题型9 二次函数综合题 类型4 二次函数与角度有关的问题12题（专题训练）（教师版）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 题型九二次函数综合题 类型四 二次函数与角度有关的问题（专题训练） 1．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，抛物线 与x 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ． (1)求抛物线解析式及 ， 两点坐标； (2)以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，求点 坐标； (3)该抛物线对称轴上是否存在点 ，使得 ，若存在，求出点 的坐标；若不存 在，请说明理由． 【答】(1)抛物线解析式为 ， ， ；(2) 或 或 ；(3) 【分析】（1）将点 代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令 ， 即可求得 两点的坐标； （2）分三种情况讨论，当 ， 为对角线时，根据中点坐标即可求解； （3）根据题意，作出图形，作 交于点 ， 为 的中点，连接 ，则 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 在 上，根据等弧所对的圆周角相等，得出 在 上，进而勾股定理，根 据 建立方程，求得点 的坐标，进而得出 的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线 与x 轴交于 ， ∴ 解得： ， ∴抛物线解析式为 ， 当 时， ， ∴ ， 当 时， 解得： ， ∴ （2）∵ ， ， ， 设 ， ∵以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形 当 为对角线时， 解得： ， ∴ ； 当 为对角线时， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 解得： ∴ 当 为对角线时， 解得： ∴ 综上所述，以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形， 或 或 （3）解：如图所示，作 交于点 ， 为 的中点，连接 ， ∵ ∴ 是等腰直角三角形， ∴ 在 上， ∵ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ 在 上， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 设 ，则 解得： （舍去） ∴点 设直线 的解析式为 ∴ 解得： ∴直线 的解析式 ∵ ， ， ∴抛物线对称轴为直线 ， 当 时， ， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，圆 周角角定理，勾股定理，求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2 已知抛物线 与x 轴相交于 ， 两点，与y 轴交于点，点 是x 轴上的动点． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若 ，过点作x 轴的垂线交抛物线于点P，交直线 于点G．过点P 作 于点D，当为何值时， ； （3）如图2，将直线 绕点B 顺时针旋转，使它恰好经过线段 的中点，然后将它向 上平移 个单位长度，得到直线 ． ① ______； ②当点关于直线 的对称点 落在抛物线上时，求点的坐标． 【答】（1） ；（2） ；（3）① ；② 或 ． 【分析】 （1）根据点 的坐标，利用待定系数法即可得； （2）先根据抛物线的解析式可得点 的坐标，再利用待定系数法可得直线 的解析 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 式，从而可得点 的坐标，然后分别求出 的长，最后根据全等三角形的性质可得 ，由此建立方程求解即可得； （3）①先利用待定系数法求出直线 的解析式，再根据平移的性质可得直线 的解 析式，从而可得点 的坐标，然后根据正切三角函数的定义即可得； ②先求出直线 的解析式，再与直线 的解析式联立求出它们的交点坐标，从而可得 点 的坐标，然后代入抛物线的解析式求解即可得． 【详解】 解：（1）将点 ， 代入 得： ， 解得 ， 则抛物线的解析式为 ； （2）由题意得：点 的坐标为 ， 对于二次函数 ， 当 时， ，即 ， 设直线 的解析式为 ， 将点 ， 代入得： ，解得 ， 则直线 的解析式为 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ， ， ， ，即 ， 解得 或 （与 不符，舍去）， 故当 时， ； （3）①如图，设线段 的中点为点 ，过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ， 则点 的坐标为 ，点 的横坐标为3， 设直线 的解析式为 ， 将点 ， 代入得： ，解得 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 则直线 的解析式为 ， 由平移的性质得：直线 的解析式为 ， 当 时， ，即 ， ， ， 故答为： ； ②由题意得： ， 则设直线 的解析式为 ， 将点 代入得： ，解得 ， 则直线 的解析式为 ， 联立 ，解得 ， 即直线 与直线 的交点坐标为 ， 设点 的坐标为 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 则 ，解得 ，即 ， 将点 代入 得： ， 整理得： ， 解得 或 ， 则点 的坐标为 或 ． 【点睛】 本题考查了二次函数与一次函数的综合、全等三角形的性质、正切三角函数等知识点，熟 练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键． 3．（2023·全国·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过 点 ．点 ， 在此抛物线上，其横坐标分别为 ，连接 ， ． (1)求此抛物线的解析式． (2)当点 与此抛物线的顶点重合时，求 的值． (3)当 的边与 轴平行时，求点 与点 的纵坐标的差． (4)设此抛物线在点 与点 之间部分（包括点 和点 ）的最高点与最低点的纵坐标的差 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 为 ，在点 与点 之间部分（包括点 和点 ）的最高点与最低点的纵坐标的差为 ． 当 时，直接写出 的值． 