专题22.7 二次函数中的新定义问题专项训练（30道）（解析版）

专题227 二次函数中的新定义问题专项训练（30 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共30 题，选择10 题，填空10 题，解答10 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题 有深度，可加强学生对新定义函数的理解！ 一．选择题（共10 小题） 1．（2022•市中区校级模拟）定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝 对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记[P]＝|x|+|y|．若抛物线y＝x2+bx+1 与直线y＝x 只有一个交点，已知点在第一象限，且2≤[]≤4，令t＝2b2 4+2020 ﹣ ，则t 的取值范围为 （ ） ．2017≤t≤2018 B．2018≤t≤2019 ．2019≤t≤2020 D．2020≤t≤2021 【分析】联立方程组求得点坐标，并由只有一个交点条件求得、b 的关系式，再由新定 义和2≤[]≤4 列出b 的不等式，求得b 的取值范围，由t＝2b2 4+2020 ﹣ ，得出t 关于b 的 函数解析式，再根据函数的性质求得t 的取值范围． 【解答】解：由题意方程组{ y=x y=a x 2+bx+1只有一组实数解， 消去y 得x2+（b 1 ﹣）x+1＝0， 由题意得Δ＝0， ∴（b 1 ﹣）2 4 ﹣＝0， 4 ∴＝（b 1 ﹣）2，即¿ 1 4 (b−1) 2， ∴方程x2+（b 1 ﹣）x+1＝0 可以化为1 4 (b−1) 2 x 2+(b−1)x+1=0， 即（b 1 ﹣）2x2+4（b 1 ﹣）x+4＝0， ∴x1＝x2¿ 2 1−b， ∴（2 1−b ，2 1−b ）， ∵点在第一象限， 1 ∴﹣b＞0， 2≤[]≤4 ∵ ， 1 2 ∴≤∨ 2 1−b ∨+¿ 2 1−b ∨≤4， 1 ∴≤ 2 1−b ≤2， 解得：﹣1≤b≤0， ∵t＝2b2 4+2020 ﹣ ， ∴t＝2b2﹣（b 1 ﹣）2+2020＝b2+2b+2019＝（b+1）2+2018， 1≤ ∵﹣ b≤0， ∴t 随b 的增大而增大， ∵b＝﹣1 时，t＝2018， t＝0 时，t＝2019， 2018≤ ∴ t≤2019． 故选：B． 2．（2022•市中区二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x≥0 时， 它们对应的函数值相等；当x＜0 时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两 个函数互为相关函数．例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为y={ x( x ≥0) −x( x＜0)．已 知点M，的坐标分别为(−1 2 ，1)，( 9 2 ，1)，连结M，若线段M 与二次函数y＝﹣ x2+4x+的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为（ ） ．﹣3≤≤ 1 ﹣或1＜n≤5 4 B．﹣3＜＜﹣1 或1＜n≤5 4 ．﹣3＜≤﹣1 或1≤n≤5 4 D．﹣3≤≤ 1 ﹣或1≤n≤5 4 【分析】首先确定出二次函数y＝﹣x2+4x+的相关函数与线段M 恰好有1 个交点、2 个 交点、3 个交点时的值，然后结合函数图象可确定出的取值范围． 【解答】解：如图1 所示：线段M 与二次函数y＝﹣x2+4x+的相关函数的图象恰有1 个 公共点， 1 ∵二次函数y＝﹣x2+4x+的对称轴为x¿− 4 2×(−1)=¿2， ∴当x＝2 时，y＝1，即﹣4+8+＝1，解得＝﹣3， 如图2 所示：线段M 与二次函数y＝﹣x2+4x+的相关函数的图象恰好3 个公共点． ∵抛物线y＝x2 4 ﹣x﹣与y 轴交点纵坐标为1， ∴﹣＝1， 解得：＝﹣1； ∴当﹣3＜≤﹣1 时，线段M 与二次函数y＝﹣x2+4x+的相关函数的图象恰有2 个公共点， 如图3 所示：线段M 与二次函数y＝﹣x2+4x+的相关函数的图象恰有3 个公共点． ∵抛物线y＝﹣x2+4x+经过点（0，1）， ∴＝1， 1 如图4 所示：线段M 与二次函数y＝﹣x2+4x+的相关函数的图象恰有2 个公共点． ∵抛物线y＝x2 4 ﹣x﹣经过点M（−1 2 ，1）， ∴1 4 +¿2﹣＝1，解得：¿ 5 4 ， 1≤ ∴ ≤5 4 时，线段M 与二次函数y＝﹣x2+4x+的相关函数的图象恰有2 个公共点． 