专题71 函数中的新定义问题（解析版）(1)

考点1 一次函数新定义问题 【例1】．定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝x 的交点称为一次函数 y＝kx+b（k≠0）的“不动点”．例如求y＝2x 1 ﹣的“不动点”：联立方程 ， 解得 ，则y＝2x 1 ﹣的“不动点”为（1，1）． （1）由定义可知，一次函数y＝3x+2 的“不动点”为 （﹣ 1 ，﹣ 1 ） ； （2）若一次函数y＝mx+的“不动点”为（2，﹣1），求m、的值； （3）若直线y＝kx 3 ﹣（k≠0）与x 轴交于点，与y 轴交于点B，且直线y＝kx 3 ﹣上没有 “不动点”，若P 点为x 轴上一个动点，使得S△BP＝3S△B，求满足条件的P 点坐标． 解：（1）联立 ， 解得 ， ∴一次函数y＝3x+2 的“不动点”为（﹣1，﹣1）， 故答为：（﹣1，﹣1）； （2）∵一次函数y＝mx+的“不动点”为（2，﹣1）， 1 ∴﹣＝2， ∴＝3， “ ∴不动点”为（2，2）， 2 ∴＝2m+3， 解得m＝﹣ ； （3）∵直线y＝kx 3 ﹣上没有“不动点”， ∴直线y＝kx 3 ﹣与直线y＝x 平行， ∴k＝1， 例题精讲 ∴y＝x 3 ﹣， ∴（3，0），B（0，﹣3）， 设P（t，0）， ∴P＝|3﹣t|， ∴S△BP＝ ×|t 3|×3 ﹣ ， S△B＝ ×3×3， ∵S△BP＝3S△B， | ∴t 3| ﹣＝9， ∴t＝12 或t＝﹣6， ∴P（﹣6，0）或P（12，0）． 变式训练 【变1-1】．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图 象研究其性质一一运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或 平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义 ． 结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题： 在函数y＝|kx 3|+ ﹣ b 中，当x＝2 时，y＝﹣4；当x＝0 时，y＝﹣1． （1）求这个函数的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这 个函数的一条性质； （3）已知函数 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 的解集． （4）若方程|x2 6 ﹣x|﹣＝0 有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是 0 ＜＜ 9 ． 解：（1）∵在函数y＝|kx 3|+ ﹣ b 中，当x＝2 时，y＝﹣4；当x＝0 时，y＝﹣1， ∴ ， 解得 ， ∴这个函数的表达式是y＝| 3| 4 ﹣﹣； （2）∵y＝| 3| 4 ﹣﹣， ∴ ， ∴函数y＝ x 7 ﹣过点（2，﹣4）和点（4，﹣1）； 函数y＝﹣ x 1 ﹣过点（0，﹣1）和点（﹣2，2）， 该函数的图象如图所示，性质：当x＞2 时，y 的值随x 的增大而增大； （3）由函数的图象可得，不等式 的解集是：1≤x≤4； （4）由|x2 6 ﹣x|﹣＝0 得＝|x2 6 ﹣x|，作出y＝|x2 6 ﹣x|的图象， 由图象可知，要使方程|x2 6 ﹣x|﹣＝0 有四个不相等实数根，则0＜＜9， 故答为：0＜＜9． 考点2 反比例函数新定义问题 【例2】．