)求证： ． 【答】(1) ；(2)见解析 【分析】（1）根据 证明 ，利用三角形的外角性质即可得解； （2）证明 ，利用对应边对应成比例列式即可． 【详解】（1）解：∵ 是等边三角形，∴ ， ， 又∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ； （2）证明：∵ ， ，∴ ． ∵ ∴ ，∴ ，∴ ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．根据等边三角形的性质和已知条 件证明三角形全等是解题的关键． 例2．（23·24·南通·模拟预测）如图，已知 是等边 内的一点，且 ，延长 ， ，分 别交 ， 于点D，E．若 ， ，则 的周长等于 ． 【答】 【分析】作 于点F，在等边 中， ， ，可求 ， ，根据勾股定 理可求 ，再利用相似三角形的判定定理可得 ，根据相似三角形的性质得 ，即 ，求得 ， ， ，即可 求 的周长． 【详解】解：如图，作 于点F， ∵在等边 中， ，∴ ， 由勾股定理得， ，∵ ，∴ ，在 中， ， ∵P 是等边 内的一点，且 ，∴ ， ∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ， ∴ ，即 ，解得 ， ，∴ ， ∴ 的周长 ．故答为： ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性 质，作出辅助线，求出 的长是解题的关键． 例3．（23·24 下·吉安·模拟预测）课本再现： (1)如图1，D，E 分别是等边三角形的两边 上的点，且 ．求证： ．下面是小涵同 学的证明过程：证明：∵ 是等边三角形，∴ ． ∵ ，∴ ，∴ ． 小涵同学认为此题还可以得到另一个结论： 的度数是 ； 迁移应用：(2)如图2，将图1 中的 延长至点G，使 ，连接 ．利用（1）中的结论完成 下面的问题．①求证： ；②若 ，求证： ；拓展提升：(3)在等边 中， 若点D，E 分别在射线 上，连接 交于点F，且 ，将 绕点逆时针旋转到 ， 且使得 ．直线 与直线 交于点P，若 ，则 的值为 【答】(1)60°(2)①见解析；②见解析(3)2 或3 【分析】（1）由全等的性质，得角相等，作等量代换得证结论； （2）①求证 ，得 ，相应可证 ， 于是 ；②可证 ，得 ，相应的 ，可证得 ； （3）如图3，当点D，点E 分别在 上时，由 ，得 ，可求证 是等边 三角形，进一步求证 ，得 ，从而 ；如图4，当点D，点E 分别在 的延长线， 的延长线上时，求证 是等边三角形，得 ，进一步求证 ，得 ，求证B=2BD，所以P=3BP， ． 【详解】（1）解：∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，故答为： ； （2）证明：①由（1）知 ，∴ ， 又∵ ，∴ 是等边三角形，∴ ． ∴ ，∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ； ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ； （3）解：如图3，当点D，点E 分别在 上时， ∵ ，∴ ，∵ ， ，∴ ，∵ ，∴ ， ∵ ，∴ 是等边三角形，∴ ， ∴ ，∴ ，由②知 D=2BD，∴ ； 如图4，当点D，点E 分别在 的延长线， 的延长线上时， ∵ ,∴ ∵ ,∴ , ∵ ,∴ ∴ 是等边三角形， ∴ ，∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴B=2BD，∴P=3BP，∴ ，故答为：2 或3． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；当属 于动点情况时，注意分类讨论，情况完备是解题的关键． 模型4 直角三角形中的十字模型（相似模型） 该模型主要分等腰直角三角形和普通直角三角形两类情况讨论。 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△B 中，B=B，B⊥B，结论：①D 为B 中点，②BF⊥D，③F：F=2：1，④∠BD=∠DF， ⑤∠FB=∠FD，⑥∠E=135°，⑦ ，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点作B 的垂线交BF 于点