专题01 绝对值的三种化简方法（教师版）

专题01 绝对值的三种化简方法 绝对值版块的内容在我们这学期比重较大，尤其是绝对值的化简。并且，在压轴题中， 常见的题型是利用数轴化简绝对值和利用其几何意义化简绝对值，本专题就这两块难点详 细做出分析。 【知识点梳理】 1 绝对值的定义 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作|| 2 绝对值的意义 ①代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0； ②几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远， 绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。 3 绝对值的化简： 类型一、利用数轴化简绝对值 例1．有理数、b、在数轴上位置如图，则 的值为( )． ． B． ．0 D． 【答】 【详解】根据数轴上点的位置得： ，且 ， 则 ， ， ， 则 ． 故选． 例2．有理数 ， 在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式 的值是 ( ) ．-1 B．1 ．3 D．-3 【答】D 【详解】解：根据数轴可知：－1<<0，0<b<1，||<|b|， ∴原式 ． 故选：D． 【变式训练1】已知，数 、 、的大小关系如图所示：化简 ____． 【答】 【详解】由数轴可得：b＜0，0＜＜， (+) ∴ ＞0，(b-)＜0，(-)＜0，(b-)＜0， ∴ +-(-b)-2(-)+3(-b) =+-+b-2+2+3-3b=2-2b+2， 故答为：2-2b+2． 【变式训练2】有理数、b、在数轴上的位置如图． (1)判断正负，用“>”或“<”填空： ， ， ． (2)化简： 【答】(1)＜，＜，＞；(2)2-2b-2 【详解】解：由图可知，＜0，b＞0，＞0，且|b|＜||＜||， (1)b−＜0，＋b＜0，−＋＞0；故答为：＜，＜，＞； (2) ＝−b−-b-+=2-2b-2． 【变式训练3】有理数 ， 在数轴上的对应点如图所示： (1)填空： ______0； ______0； ______0；(填“＜”、“＞”或“＝”) (2)化简： 【答】(1)<，<，>；(2) 【详解】(1)从数轴可知： ， ，故答为：<，<，>； (2) ， ． 【变式训练4】有理数、b、在数轴上的位置如图： (1)用“＞”或“＜”填空_____0，b_____0，﹣b______0，b_____0． (2)化简：||+|b+| | | ﹣﹣． 【答】(1)＜，＞，＞，＜；(2)b 【解析】(1)解：由有理数、b、在数轴上的位置可知，＜0＜b＜， ∴﹣b＞0，b＜0 故答为：＜，＞，＞，＜； (2)由有理数、b、在数轴上的位置可得， b+＞0，﹣＞0， ||+| ∴ b+| | | ﹣﹣＝﹣+b+ + ﹣＝b． 类型二、利用几何意义化简绝对值 例1 同学们都知道，|5-(-2)|表示5 与-2 之差的绝对值，实际上也可理解为5 与-2 两数在数 轴上所对的两点之间的距离．试探索 (1)求|5-(-2)|=________； (2)同样道理|x+1008|=|x-1005|表示数轴上有理数x 所对点到-1008 和1005 所对的两点距离 相等，则x=________； (3)类似的|x+5|+|x-2|表示数轴上有理数x 所对点到-5 和2 所对的两点距离之和，请你找出 所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x-2|=7，这样的整数是__________． (4)由以上探索猜想对于任何有理数x，|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如 果没有，说明理由． 【答】(1)7；(2) ；(3)-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2；(4)有最小值，最小值为3． 【详解】(1)|5-(-2)|= =7，故答为：7 (2) | ∵x+1008|=|x-1005|表示数轴上有理数x 所对点到-1008 和1005 所对的两点距离相等， ∴x 所对点为-1008 和1005 所对点的中点，∴x+1008＞0，x-1005＜0， | ∵x+1008|=|x-1005|，∴x+1008=-(x-1005)，解得： ，答为： (3)当x+5=0 时，x=-5，当x-2=0 时，x=2， 当x＜-5 时，|x+5|+|x-2|=-(x+5)-(x-2)=7，-x-5-x+2=7，解得：x=5(范围内不成立，舍去) 当-5≤x＜2 时，∴|x+5|+|x-2|=(x+5)-(x-2)=7，x+5-x+2=7，7=7， ∵x 为整数，∴x=-5，-4，-3，-2，-1，0，1 当x≥2 时，∴|x+5|+|x-2|=(x+5)+(x-2)=7，x+5+x-2=7，2x=4，解得：x=2， 综上所述：符合条件的整数为-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2， 故答为：-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2 (4) | ∵x-3|+|x-6|表示数轴上有理数x 所对点到3 和6 所对的两点距离之和， ∴由(2)得3≤x≤6 时|x-3|+|x-6|的值最小， | ∴x-3|+|x-6|=x-3-(x-6)=3，∴|x-3|+|x-6|有最小值，最小值为3． 