专题22.7 二次函数中的新定义问题专项训练（30道）（原卷版）

专题227 二次函数中的新定义问题专项训练（30 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共30 题，选择10 题，填空10 题，解答10 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题 有深度，可加强学生对新定义函数的理解！ 一．选择题（共10 小题） 1．（2022•市中区校级模拟）定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝 对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记[P]＝|x|+|y|．若抛物线y＝x2+bx+1 与直线y＝x 只有一个交点，已知点在第一象限，且2≤[]≤4，令t＝2b2 4+2020 ﹣ ，则t 的取值范围为 （ ） ．2017≤t≤2018 B．2018≤t≤2019 ．2019≤t≤2020 D．2020≤t≤2021 2．（2022•市中区二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x≥0 时， 它们对应的函数值相等；当x＜0 时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两 个函数互为相关函数．例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为y={ x( x ≥0) −x( x＜0)．已 知点M，的坐标分别为(−1 2 ，1)，( 9 2 ，1)，连结M，若线段M 与二次函数y＝﹣ x2+4x+的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为（ ） ．﹣3≤≤ 1 ﹣或1＜n≤5 4 B．﹣3＜＜﹣1 或1＜n≤5 4 ．﹣3＜≤﹣1 或1≤n≤5 4 D．﹣3≤≤ 1 ﹣或1≤n≤5 4 3．（2022•青秀区校级一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2 倍，则称这个点为 二倍点．若二次函数y＝x2﹣x+（为常数）在﹣2＜x＜4 的图象上存在两个二倍点，则的 取值范围是（ ） ．﹣2＜＜1 4 B．﹣4＜＜9 4 ．﹣4＜＜1 4 D．﹣10＜＜9 4 4．（2022 秋•汉阳区期中）我们定义：若点在某一个函数的图象上，且点的横纵坐标相等， 我们称点为这个函数的“好点”．若关于x 的二次函数y＝x2+tx 2 ﹣t 对于任意的常数t 恒 有两个“好点”，则的取值范围为（ ） ．0＜＜1 B．0＜a＜1 2 ．1 3 ＜a＜1 2 D．1 2 ＜a＜1 1 5．（2022 秋•和平区校级月考）对于实数，b，定义运算“*”：*b¿{ a 2−ab(a≥b) b 2−ab(a＜b) ，例如： 4*2，因为4＞2，所以4*2＝42 4×2 ﹣ ＝8．若函数y＝（2x）*（x+1），则下列结论： ①方程（2x）*（x+1）＝0 的解为﹣1 和1； ②关于x 的方程（2x）*（x+1）＝m 有三个解，则0＜m≤1； ③当x＞1 时，y 随x 的增大而增大； ④直线y＝kx﹣k 与函数y＝（2x）*（x+1）图象只有一个交点，则k＝﹣2； ⑤当x＜1 时，函数y＝（2x）*（x+1）的最大值为1． 其中正确结论的序号有（ ） ．②④⑤ B．①②⑤ ．②③④ D．①③⑤ 6．（2022•莱芜区二模）定义：平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x 的绝对值表示 为|x|，纵坐标y 的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和 叫做点P（x，y）的折线距离，记为|M|＝|x|+|y|（其中的“+”是四则运算中的加法），若 抛物线y＝x2+bx+1 与直线y＝x 只有一个交点M，已知点M 在第一象限，且2≤|M|≤4，令 t＝2b2 4+2022 ﹣ ，则t 的取值范围为（ ） ．2018≤t≤2019 B．2019≤t≤2020 ．2020≤t≤2021 D．2021≤t≤2022 7．（2022•岳阳模拟）在平面直角坐标系中，对于点P（m，）和点P′（m，′），给出如下 新定义，若'¿{ ¿n∨(当m＜0 时) n−2(当m≥0 时) ，则称点P′（m，′）是点P（m，）的限变点，例如： 点P1（1，4）的限变点是P′1（1，2），点P2（﹣2，﹣1）的限变点是P′2（﹣2，1）， 若点P（m，）在二次函数y＝﹣x2+4x+1 的图象上，则当﹣1≤m≤3 时，其限变点P′的纵 坐标'的取值范围是（ ） ．