专题01 绝对值化简的四种考法（解析版）

专题01 绝对值化简的四种考法 【知识点精讲】 1 绝对值的意义 绝对值：数轴上表示数的点与原点的距离叫做的绝对值，记作|a| 2 绝对值的性质 绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性|a|≥0，即： 互为相反数的两个数绝对值相等 3 绝对值与数的大小 1）正数大于0，0 大于负数。 2）理解：绝对值是指距离原点的距离 所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大。 类型一、利用数轴化简绝对值 例．有理数 、 、在数轴上的位置如图，化简： ． 【答】 【分析】根据数轴得到 ， ，即可判断 ， ， ， ，根据绝对值性质求解即可得到答． 【详解】解：由数轴可得， ， ， ∴ ， ， ， ， ∴原式 ， 故答为 ． 【点睛】本题考查根据数轴去绝对值，解题的关键是根据数轴判断式子与0 的关系及正数 绝对值等于它本身，负数绝对值是它的相反数． 【变式训练1】有理数 、 、在数轴上的位置如图，化简： ． 【答】 【分析】根据有理数 、 、在数轴上的位置，确定绝对值内的式子正负，即： ， ， ，化简绝对值后合并即可． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ∴原式 ． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值，根据 、 、在数轴上的位置，确定绝对值内的式子 正负是解答本题的关键． 【变式训练2】有理数 , , 在数轴上的位置如图所示． (1)用“＜”连接： , , , , , ； (2)化简： ． 【答】(1) (2) 【分析】（1）把 ， ， ， ，， 分别表示在数轴上可得答； （2）根据数轴确定出 ， ， 的正负，再根据绝对值的性质化简． 【详解】（1）解：如图， ； （2）解：由（1）得： ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了实数大小的比较，数轴，绝对值的意义，利用理数 ， ，在数 轴上的位置确定 ， ，的符号以及三个数的绝对值的大小是解题的关键． 【变式训练3】已知 ， ，在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为 ， ， ． (1)填空： ， 之间的距离为______， ， 之间的距离为______． (2)化简： ． 【答】(1) ， ；(2) 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离等于右边的数减去左边的数，求出距离即可； （2）根据数轴可以得出 ，即有 ， ， ，进 而有 ，去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）∵数轴上两点之间的距离等于右边的数减去左边的数， ∴、B 之间的距离为 ，B、之间的距离为 ， 故答为： ， ； （2）由图，根据数轴可得： ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 值为 ． 【点睛】本题考查了根据点在数轴上的位置判定式子的正负，数轴上两点之间的距离，绝 对值的几何意义，掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键． 类型二、分类讨论化简 例．已知 表示两个非零的实数，则 的值不可能是（ ） ．2 B．–2 ．1 D．0 【答】 【详解】∵当 时， ；当 时， ； 当 时， ；当 时， ； ① ∴ 当 时， ；②当 时， ； ③当 时， ；④当 时， ； ∴综上所述， 的值可能为2，-2，0，不可能为1． 故选：． 【点睛】本题考查化简绝对值，（1）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数； （2）分情况讨论时，虽然③④两种情况在本题中的计算结果是一样的，但在分类讨论时， 还是要分为两种． 例2．化简： ． 【答】 ． 【分析】先分别令x－1=0，x－2=0，分别求出x 的对应值，再根据x 的取值范围利用绝对 值的性质去掉绝对值符号即可． 【详解】令x－1=0，x－2=0 得：x=1，x=2，分三种情况讨论： ①当x＜1 时，原式=﹣（x－1）﹣（x－2）= 2 ﹣x+3； ②当1≤x＜2 时，原式=（x－1）－（x－2）=1； ③当x≥2 时，原式=（x－1）+（x－2）=2x－3． 综上所述：原式= ． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，整式的加减，在解答此题时要注意应用分类讨论的思 想，不要漏解． 【变式训练1】若，b，都是非零有理数，求 ＋ ＋ 的值． 【答】±1 或±3 【详解】分析：要对，b，所有可能出现的不同情况进行分类讨论，找出符合要求的取值， 代入求值． 