第4章 三角形（测试）（解析版）

第四章 三角形 （考试时间：100 分钟 试卷满分：120 分） 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1．下面几何体中，是圆锥的为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】观察所给几何体，可以直接得出答． 【详解】解：选项为圆柱，不合题意； B 选项为圆锥，符合题意； 选项为三棱锥，不合题意； D 选项为球，不合题意； 故选B． 【点睛】本题考查常见几何体的识别，熟练掌握常见几何体的特征是解题的关键．圆锥面和一个截它的平 面，组成的空间几何图形叫圆锥． 2．下列图形是正方体展开图的个数为（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【分析】根据正方体的展开图的特征，11 种不同情况进行判断即可． 【详解】解：根据正方体的展开图的特征，只有第2 个图不是正方体的展开图，故四个图中有3 个图是正 方体的展开图． 故选：． 【点睛】考查正方体的展开图的特征，“一线不过四，田凹应弃之”应用比较广泛简洁． 3．如图，∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=126°，则∠BOC的大小为（ ） ．36° B．44° ．54° D．63° 【答】 【分析】由∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=126°，可求出∠COD的度数，再根据角与角之间的关 系求解． 【详解】∵∠AOC=90°，∠AOD=126°， ∴∠COD=∠AOD−∠AOC=36°， ∵∠BOD=90°， ∴∠BOC=∠BOD−∠COD=90°−36°=54°． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是角的计算，注意此题的解题技巧：两个直角相加和∠AOD相比，多加了 ∠BOC． 4．如图，在△ABC中，D、E 分别在B 边和边上，DE/¿ BC，M 为B 边上一点（不与B、重合），连结 M 交DE 于点，则（ ） ．AD AN = AN AE B．BD MN = MN CE ．DN BM = NE MC D．DN MC = NE BM 【答】 【分析】根据平行线的性质和相似三角形的判定可得△D BM ∽△ ，△E∽△M，再根据相似三角形的性质即 可得到答 【详解】∵DE/¿ BC，∴△D BM ∽△ ，△E M ∽△ ，∴DN BM = AN AM , AN AM = NE MC ⇒DN BM = NE MC ，故选 【点睛】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、相似 三角形的判定和性质 【新考法】 数学与实际生活——利用数学知识解决实际问题 5．如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB与CD平行，入射光线l 与出射光线m 平 行．若入射光线l 与镜面AB的夹角∠1=40°10 '，则∠6的度数为（ ） ．100° 4 0 ' B．99° 80 ' ．99° 4 0 ' D．99°20 ' 【答】 【分析】由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1= 2 ∠，可求出∠5，由l//m可得 ∠6= 5 ∠ 【详解】解：由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1= 2 ∠， ∵∠1=40°10 ' ∴∠2=40°10 ' ∴∠5=180°−∠1−∠2=180°−40°10 '−40°10 '=99° 4 0 ' ∵l//m ∴∠6=∠5=99° 4 0 ' 故选： 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解答本题的关键． 【新考法】 数学与实际生活——利用数学知识解决实际问题 6．如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出bb 角∠O的大面小，需将∠O转化为与它相等的 角，则图中与∠O相等的角是（ ） ．∠BEA B．∠DEB ．∠ECA D．∠ADO 【答】B 【分析】根据直角三角形的性质可知：∠O与∠ADO互余，∠DEB与∠ADO互余，根据同角的余角相 等可得结论． 【详解】由示意图可知：△DOA和△DBE都是直角三角形， ∴∠O+∠ADO=90°，∠DEB+∠ADO=90°， ∴∠DEB=∠O， 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 7．【易错题】若等腰三角形的两边长分别是3m 和5m，则这个等腰三角形的周长是（ ） ．8m B．13m ．8m 或13m D．