﹣1≤'＜3 B．1≤'＜4 ．1≤'≤3 D．﹣1≤'≤4 8．（2022•自贡模拟）定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角 形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y¿ 1 3x+b 经过点M（0，1 4 ），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…B（，y） （为正整 数），依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：1（x1，0），2 （x2，0），3（x3，0），…+1（x+1，0）（为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d 为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线． 1 ．5 12或7 12 B．5 12或11 12 ．7 12或11 12 D．7 12 9．（2022 秋•诸暨市期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称 为“互异二次函数”．如图，在正方形B 中，点（0，2），点（2，0），则互异二次函 数y＝（x﹣m）2﹣m 与正方形B 有交点时m 的最大值和最小值之差为（ ） ．5 B．7+❑ √17 2 ．4 D．7−❑ √17 2 10．（2022 秋•亳州月考）定义：在平面直角坐标系中，过一点P 分别作坐标轴的垂线， 这两条垂线与坐标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P 叫做和谐点， 所围成的矩形叫做和谐矩形．已知点P 是抛物线y＝x2+k 上的和谐点，所围成的和谐矩 形的面积为16，则k 的值可以是（ ） ．16 B．4 ．﹣12 D．﹣18 二．填空题（共10 小题） 11．（2022•芦淞区模拟）定义[，b，]为函数y＝x2+bx+的特征数，下面给出特征数位[2m， 1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论： ①当m＝﹣3 时，函数图象的顶点坐标是（1 3，8 3）； ②当m＝1 时，函数图象截x 轴所得的线段长度等于2； ③当m＝﹣1 时，函数在x＞1 4 时，y 随x 的增大而减小； ④当m≠0 时，函数图象经过同一个点． 上述结论中所有正确的结论有 ．（填写所有正确答的序号） 12．（2022 秋•浦东新区期末）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于 直线的“割距”，如图，线段M 长就是抛物线关于直线的“割距”．已知直线y＝﹣ 1 x+3 与x 轴交于点，与y 轴交于点B，点B 恰好是抛物线y＝﹣（x﹣m）2+的顶点，则此 时抛物线关于直线y 的割距是 ． 13．（2022•宣州区校级自主招生）对某一个函数给出如下定义：若存在实数m＞0，对于 任意的函数值y，都满足﹣m≤y≤m，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的m 中， 其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将 函数y＝﹣x2+1（﹣2≤x≤t，t≥0）的图象向上平移t 个单位，得到的函数的边界值满足 9 4 ≤≤5 2 时，则t 的取值范围是 ． 14．（2022 秋•德清县期末）定义：在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的 点称为“整点”．若抛物线y＝x2 2 ﹣x++3 与x 轴围成的区域内（不包括抛物线和x 轴上 的点）恰好有8 个“整点”，则的取值范围是 ． 15．（2022 秋•鄞州区校级期末）定义：在平面直角坐标系中，若点满足横、纵坐标都为 整数，则把点叫做“整点”．如：B（3，0）、（﹣1，3）都是“整点”．当抛物线y＝ x2 4 ﹣x+1 与其关于x 轴对称的抛物线围成的封闭区域内（包括边界）共有9 个整点时， 的取值范围 ． 16．（2022 秋•思明区校级期中）在直角坐标系xy 中，对于点P（x，y）和Q（x，y′）， 给出如下定义： 1 若y′¿{ y( x ≥0) −y( x＜0)，则称点Q 为点P 的“可控变点”． 请问：若点P 在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤）的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y′的 取值范围是﹣16＜y′≤16，则实数的取值范围是 ． 