42 二次函数创新题及新定义问题

二次函数创新题及新定义问题 二次函数与新定义问题 在二次函数与新定义问题中，重点是将题中给出的定义“翻 译”成学过的知识，再结合二次函数的性质综合进行处理，其难点 就在于“翻译定义”的过程，对学生的理解能力和初中知识的运用 能力要求较高 典例1 若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二 次函数”． （1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数； （2）已知关于x 的二次函数y1=2x2 4mx+2m ﹣ 2+1，和y2=x2+bx+，其中y1 的图象经过点 （1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求当0≤x≤3 时，y2 的取值范围． 【答】解：（1）设顶点为（，k）的二次函数的关系式为y=（x﹣）2+k， 当=2，=3，k=4 时，二次函数的关系式为y=2（x 3 ﹣）2+4． 2 ∵＞0，∴该二次函数图象的开口向上． 当=3，=3，k=4 时，二次函数的关系式为y=3（x 3 ﹣）2+4． 3 ∵＞0，∴该二次函数图象的开口向上． ∵两个函数y=2（x 3 ﹣）2+4 与y=3（x 3 ﹣）2+4 顶点相同，开口都向上， ∴两个函数y=2（x 3 ﹣）2+4 与y=3（x 3 ﹣）2+4 是“同簇二次函数”． ∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x 3 ﹣）2+4 与y=3（x 3 ﹣）2+4． （2）∵y1的图象经过点（1，1），∴2×12 4×m×1+2m ﹣ 2+1=1． 整理得：m2 2m+1=0 ﹣ ，解得：m1=m2=1． y ∴ 1=2x2 4x+3=2 ﹣ （x 1 ﹣）2+1， y ∴ 1+y2=2x2 4x+3+x ﹣ 2+bx+=3x2+（b 4 ﹣）x+（+3）， y ∵ 1+y2与y1为“同簇二次函数”， y ∴ 1+y2=3（x 1 ﹣）2+1=3x2 6x+4 ﹣ ， ∴函数y2的表达式为：y2=x2 2x+1 ﹣ ． y ∴ 2=x2 2x+1= ﹣ （x 1 ﹣）2， ∴函数y2的图象的对称轴为x=1． 1 ∵＞0，∴函数y2的图象开口向上． 当0≤x≤3 时，∵函数y2的图象开口向上， y ∴ 2的取值范围为0≤y2≤4． 【精准解析】（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示 两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．（2）由y1的图象经过点（1，1）可以求出 m 的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函 数y2的表达式转化为顶点式，再利用二次函数的性质就可以解决问题． 练习1 设二次函数y1，y2的图象的顶点分别为（，b）、（，d），当=﹣，b=2d，且开口 方向相同时，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”． （1）请写出二次函数y=x2+x+1 的一个“反倍顶二次函数”； （2）已知关于x 的二次函数y1=x2+x 和二次函数y2=x2+x，函数y1+y2恰是y1 y ﹣ 2的“反倍 【答】解：（1）∵y=x2+x+1，∴y= ， ∴二次函数y=x2+x+1 的顶点坐标为（﹣ ， ）， ∴二次函数y=x2+x+1 的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为（ ， ）， ∴反倍顶二次函数的解析式为y=x2 x+ ﹣ ； （2）y1+y2=x2+x+x2+x=（+1）x2+（+1）x， y1+y2=（+1）（x2+x+ ）﹣ ， 顶点坐标为（﹣ ，﹣ ）， y1 y ﹣ 2=x2+x x ﹣ 2 x= ﹣ （1﹣）x2+（﹣1）x， y1 y ﹣ 2=（1﹣）（x2 x+ ﹣ ）﹣ ， 顶点坐标为（ ，﹣ ）， 由于函数y1+y2恰是y1 y ﹣ 2的“反倍顶二次函数”， 则﹣2× =﹣ ，解得= ． 1．小爱同学学习二次函数后，对函数 进行了探究．在经历列表、描点、 连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题： （1）观察探究： ①写出该函数的一条性质： 函数图象关于 轴对称 ； ②方程 的解为： ； ③若方程 有四个实数根，则 的取值范围是 ． （2）延伸思考： 将函数 的图象经过怎样的平移可得到函数 的图象？