【答】(1) ；(2) ；(3)点 与点 的纵坐标的差为或；(4) 或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）化为顶点式，求得顶点坐标，进而根据点 的横坐标为 ，即可求解； （3）分 轴时， 轴时分别根据抛物线的对称性求得 的横坐标与 的横坐标， 进而代入抛物线解析式，求得纵坐标，即可求解； （4）分四种情况讨论，①如图所示，当 都在对称轴 的左侧时，当 在对称轴 两侧时，当点 在 的右侧时，当 的纵坐标小于时，分别求得 ，根据 建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ． ∴ ∴抛物线解析式为 ； （2）解：∵ ， 顶点坐标为 ， ∵点 与此抛物线的顶点重合，点 的横坐标为 ∴ ， 解得： ； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （3）① 轴时，点 关于对称轴 对称， ， ∴ ，则 ， ， ∴ ， ∴点 与点 的纵坐标的差为 ； ②当 轴时，则 关于直线 对称， ∴ ， 则 ∴ ， ； ∴点 与点 的纵坐标的差为 ； 综上所述，点 与点 的纵坐标的差为或； （4）①如图所示，当 都在对称轴 的左侧时， 则 ∴ ∵ ， 即 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ； ∵ ∴ 解得： 或 （舍去）； ②当 在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时， 则 ，即 ， 则 ， ∴ ， 解得： （舍去）或 （舍去）； ③当点 在 的右侧且在直线 上方时，即 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ， ∴ 解得： 或 （舍去）； ④当 在直线 上或下方时，即 ， ， ， ， 解得： （舍去）或 （舍去） 综上所述， 或 ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数 的性质是解题的关键． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 4 二次函数 的图象经过点 ， ，与y 轴交于点，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接 、 ，交于点Q，过点P 作 轴于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）连接 ，当 时，求直线 的表达式； （3）请判断： 是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理 由． 【答】（1） ；（2） ；（3） 有最大值为 ，P 点坐 标为 【分析】 （1）将 ， 代入 中，列出关于、b 的二元一次方程 组，求出、b 的值即可； （2）设 与y 轴交于点E，根据 轴可知， ，当 ，即 ，由此推断 为等腰三角形，设 ， 则 ，所以 ，由勾股定理得 ，解出点E 的坐标， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 用待定系数法确定出BP 的函数解析式即可； （3）设 与 交于点，过B 作y 轴的平行线与 相交于点M．由、两点坐标可得 所在直线表达式，求得 M 点坐标，则 ，由 ，可得 ， ，设 ，则 ，根据二次函 数性质求解即可． 【详解】 解：（1）由题意可得： 解得： ， ∴二次函数的表达式为 ； （2）设 与y 轴交于点E， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ 轴， ， ， ， ， ，设 ， 则 ， ， 在 中，由勾股定理得 ， 解得 ， ， 设 所在直线表达式为 解得 ∴直线 的表达式为 ． （3）设 与 交于点． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 过B 作y 轴的平行线与 相交于点M． 由、两点坐标分别为 ， 可得 所在直线表达式为 M ∴ 点坐标为 ， 由 ，可得 ， 设 ，则 ， ∴当 时， 有最大值08， 此时P 点坐标为 ． 【点睛】 本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股 定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 面广，难度较大，属于中考压轴题． 5．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，直线 与 轴， 轴分别交于点 ，抛物线的顶点 在直线 上，与 轴的交点为 ，其中点 的坐标为 ．直 线 与直线 相交于点 ． (1)如图2，若抛物线经过原点 ． ①求该抛物线的函数表达式；②求 的值． (2)连接 与 能否相等？若能，求符合条件的点 的横坐标；若不能，试说 明理由． 【答】(1)① ；② ；(2)能，或 或 或 ． 【分析】（1）①先求顶点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解； ②过点 作 于点 ．设直线 为 ，把 代入，得 ， 解得 ，直线 为 ．同理，直线 为 ．联立两直线解析 式得出 ，根据 ，由平行线分线段成比例即可求解； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ．①如图2-1，当 时， 存在 ．记 ，则 ．过点 作 轴于点 ，则 ．在 中， ，进而得出点 的横 坐标为6．②如图2-2，当 时，存在 ．记 ．过点 作 轴于点 ，则 ．在 中， ，得出点 的横坐标为 ．③如图 ，当 时，存在 ．记 ．过点 作 轴于点 ，则 ．在 中， ，得出点 的横坐标为 ．④如图2-4，当 时，存在 ．记 ．过点 作 轴于点 ，则 ．在 中， ，得出点 的横坐标为 ． 【详解】（1）解：①∵ ， ∴顶点 的横坐标为1． ∴当 时， ， ∴点 的坐标是 ． 设抛物线的函数表达式为 ，把 代入， 得 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 解得 ． ∴该抛物线的函数表达式为 ， 即 ． ②如图1，过点 作 于点 ． 设直线 为 ，把 代入，得 ， 解得 ， ∴直线 为 ． 同理，直线 为 ． 由 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 解得 ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． （2）设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ． ①如图 ，当 时，存在 ． 