综上所述，的取值范围是﹣3＜≤﹣1 或1≤≤5 4 ， 故选：． 3．（2022•青秀区校级一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2 倍，则称这个点为 二倍点．若二次函数y＝x2﹣x+（为常数）在﹣2＜x＜4 的图象上存在两个二倍点，则的 取值范围是（ ） ．﹣2＜＜1 4 B．﹣4＜＜9 4 ．﹣4＜＜1 4 D．﹣10＜＜9 4 【分析】由点的纵坐标是横坐标的2 倍可得二倍点在直线y＝2x 上，由﹣2＜x＜4 可得 二倍点所在线段B 的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解． 【解答】解：由题意可得二倍点所在直线为y＝2x， 将x＝﹣2 代入y＝2x 得y＝﹣4， 将x＝4 代入y＝2x 得y＝8， 设（﹣2，﹣4），B（4，8），如图， 1 联立方程x2﹣x+＝2x， 当Δ＞0 时，抛物线与直线y＝2x 有两个交点， 即9 4 ﹣＞0， 解得＜9 4 ， 此时，直线x＝﹣2 和直线x＝4 与抛物线交点在点，B 上方时，抛物线与线段B 有两个 交点， 把x＝﹣2 代入y＝x2﹣x+得y＝6+， 把x＝4 代入y＝x2﹣x+得y＝12+， ∴{ 6+c＞−4 12+c＞8 ， 解得＞﹣4， 4 ∴﹣＜＜9 4 满足题意． 故选：B． 4．（2022 秋•汉阳区期中）我们定义：若点在某一个函数的图象上，且点的横纵坐标相等， 我们称点为这个函数的“好点”．若关于x 的二次函数y＝x2+tx 2 ﹣t 对于任意的常数t 恒 有两个“好点”，则的取值范围为（ ） ．0＜＜1 B．0＜a＜1 2 ．1 3 ＜a＜1 2 D．1 2 ＜a＜1 【分析】“好点”的横纵坐标相等，即：x＝y＝x2+tx 2 ﹣t（≠0），△＝（t 1 ﹣）2+8t＞ 0，整理得：t2﹣（2 8 ﹣）t+1＝0， ′ △＝（2 8 ﹣）2 4 ﹣＜0，即可求解． 【解答】解：“好点”的横纵坐标相等， 1 即：x＝y＝x2+tx 2 ﹣t（≠0）， Δ＝b2 4 ﹣＝（t 1 ﹣）2+8t＞0， 整理得：t2﹣（2 8 ﹣）t+1＞0， 1 ∵＞0，故当△′＜0 时，抛物线开口向上，且与x 轴没有交点， 故上式成立， ′ △＝（2 8 ﹣）2 4 ﹣＜0， 解得：0＜＜1 2， 故选：B． 5．（2022 秋•和平区校级月考）对于实数，b，定义运算“*”：*b¿{ a 2−ab(a≥b) b 2−ab(a＜b) ，例如： 4*2，因为4＞2，所以4*2＝42 4×2 ﹣ ＝8．若函数y＝（2x）*（x+1），则下列结论： ①方程（2x）*（x+1）＝0 的解为﹣1 和1； ②关于x 的方程（2x）*（x+1）＝m 有三个解，则0＜m≤1； ③当x＞1 时，y 随x 的增大而增大； ④直线y＝kx﹣k 与函数y＝（2x）*（x+1）图象只有一个交点，则k＝﹣2； ⑤当x＜1 时，函数y＝（2x）*（x+1）的最大值为1． 其中正确结论的序号有（ ） ．②④⑤ B．①②⑤ ．②③④ D．①③⑤ 【分析】①根据题意，2x≥x+1 时，（2x）*（x+1）＝2x2 2 ﹣x，2x＜x+1 时，（2x）* （x+1）＝﹣x2+1，分别求解即可； ②由①可知，画出函数图象，数形结合即可求解； ③x＝1 时，y＝0，结合图象可知，当x＞1 时，y 随x 的增大而增大； ④先求出函数与y＝kx﹣k 有一个交点时k 的取值，再结合函数图象可知，当k≤ 2 ﹣时， 直线y＝kx﹣k 与函数y＝（2x）*（x+1）图象只有一个交点； ⑤当x＝0 时，函数有最大值1，由此可得⑤正确． 