写出 平移过程，并直接写出当 时，自变量 的取值范围． 【分析】（1）根据图象即可求得； （2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数 的图象，根据图象即 可得到结论． 【解答】解：（1）观察探究： ①该函数的一条性质为：函数图象关于 轴对称； ②方程 的解为： 或 或 ； ③若方程 有四个实数根，则 的取值范围是 ． 故答为函数图象关于 轴对称； 或 或 ； ． （2）将函数 的图象向右平移2 个单位，向上平移3 个单位可得到函数 的图象， 当 时，自变量 的取值范围是 且 ． 2．（2021•长沙）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的 两点关于 轴对称，则把该函数称之为“ 函数”，其图象上关于 轴对称的不同两点叫 做一对“ 点”．根据该约定，完成下列各题． （1）若点 与点 是关于 的“ 函数” 的图象上的 一对“ 点”，则 ， ， （将正确答填在相应的横线上）； （2）关于 的函数 ， 是常数）是“ 函数”吗？如果是，指出它有多少对 “ 点”如果不是，请说明理由； （3）若关于 的“ 函数” ，且 ， ， 是常数）经过坐标原点 ， 且与直线 ， ，且 ， 是常数）交于 ， ， ， 两点， 当 ， 满足 时，直线是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该 定点的坐标；否则，请说明理由． 【分析】（1）由 ， 关于 轴对称求出 ，，由“ 函数”的定义求出； （2）分 和 两种情况考虑即可； （3）先根据过原点得出 ，再由“ 函数”得出 的值，确定二次函数解析式后，和 直线联立求出交点的横坐标，写出的解析式，确定经过的定点即可． 【解答】解：（1） ， 关于 轴对称， ， ， 的坐标为 ， 把 代入是关于 的“ 函数”中，得： ， 故答为 ， ， ； （2）当 时，有 ， 此时存在关于 轴对称得点， 是“ 函数”，且有无数对“ ”点， 当 时，不存在关于 轴对称的点， 不是“ 函数”； （3） 过原点， ， 是“ 函数”， ， ， 联立直线和抛物线得： ， 即： ， ， ， 又 ， 化简得： ， ，即 ， ， 当 时， ， 直线必过定点 ． 3．（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数 ， 是常数， ． （1）若该函数的图象经过 和 两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐 标； （2）写出一组 ， 的值，使函数 的图象与 轴有两个不同的交点，并说 明理由． （3）已知 ，当 ， ， 是实数， 时，该函数对应的函数值分别为 ， ．若 ，求证： ． 【分析】（1）考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，解 二元一次方程组即可； （2）写出一组 ， ，使得 即可； （3 ）已知 ，则 ．容易得到 ，利用 ，即 代入对代数式 进行化简，并配方得出 ． 最后注意利用 条件判断 ，得证． 【解答】解：（1）由题意，得 ， 解得 ， 所以，该函数表达式为 ． 并且该函数图象的顶点坐标为 ． （2）例如 ， ，此时 ， ， 函数 的图象与 轴有两个不同的交点． （3）由题意，得 ， ， 所以 ， 由条件 ，知 ．所以 ，得证． 4．（2021•衡阳）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为 “雁点”．例如 ， 都是“雁点”． （1）求函数 图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线 上有且只有一个“雁点” ，该抛物线与 轴交于 、 两点（点 在点 的左侧）．当 时． ①求 的取值范围； ②求 的度数； （3）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 的左侧）， 是 抛物线 上一点，连接 ，以点 为直角顶点，构造等腰 ，是否存 在点 ，使点 恰好为“雁点”？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题意得： ，解得 ，即可求解； （2）①抛物线 上有且只有一个“雁点” ，则 ，则△ ，即 ，而 ， ；由 、 的存在，则△ ，而 ，则 ，即可求解； ②求出点 的坐标为 ， 、点 的坐标为 ， ，即可求解； （3）分两种情形：点 在 的下方或上方，分别根据全等三角形解决问题． 