11m 或13m 【答】D 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3 和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还 要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当3 是腰时， 3 ∵＋3＞5， 3 ∴，3，5 能组成三角形， 此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（m）， 当5 是腰时， 3 ∵＋5＞5， 5，5，3 能够组成三角形， 此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（m）， 则三角形的周长为11m 或13m． 故选：D 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情 况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 【几何模型】 三角形折叠模型 8．如图，三角形纸片B 中，∠B＝90°，B＝2，＝3．沿过点的直线将纸片折叠，使点B 落在边B 上的点D 处；再折叠纸片，使点与点D 重合，若折痕与的交点为E，则E 的长是（ ） ．13 6 B．5 6 ．7 6 D．6 5 【答】 【分析】根据题意可得D = B = 2， ∠B = ∠DB， E= DE， ∠=∠DE，可得∠DE = 90°，继而设E=x，则 E=DE=3-x，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点的直线将纸片折叠，使点B 落在边B 上的点D 处， ∴D = B = 2， ∠B = ∠DB， ∵折叠纸片，使点与点D 重合， ∴E= DE， ∠=∠DE， ∵∠B = 90°， ∴∠B+ = 90° ∠ ， ∴∠DB + ∠DE = 90°， ∴∠DE = 90°， ∴D2 + DE2 = E2， 设E=x，则E=DE=3-x， 2 ∴ 2+(3-x)2 =x2， 解得x=13 6 即E=13 6 故选 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 【几何模型】 一线三垂直模型 9．如图，点A(0,3)、B(1,0)，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC=90° ,BC=2 AB，则点D 的 坐标是（ ） ．(7,2) B．(7,5) ．(5,6) D．(6,5) 【答】D 【分析】先过点做出x轴垂线段E，根据相似三角形找出点的坐标，再根据平移的性质计算出对应D 点的 坐标． 【详解】 如图过点作x轴垂线，垂足为点E， ∵∠ABC=90° ∴∠ABO+∠CBE=90° ∵∠CBE+BCE=90° ∴∠ABO=∠BCE 在Δ ABO和Δ BCE中， { ∠ABO=∠BCE ∠AOB=∠BEC=90° ， ∴Δ ABO∽Δ BCE， ∴AB BC = AO BE =OB EC =1 2 ， 则BE=2 AO=6 ,EC=2OB=2 ∵点是由点B 向右平移6 个单位，向上平移2 个单位得到， ∴点D 同样是由点向右平移6 个单位，向上平移2 个单位得到， ∵点坐标为(0，3)， ∴点D 坐标为(6，5)，选项D 符合题意， 故答选D 【点睛】本题考查了图象的平移、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定与性质找出图象左右、 上下平移的距离是解题的关键． 10．如图①，在矩形ABCD中，为CD边上的一点，点M 从点出发沿折线AH−HC−CB运动到点B 停止， 点从点出发沿AB运动到点B 停止，它们的运动速度都是1cm/s，若点M、同时开始运动，设运动时间为 t (s)，△AMN的面积为S (cm 2)，已知S 与t 之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（ ） ①当0<t ≤6时，△AMN是等边三角形． ②在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M 一共有3 个． ③当0<t ≤6时，S= ❑ √3 4 t 2． ④当t=9+❑ √3时，△ADH ∽△ABM． ⑤当9<t<9+3 ❑ √3时，S=−3t+9+3 ❑ √3． ．①③④ B．①③⑤ ．①②④ D．③④⑤ 【答】 【分析】由图②可知：当0＜t≤6 时，点M、两点经过6 秒时，S 最大，此时点M 在点处，点在点B 处并停 止不动；由点M、两点的运动速度为1m/s，所以可得=B=6m，利用四边形BD 是矩形可知D=B=6m；当 6≤t≤9 时，S=9 ❑ √3且保持不变，说明点在B 处不动，点M 在线段上运动，运动时间为（9-6）秒，可得 =3m，即点为D 的中点；利用以上的信息对每个结论进行分析判断后得出结论． 