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特 征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝x+| 2 ﹣x+6|+m 性质及其应用的部分 过程，请按要求完成下列各小题． x … 2 ﹣ 1 ﹣ 0 1 2 3 4 5 … y … 6 5 4 2 1 b 7 … （1）写出函数关系式中m 及表格中，b 的值；m＝ ﹣ 2 ，＝ 3 ，b＝ 4 ； （2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）已知函数y＝﹣（x 2 ﹣）2+8 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式x+| 2 ﹣x+6|+m＞﹣（x 2 ﹣）2+8 的解集为 x ＜ 0 或 x ＞ 4 ． ． 解：（1）由表格可知，点（3，1）在该函数图象上， ∴将点（3，1）代入函数解析式可得：1＝3+| 2×3+6|+ ﹣ m， 解得：m＝﹣2， ∴原函数的解析式为：y＝x+| 2 ﹣x+6| 2 ﹣； 当x＝1 时，y＝3； 当x＝4 时，y＝4； ∴m＝﹣2，＝3，b＝4， 故答为：﹣2，3，4； （2）通过列表—描点—连线的方法作图，如图所示； （3）要求不等式x+| 2 ﹣x+6|+m＞﹣（x 2 ﹣）2+8 的解集， 实际上求出函数y＝x+| 2 ﹣x+6|+m 的图象位于函数y＝﹣（x 2 ﹣）2+8 图象上方的自变量 的范围， ∴由图象可知，当x＜0 或x＞4 时，满足条件， 故答为：x＜0 或x＞4． 变式训练 【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值 称为这两个图形之间的距离，即，B 分别是图形M 和图形上任意一点，当B 的长最小时， 称这个最小值为图形M 与图形之间的距离． 例如，如图1，B⊥l1，线段B 的长度称为点与直线l1之间的距离，当l2∥l1时，线段B 的长 度也是l1与l2之间的距离． 【应用】 （1）如图2，在等腰Rt△B 中，∠＝90°，B＝，点D 为B 边上一点，过点D 作DE∥B 交于 点E．若B＝6，D＝4，则DE 与B 之间的距离是 ； （2）如图3，已知直线l3：y＝﹣x+4 与双曲线1：y＝ （x＞0）交于（1，m）与B 两点， 点与点B 之间的距离是 2 ，点与双曲线1之间的距离是 ； 【拓展】 （3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m 时，需要在高速路旁修建与高 速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南﹣西北”走向的笔直高速路，路旁某 住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m．现以高速路上某一合适位 置为坐标原点，建立如图5 所示的直角坐标系，此时高速路所在直线l4的函数表达式为y＝ ﹣x，小区外延所在双曲线2的函数表达式为y＝ （x＞0），那么需要在高速路旁修建 隔音屏障的长度是多少？ 解：（1）如图，过点D 作D⊥B 于点， ∵∠＝90°，B＝， ∴∠B＝45°， ∵D⊥B， ∴△BD 是等腰直角三角形， ∴D＝ BD， ∵B＝6，D＝4， ∴BD＝B﹣D＝6 4 ﹣＝2， ∴D＝ ×2＝ ； 故答为： ； （2）把（1，m）代入y＝﹣x+4 中，得：m＝﹣1+4＝3， ∴（1，3）， 把（1，3）代入y＝ ，得：3＝ ， ∴k＝3， ∴双曲线1的解析式为y＝ ， 联立，得：﹣x+4＝ ， 即x2 4 ﹣x+3＝0， 解得：x1＝1，x2＝3， ∴B（3，1）， ∴B＝ ＝2 ； 如图，作FG∥B，且FG 与双曲线y＝ 只有一个交点，设直线FG 的解析式为y＝﹣ x+b， 则﹣x+b＝ ， 整理得：x2﹣bx+3＝0， Δ ∴＝（﹣b）2 4×1×3 ﹣ ＝b2 12 ﹣ ＝0， ∴b＝2 或b＝﹣2 （不符合题意，舍去）， ∴直线FG 的解析式为y＝﹣x+2 ， 由﹣x+2 ＝ ， 