专题71 函数中的新定义问题（原卷版）(1)

考点1 一次函数新定义问题 【例1】．定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝x 的交点称为一次函数 y＝kx+b（k≠0）的“不动点”．例如求y＝2x 1 ﹣的“不动点”：联立方程 ， 解得 ，则y＝2x 1 ﹣的“不动点”为（1，1）． （1）由定义可知，一次函数y＝3x+2 的“不动点”为 ； （2）若一次函数y＝mx+的“不动点”为（2，﹣1），求m、的值； （3）若直线y＝kx 3 ﹣（k≠0）与x 轴交于点，与y 轴交于点B，且直线y＝kx 3 ﹣上没有 “不动点”，若P 点为x 轴上一个动点，使得S△BP＝3S△B，求满足条件的P 点坐标． 变式训练 【变1-1】．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图 象研究其性质一一运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或 平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义 例题精讲 ． 结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题： 在函数y＝|kx 3|+ ﹣ b 中，当x＝2 时，y＝﹣4；当x＝0 时，y＝﹣1． （1）求这个函数的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这 个函数的一条性质； （3）已知函数 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 的解集． （4）若方程|x2 6 ﹣x|﹣＝0 有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 考点2 反比例函数新定义问题 【例2】．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特 征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝x+| 2 ﹣x+6|+m 性质及其应用的部分 过程，请按要求完成下列各小题． x … 2 ﹣ 1 ﹣ 0 1 2 3 4 5 … y … 6 5 4 2 1 b 7 … （1）写出函数关系式中m 及表格中，b 的值；m＝ ，＝ ，b＝ ； （2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）已知函数y＝﹣（x 2 ﹣）2+8 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式x+| 2 ﹣x+6|+m＞﹣（x 2 ﹣）2+8 的解集为 ． 变式训练 【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值 称为这两个图形之间的距离，即，B 分别是图形M 和图形上任意一点，当B 的长最小时， 称这个最小值为图形M 与图形之间的距离． 例如，如图1，B⊥l1，线段B 的长度称为点与直线l1之间的距离，当l2∥l1时，线段B 的长 度也是l1与l2之间的距离． 【应用】 （1）如图2，在等腰Rt△B 中，∠＝90°，B＝，点D 为B 边上一点，过点D 作DE∥B 交于 点E．若B＝6，D＝4，则DE 与B 之间的距离是 ； （2）如图3，已知直线l3：y＝﹣x+4 与双曲线1：y＝ （x＞0）交于（1，m）与B 两点， 点与点B 之间的距离是 ，点与双曲线1之间的距离是 ； 【拓展】 （3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m 时，需要在高速路旁修建与高 速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南﹣西北”走向的笔直高速路，路旁某 住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m．现以高速路上某一合适位 置为坐标原点，建立如图5 所示的直角坐标系，此时高速路所在直线l4的函数表达式为y＝ ﹣x，小区外延所在双曲线2的函数表达式为y＝ （x＞0），那么需要在高速路旁修建 隔音屏障的长度是多少？ 考点3 二次函数新定义问题 【例3】．小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x| 1 ﹣）2进行了探究．在经历列表、 描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题： （1）观察探究： ①写出该函数的一条性质： ； ②方程﹣（|x| 1 ﹣）2＝﹣1 的解为： ； ③若方程﹣（|x| 1 ﹣）2＝m 有四个实数根，则m 的取值范围是 ． （2）延伸思考： 将函数y＝﹣（|x| 1 ﹣）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x 1| 1 ﹣﹣）2+2 的图 象？写出平移过程，并直接写出当1＜y1≤2 时，自变量x 的取值范围． 变式训练 【变3-1】．