17．（2022•徐汇区模拟）定义：将两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离称为这 两个函数的“和谐值”．如果抛物线y＝x2+bx+（≠0）与抛物线y＝（x 1 ﹣）2+1 的“和 谐值”为2，试写出一个符合条件的函数解析式： ． 18．（2022•二道区校级模拟）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数 称为“互异二次函数”．如图，在正方形B 中，点（0，2），点（2，0），则互异二次 函数y＝（x﹣m）2﹣m 与正方形B 有公共点时m 的最大值是 ． 19．（2022•郫都区模拟）定义：由，b 构造的二次函数y＝x2+（+b）x+b 叫做一次函数y＝ x+b 的“滋生函数”，一次函数y＝x+b 叫做二次函数y＝x2+（+b）x+b 的“本源函数” （，b 为常数，且≠0）．若一次函数y＝x+b 的“滋生函数”是y＝x2 3 ﹣x++1，那么二次 函数y＝x2 3 ﹣x++1 的“本源函数”是 ． 20．（2022•亭湖区校级开学）定义{，b，}＝（＜＜b），即（，b，）的取值为，b，的中 位数，例如：{1，3，2}＝2，{8，3，6}＝6，已知函数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}与直线y ¿ 1 3x+b 有3 个交点时，则b 的值为 ． 三．解答题（共10 小题） 21．（2022•工业区模拟）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称 该点为这个函数图象的“好点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2 的图象的“好 点”． （1）在函数①y＝﹣x+3，②y¿ 3 x ③y＝x2+2x+1 的图象上，存在“好点”的函数是 ；（填序号） （2）设函数y¿−4 x （x＜0）与y＝kx+3 的图象的“好点”分别为点、B，过点作⊥y 轴， 垂足为．当△B 为等腰三角形时，求k 的值； （3）若将函数y＝x2+2x 的图象在直线y＝m 下方的部分沿直线y＝m 翻折，翻折后的部 1 分与图象的其余部分组成了一个新的图象．当该图象上恰有3 个“好点”时，求m 的值． 22．（2022 春•荷塘区校级期中）如图1，若关于x 的二次函数y＝x2+bx+（，b，为常数且 ＜0）与x 轴交于两个不同的点（x1，0），B（x2，0）（x1＜0＜x2），与y 轴交于点，抛 物线的顶点为M，是坐标原点． （1）若＝﹣1，b＝2，＝3． ①求此二次函数图象的顶点M 的坐标； ②定义：若点G 在某一个函数的图象上，且点G 的横纵坐标相等，则称点G 为这个函 数的“好点”．求证：二次函数y＝x2+bx+有两个不同的“好点”． 1 （2 ）如图2 ，连接M ，直线M 与x 轴交于点P ，满足∠P ＝∠PB ，且 tan∠PBC=1 2 ，△PBC的面积为1 3，求二次函数的表达式． 23．（2022 春•海门市期中）定义：在平面直角坐标系xy 中，若某函数的图象上存在点P （x，y），满足y＝mx+m，m 为正整数，则称点P 为该函数的“m 倍点”．例如：当m ＝2 时，点（﹣2，﹣2）即为函数y＝3x+4 的“2 倍点”． （1）在点（2，3），B（﹣2，﹣3），（﹣3，﹣2）中， 是函数y¿ 6 x 的“1 倍 点”； （2）若函数y＝﹣x2+bx 存在唯一的“4 倍点”，求b 的值； （3）若函数y＝﹣x+2m+1 的“m 倍点”在以点（0，10）为圆心，半径长为2m 的圆外， 求m 的所有值． 1 24．（2022•费县一模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这 个函数图象的“等值点”，例如，点（2，2）是函数y＝2x 2 ﹣的图象的“等值点”． （1）分别判断函数y=5 x ，y=x+2的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出 “等值点”的坐标；如果不存在，说明理由； （2）写出函数y＝﹣x2+2 的等值点坐标； （3）若函数y＝﹣x2+2（x≤m）的图象记为1，将其沿直线x＝m 翻折后的图象记为2．当 1，2两部分组成的图象上恰有2 个“等值点”时，请写出m 的取值范围． 1 25．