【详解】解：由图②可知：点M、两点经过6 秒时，S 最大，此时点M 在点处，点在点B 处并停止不动， 如图， ①∵点M、两点的运动速度为1m/s， = ∴B=6m， ∵四边形BD 是矩形， ∴D=B=6m． ∵当t=6s 时，S=9 ❑ √3m2， ∴1 2×B×B=9 ❑ √3． ∴B=3 ❑ √3． ∵当6≤t≤9 时，S=9 ❑ √3且保持不变， ∴点在B 处不动，点M 在线段上运动，运动时间为（9-6）秒， =3m ∴ ，即点为D 的中点． ∴B=❑ √C H 2+BC 2=6． ∴B==B=6， ∴△BM 为等边三角形． ∴∠B=60°． ∵点M、同时开始运动，速度均为1m/s， ∴M=， ∴当0＜t≤6 时，△M 为等边三角形． 故①正确； ②如图，当点M 在D 的垂直平分线上时，△DM 为等腰三角形： 此时有两个符合条件的点； 当D=M 时，△DM 为等腰三角形，如图： 当D=DM 时，△DM 为等腰三角形，如图： 综上所述，在运动过程中，使得△DM 为等腰三角形的点M 一共有4 个． ∴②不正确； ③过点M 作ME⊥B 于点E，如图， 由题意：M==t， 由①知：∠B=60°． 在Rt△ME 中， s ∵∠ME= ME AM ， ∴ME=M•s60°= ❑ √3 2 t， ∴S=1 2×ME=1 2 × ❑ √3 2 t ×t= ❑ √3 4 t 2． ∴③正确； ④当t=9+❑ √3时，M=❑ √3，如图， 由①知：B=3 ❑ √3， ∴MB=B-M=2❑ √3． ∵B=6， t ∴∠MB=BM AB =2❑ √3 6 = ❑ √3 3 ， ∴∠MB=30°． ∵∠B=60°， ∴∠D=90°-60°=30°． ∴∠D=∠BM． ∵∠D=∠B=90°， ∴△D∽△BM． ∴④正确； ⑤当9＜t＜9+3 ❑ √3时，此时点M 在边B 上，如图， 此时MB=9+3 ❑ √3-t， ∴S=1 2 × AB× MB=1 2 ×6×(9+3 ❑ √3−t )=27+9 ❑ √3−3t． ∴⑤不正确； 综上，结论正确的有：①③④． 故选：． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，主要涉及函数图象上点的坐标的实际意义，三角形的面积， 等腰三角形的判定，等边三角形的判定，相似三角形的判定，特殊角的三角函数值．对于动点问题，依据 已知条件画出符合题意的图形并求得相应线段的长度是解题的关键． 二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分） 11．如图，已知△ABC ≌△≝¿，点B，E，，F 依次在同一条直线上．若BC=8，CE=5，则CF的长为 ． 【答】3 【分析】利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：由全等三角形的性质得：EF=BC=8， ∴CF=EF−CE=8−5=3， 故答为：3． 【点睛】本题考查全等三角形性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． 12．一个三角形的两边长分别是3 和5，则第三边长可以是 ．（只填一个即可） 【答】4（答不唯一，大于2 且小于8 之间的数均可） 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得 5−3<x<5+3，再解即可． 【详解】解：设第三边长为x，由题意得： 5−3<x<5+3， 则2<x<8， 故答可为：4（答不唯一，大于2 且小于8 之间的数均可）． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系：第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 13．【原创题】若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为6的正方形，则该直三棱柱的表 面积为 ． 【答】36+2❑ √3/2❑ √3+36 【分析】根据题意得出正三角形的边长为2，进而根据表面积等于两个底面积加上侧面正方形的面积即可 求解． 【详解】解：∵侧面展开图是边长为6的正方形， ∴底面周长为6， ∵底面为正三角形， ∴正三角形的边长为2 作CD⊥AB， ∵△ABC是等边三角形，AB=BC=AC=2， ∴AD=1， ∴在直角Δ ADC中， CD= ❑ √A C 2−A D 2=❑ √3， ∴S△ABC=1 2 ×2×❑ √3=❑ √3； ∴该直三棱柱的表面积为6×6+2❑ √3=36+2❑ √3， 故答为：36+2❑ √3． 【点睛】本题考查了三棱柱的侧面展开图的面积，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握以上知识 是解题的关键． 14．如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，BC< AC．点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将 △BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B '．若点B '刚好落在边AC上，∠C B ' E=30°，CE=3，则BC的 长为 ． 【答】9 【分析】根据折叠的性质以及含30 度角的直角三角形的性质得出B ' E=BE=2CE=6，即可求解． 