【解答】解：①由题意得：当2x≥x+1，即x≥1， （2x）*（x+1）＝（2x）2 2 ﹣x（x+1）＝4x2 2 ﹣x2 2 ﹣x＝2x2 2 ﹣x， 2 ∴x2 2 ﹣x＝0 的解为x＝0 或x＝1， ∴x＝1； 当2x＜x+1，即x＜1， （2x）*（x+1）＝（x+1）2 2 ﹣x（x+1）＝x2+1+2x 2 ﹣x2 2 ﹣x＝﹣x2+1． ∴﹣x2+1＝0， ∴x＝1 或x＝﹣1， 1 ∴x＝﹣1， 故①正确； ②由①可知，x≥1，（2x）*（x+1）＝2x2 2 ﹣x， x＜1，（2x）*（x+1）＝﹣x2+1， 如图，0＜m＜1 时，关于x 的方程（2x）*（x+1）＝m 有三个解， 故②不正确； ③由②函数图象可知，x＝1 时，y＝0， 结合图象可知，当x＞1 时，y 随x 的增大而增大， 故③正确； ④当y＝kx﹣k 经过定点（1，0）， kx﹣k＝﹣x2+1 时，Δ＝（k+2）2＝0， ∴k＝﹣2， 当k≤ 2 ﹣时，直线y＝kx﹣k 与函数y＝（2x）*（x+1）图象只有一个交点， 故④不正确； ⑤当x＜1 时，函数（2x）*（x+1）＝﹣x2+1， 当x＝0 时，函数有最大值1， ∴当x＜1 时，函数y＝（2x）*（x+1）的最大值为1． 故⑤正确； 故选：D． 6．（2022•莱芜区二模）定义：平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x 的绝对值表示 为|x|，纵坐标y 的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和 叫做点P（x，y）的折线距离，记为|M|＝|x|+|y|（其中的“+”是四则运算中的加法），若 抛物线y＝x2+bx+1 与直线y＝x 只有一个交点M，已知点M 在第一象限，且2≤|M|≤4，令 t＝2b2 4+2022 ﹣ ，则t 的取值范围为（ ） ．2018≤t≤2019 B．2019≤t≤2020 ．2020≤t≤2021 D．2021≤t≤2022 1 【分析】根据二次函数图象性质直接判断． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+1 与直线y＝x 只有一个交点M， ∴方程组{ y=x y=a x 2+bx+1只有一组解． 消去y 得：x2+（b 1 ﹣）x+1＝0， Δ ∴＝（b 1 ﹣）2 4 ﹣＝0， ∴¿ 1 4 （b 1 ﹣）2， ∴x2+（b 1 ﹣）x+1＝0 可化为：1 4 （b 1 ﹣）2x2+（b 1 ﹣）x+1＝0， [ ∴（b 1 ﹣）x+2]2＝0， ∴x1＝x2¿ 2 1−b． ∴M（2 1−b ，2 1−b ）， ∵M 在第一象限， 1 ∴﹣b＞0， ∴b＜1． 2≤| ∵ M|≤4， 1≤| ∴ 2 1−b ≤2， 1 ∴≤ 2 1−b ≤2 1≤ ∴﹣ b≤0，| ∴t＝2b2 4+2022 ﹣ ＝2b2﹣（b 1 ﹣）2+2022 ＝（b+1）2+2020， 1≤ ∵﹣ b＜0，抛物线开口向下，对称轴是b＝﹣1， ∴t 随b 的增大而增大， 2020≤ ∴ t≤2021． 故选：． 7．（2022•岳阳模拟）在平面直角坐标系中，对于点P（m，）和点P′（m，′），给出如下 新定义，若'¿{ ¿n∨(当m＜0 时) n−2(当m≥0 时) ，则称点P′（m，′）是点P（m，）的限变点，例如： 点P1（1，4）的限变点是P′1（1，2），点P2（﹣2，﹣1）的限变点是P′2（﹣2，1）， 若点P（m，）在二次函数y＝﹣x2+4x+1 的图象上，则当﹣1≤m≤3 时，其限变点P′的纵 1 坐标'的取值范围是（ ） ．﹣1≤'＜3 B．1≤'＜4 ．1≤'≤3 D．﹣1≤'≤4 【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据函数新定义分类讨论m＜ 0 和m≥0 时′的取值范围． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+4x+1， ∴抛物线对称轴为直线x＝2，开口向下， ∴x＜2 时，y 随x 增大而增大，x＞2 时，y 随x 增大而减小， ∵点P（m，）在二次函数y＝﹣x2+4x+1 的图象上， ∴＝﹣m2+4m+1， 1≤ ∴﹣ m＜0 时，′＝|﹣m2+4m+1|， 将m＝﹣1 代入＝﹣m2+4m+1 得＝﹣4， ∴m＝﹣1 时，′＝4， 将m＝0 代入＝﹣m2+4m+1 得＝1， 4 ∵﹣＜0＜1， 1≤ ∴﹣ m＜0 时，0≤′≤4， 当m≥0 时，′＝﹣2＝﹣m2+4m 1 ﹣， 将m＝0 代入′＝﹣m2+4m 1 ﹣得′＝﹣1， 将m＝2 代入′＝﹣m2+4m 1 ﹣得′＝3， ∴当m≥0 时，﹣1≤′≤3， 综上所述，﹣1≤≤′≤4， 故选：D． 8．（2022•自贡模拟）定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角 形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y¿ 1 3x+b 经过点M（0，1 4 ），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…B（，y） （为正整 数），依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：1（x1，0），2 （x2，0），3（x3，0），…+1（x+1，0）（为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d 为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线． 1 ．5 12或7 12 B．5 12或11 12 ．7 12或11 12 D．7 12 【分析】由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的 等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半．又0＜d＜1，所以等腰直 角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点 纵坐标必定小于1． 【解答】解：直线l：y¿ 1 3x+b 经过点M（0，1 4 ），则b¿ 1 4 ； ∴直线l：y¿ 1 3x+1 4 ． 由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角 三角形； ∴该等腰三角形的高等于斜边的一半． 0 ∵＜d＜1， ∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于 1）； ∵当x＝1 时，y1¿ 1 3 ×1+1 4 = 7 12 ＜1， 当x＝2 时，y2¿ 1 3 ×2+1 4 =11 12 ＜1， 当x＝3 时，y3¿ 1 3 ×3+1 4 = 5 4 ＞1， ∴美丽抛物线的顶点只有B1、B2． ①若B1为顶点，由B1（1，7 12），则d＝1−7 12 = 5 12； ②若B2为顶点，由B2（2，11 12），则d＝1 [ ﹣（2−11 12 ）﹣1]¿ 11 12， 综上所述，d 的值为5 12或11 12时，存在美丽抛物线． 故选：B． 9．（2022 秋•诸暨市期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称 为“互异二次函数”．如图，在正方形B 中，点（0，2），点（2，0），则互异二次函 数y＝（x﹣m）2﹣m 与正方形B 有交点时m 的最大值和最小值之差为（ ） 1 ．5 B．7+❑ √17 2 ．4 D．7−❑ √17 2 【分析】画出图象，从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，当跟正方形有 交点时，先经过点，再逐渐经过点，点B，点，最后再经过点B，且在运动的过程中， 两次经过点，两次经过点，点B 和点，只需算出当函数经过点及点B 时m 的值，即可求 出m 的最大值及最小值． 