详解：对，b，的取值情况分类讨论如下： ①当，b，都是正数时， + + =3； ②当，b，都是负数时， = = = 1 ﹣，所以和为﹣3； ③当，b，中有两个正数，一个负数时， 、 、 中有两个1，一个﹣1，所以和为 1． ④当，b，中有一个正数、两个负数时， 、 、 中有两个﹣1，一个+1，所以和为 ﹣1． 综上所述： + + =±1 或±3． 点睛：分类讨论时要全面，要做到不重复不遗漏．规律总结：一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0． 【变式训练2】三个数 是均不为0 的三个数，且 ，则 ． 【答】1 或-1． 【分析】根据绝对值的定义化简即可得到结论． 【详解】解：∵三个数、b、是均不为0 的三个数，且+b+=0， ∴，b，三个数中必有一个或两个负数， ①当，b，三个数中只有一个负数时，则 ， ②当，b，三个数中有两个负数时， ， 综上所述： 1 或-1， 故答为：1 或-1． 【点睛】本题考查了绝对值，有理数的除法．能分情况讨论是解题关键．注意互为相反数 的两个数商为-1． 【变式训练3】若 ， ，则 ． 【答】-2 或0 或4 【分析】对和b，以及 的正负进行分类讨论，然后去绝对值求出对应的值． 【详解】解：①当 ， 时， ， ， 原式 ； ②当 ， 时， ， ， 原式 ； ③当 ， ，且 时， ， 原式 ； ④当 ， ，且 时， ， 原式 ； ⑤当 ， ，且 时， ， 原式 ； ⑥当 ， ，且 时， ， 原式 ． 故答是：-2 或0 或4． 【点睛】本题考查绝对值的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想去化简绝对值． 类型三、几何意义化简绝对值 例．阅读下面材料：点、B 在数轴上分别表示有理数、b，在数轴上、B 两点之间的距离 ．回答下列问题： (1)数轴上表示 和2 两点之间的距离是 ，数轴上表示x 和 的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示x 和1 的两点之间的距离为5，则x 表示的数为 ； (3)若x 表示一个有理数，则 有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说 明理由． 【答】(1)5， ；(2) 或6；(3)8 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式可得答； （2）由数轴上两点间的距离公式列方程，即可解得答； （3）分三种情况去绝对值，即可得到 的最小值． 【详解】（1）解：数轴上表示 和2 两点之间的距离是 ， 数轴上表示 和 的两点之间的距离是 ； （2）解：根据题意得 ， 或 ， 解得 或 ； （3）解： 有最小值，理由如下： 当 时， ， ， ，即此时 大于8； 当 时， ； 当 时， ， ， ，即此时 大于8； 综上所述， 的最小值为8． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值化简，解题的关键是读懂题意，能灵活运 用数轴上两点间的距离解决问题． 【变式训练1】数学实验室： 点、B 在数轴上分别表示有理数、b，、B 两点之间的距离表示为 ，在数轴上、B 两点 之间的距离 ． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2 和6 两点之间的距离是 ，数轴上表示1 和 的两点之间的距离是 ． (2)数轴上表示x 和 的两点之间的距离表示为 ．数轴上表示x 和6 的两点之间的距 离表示为 ． (3)若x 表示一个有理数，则 的最小值＝ ． (4)若x 表示一个有理数，且 ，则满足条件的所有整数x 的是 ． (5)若x 表示一个有理数，当x 为 ，式子 有最小值为 ． 【答】(1)4，5 (2) ， (3)5 (4) 或0 或1 或2 或3 (5)3，6 【分析】（1）根据数轴上、B 两点之间的距离 列式计算即可； （2）根据数轴上、B 两点之间的距离 列式计算即可； （3）根据数轴上两点之间的距离的意义可知x 在 与1 之间时， 有最小值 5； （4）根据数轴上两点之间的距离的意义可知当x 在 与3 之间时（包含 和3）， ，然后可得满足条件的所有整数x 的值； （5）根据数轴上两点之间的距离的意义可知当 时， 有最小值，最 小值为 到4 的距离，然后可得答． 【详解】（1）解：数轴上表示2 和6 两点之间的距离是 ， 数轴上表示1 和 的两点之间的距离是 ， 故答为：4，5； （2）解：数轴上表示x 和 的两点之间的距离表示为 ， 数轴上表示x 和6 的两点之间的距离表示为 ； 故答为： ， ； （3）解：根据数轴上两点之间的距离的意义可知： 可表示为点x 到1 与 两 点距离之和， ∴当x 在 与1 之间时， 有最小值5， 故答为：5； （4）解：根据数轴上两点之间的距离的意义可知： 表示为点x 到 与两点 距离之和为4， ∴当x 在 与3 之间时（包含 和3）， ， ∴满足条件的所有整数x 的是 或0 或1 或2 或3； 故答为： 或0 或1 或2 或3； （5）解：根据数轴上两点之间的距离的意义可知： 可看作是数轴上表 示x 的点到 、3、4 三点的距离之和， ∴当 时， 有最小值，最小值为 到4 的距离，即 ， 故答为：3，6． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离公式，绝对值的几何意义，正确理解数轴上两 点之间的距离以及绝对值的几何意义是解题的关键． 【变式训练2】点、B 在数轴上分别表示有理数、b，、B 两点之间的距离表示为 ，则在 数轴上、B 两点之间的距离 ．所以式子 的几何意义是数轴上表示x 的点与 表示2 的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题： (1)数轴上表示2 和5 两点之间的距离是 ，数轴上表示1 和 的两点之间的距离是 ． (2)如果 ，那么 ． (3)若 ，且数，b 在数轴上表示的数分别是点，点B，则，B 两点间的最大 距离是 ，最小距离是 ． (4)①若数轴上表示x 的点位于 与1 之间，则 ； ②若 ，则 ． 【答】(1)3，4 (2)2 或 (3)8，2 (4)①4；②5 或 ． 【分析】（1）根据距离公式 计算即可． （2）根据绝对值的意义计算即可． （3）根据绝对值的意义，确定，b 的值，再最值的意义计算即可． （4）①根据取值范围，化简绝对值计算即可． ②分 ， ， 三种情况计算即可． 【详解】（1）数轴上表示2 和5 两点之间的距离是： ，数轴上表示1 和 的两点 之间的距离是： ；故答为：3，4． （2） ，∴ ，∴ ，故答为：2 或 ． （3）∵ ，∴ ， ∴ ，∴ 或1， 或 ， ∴，B 两点间的最大距离是： ，最小距离是： ； 故答为：8，2． （4）①∵x 的点位于 与1 之间， ∴ ，故答为：4． ②当 时， ，得到 ，解得， ； 当 时， ，得到 ，解得， ； 当 时， ，得到 ，无解； 综上， 或 ；故答为：5 或 ． 【点睛】本题考查了数轴上的两点间的距离，绝对值的化简与取值范围的关系，熟练掌握 绝对值方程的计算是解题的关键． 【变式训练3】阅读下面材料：如图，点，B 在数轴上分别表示有理数、b，则，B 两点之 间的距离可以表示为 ． 根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3 与﹣2 的两点之间的距离是______． (2)数轴上有理数x 与有理数7 所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为______． (3)代数式 可以表示数轴上有理数x 与有理数______所对应的两点之间的距离；若 ，则x＝______． (4)求代数式 的最小值是______，并直接写出这时x 的值为____ __． 【答】(1)5；(2) ；(3) 8 ﹣， 或 ；(4)2020，﹣505 【分析】（1）根据题目所给两点距离公式代入数值计算即可； （2）根据题目所给两点距离公式列式即可； （3）由绝对值的定义求解即可； （4）设点、B、分别表示-1010，-505，1010，点D 表示的数为x，则 ，画出数轴图，分情况讨论求解即可． （1） 解： ． 故答为：5； （2） 根据材料可知，有理数x 与有理数7 所对应两点之间的距离可表示为 ． 故答为： ； （3） 根据，B 两点之间的距离可以表示为 ，则 可以表示数轴上有理数x 与有理数﹣8 所对应的两点之间的距离， 若 ，由绝对值的定义可知， 或 ， 解得 或 ． 故答为：﹣8， 或 ； （4） 设点、B、分别表示-1010，-505，1010，点D 表示的数为x， ∴ ， 如图1 所示，当点D 在点左侧时， ； 图1 如图2 所示，当点在B 之间时（包括，不包括B）， ； 图2 如图3 所示，当点D 在B 之间时（包括B 且包括） （点B、D 重合时， ） 图3 如图4 所示，当点D 在点右侧时， ， 图4 综上所述，当点D 与点B 重合时，即 ，D+BD+D 有最小值， 此时 ． 故答为：2020，﹣505． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离以及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点 的距离公式和绝对值的几何意义，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． 类型四、非负性化简绝对值 例．若 ，则 的范围为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据绝对值的几何意义,表示数轴上点到原点的距离,即任意实数的绝对值都是一个 非负数 【详解】解:因为 , , 所以 , 解得: , 故选D 【点睛】本题主要考查绝对值的几何意义,解决本题的关键是要理解绝对值的几何意义 【变式训练1】若 ，且 ，求 的值． 