专题02 绝对值化简的三种考法（解析版）

专题02 绝对值化简的三种考法 【知识点精讲】 1 绝对值的意义 绝对值：数轴上表示数的点与原点的距离叫做的绝对值，记作|a| 2 绝对值的性质 绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性|a|≥0，即： 互为相反数的两个数绝对值相等 3 绝对值与数的大小 1）正数大于0，0 大于负数。 2）理解：绝对值是指距离原点的距离 所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大。 类型一、利用数轴化简绝对值 例．实数、b、在数轴上的位置如图所示，化简： 的结果是（ ） ．–2 B．– ． D．2b– 【答】 【详解】由数轴上、b、的位置关系可知：<b，>，>b，<0，∴–b<0，–>0，b–<0，∴ =b––（–）+（–b）–（–）=b––++–b+=．故选． 【变式训练1】已知有理数 、 、在数轴上的位置如图所示，且 （1）求 和 的值 （2）化简： 【答】（1） ； ；（2） ． 【分析】（1）根据 且、b 位于原点两侧，得到、b 互为相反数，然后进行求解即可； （2）先分别判定绝对值内的数的大小，再去绝对值，再合并同类项即可求解． 【详解】（1）∵ 且、b 位于原点两侧 ∴、b 互为相反数 ∴ ， （2）如图可得：＜b＜0＜且 ∴＞0，=-b 即+b=0，-＜0，-b＜0，-2b＞0 因此 = = = 【点睛】本题考查了根据数轴取绝对值进行计算的问题，其中根据去掉绝对值是解答本题 的关键 【变式训练2】解答下列问题 （1）若有理数 、 满足 ，且 ，求 的值． （2）已知有理数 、 、的在数轴上的位置如图所示，请化简： ． 【答】（1）6 或8． （2） ． 【分析】（1）根据绝对值的性质解得x，y 的值，分情况讨论得出符合条件的x，y 的值， 即可解． （2）根据数轴可以判断、b、的正负情况，从而可以将绝对值符号去掉，本题得以解决． 【详解】（1）∵ ， ， ∴ 或 ， 或 ， ①当 ， 时， （舍去）， ②当 时， ， ③当 时， ， ． ④当 时， ， ． 则②3④满足，则 或8． （2）由题得： ， ∴ ． 【点睛】考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点，可以将绝对值符号去掉， 利用数形结合的思想解答． 【变式训练3】已知、b、在数轴上位置如图所示： (1)判断正负，用“＞”或“＜”填空：b- 0； -b 0； + 0； (2)化简： 【答】（1）＞；＜；＜；（2）+3 【分析】（1）先根据数轴判断、b、的符号及大小，再根据有理数的加减法，可得答； （2）由（1）中的判断，再根据绝对值的性质，可化简去掉绝对值，合并同类项，可得答． 【详解】解：（1）由数轴可知＜＜0＜b, ∴b-＞0； -b＜0； +＜0； （2）∵b-＞0； -b＜0； +＜0 ∴ =b--(b-)-2(--)=b--b++2+2=+3 【点睛】本题考查了绝对值的性质及数轴的有关知识，利用数轴判断出、b、的符号及大小 关系，再用绝对值的性质化简是解题关键 类型二、分类讨论化简 例1．若 ，且 ，求 的值． 【答】 或 【分析】先 判定x、y 的大小，然后 确定x、y 的值进行分类解答 【详解】解： ，当 时， ，则 ；当 时， ，则 【点睛】本题考查了绝对值的性质，解题的关键在于确定x，y 的大小和分类讨论 例2 若，b，都是非零有理数，求 ＋ ＋ 的值． 【答】±1 或±3 【详解】分析：要对，b，所有可能出现的不同情况进行分类讨论，找出符合要求的取值， 代入求值． 详解：对，b，的取值情况分类讨论如下： ①当，b，都是正数时， + + =3； ②当，b，都是负数时， = = = 1 ﹣，所以和为﹣3； ③当，b，中有两个正数，一个负数时， 、 、 中有两个1，一个﹣1，和为1． ④当，b，中有一个正数、两个负数时， 、 、 中有两个﹣1，一个+1，所以和为 ﹣1． 综上所述： + + =±1 或±3． 点睛：分类讨论时要全面，要做到不重复不遗漏．规律总结：一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0． 【变式训练1】已知b＞0，则 （ ） ．3 B．﹣3 ．3 或﹣1 D．3 或﹣3 【答】 【详解】解：设 ，分四种情况讨论： ①当＞0，b＞0 时，M=1+1+1=3； ②当＜0，b＜0 时，M= 1+ ﹣ （﹣1）+1= 1 ﹣； ③＞0，b＜0 时，M=1 1 1= 1 ﹣﹣ ﹣； ④当＜0，b＞0 时，M= 1+1 1= 1 ﹣ ﹣ ﹣． 故选． 点睛：本题主要考查的是绝对值的化简、有理数的除法，分类讨论是解题的关键． 【变式训练2】已知 化简： =__________． 