【详解】解：∵将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B '．点B '刚好落在边AC上，在Rt △ABC中， ∠C=90°，BC< AC，∠C B ' E=30°，CE=3， ∴B ' E=BE=2CE=6， ∴BC=CE+BE=3+6=9， 故答为：9． 【点睛】本题考查了折叠的性质，含30 度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【新考法】 数学与规律探究——图形类规律 15．在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3、A4⋯在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3⋯在直线 y= ❑ √3 3 x (x ≥0)上，若点A1的坐标为(2,0)，且△A1B1 A2、△A2B2 A3、△A3 B3 A4⋯均为等边三角形． 则点B2023的纵坐标为 ． 【答】2 2022❑ √3 【分析】过点A1作A1 M ⊥x轴，交直线y= ❑ √3 3 x (x ≥0)于点M，过点B1作B1C ⊥x轴于点C，先求出 ∠A1OM=30°，再根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得A1B1=O A1=2，然后解直角三角 形可得B1C的长，即可得点B1的纵坐标，同样的方法分别求出点B2,B3,B4的纵坐标，最后归纳类推出一 般规律，由此即可得． 【详解】解：如图，过点A1作A1 M ⊥x轴，交直线y= ❑ √3 3 x (x ≥0)于点M，过点B1作B1C ⊥x轴于点C， ∵A1 (2,0)， ∴O A1=2， 当x=2时，y=2❑ √3 3 ，即M(2, 2❑ √3 3 ), A1 M=2❑ √3 3 ， ∴tan∠A1OM= A1 M A1O = ❑ √3 3 ， ∴∠A1OM=30°， ∵△A1B1 A2是等边三角形， ∴∠A2 A1B1=60° , A1 A2=A1B1， ∴∠O B1 A1=30°=∠A1OM， ∴A1B1=O A1=2， ∴B1C=A1B1⋅sin 60°=2× ❑ √3 2 ，即点B1的纵坐标为2× ❑ √3 2 ， 同理可得：点B2的纵坐标为2 2× ❑ √3 2 ， 点B3的纵坐标为2 3× ❑ √3 2 ， 点B4的纵坐标为2 4× ❑ √3 2 ， 归纳类推得：点Bn的纵坐标为2 n× ❑ √3 2 =2 n−1❑ √3（n为正整数）， 则点B2023的纵坐标为2 2023−1❑ √3=2 2022❑ √3， 故答为：2 2022❑ √3． 【点睛】本题考查了点坐标的规律探索、等边三角形的性质、正比例函数的应用、解直角三角形等知识点， 正确归纳类推出一般规律是解题关键． 16．【创新题】如图，在△ABC中，AB=AC ,∠A<90°，点D , E , F分别在边AB，BC ,CA上，连接 DE , EF , FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设BC AB =k，若AD=DF，则CF FA =¿ （结果用含k 的代数式表示）． 【答】k 2 2−k 2 【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明DE∥AC，再证△BDE∽△BAC，推出EC=1 2 k ⋅AB， 通过证明△ABC ∽△ECF，推出CF=1 2 k 2⋅AB，即可求出CF FA 的值． 【详解】解： ∵点B和点F关于直线DE对称， ∴ DB=DF， ∵ AD=DF， ∴ AD=DB． ∵ AD=DF， ∴ ∠A=∠DFA， ∵点B和点F关于直线DE对称， ∴ ∠BDE=∠FDE， 又∵ ∠BDE+∠FDE=∠BDF=∠A+∠DFA， ∴ ∠FDE=∠DFA， ∴ DE∥AC， ∴ ∠C=∠DEB，∠≝¿∠EFC， ∵点B和点F关于直线DE对称， ∴ ∠DEB=∠≝¿， ∴ ∠C=∠EFC， ∵ AB=AC， ∴ ∠C=∠B， 在△ABC和△ECF中， ¿， ∴ △ABC ∽△ECF． ∵在△ABC中，DE∥AC， ∴ ∠BDE=∠A，∠BED=∠C， ∴ △BDE∽△BAC， ∴ BE BC = BD BA =1 2， ∴ EC=1 2 BC， ∵ BC AB =k， ∴ BC=k ⋅AB，EC=1 2 k ⋅AB， ∵ △ABC ∽△ECF． ∴ AB EC = BC CF ， ∴ AB 1 2 k ⋅AB = k ⋅AB CF ， 解得CF=1 2 k 2⋅AB， ∴ CF FA = CF AC−CF = CF AB−CF = 1 2 k 2⋅AB AB−1 2 k 2⋅AB = k 2 2−k 2． 故答为：k 2 2−k 2． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质， 三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明△ABC ∽△ECF． 三．解答题（共9 小题，满分72 分，其中17、18、19 题每题6 分，20 题、21 题每题7