【解答】解：如图，由题意可得，互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m 的顶点（m，﹣m） 在直线y＝﹣x 上运动， 在正方形B 中，点（0，2），点（2，0）， ∴B（2，2）， 从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过 点，再逐渐经过点，点B，点，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点，两 次经过点，点B 和点， ∴只需算出当函数经过点及点B 时m 的值，即可求出m 的最大值及最小值． 当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m 经过点（0，2）时，m＝2 或m＝﹣1； 当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m 经过点B（2，2）时，m¿ 5−❑ √17 2 或m¿ 5+❑ √17 2 ． ∴互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m 与正方形B 有交点时m 的最大值和最小值分别是 5+❑ √17 2 ，﹣1． 1 ∴最大值和最小值之差为5+❑ √17 2 −¿（﹣1）¿ 7+❑ √17 2 ， 故选：B． 10．（2022 秋•亳州月考）定义：在平面直角坐标系中，过一点P 分别作坐标轴的垂线， 这两条垂线与坐标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P 叫做和谐点， 所围成的矩形叫做和谐矩形．已知点P 是抛物线y＝x2+k 上的和谐点，所围成的和谐矩 形的面积为16，则k 的值可以是（ ） ．16 B．4 ．﹣12 D．﹣18 【分析】根据和谐点的定义与二次函数的性质列出m，的方程，求解m，即可． 【解答】解：∵点P（m，）是抛物线y＝x2+k 上的点， ∴＝m2+k， ∴k＝﹣m2， ∴点P（m，）是和谐点，对应的和谐矩形的面积为16， 2| ∴m|+2||＝|m|＝16， | ∴m|＝4，||＝4， 当≥0 时，k＝﹣m2＝4 16 ﹣ ＝﹣12； 当＜0 时，k＝﹣m2＝﹣4 16 ﹣ ＝﹣20； 故选：． 二．填空题（共10 小题） 11．（2022•芦淞区模拟）定义[，b，]为函数y＝x2+bx+的特征数，下面给出特征数位[2m， 1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论： ①当m＝﹣3 时，函数图象的顶点坐标是（1 3，8 3）； ②当m＝1 时，函数图象截x 轴所得的线段长度等于2； ③当m＝﹣1 时，函数在x＞1 4 时，y 随x 的增大而减小； ④当m≠0 时，函数图象经过同一个点． 上述结论中所有正确的结论有 ①②④ ．（填写所有正确答的序号） 【分析】①把m＝﹣3 代入[2m，1﹣m，﹣1﹣m]，求得[，b，]，求得解析式，利用顶点 坐标公式解答即可； ②令函数值为0，求得与x 轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题； ③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可； ④根据特征数的特点，直接得出x 的值，进一步验证即可解答． 【解答】解：因为函数y＝x2+bx+的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]； 1 ①当m＝﹣3 时，y＝﹣6x2+4x+2＝﹣6（x−1 3 ）2+8 3 ，顶点坐标是（1 3，8 3）；此结论正 确； ②当m＝1 时，y＝2x2 2 ﹣，令y＝0，则有2x2 2 ﹣＝0，解得，x1＝1，x2＝﹣1， |x2﹣x1|＝2，所以当m＝1 时，函数图象截x 轴所得的线段长度等于2，此结论正确； ③当m＝﹣1 时，y＝﹣2x2+2x，是一个开口向下的抛物线，其对称轴是直线x ¿−b 2a= −2 2×(−2)=1 2，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小，1 4 ＜1 2，右边，因此函 数在x¿ 1 4 右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误； ④当x＝1 时，y＝2mx2+（1﹣m