【答】--3b- 【分析】先确定、b、的正负，然后再去绝对值，最后化简求值即可 【详解】解：∵ ≤0 ∴ ，b＜0，≥0 +2b ∴ ＜0，-＞0，-b-＞0 ∴ =-（+2b）-（-）+（-b-）=--2b-+-b-=--3b- 故答为--3b- 【点睛】本题考查了绝对值的相关知识，牢记非负数得绝对值是它本身，负数的绝对值为 其相反数，是解答本题的关键 【变式训练3】若 ，则 _______． 【答】2 或-2 【分析】对、b、中正数的个数进行讨论，即可求解． 【详解】解：当、b、中没有负数时，都是正数，则原式=1+1+1-1=2； 当、b、中只有一个负数时，不妨设是负数，则原式=-1+1+1+1=2； 当、b、中有2 个负数时，不妨设、b 是负数，则原式=-1-1+1-1=-2； 当、b、都是负数时，则原式=-1-1-1+1=-2， 总是代数式的值是2 或-2， 故答为：2 或-2 【点睛】本题考查了有理数的除法法则和乘法法则，正确进行讨论是关键． 【变式训练4】①若2 与1－互为相反数，则=_________ ②已知||=3，|b-1|=4，|-b|=b-，则+b=_____________ 【答】 -1 8 或2 或-6 【分析】①根据互为相反数的两数和为0，列等式求解；②根据绝对值性质求出，b 值，再 根据 确定≤b，根据此关系确定，b 的值求解即可 【详解】解：①∵2 与1－互为相反数， 2+(1-)=0 ∴ ，∴=-1 ② ||=3 ∵ ，∴=3 或= -3； |b-1|=4 ∵ ，∴b-1=4 或b-1= -4，∴b=5 或b= -3 |-b|=b- ∵ ，∴-b≤0，∴≤b =3 ∴ ，b=5 或= -3，b=5 或= -3，b= -3， +b=3+5=8 ∴ 或+b=(-3)+5=2 或+b=(-3)+(-3)= -6，即+b 的值为8 或2 或-6 故答为①-1；②8 或2 或-6 【点睛】本题考查相反数和绝对值的性质以及简单代数式求值问题，掌握绝对值的性质是 解答此题的关键 类型三、几何意义化简绝对值 例．点、B 在数轴上分别表示有理数、b，、B 两点之间的距离表示为 ，则在数轴上、B 两点之间的距离 ．所以式子 的几何意义是数轴上表示x 的点与表示2 的点 之间的距离．借助于数轴回答下列问题： (1)数轴上表示2 和5 两点之间的距离是 ，数轴上表示1 和 的两点之间的距离是 ． (2)如果 ，那么 ． (3)若 ，且数，b 在数轴上表示的数分别是点，点B，则，B 两点间的最大 距离是 ，最小距离是 ． (4)①若数轴上表示x 的点位于 与1 之间，则 ； ②若 ，则 ． 【答】(1)3，4 (2)2 或 (3)8，2 (4)①4；②5 或 ． 【分析】（1）根据距离公式 计算即可． （2）根据绝对值的意义计算即可． （3）根据绝对值的意义，确定，b 的值，再最值的意义计算即可． （4）①根据取值范围，化简绝对值计算即可． ②分 ， ， 三种情况计算即可． 【详解】（1）数轴上表示2 和5 两点之间的距离是： ，数轴上表示1 和 的两点 之间的距离是： ； 故答为：3，4． （2） ， ∴ ， ∴ ， 故答为：2 或 ． （3）∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 或1， 或 ， ∴，B 两点间的最大距离是： ，最小距离是： ； 故答为：8，2． （4）①∵x 的点位于 与1 之间， ∴ ，故答为：4． ②当 时， ，得到 ， 解得， ； 当 时， ，得到 ，解得， ； 当 时， ，得到 ，无解； 综上， 或 ；故答为：5 或 ． 【点睛】本题考查了数轴上的两点间的距离，绝对值的化简与取值范围的关系，熟练掌握 绝对值方程的计算是解题的关键． 【变式训练1】一般地，数轴上表示数m 和数的两点之间的距离等于 ． 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示5 和1 的两点之间的距离是__________；表示﹣3 和2 两点之间的距离是____ ______； (2)如果表示数和﹣2 的两点之间的距离是3，那么＝__________． (3)若数轴上表示数的点位于﹣4 与2 之间，则 的值为__________； (4)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得 ＝7，这些点表示的数的和是_ _________． 