（2022 春•武侯区校级月考）如图1，在平面直角坐标系xy 中，已知抛物线y＝x2+bx+ 与x 轴交于点（﹣1，0），B（5，0）两点，与y 轴交于点（0，﹣5）． （1）求抛物线解析式； （2）如图2，作出如下定义：对于矩形DEFG，其边长EF＝1，DE＝2k（k 为常数，且 k＞0），其矩形长和宽所在直线平行于坐标轴，矩形可以在平面内自由的平移，且EG 所在直线与抛物线无交点，则称该矩形在“游走”，每一个位置对应的矩形称为“悬浮 矩形”；对与每一个“悬浮矩形”，若抛物线上有一点P，使得△PEG 的面积最小，则 称点P 是该“悬浮矩形”的核心点． ①请说明“核心点”P 不随“悬浮矩形”的“游走”而变化，并求出“核心点”P 的坐 标（用k 表示）； ②若k＝1，DF 所在直线与抛物线交于点M 和（M 在的右侧），是否存在这样的“悬浮 矩形”，使得△PM 是直角三角形，若存在，并求出“悬浮矩形”中对角线DF 所在直线 的表达式；若不存在，说明理由． v 1 26．（2022•武侯区模拟）【阅读理解】 定义：在平面直角坐标系xy 中，点P 为抛物线的顶点，直线l 与抛物线分别相交于M， 两点（其中点M 在点的右侧），与抛物线的对称轴相交于点Q，若记S（l，）＝ PQ•M，则称S（l，）是直线l 与抛物线的“截积”． 【迁移应用】 根据以上定义，解答下列问题： 如图，若直线l 的函数表达式为y＝x+2． （1）若抛物线的函数表达式为y＝2x2 1 ﹣，分别求出点M，的坐标及S（l，）的值； （2）在（1）的基础上，过点P 作直线l 的平行线l'，现将抛物线进行平移，使得平移 后的抛物线'的顶点P′落在直线l'上，试探究S（l，'）是否为定值？若是，请求出该定值； 若不是，请说明理由； （3）设抛物线的函数表达式为y＝（x﹣）2+k，若S（l，）＝6❑ √2，M＝4❑ √2，且点P 在点Q 的下方，求的值． 27．（2022•南关区校级模拟）在平面直角坐标系xy 中，对于点P 给出如下定义：若点P 到两坐标轴的距离之和等于3，则称点P 为三好点． 1 （1）在点R（0，﹣3），S（1，2），T（6，﹣3）中，属于三好点的是 （填写 字母即可）； （2）若点在x 轴正半轴上，且点为三好点，直线y＝2x+b 经过点，求该直线与坐标轴围 成的三角形的面积； （3）若直线y＝（＞0）与抛物线y＝x2﹣x 2 ﹣的交点为点M，，其中点M 为三好点， 求点M 的坐标； （4）若在抛物线y＝﹣x2﹣x+2 上有且仅有两个点为三好点，直接写出的取值范围． 28．（2022 秋•长沙期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G 上的点P（x，y）的横坐标 x 和纵坐标y 的和x+y 称为点P 的“横纵和”，而图形G 上所有点的“横纵和”中最小 的值称为图形的“极小和”． （1）抛物线y＝x2 2 ﹣x 2 ﹣的图象上点P（1，﹣3）的“横纵和”是 ；该抛物线 的“极小和”是 ． （2）记抛物线y＝x2﹣（2m+1）x 2 ﹣的“极小和”为s，若﹣2021≤s≤ 2020 ﹣ ，求m 的 1 取值范围． （3）已知二次函数y＝x2+bx+（≠0）的图象上的点（m 2 ，2）和点（0，）的“横纵 和”相等，求该二次函数的“极小和”．这个“极小和”是否有最大值？如果有，请求 出这个最大值；如果没有，请说明理由． 29．（2022•泰兴市二模）定义：在平面直角坐标系xy 中，若P、Q 的坐标分别为（x1， y1）、Q（x2，y2），则称|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为若P、Q 的“绝对距离”，表示为dPQ． 【概念理解】 （1）一次函数y＝﹣2x+6 图象与x 轴、y 轴分别交于、B 点． ①dB为 ； ②点为一次函数y＝﹣2x+6 图象在第一象限内的一点，d＝5，求的坐标； ③一次函数y=x+ 3 2的图象与y 轴、B 分别交于、D 点，P 为线段D 上的任意一点，试 说明：dP＝dBP． 【问题解决】 （2）点P（1，2）、Q（，b）为二次函数y＝x2﹣mx+图象上的点，且Q 在P 的右边， 1 当b＝2 时，dPQ＝4．若b＜2，求dPQ的最大值； （3）已知P 的坐标为（1，1），点Q 为反比例函数y=3 x （x＞0）图象上一点，且Q 在P 的右边，dPQ＝2，试说明满足条件的点Q 有且只有一个． 30．（2022•开福区校级一模）定义：当x 取任意实数，函数值始终不小于一个常数时，称 这个函数为“恒心函数”，这个常数称为“恒心值”． （1）判断：函数y＝x2+2x+2 是否为“恒心函数”，如果是，求出此时的“恒心值”， 如果不是，请说明理由； （2）已知“恒心函数”y＝3|x2+bx+|+2． ①当＞0，＜0 时，此时的恒心值为 ； ②若三个整数、b、的和为12，且b a= c b ，求的最大值与最小值，并求出此时相应的 b、的值； （3）恒心函数y＝x2+bx+（b＞）的恒心值为0，且a+b+c a+b ＞m恒成立，求m 的取值范 围． 1