【解答】解：（1）由题意得： ，解得 ， 当 时， ， 故“雁点”坐标为 或 ； （2）① “雁点”的横坐标与纵坐标相等， 故“雁点”的函数表达式为 ， 抛物线 上有且只有一个“雁点” ， 则 ， 则△ ，即 ， ， 故 ； 、 的存在， 则△ ， 而 ， 则 ， 综上， ； ② ，则 为 ， 解得 或 ，即点 的坐标为 ， ， 由 ， ， 解得 ，即点 的坐标为 ， ， 过点 作 轴于点 ， 则 ， ， 故 的度数为 ； （3）存在，理由：当点 在 的下方时， 由题意知，点 在直线 上，故设点 的坐标为 ， 过点 作 轴的平行线交过点 与 轴的平行线于点 ，交过点 与 轴的平行线于点 ， 设点 的坐标为 ， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即 ， ， 解得 或 ， 当点 在 的上方时，过点 作 于 ， 交 的延长线于 ． 同法可证， ，可得 ， ， ， ， ， ， ， ， 故点 的坐标为 ， 或 ， 或 ， ． 5．（2021•江西）二次函数 的图象交 轴于原点 及点 ． 感知特例 （1）当 时，如图1，抛物线 上的点 ， ， ， ， 分别关于点 中心对称的点为 ， ， ， ， ，如表： 2 ， ①补全表格； ②在图1 中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为 ． 形成概念 我们发现形如（1）中的图象 上的点和抛物线 上的点关于点 中心对称，则称 是 的“孔像抛物线”．例如，当 时，图2 中的抛物线 是抛物线 的“孔像抛物线”． 探究问题 （2）①当 时，若抛物线 与它的“孔像抛物线” 的函数值都随着 的增大而减 小，则 的取值范围为 ； ②在同一平面直角坐标系中，当 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数 的所有“孔像抛物线” 都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是 （填“ ” 或“ ” 或“ ” 或“ ” ，其中 ； ③若二次函数 及它的“孔像抛物线”与直线 有且只有三个交点，求 的 值． 【分析】（1）①根据中点公式即可求得答； ②根据题意先描点，再用平滑的曲线从左到右依次连接即可； （2）①当 时，抛物线 ，当 时， 的函数值随着 的 增大而减小，抛物线 ，当 时， 的函数值随着 的 增大而减小，找出公共部分即可； ②设符合条件的抛物线 解析式为 ，令 ， 整理得 ，分下面两种情形： 当 时， 当 时，分别讨论计算即可； ③观察图1 和图2，可知直线 与抛物线 及“孔像抛物线” 有且只有三 个交点，即直线 经过抛物线 的顶点或经过抛物线 的顶点或经过公共点 ，分别 建立方程求解即可． 【解答】解：（1）① 、 关于点 中心对称， 点 为 的中点， 设点 ， ， ， 故答为： ； ②所画图象如图1 所示， （2）①当 时，抛物线 ，对称轴为直线 ，开口向上， 当 时， 的函数值随着 的增大而减小， 抛物线 ，对称轴为直线 ，开口向下，当 时， 的函数值随着 的增大而减小， 当 时，抛物线 与它的“孔像抛物线” 的函数值都随着 的增大而减小， 故答为： ； ② 抛物线 的“孔像抛物线”是 ， 设符合条件的抛物线 解析式为 ， 令 ， 整理得 ， 抛物线 与抛物线 有唯一交点， 分下面两种情形： 当 时，无论 为何值，都会存在对应的 使得 ，此时方程无解或有无 数解，不符合题意，舍去； 当 时，△ ， 即 ， 整理得 ， 当 取不同值时，两抛物线都有唯一交点， 当 取任意实数，上述等式都成立，即：上述等式成立与 取值无关， ， 解得 ， ， ， 则 ， 故答为： ； ③抛物线 ，顶点坐标为 ， 其“孔像抛物线” 为： ，顶点坐标为 ， 抛物线 与其“孔像抛物线” 有一个公共点 ， 二次函数 及它的“孔像抛物线”与直线 有且只有三个交点时，有三种 情况： ①直线 经过 ， ， 解得： 或 （舍去）， ②直线 经过 ， ， 解得： 或 （舍去）， ③直线 经过 ， ， 但当 时， 与 只有一个交点，不符合题意，舍去， 综上所述， ． 6．（2021•云南）已知抛物线 经过点 ，当 时， 随 的增大 而增大，当 时， 随 的增大而减小．设 是抛物线 与 轴的交点 （交点也称公共点）的横坐标， ． （1）求 、 的值； （2）求证： ； （3）以下结论： ， ， ，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 【分析】（1）当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小，可 得对称轴为直线 ，且抛物线 经过点 ，列出方程组即可得答； （2 ）由 是抛物线 与 轴的交点的横坐标，可得 ， ，两边平方得 ， ，即可得结果 ； （3） 正确，可用比差法证明，由（2）可得 ，即 ， 而 ，再由 ，判断 ， ，故 ，从而 ． 