我们定义一种新函数：形如y＝|x2+bx+|（≠0，b2 4 ﹣＞0）的函数叫做“鹊 桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2+bx+|的图象（如图所示），下列结论正 确的是（ ） ．图象具有对称性，对称轴是直线x＝15 B．有且只有﹣1≤x≤1 时，函数值y 随x 值的增大而增大 ．若＜0，则8+＞0 D．若＜0，则+b≥m（m+b）（m 为任意实数） 【变3-2】．已知抛物线y＝x2+过点（﹣2，0）和D（﹣1，3）两点，交x 轴于另一点B． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，点P 是BD 上方抛物线上一点，连接D，BD，PD，当BD 平分∠DP 时， 求P 点坐标； （3）将抛物线图象绕原点顺时针旋转90°形成如图2 的“心形”图，其中点M，分别是 旋转前后抛物线的顶点，点E、F 是旋转前后抛物线的交点． ①直线EF 的解析式是 ； ②点G、是“心形”图上两点且关于EF 对称，则线段G 的最大值是 ． 1．对于实数，b，定义符号mx|，b|，其意义为：当≥b 时，mx|，b|＝，当＜b 时，mx|，b|＝ b．例如mx|2，﹣1|＝2，若关于x 的函数y＝mx|2x 1 ﹣，﹣x+5|，则该函数的最小值为（ ） ． B．1 ． D．3 2．在平面直角坐标系xy 中，对于点P（，b），若点P′的坐标为（k+b，+ ）（其中k 为 常数且k≠0），则称点P′为点P 的“k 关联点”．已知点在反比例函数y＝ 的图象上 运动，且点是点B 的“ 关联点” ，当线段B 最短时，点B 的坐标为 ． 3．定义：由，b 构造的二次函数y＝x2+（+b）x+b 叫做一次函数y＝x+b 的“滋生函数”， 一次函数y＝x+b 叫做二次函数y＝x2+（+b）x+b 的“本源函数”（，b 为常数，且 ≠0）．若一次函数y＝x+b 的“滋生函数”是y＝x2 3 ﹣x++1，那么二次函数y＝x2 3 ﹣x+ +1 的“本源函数”是 y ＝﹣ 2 x 1 ﹣ ． 4．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”．例 如（﹣3，﹣3）、（1，1）、（2023，2023）都是“不动点”．已知双曲线 ． （1）下列说法不正确的是 ． ．直线y＝x 的图象上有无数个“不动点” B．函数 的图象上没有“不动点” ．直线y＝x+1 的图象上有无数个“不动点” D．函数y＝x2的图象上有两个“不动点” （2）求双曲线 上的“不动点”； （3）若抛物线y＝x2 3 ﹣x+（、为常数）上有且只有一个“不动点”， ①当＞1 时，求的取值范围． ②如果＝1，过双曲线 图象上第一象限的“不动点”做平行于x 轴的直线l，若抛物 线上有四个点到l 的距离为m，直接写出m 的取值范围． 5．在并联电路中，电源电压为U 总＝6V，小亮根据“并联电路分流不分压”的原理知道： 总＝1+2（1＝ ，2＝ ），已知R1为定值电阻，当R 变化时，干路电流总也会发生变化， 且干路电流总与R 之间满足如下关系：总＝1+ ． （1）定值电阻R1的阻值为 Ω； （2）小亮根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数2＝ 来 探究函数总＝1+ 的图象与性质． ①列表：如表列出总与R 的几组对应值，请写出m，的值：m＝ ，＝ ； R … 3 4 5 6 … 2＝ … 2 15 12 1 … 总＝1+ … 3 m 22 … ②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R 的取值为横坐标，以总相对应的值 为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来； （3）观察图象并分析表格，回答下列问题： ①总随R 的增大而 ；（填“增大”或“减小”） ②函数总＝1+ 的图象是由2＝ 的图象向 平移 个单位而得到． 6．小欣研究了函数 的图象与性质．其研究过程如下： （1）绘制函数图象①列表：下表是x 与y 的几组对应值，其中m＝ ； x … 4 ﹣ 3 ﹣ 2 ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ 0 1 2 … y … ﹣ ﹣ 1 ﹣ 2 ﹣ 3 ﹣ 3 2 m … ②描点：根据表中的数值描点（x，y）； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． （2）探究函数性质：下列说法不正确的是 ．函数值y 随x 的增大而减小 B．函数图象不经过第四象限 ．函数图象与直线x＝﹣1 没有交点 D．函数图象对称中心（﹣1，0） （3）如果点（x1，y1）、B（x2，y2）在函数图象上，如果x1+x2＝﹣2，则y1+y2＝ ． 7．