【答】(1)4，5 (2)1 或 (3)6 (4)12 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离等于两点所表示数的绝对值进行解答即可； （2）根据数轴上两点之间的距离等于两点所表示数的绝对值得到|+2|=3，即可得结果； （3）先根据表示数的点位于﹣4 与2 之间可知﹣4＜＜2，再根据绝对值的性质把原式去掉 绝对值符号求出的值即可； （4）根据线段上的点到线段两端点的距离的和最小，可得答． （1） 由题意可得， 数轴上表示5 和1 的两点之间的距离是：5－1=4， 表示-3 和2 两点之间的距离是：2-（-3）=5， 故答为：4，5； （2） 若表示数和-2 的两点之间的距离是3，则|+2|=3，解得=1 或=-5， 故答为：1 或 ； （3） -4 ∵ ＜＜2， |+4|+|-2|=+4+2-=6 ∴ ， 故答为：6； （4） 当x＞5 时，|x+2|+|x-5|=x+2+x-5=2x-3＞7， 当-2≤x≤5 时，|x+2|+|x-5|=x+2+5-x=7， 当x＜-2 时，|x+2|+|x-5|=-x-2+5-x=-2x+3＞7， ∴使得|x+2|+|x-5|=7 的所有整数为：-2，-1，0，1，2，3，4，5， -2+ ∵ （-1）+0+1+2+3+4+5=12， 故答为：12； 【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数轴的特点和分类讨 论的数学思想解答． 【变式训练2】综合与实践： 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 点 在数轴上分别表示有理数 两点之间的距离表示为 ，在数轴上 两 点之间的距离 ．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示1 和7 两点之间的距离是__________；数轴上表示3 和 的两点之间的距 离是__________； 独立思考： （2）数轴上表示x 和 的两点之间的距离表示为__________； （3）试用数轴探究：当 时m 的值为__________． 实践探究：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4）利用数轴求出 的最小值，并写出此时x 可取哪些整数值？ （5）当 的值最小时，m 的值为__________（直接写出答即可）． 【答】（1） ；（2） ；（3）5 或 ；（4） ；（5）9 【分析】（1）用大数减小数便可求得两点的距离； （2）根据定义用代数式表示； （3）分两种情况： 点在2 的左边； 点在2 的右边；分别列式计算便可； （4）确定 与1 的距离加上 与4 的距离之和最小时， 的取舍范围，再在该范围内求整 数； （5） 表示数轴上某点到表示 、9、16 三点的距离之和，依此即 可求解． 【详解】解：（1）数轴上表示1 和7 两点之间的距离是： ； 数轴上表示3 和 的两点之间的距离是 ， 故答为：6；5； （2）数轴上表示 和 的两点之间的距离表示为 ， 故答为： ； （3） 表示数 的点与表示数2 的点距离为3， 当表示数 的点在2 的左边时， ， 当表示数 的点在2 的右边时， ， 所以 或5， 故答为： 或5； （4） 表示数轴上 和1 两点之间的距离， 表示数轴上 和4 两点之间的距离， 当且仅当 时，两距离之和最小， 可取的整数有：1，2，3，4． （5） 表示数轴上 和 两点之间的距离， 表示数轴上 和9 两点之间的距 离， 表示数轴上 和16 两点之间的距离， 当且仅当 时，距离之和最小， 当 的值最小时， 的值为9． 故答为：9． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表 示是解题的关键． 课后训练 1．若 时，化简 （ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】直接利用绝对值的性质化简求出答． 【详解】解： ， ， ， ． 故答为：B． 【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，正确利用的取值范围化简是解题关键． 2．在数轴上和有理数、b、对应的点的位置如图所示，有下列四个结论： ① ；② ；③ ；④ ， 其中正确的结论有（ ）个 ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 【答】B 【分析】根据三点与1 的位置关系即可判断①；对于②，根据、b、的位置关系化简方程左 端，判断是否等于右端即可；对于③，首先判断三个式子的正负，然后判断积的符号；对 于④，首先判断1−b 的符号，然后和比较即可 ． 【详解】①∵<1，b<1，<1 -1<0 ∴ ，b-1<0，-1<0 ∴ ，故①正确； ② <b ∵ ，b<，< -b<0 ∴ ，b-<0，-<0 ∴ ， ∴ ，故②正确； ③ +b<0 ∵ ，b+>0，+<0 ∴ ，故③正确； ④ <-1 ∵ ||>1 ∴ 0<b<<1 ∵ 0<b<1 ∴ 1-b<1 ∴ ||>1-b ∴ ，故④错误； 故选B 【点睛】本题考查了数轴，有理数，绝对值的化简，题目较难，英重点关注数轴上点和已 知数的位置关系，然后进行推导求解． 3．