解得：x1＝x2＝ ， ∴K（ ， ）， ∴K＝ ＝ ； 故答为：2 ， ； （3）如图，设点S（，b）是双曲线y＝ （x＞0）上任意一点，且＜b，以点S 为 圆心，80 为半径作⊙S 交l4 于E，过点S 作SF⊥直线l4 于F，交y 轴于，S⊥x 轴于， SG⊥y 轴于G， 则SG＝，S＝b，b＝2400， ∵直线y＝﹣x 平分第二、四象限角， ∴∠F＝45°， ∵∠F＝∠SG＝90°， ∴∠F＝90° 45° ﹣ ＝45°， ∴∠SG＝∠F＝45°， ∴△F 和△SG 是等腰直角三角形， ∴S＝ SG，F＝ ， ∴SF＝S+F＝ SG+ ＝ + （b﹣）＝ （+b）， ∵EF ＝ ＝ ＝ ＝ ， ∵F＝ ＝ （b﹣）， ∴E＝ （b﹣）+ ， 设b﹣＝m（m＞0）， 则E＝ m+ ≤ ＝40 ， ∴需要在高速路旁修建隔音屏障的长度＝2E＝2×40 ＝80 ， 答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是80 米． 考点3 二次函数新定义问题 【例3】．小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x| 1 ﹣）2进行了探究．在经历列表、 描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题： （1）观察探究： ①写出该函数的一条性质： 函数图象关于 y 轴对称 ； ②方程﹣（|x| 1 ﹣）2＝﹣1 的解为： x ＝﹣ 2 或 x ＝ 0 或 x ＝ 2 ； ③若方程﹣（|x| 1 ﹣）2＝m 有四个实数根，则m 的取值范围是 ﹣ 1 ＜ m ＜ 0 ． （2）延伸思考： 将函数y＝﹣（|x| 1 ﹣）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x 1| 1 ﹣﹣）2+2 的图 象？写出平移过程，并直接写出当1＜y1≤2 时，自变量x 的取值范围． 解：（1）观察探究： ①该函数的一条性质为：函数图象关于y 轴对称； ②方程﹣（|x| 1 ﹣）2＝﹣1 的解为：x＝﹣2 或x＝0 或x＝2； ③若方程﹣（|x| 1 ﹣）2＝m 有四个实数根，则的取值范围是﹣1＜m＜0． 故答为：函数图象关于y 轴对称；x＝﹣2 或x＝0 或x＝2；﹣1＜m＜0． （2）将函数y＝﹣（|x| 1 ﹣）2的图象向右平移1 个单位，向上平移2 个单位可得到函数 y1＝﹣（|x 1| 1 ﹣﹣）2+2 的图象， 当1＜y1≤2 时，自变量x 的取值范围是﹣1＜x＜3 且x≠1， 变式训练 【变3-1】．我们定义一种新函数：形如y＝|x2+bx+|（≠0，b2 4 ﹣＞0）的函数叫做“鹊 桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2+bx+|的图象（如图所示），下列结论正 确的是（ ） ．图象具有对称性，对称轴是直线x＝15 B．有且只有﹣1≤x≤1 时，函数值y 随x 值的增大而增大 ．若＜0，则8+＞0 D．若＜0，则+b≥m（m+b）（m 为任意实数） 解：由图象可得， 图象具有对称性，对称轴是直线x＝ ＝1，故选项错误，不符合题意； 当﹣1≤x≤1 或x＞3 时，函数值y 随x 值的增大而增大，故选项B 错误，不符合题意； ∵﹣ ＝1， ∴b＝﹣2， 当x＝﹣2 时，y＝4 2 ﹣b+＜0， 4 2 ∴﹣b+＝4 2× ﹣ （﹣2）+＝4+4+＝8+＜0，故选项错误，不符合题意； ∵y＝x2+bx+开口向下，对称轴为直线x＝1， + ∴b+≥m2+bm+（m 为任意实数）， + ∴b≥m（m+b）+，故选项D 正确，符合题意； 故选：D． 【变3-2】．已知抛物线y＝x2+过点（﹣2，0）和D（﹣1，3）两点，交x 轴于另一点B． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，点P 是BD 上方抛物线上一点，连接D，BD，PD，当BD 平分∠DP 时， 求P 点坐标； （3）将抛物线图象绕原点顺时针旋转90°形成如图2 的“心形”图，其中点M，分别是 旋转前后抛物线的顶点，点E、F 是旋转前后抛物线的交点． ①直线EF 的解析式是 y ＝ x ； ②点G、是“心形”图上两点且关于EF 对称，则线段G 的最大值是 ． 解：（1）∵抛物线y＝x2+过点（﹣2，0）和D（﹣1，3）两点， ∴ ， 解得 ， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4； （2）过点B 作BE⊥x 轴交DP 延长线于点E，过D 作DF⊥x 于点F， 由y＝﹣x2+4，令y＝0，则﹣x2+4＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝2， 则B（2，0）， ∵DF＝3，BF＝2﹣（﹣1）＝3， ∴DF＝BF， ∴∠DBF＝45°， ∴∠DBE＝45°， 又∵DB＝DB，BD 平分∠DP， ∴△DB≌△DEB（S）， ∴B＝BE， ∵B（2，0）， ∴E（2，4）， 设直线DE 的解析式为y＝kx+b， 则 ， 解得 ， ∴直线DE 的解析式为y＝ x+ ， 联立 ， 解得 或 ， 则P（ ， ）； （3）①∵抛物线关于y 轴对称，所以旋转后图形关于x 轴对称， ∴对于抛物线上任意一点P（，b） 关于原点旋转90°后对应点为P1（b，﹣） 在旋转后 图形上， P1（b，﹣） 关于x 轴对称的点P2（b，） 在旋转后图形上， ∵P（，b）与P2（b，）关于y＝x 对称， ∴图形2 关于y＝x 对称， ∴直线EF 的解析式为y＝x， 故答为：y＝x； ②如图，连接G，交EF 与点K，则G＝2GK， 过点G 作x 轴的垂线，交EF 于点， ∴当GK 最大时，△GFE 面积最大， 又∵S△GFE＝ G•（xE﹣xF）， 设G（m，﹣m2+4），则（m，m）， ∴G＝yG﹣y＝﹣m2+4﹣m＝﹣（m+ ）2+ ， ∴当m＝﹣ 时，△GFE 面积最大， ∴G（﹣ ， ）， 由①可知G（﹣ ， ）关于y＝x 的对称点（ ，﹣ ）， ∴K（ ， ）， ∴GK＝ ＝ ， ∴G＝2GK＝ ， ∴G 的最大值为 ， 故答为： ． 1．对于实数，b，定义符号mx|，b|，其意义为：当≥b 时，mx|，b|＝，当＜b 时，mx|，b|＝ b．例如mx|2，﹣1|＝2，若关于x 的函数y＝mx|2x 1 ﹣，﹣x+5|，则该函数的最小值为（ ） ． B．1 ． D．3 解：当2x 1≥ ﹣ ﹣x+5 时，即x≥2，y＝mx|2x 1 ﹣，﹣x+5|＝2x 1 ﹣， 此时x＝2 时，y 有最小值，最小值为2×2 1 ﹣＝3； 当2x 1≤ ﹣ ﹣x+5 时，即x≤2，y＝mx|2x 1 ﹣，﹣x+5|＝﹣x+5， 此时x＝2 时，y 有最小值，最小值为﹣2+5＝3； 综上所述，该函数的最小值为3． 故选：D． 2．在平面直角坐标系xy 中，对于点P（，b），若点P′的坐标为（k+b，+ ）（其中k 为 常数且k≠0），则称点P′为点P 的“k 关联点”．已知点在反比例函数y＝ 的图象上 运动，且点是点B 的“ 关联点”，当线段B 最短时，点B 的坐标为 （ ， ） 或（﹣ ，﹣ ） ． 解：设B（x，y）， ∵点是点B 的“ 关联点”， ∴（ x+y，x+ ） ∵点在函数y＝ （x＞0）的图象上， ∴（ x+y）（x+ ）＝ ， 即： x+y＝ 或 x+y＝﹣ ， 当点B 在直线y＝﹣ x+ 上时， 设直线y＝﹣ x+ 与x 轴、y 轴相交于点M、，则M（1，0）、（0， ）， 当B⊥M 时，线段B 最短，此时B＝ ＝ ， 由∠M＝60°，可得点B（ ， ）； 设直线y＝﹣ x﹣ 时，同理可得点B（﹣ ，﹣ ）； 故答为：（ ， ）或（﹣ ，﹣ ）． 