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数 的图象与性质，其探究过程如下： （1）绘制函数图象， 列表：下表是x 与y 的几组对应值，其中m＝ ． x … 3 ﹣ 2 ﹣ 1 ﹣ 1 2 3 … y … 1 2 4 4 2 1 m … 描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的 点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，已经画出了部分图象，请你把图象补充完整； （2）通过观察图象，下列关于该函数的性质表述正确的是： ；（填写代号） ①函数值y 随x 的增大而增大；② 关于y 轴对称；③ 关于原点对称； （3）在上图中，若直线y＝2 交函数 的图象于，B 两点（在B 左边），连接． 过点B 作B∥交x 轴于．则S 四边形B＝ ． 8．【定义】 从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该已知图形的两点，则这两条射线所成的 最大角称为该点对已知图形的视角，如图①，∠PB 是点P 对线段B 的视角． 【应用】 （1）如图②，在直角坐标系中，已知点（2， ），B（2，2 ），（3， ），则 原点对三角形B 的视角为 ； （2）如图③，在直角坐标系中，以原点，半径为2 画圆1，以原点，半径为4 画圆2， 证明：圆2上任意一点P 对圆1的视角是定值； 【拓展应用】 （3）很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图④．现在有一条笔 直的天桥，标志性建筑外延呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为45°的位置 拍摄．现以建筑的中心为原点建立如图⑤的坐标系，此时天桥所在的直线的表达式为x ＝﹣5，正方形建筑的边长为4，请直接写出直线上满足条件的位置坐标． 9．小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y＝[x]，若x≥0 时，[x]＝x2 1 ﹣；若x＜0 时，[x]＝﹣x 1 ﹣．小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究． （1）①列表：下表列出y 与x 的几组对应值，请写出m，的值m＝ ；＝ ； x … 2 ﹣ 1 ﹣ 0 1 2 … y … 1 m 0 0 … ②描点：在平面直角坐标系中，以①给出的自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数 值为纵坐标，描出相应的点并连线，作出函数图象； （2）下列关于该函数图象的性质正确的是 ；（填序号） ①y 随x 的增大而增大； ②该函数图象关于y 轴对称； ③当x＝0 时，函数有最小值为﹣1； ④该函数图象不经过第三象限． （3）若函数值y＝8，则x＝ ； （4）若关于x 的方程2x+＝[x]有两个不相等的实数根，请结合函数图象，直接写出的取 值范围是 ． 10．某公内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度B 为4 米．在距点水平距离为 d 米的地点，拱桥距离水面的高度为米．小红根据学习函数的经验，对d 和之间的关系 进行了探究． 下面是小红的探究过程，请补充完整： （1）经过测量，得出了d 和的几组对应值，如表． d/米 0 06 1 18 24 3 36 4 /米 088 190 238 286 280 238 160 088 在d 和这两个变量中， d 是自变量， 是这个变量的函数； （2）在下面的平面直角坐标系xy 中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合表格数据和函数图象，解决问题： ①桥墩露出水面的高度E 为 米； ②公欲开设游船项目，现有长为35 米，宽为15 米，露出水面高度为2 米的游船．为安 全起见，公要在水面上的，D 两处设置警戒线，并且E＝DF，要求游船能从，D 两点之 间安全通过，则处距桥墩的距离E 至少为 米．（精确到01 米） 11．小明为了探究函数M：y＝﹣x2+4|x| 3 ﹣的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、 归纳得到，并运用性质解决问题． （1）完成函数图象的作图，并完成填空． ①列出y 与x 的几组对应值如表： x … 5 ﹣ 4 ﹣ 3 ﹣ 2 ﹣ 1 ﹣ 0 1 2 3 4 5 … y … 8 ﹣ 3 ﹣ 0 1 0 3 ﹣ 0 1 0 8 ﹣ … 表格中，＝ ； ②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系xy 中，画出当x＞0 时函数M 的图象； ③观察图象，当x＝ 时，y 有最大值为 ； （2）求函数M：y＝﹣x2+4|x| 3 ﹣与直线l：y＝2x 3 ﹣的交点坐标； （3）已知P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M 的图象上，当y1＜y2时，请直接写 出m 的取值范围． 12．定义：平面直角坐标系xy 中，若点M 绕原点顺时针旋转90°，恰好落在函数图象上， 则称点M 为函数图象的“直旋点”．例如，点 是函数y＝x 图象的“直旋 点”． （1）在①（3，0），②（﹣1，0），③（0，3）三点中，是一次函数 图象 的“直旋点”的有 （填序号）； （2）若点（3，1）为反比例函数 图象的“直旋点”，求k 的值； （3）二次函数y＝﹣x2+2x+3 与x 轴交于，B 两点（在B 的左侧），与y 轴交于点，点D 是二次函数y＝﹣x2+2x+3 图象的“直旋点”且在直线上，求D 点坐标． 