|x 2|+| ﹣ x 4|+| ﹣ x 6|+| ﹣ x 8| ﹣ 的最小值是， ，那么 的值为（ ） ．﹣2 B．﹣1 ．0 D．不确定 【答】 【分析】根据绝对值的意义，先求出的值，然后进行化简，得到 ，则 ， ，再进行化简计算，即可得到答． 【详解】解：∵|x 2|+| ﹣ x 4|+| ﹣ x 6|+| ﹣ x 8| ﹣ 的最小值是， ∴当 时，|x 2|+| ﹣ x 4|+| ﹣ x 6|+| ﹣ x 8| ﹣ 有最小值8， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ∴ = = = = =0； 故选：． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，求代数式的值，解题的关键是掌握绝对值的意义，正 确的求出 ， ， ． 4．有理数 、 、在数轴上的位置如图，化简： ___________． 【答】 【分析】根据数轴得到 ， ，即可判断 ， ， ， ，根据绝对值性质求解即可得到答． 【详解】解：由数轴可得， ， ， ∴ ， ， ， ， ∴原式 ， 故答为 ． 【点睛】本题考查根据数轴去绝对值，解题的关键是根据数轴判断式子与0 的关系及正数 绝对值等于它本身，负数绝对值是它的相反数． 5．若 ， ，则 ______． 【答】-2 或0 或4 【分析】对和b，以及 的正负进行分类讨论，然后去绝对值求出对应的值． 【详解】解：①当 ， 时， ， ， 原式 ； ②当 ， 时， ， ， 原式 ； ③当 ， ，且 时， ， 原式 ； ④当 ， ，且 时， ， 原式 ； ⑤当 ， ，且 时， ， 原式 ； ⑥当 ， ，且 时， ， 原式 ． 故答是：-2 或0 或4． 【点睛】本题考查绝对值的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想去化简绝对值． 6．已知 ， ，的大小关系如图所示，则下列各式：① ；② ； ③ ；④ ；⑤ 其中正确的是____．（请填写序 号） 【答】②③⑤ 【分析】根据数轴先求出、b 和的取值范围，再逐一进行判断即可得出答 【详解】由图可得，b<0，0<< b++(-)<0 ∴ ，故①错误；--b+>0，故②正确； ，故③正确； ， 故④错误； ，故⑤正确；故答为②③⑤ 【点睛】本题考查的是数轴、相反数和绝对值的综合应用，难度较大，需要熟练掌握相关 基础知识 7．学习过绝对值之后，我们知道 表示5 与2 的差的绝对值，实际上也可理解为5 与2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究解决以下问题： (1) 可以理解为_________与_________两数在数轴上所对应的两点之间的距离； (2)已知 ，求x 的值； (3)利用数轴探究： ①满足 的所有整数x 的值为_________； ②当x 满足_________时， 的值最小最小值是_________； (4)已知在一条笔直的高速公路旁边依次有、B、三个城市，它们距离高速公路起点的距离 分别是 、 、 ．现在需要在该公路旁建一个物流集散中心P，请直接指 出该物流集散中心P 应该建设在何处，才能使得P 到三个城市的距离之和最小，这个最小 距离是多少？ 【答】(1) ， (2) 或 (3)① 或；② ， (4)物流集散中心P 应该建设在 处，最小距离是 【分析】（1）根据题意可知 表示 与 的差的绝对值，即可求解； （2）根据题意找出与 相距三个单位的点即可； （3）①根据题意可知题目是求 与 的距离加上 与 的距离之和等于，求解即可；② 根据题意可知： 代表 与 的距离加上 与 的距离之和最小，则 应在 和 之间； （4）以高速公路起点为数轴原点建立数轴，点 应在 之间，此时 ，所以，当 时， 最小． （1） 解： 可以理解为 与 两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 故答为： ， ； （2） 解：∵ ，即 与 的距离为， 则 或 ， ∴ 或 ； （3） 解：①根据题意可知题目是求 与 的距离加上 与 的距离之和等于， 若 位于 和 之间，则 ， ∵原式 ， ∴ 只能位于点 的左侧或 的右侧， 当 时：原式整理为： ， 解得： ； 当 时，原式整理为： ， 解得： ； 综上：满足 的所有整数x 的值为： 或； ②根据题意可知： 代表 与 的距离加上 与 的距离之和， 要使其最小则 应在 和 之间， 即 时， 的值最小最小值是； 故答为：① 或；② ，； （4） 解：以高速公路起点为数轴原点建立数轴，如图： 则 ， 显然，当点 位于 点左侧或者 点右侧时， ， 当点 位于 、 之间时， ， ∴当 ，即 与点 重合时， 最小， 故物流集散中心P 应该建设在 处， 可使P 到三个城市的距离之和最小，这个最小距离是 ． 【点睛】本题考查了数轴和绝对值，借助数轴可以使有关绝对值的问题转换