3．定义：由，b 构造的二次函数y＝x2+（+b）x+b 叫做一次函数y＝x+b 的“滋生函数”， 一次函数y＝x+b 叫做二次函数y＝x2+（+b）x+b 的“本源函数”（，b 为常数，且 ≠0）．若一次函数y＝x+b 的“滋生函数”是y＝x2 3 ﹣x++1，那么二次函数y＝x2 3 ﹣x+ +1 的“本源函数”是 y ＝﹣ 2 x 1 ﹣ ． 解：∵y＝x+b 的“滋生函数”是y＝x2 3 ﹣x++1， ∴x2 3 ﹣x++1＝x2+（+b）x+b，即 ， 解得 ， ∴y＝x2 3 ﹣x++1 的“本源函数”是y＝﹣2x 1 ﹣， 故答为：y＝﹣2x 1 ﹣． 4．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”．例 如（﹣3，﹣3）、（1，1）、（2023，2023）都是“不动点”．已知双曲线 ． （1）下列说法不正确的是 ． ．直线y＝x 的图象上有无数个“不动点” B．函数 的图象上没有“不动点” ．直线y＝x+1 的图象上有无数个“不动点” D．函数y＝x2的图象上有两个“不动点” （2）求双曲线 上的“不动点”； （3）若抛物线y＝x2 3 ﹣x+（、为常数）上有且只有一个“不动点”， ①当＞1 时，求的取值范围． ②如果＝1，过双曲线 图象上第一象限的“不动点”做平行于x 轴的直线l，若抛物 线上有四个点到l 的距离为m，直接写出m 的取值范围． 解：（1）设坐标平面内任意一个“不动点”的坐标为（，）， 直线y＝x，当x＝时，则y＝， ∴点（，）在直线y＝x 上， ∴直线y＝x 上有无数个“不动点”， 故正确； 将（，）代入y＝ ，得＝ ，此方程无解， ∴函数y＝ 的图象上没有“不动点”， 故B 正确； 将（，）代入y＝x+1，得＝+1，此方程无解， ∴直线y＝x+1 上没有“不动点”， 故错误； 将（，）代入y＝x2，得＝2，解得1＝0，2＝1， ∴函数y＝x2的图象上有两个“不动点”（0，0）和（1，1）， 故D 正确， 故选：． （2）设双曲线 上的“不动点”为（x，x），则x＝ ， 解得x1＝﹣3，x2＝3， ∴双曲线 上的“不动点”为（﹣3，﹣3）和（3，3）． （3）①设抛物线y＝x2 3 ﹣x+上的“不动点”为（x，x），则x＝x2 3 ﹣x+， 即x2 4 ﹣x+＝0， ∵该抛物线上有且只有一个“不动点”， ∴关于x 的一元二次方程x2 4 ﹣x+＝0 有两个相等的实数根， ∴（﹣4）2 4 ﹣＝0， ∴＝ ， ∵＞1， ∴ ＞1， 0 ∴＜＜4． ②∵当＝1 时，则 ＝1， ∴＝4， ∴抛物线为y＝x2 3 ﹣x+4， 由（2）得，双曲线 在第一象限的不动点为（3，3）， ∴直线l 即直线y＝3， 如图，∵y＝x2 3 ﹣x+4＝（x﹣ ）2+ ， ∴该抛物线的顶点B（ ， ），对称轴为直线x＝ ， 设直线r 在直线l 下方且到直线l 的距离为m，直线x＝ 交直线l 于点，交直线r 于点， ∴＝m，（ ，3）， ∴B＝3﹣ ＝ ， 设直线t 与直线r 关于直线l 对称， ∵当点在点B 的上方时，抛物线上有四个点到l 的距离为m， 0 ∴＜m＜ ． 5．在并联电路中，电源电压为U 总＝6V，小亮根据“并联电路分流不分压”的原理知道： 总＝1+2（1＝ ，2＝ ），已知R1为定值电阻，当R 变化时，干路电流总也会发生变化， 且干路电流总与R 之间满足如下关系：总＝1+ ． （1）定值电阻R1的阻值为 6 Ω； （2）小亮根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数2＝ 来 探究函数总＝1+ 的图象与性质． ①列表：如表列出总与R 的几组对应值，请写出m，的值：m＝ 25 ，＝ 2 ； R … 3 4 5 6 … 2＝ … 2 15 12 1 … 总＝1+ … 3 m 22 … ②描点、