【解答】（1）解： 经过点 ，当 时， 随 的增大而增大， 当 时， 随 的增大而减小，即对称轴为直线 ， ，解得 ； （2）证明：由题意，抛物线的解析式为 ， 是抛物线 与 轴的交点的横坐标， ， ， ， ， ； （3） 正确，理由如下： 由（2）知： ； ， ， 而 ， 由（2）知： ， ， ， ，即 ， ， ， 即 ， ． 7．（2021•南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函 数图象的“等值点”．例如，点 是函数 的图象的“等值点”． （1）分别判断函数 ， 的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出 “等值点”的坐标；如果不存在，说明理由； （2）设函数 ， 的图象的“等值点”分别为点 ， ，过点 作 轴，垂足为 ．当 的面积为3 时，求 的值； （3）若函数 的图象记为 ，将其沿直线 翻折后的图象记为 ．当 ， 两部分组成的图象上恰有2 个“等值点”时，直接写出 的取值范围． 【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答； （2）先根据“等值点”的定义求出函数 的图象上有两个“等值点” ， ，同理求出 ， ，根据 的面积为3 可得 ，求解即 可； （3）先求出函数 的图象上有两个“等值点” 或 ，再利用翻折的性 质分类讨论即可． 【解答】解：（1）在 中，令 ，得 不成立， 函数 的图象上不存在“等值点”； 在 中，令 ， 解得： ， ， 函数 的图象上有两个“等值点” 或 ； （2）在函数 中，令 ， 解得： ， ， ， 在函数 中，令 ， 解得： ， ， ， 轴， ， ， ， 的面积为3， ， 当 时， ， 解得 ， 当 时， ， △ ， 方程 没有实数根， 当 时， ， 解得： ， 综上所述， 的值为 或 ； （3）令 ， 解得： ， ， 函数 的图象上有两个“等值点” 或 ， ①当 时， ， 两部分组成的图象上必有2 个“等值点” 或 ， ， ， 令 ， 整理得： ， 的图象上不存在“等值点”， △ ， ， ， ②当 时，有3 个“等值点” 、 、 ， ③当 时， ， 两部分组成的图象上恰有2 个“等值点”， ④当 时， ， 两部分组成的图象上恰有1 个“等值点” ， ⑤当 时， ， 两部分组成的图象上没有“等值点”， 综上所述，当 ， 两部分组成的图象上恰有2 个“等值点”时， 或 ． 8．（2021•大连）已知函数 ，记该函数图象为 ． （1）当 时， ①已知 在该函数图象上，求 的值； ②当 时，求函数 的最大值． （2）当 时，作直线 与 轴交于点 ，与函数 交于点 ，若 时， 求 的值； （3）当 时，设图象与 轴交于点 ，与 轴交与点 ，过点 作 交直线 于点 ，设点 的横坐标为 ， 点的纵坐标为 ，若 ，求 的值． 【分析】（1）先把 代入函数 中，①把 代入 中，可得 的值； ②将 分为两部分确定 的最大值，当 时，将 配方可得最 值，再将 代入 中，可得 ，对比可得函数 的最大值； （2）分两种情况： 在 轴的上方和下方；证明 是等腰直角三角形，得 ， 列方程可得结论； （3）分两种情况： ① ，如图2，过点 作 轴于 ，证明 ，得 ， 列方程可得结论； ② ，如图3，同理可得结论． 【解答】解：（1）当 时， ， ① 在该函数图象上， ； ②当 时， ， ， 当 时， 有最大值是 ， 当 时， ， ， 当 时，函数 的最大值是 ； （2）分两种情况： ①如图1，当 在 轴上方时，由题意得： ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 解得： ， ， ， ； ②当 在 轴下方时，同理得： 解得： ， ， ， ； 综上， 的值是6 或14； （3）分两种情况： ①如图2，当 时，过点 作 轴于 ， 当 时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当 时， ，即 ， ， 解得： ， ， ，且 ， 点 的横坐标为 ， 点的纵坐标为 ，若 ， ， ， ， ， 解得： （此时， ， ， 三点重合，舍）， ； ②当 时，如图3，过点 作 轴于 ， 同理得： ， 当 时， ，则 ， 解得： ， （舍， ， ， 解得： ， ； 综上， 的值是 或 ．