记 ，则 ． ∵ 为 的外角， ∴ ． ∵ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． 过点 作 轴于点 ，则 ． 在 中， ， ∴ ，解得 ． ∴点 的横坐标为6． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ②如图2-2，当 时，存在 ． 记 ． ∵ 为 的外角， ∴ ． ∴ ∴ ． ∴ ． 过点 作 轴于点 ，则 ． 在 中， ， ∴ ，解得 ． ∴点 的横坐标为 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ③如图2-3，当 时，存在 ．记 ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． 过点 作 轴于点 ，则 ． 在 中， ， ∴ ，解得 ． ∴点 的横坐标为 ． ④如图2-4，当 时，存在 ．记 ． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 过点 作 轴于点 ，则 ． 在 中， ， ∴ ，解得 ． ∴点 的横坐标为 ． 综上，点 的横坐标为 ． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，解直角三角形，平行线分线段成比例，熟练掌握 以上知识，分类讨论是解题的关键． 6 如图，抛物线 与x 轴交于点、B，与y 轴交于点，已知 ． （1）求m 的值和直线 对应的函数表达式； 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm （2）P 为抛物线上一点，若 ，请直接写出点P 的坐标； （3）Q 为抛物线上一点，若 ，求点Q 的坐标． 【答】（1） ， ；（2） ， ， ；（3） 【分析】 （1）求出，B 的坐标，用待定系数法计算即可； （2）做点关于B 的平行线 ，联立直线 与抛物线的表达式可求出 的坐标，设出 直线 与y 轴的交点为G，将直线B 向下平移，平移的距离为G 的长度，可得到直线 ，联立方程组即可求出P； （3）取点 ，连接 ，过点 作 于点 ，过点 作 轴于点 ，过 点 作 于点 ，得直线 对应的表达式为 ，即可求出结果； 【详解】 （1）将 代入 ， 化简得 ，则 （舍）或 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， 得： ，则 ． 设直线 对应的函数表达式为 ， 将 、 代入可得 ，解得 ， 则直线 对应的函数表达式为 ． （2）如图，过点作 ∥B，设直线 与y 轴的交点为G，将直线B 向下平移 G 个单位， 得到直线 ， 由（1）得直线B 的解析式为 ， ， ∴直线G 的表达式为 ， 联立 ， 解得： （舍），或 ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， 由直线G 的表达式可得 ， ∴ ， ， ∴直线 的表达式为 ， 联立 ， 解得： ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ． （3）如图，取点 ，连接 ，过点 作 于点 ， 过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ， ∵ ， D=D ∴ ， 又∵ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ，则 ， ． 设 ， ∵ ， ， ∴ ． 由 ，则 ，即 ，解之得， ． 所以 ，又 ， 可得直线 对应的表达式为 ， 设 ，代入 ， 得 ， ， ， 又 ，则 ．所以 ． 【点睛】 本题主要考查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是解题的关键． 7．（2023·新疆·统考中考真题）【建立模型】(1)如图，点 是线段 上的一点， ， ， ，垂足分别为 ， ， ， ．求证： 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ； 【类比迁移】(2)如图 ，一次函数 的图象与 轴交于点 、与 轴交于点 ，将 线段 绕点 逆时针旋转 得到 、直线 交 轴于点 ． ①求点 的坐标； ②求直线 的解析式； 【拓展延伸】(3)如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点点 在点 的左侧， 与 轴交于 点，已知点 ， ，连接 ．抛物线上是否存在点 ，使得 ，若存在，求出点 的横坐标． 【答】（1）见解析； （2）① ；②直线 的解析式为 ；（3） 或 【分析】[建立模型]（1）根据题意得出 ， ，证明 ，即可得证； [类比迁移] （2）①过点 作 轴于点 ，同（1）的方法，证明 ，根据 一次函数 的图象与 轴交于点 、与 轴交于点 ，求得 ， ，进 而可得 点的坐标； ②由 ，设直线 的解析式为 ，将点 代入得直线 的解析式为 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm ； [拓展延伸]（3）根据解析式求得 ， ；①当 点在 轴下方时，如图所示， 连接 ，过点 作 于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 ， 于点 ，证明 ，根据 得出 ， 设 ，则 ，求得点 ，进而求得直线 的解析式，联立抛物线解 析式即可求解；②当 点在 轴的上方时，如图所示，过点 作 ，于点 ，过 点 作 轴，交 轴于点 ，过点 作 于点 ，同①的方法即可求解． 【详解】[建立模型]（1）证明：∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ； [类比迁移]（2）如图所示，过点 作 轴于点 ， ∵将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ， ∴ ， 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 又 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵一次函数 的图象与 轴交于点 、与 轴交于点 ， 当 时， ，即 ， 当 时， ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ②∵ ，设直线 的解析式为 ， 将 代入得： 解得： ∴直线 的解析式为 ， （3）∵抛物线 与 轴交于 ， 两点点 在点 的左侧， 当 时， ， 解得：