13．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣ M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数 的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界是1． （1）直接判断函数y＝ （x＞0）和y＝﹣2x+1（﹣4＜x≤2）是不是有界函数？若是有 界函数，直接写出其边界值； （2）若一次函数y＝kx+b（﹣2≤x≤1）的边界值是3，且这个函数的最大值是2，求这个 一次函数的解析式； （3）将二次函数y＝﹣x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向上平移m 个单位，得到的函数的 边界值是，当m 在什么范围时，满足 ≤≤1． 14．在平面直角坐标系中，由两条与x 轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所 围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图所示，抛物线1 与抛物线2：y＝mx2+4mx 12 ﹣ m （m＞0）的部分图象组成一个“月牙线”，相同的交点分别为M，（点M 在点的左 侧），与y 轴的交点分别为，B，且点的坐标为（0，﹣1）． （1）求M，两点的坐标及抛物线1的解析式； （2）若抛物线2的顶点为D，当m＝ 时，试判断三角形MD 的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，点P（t，﹣ ）是抛物线1 上一点，抛物线2 第三象限上是否 存在一点Q，使得S△PM＝ S△Q，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理 由． 15．阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量x 在取值范围内任取x＝与x＝﹣时， 函数值相等，那么这个函数是“对称函数”．例如：y＝x2，在实数范围内任取x＝时， y＝2；当x＝﹣时，y＝（﹣）2＝2，所以y＝x2是“对称函数”． （1）函数y＝2|x|+1 对称函数（填“是”或“不是”）．当x≥0 时，y＝2|x|+1 的 图象如图1 所示，请在图1 中画出x＜0 时，y＝2|x|+1 的图象． （2）函数y＝x2 2| ﹣x|+1 的图象如图2 所示，当它与直线y＝﹣x+恰有3 个交点时，求的 值． （3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形BD 的顶点坐标分别是（﹣3，0），B（2， 0），（2，﹣3），D（﹣3，﹣3），当二次函数y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的图象与矩形的 边恰有4 个交点时，求b 的取值范围． 16．定义：把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形，我们把这个封闭图形称为“蛋 圆”．如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如 图，，B，，D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D 的坐标为（0，8），B 为半 圆的直径，半圆的圆心M 的坐标为（1，0），半圆半径为3． （1）请你直接写出“蛋圆”抛物线部分的解析式y ，自变量的取值范围是 ； （2）请你求出过点的“蛋圆”切线与x 轴的交点坐标； （3）求经过点D 的“蛋圆”切线的解析式． 17．规定：如果两个函数图象上至少存在一组点是关于原点对称的，我们则称这两个函数 互为“—函数”．这组点称为“X 点”．例如：点P（1，1）在函数y＝x2上，点Q（﹣ 1，﹣1）在函数y＝﹣x 2 ﹣上，点P 与点Q 关于原点对称，此时函数y＝x2和y＝﹣x 2 ﹣ 互为“—函数”，点P 与点Q 则为一组“X 点”． （1）已知函数y＝﹣2x 1 ﹣和y＝﹣ 互为“—函数”，请求出它们的“X 点”； （2）已知函数y＝x2+2x+4 和y＝4x+ 2022 ﹣ 互为“—函数”，求的最大值并写出“X 点”； （3）已知二次函数y＝x2+bx+（＞0）与y＝2bx+1 互为“—函数”有且仅存在一组“X 点”，如图，若二次函数的顶点为M，与x 轴交于（x1，0），B（x2，0）其中0＜x1＜ x2，B＝ ，过顶点M 作x 轴的平行线l，点P 在直线l 上，记P 的横坐标为﹣ ，连接P，P，BP．若∠P＝∠BP，求t 的最小值． 18．如果三角形的两个内角α 与β 满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“三角 形”． （1）判断下列三角形是否为“三角形”？如果是，请在对应横线上画“√”，如果不是， 请在对应横线上画“×”； ①其中有两内角分别为30°，60°的三角形 ； ②其中有两内角分别为50°，60°的三角形 ； ③其中