专题01 绝对值的三种化简方法（学生版）

专题01 绝对值的三种化简方法 绝对值版块的内容在我们这学期比重较大，尤其是绝对值的化简。并且，在压轴题中， 常见的题型是利用数轴化简绝对值和利用其几何意义化简绝对值，本专题就这两块难点详 细做出分析。 【知识点梳理】 1 绝对值的定义 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作|| 2 绝对值的意义 ①代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0； ②几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远， 绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。 3 绝对值的化简： 类型一、利用数轴化简绝对值 例1．有理数、b、在数轴上位置如图，则 的值为( )． ． B． ．0 D． 例2．有理数 ， 在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式 的值是 ( ) ．-1 B．1 ．3 D．-3 【变式训练1】已知，数 、 、的大小关系如图所示：化简 ____． 【变式训练2】有理数、b、在数轴上的位置如图． (1)判断正负，用“>”或“<”填空： ， ， ． (2)化简： 【变式训练3】有理数 ， 在数轴上的对应点如图所示： (1)填空： ______0； ______0； ______0；(填“＜”、“＞”或“＝”) (2)化简： 【变式训练4】有理数、b、在数轴上的位置如图： (1)用“＞”或“＜”填空_____0，b_____0，﹣b______0，b_____0． (2)化简：||+|b+| | | ﹣﹣． 类型二、利用几何意义化简绝对值 例1 同学们都知道，|5-(-2)|表示5 与-2 之差的绝对值，实际上也可理解为5 与-2 两数在数 轴上所对的两点之间的距离．试探索 (1)求|5-(-2)|=________； (2)同样道理|x+1008|=|x-1005|表示数轴上有理数x 所对点到-1008 和1005 所对的两点距离 相等，则x=________； (3)类似的|x+5|+|x-2|表示数轴上有理数x 所对点到-5 和2 所对的两点距离之和，请你找出 所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x-2|=7，这样的整数是__________． (4)由以上探索猜想对于任何有理数x，|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如 果没有，说明理由． 【变式训练1】阅读下面的材料： 点、B 在数轴上分别表示实数、b，、B 两点之间的距离表示为∣B∣，当、B 两点中有一点在 原点时，不妨设点在原点，如图1，∣B∣＝∣B = ∣∣b = - ∣∣b∣；当、B 两点都不在原点时： ①如图2，点、B 都在原点的右边： ∣B = ∣∣B - = ∣∣∣∣b - = ∣∣∣b-= - ∣b∣； ②如图3，点、B 都在原点的左边： ∣B = ∣∣B - = ∣∣∣∣b - =- ∣∣∣ b-(-)= - ∣b∣； ③如图4，点、B 在原点的两边： ∣B = + ∣∣∣∣B = + ∣∣∣∣b =+(- ∣ b)= - ∣b∣， 综上，数轴上、B 两点之间的距离∣B = - ∣∣b∣． 回答下列问题： (1)数轴上表示2 和5 的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2 和-5 的两点之间的距离 是________，数轴上表示1 和-3 的两点之间的距离是___________； (2)数轴上表示x 和-1 的两点和B 之间的距离是________，如果∣B =2 ∣ ， 那么x 为__________． (3)当代数式∣x+1 + ∣∣x-2∣取最小值时，相应的x 的取值范围是__________． 【变式训练2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4 和1 的两点之间的距离是 ；数轴上表示﹣3 和2 两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m 和数的两点之间的距离可以表示为|m | ﹣．那么，数轴上表示 数x 与5 两点之间的距离可以表示为 ，表示数y 与﹣1 两点之间的距离可以表示为 ． (2)如果表示数和﹣2 的两点之间的距离是3，那么＝ ；若数轴上表示数的点位于﹣4 与2 之间，求|+4|+| 2| ﹣ 的值； (3)当＝ 时，|+5|+| 1|+| 4| ﹣ ﹣ 的值最小，最小值是 ． 【变式训练3】(问题提出) 的最小值是多少？ (阅读理解)为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手． 的几何意义是 这个数在 数轴上对应的点到原点的距离，那么 可以看作 这个数在数轴上对应的点到1 的距离； 就可以看作 这个数在数轴上对应的点到1 和2 两个点的距离之和．下面我们 结合数轴研究 的最小值． 我们先看 表示的点可能的3 种情况，如图所示： (1)如图①， 在1 的左边，从图中很明显可以看出 到1 和2 的距离之和大于1． (2)如图②， 在1，2 之间(包括在1，2 上)，看出 到1 和2 的距离之和等于1． (3)如图③， 在2 的右边，从图中很明显可以看出 到1 和2 的距离之和大于1．因此，我 们可以得出结论：当 在1，2 之间(包括在1，2 上)时， 有最小值1． (问题解决) (1) 的几何意义是 ，请你结合数轴探究： 的最小值是 ． (2)请你结合图④探究 的最小值是 ，由此可以得出 为 ． (3) 的最小值为 ． (4) 的最小值为 ． (拓展应用)如图，已知 使到-1，2 的距离之和小于4，请直接写出 的取值范围是 ． 类型三、分类讨论法化简绝对值 例1 化简： 【变式训练1】若 ，则 的值为_________． 【变式训练2】(1)数学小组遇到这样一个问题：若，b 均不为零，求 的值． 请补充以下解答过程(直接填空) ①当两个字母，b 中有2 个正，0 个负时，x= ；②当两个字母，b 中有1 个正，1 个负 时，x= ；③当两个字母，b 中有0 个正，2 个负时，x= ；综上，当，b 均不为零，求 x 的值为 ． (2)请仿照解答过程完成下列问题： ①若，b，均不为零，求 的值． ②若，b，均不为零，且+b+=0，直接写出代数式 的值．