【答】 或 【分析】先 判定x、y 的大小，然后 确定x、y 的值进行分类解答 【详解】解： ，当 时， ，则 ；当 时， ，则 【点睛】本题考查了绝对值的性质，解题的关键在于确定x，y 的大小和分类讨论 【变式训练2】若x 是一个有理数，且 ，则 （ ） ． B． ．4 D．-2 【答】 【分析】根据 判断 在数轴上的位置，从而判断 和 的正负性，通过绝对 值的非负性的解出答 【详解】解： 在数轴上 在的左边， 的右边 ， 为负数， 为正数 故答选： 【点睛】本题考查的是绝对值的非负性，在解题过程中是否能通过已知条件判断绝对值里 面数的正负性是解题的关键 课后训练 1．若 ， ，且 ，那么 的值是（ ）． ．5 或13 B．5 或 ． 或13 D． 或 【答】D 【分析】根据 ， ，且 ，得到 ， ，代入计算即可． 【详解】∵ ， ，且 ， ∴ ， ， ∴ 或 故选D． 【点睛】本题考查了绝对值的化简计算，正确化简绝对值，灵活计算是解题的关键． 2．已知b＞0，则 （ ） ．3 B．﹣3 ．3 或﹣1 D．3 或﹣3 【答】 【详解】解：设 ，分四种情况讨论： ①当＞0，b＞0 时，M=1+1+1=3； ②当＜0，b＜0 时，M= 1+ ﹣ （﹣1）+1= 1 ﹣； ③＞0，b＜0 时，M=1 1 1= 1 ﹣﹣ ﹣； ④当＜0，b＞0 时，M= 1+1 1= 1 ﹣ ﹣ ﹣． 故选． 点睛：本题主要考查的是绝对值的化简、有理数的除法，分类讨论是解题的关键． 3． ． 【答】1 【分析】首先分别判断 和 的正负情况，然后根据绝对值的性质进行解答即可． 【详解】解： ， ． 【点睛】本题考查的是绝对值的性质，即一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值 是它的相反数，0 的绝对值是0． 4．有理数，b，，d 满足 则 ． 【答】±2 【分析】根据有理数的除法法则可得、b、、d 四个数中有1 个负数或3 个负数，然后分情 况计算出、b、、d 四个数中有1 个负数时： 的值，再计算出、b、、d 四个 数中有3 个负数时： 的值，即可求解． 【详解】∵四个有理数、b、、d 满足 ， ∴、b、、d 四个数中有1 个负数或3 个负数， ①、b、、d 四个数中有1 个负数时： ＝1＋1＋1−1＝2， ②、b、、d 四个数中有3 个负数时： ＝−1−1＋1−1＝−2， 故答为：±2． 【点睛】此题主要考查了有理数的除法和绝对值，关键是根据两数相除，同号得正，异号 得负，并把绝对值相除确定、b、、d 四个数中负数的个数． 5．已知 ， ，在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是 ． 【答】 【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，再利用绝对值的代数意义化 简、去括号、合并同类项即可解答． 【详解】解：由数轴上点的位置得： ，且 ， ， ， ， 则原式 ． 故答为： ． 【点睛】本题主要考查了数轴、绝对值、去括号、合并同类项等知识点，灵活运用相关运 算法则是解题的关键． 6．若 ，那么 ． 【答】7 【分析】首先根据的取值范围确定 和 的符号，然后去绝对值计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， 故答为：7． 【点睛】本题考查了绝对值的知识，解题关键是确定绝对值里面的代数式的符号． 7．已知 ，且 ，求 ． 【答】0 或﹣1 【分析】根据绝对值的定义得到 的值，代入代数式即可得到结论． 【详解】解：∵ ∴ 解得： =3 或﹣1，b=1 或0 ∵ ∴ ≥ ， 当 =3 时不符合题意 当 = 1 ﹣， =1 或0 时， + =0 或﹣1∴ + =0 或﹣1 【点睛】本题考查了绝对值，有理数大小的比较，掌握绝对值定义是解题的关键． 8．已知 、 、均为整数，且 ，试求 的值． 【答】2． 【分析】先根据绝对值运算、整数的性质可得、b、之间的等量关系，再代入化简绝对值即 可得． 【详解】 、 、均为整数， 、 也为整数，且 、 为两个非负整数， ， 或 ， 即 或 ， （1）当 时， 则 ， （2）当 时， 则 ， 综上， 的值为2． 【点睛】本题考查了化简绝对值，熟练掌握绝对值运算是解题关键． 9．已知有理数 ， ， ，且 ． (1)在如图所示的数轴上将，b，三个数表示出来； (2)化简： ． 【答】(1)见解析；(2) 【分析】（1）根据 ， ， ，且 ．即可求解． （2）先判断 、 、 的正负号，即可化简． 【详解】（1）解： ， ， ，且 ． ． 在数轴上将 ， ，三个数在数轴上表示出来如图所示： （2）解：根据数轴位置关系，可得： 、 、 ． ． 【点睛】本题考查了整式的加减，数轴以及绝对值，解决本题的关键是 、 、 的 正负性． 10．如图，在数轴上点表示数，B 点表示数b，点表示数，且，满足以下关系式： ， ． (1)=______；=______； (2)若将数轴折叠，使得点与B