【变式训练1】阅读下面的材料： 点、B 在数轴上分别表示实数、b，、B 两点之间的距离表示为∣B∣，当、B 两点中有一点在 原点时，不妨设点在原点，如图1，∣B∣＝∣B = ∣∣b = - ∣∣b∣；当、B 两点都不在原点时： ①如图2，点、B 都在原点的右边： ∣B = ∣∣B - = ∣∣∣∣b - = ∣∣∣b-= - ∣b∣； ②如图3，点、B 都在原点的左边： ∣B = ∣∣B - = ∣∣∣∣b - =- ∣∣∣ b-(-)= - ∣b∣； ③如图4，点、B 在原点的两边： ∣B = + ∣∣∣∣B = + ∣∣∣∣b =+(- ∣ b)= - ∣b∣， 综上，数轴上、B 两点之间的距离∣B = - ∣∣b∣． 回答下列问题： (1)数轴上表示2 和5 的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2 和-5 的两点之间的距离 是________，数轴上表示1 和-3 的两点之间的距离是___________； (2)数轴上表示x 和-1 的两点和B 之间的距离是________，如果∣B =2 ∣ ， 那么x 为__________． (3)当代数式∣x+1 + ∣∣x-2∣取最小值时，相应的x 的取值范围是__________． 【答】(1)3，3，4；(2) ，1 或-3；(3) 【解析】(1)解：数轴上表示2 和5 的两点之间的距离为 ， 数轴上表示-2 和-5 的两点之间的距离为 ， 数轴上表示1 和-3 的两点之间的距离为 ； 故答为：3，3，4； (2)解：数轴上表示x 和-1 的两点和B 之间的距离是 ， 根据题意得 ，即 ，所以x=1 或-3， 故答为 ，1 或-3； (3)解：代数式∣x+1 + ∣∣x-2∣可以看成x 到-1 和2 的距离和，只有在-1 和2 之间才会有最小距离 3，所以x 的取值为 ， 故答为： ． 【变式训练2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4 和1 的两点之间的距离是 ；数轴上表示﹣3 和2 两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m 和数的两点之间的距离可以表示为|m | ﹣．那么，数轴上表示 数x 与5 两点之间的距离可以表示为 ，表示数y 与﹣1 两点之间的距离可以表示为 ． (2)如果表示数和﹣2 的两点之间的距离是3，那么＝ ；若数轴上表示数的点位于﹣4 与2 之间，求|+4|+| 2| ﹣ 的值； (3)当＝ 时，|+5|+| 1|+| 4| ﹣ ﹣ 的值最小，最小值是 ． 【答】(1)3，5，|x-5|，|y+1|；(2)1 或-5；|+4|+|-2|=6；(3)1，9． 【详解】(1)数轴上表示4 和1 的两点之间的距离是4-1=3；表示-3 和2 两点之间的距离是2- (-3)=5；一般地，数轴上表示数m 和数的两点之间的距离可以表示为|m-|．那么，数轴上 表示数x 与5 两点之间的距离可以表示为|x-5|，表示数y 与-1 两点之间的距离可以表示为| y+1|． 故答为：3，5，|x-5|，|y+1|； (2)如果表示数和-2 的两点之间的距离是3，那么|-(-2)|=3， |+2|=3 ∴ ，∴+2=3 或+2=-3，解得=1 或=-5； |+4|+|-2| ∵ 表示数与-4 的距离与和2 的距离之和， 若数轴上表示数的点位于-4 与2 之间，则|+4|+|-2|的值等于2 和-4 之间的距离，等于6． 即|+4|+|-2|=6，故答为：1 或-5； (3)|+5|+|-1|+|-4|表示一点到-5，1，4 三点的距离的和， ∴当=1 时，该式的值最小，最小值为6+0+3=9． ∴当=1 时，|+5|+|-1|+|-4|的值最小，最小值是9．故答为：1，9． 【变式训练3】(问题提出) 的最小值是多少？ (阅读理解)为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手． 的几何意义是 这个数在 数轴上对应的点到原点的距离，那么 可以看作 这个数在数轴上对应的点到1 的距离； 就可以看作 这个数在数轴上对应的点到1 和2 两个点的距离之和．下面我们 结合数轴研究 的最小值． 我们先看 表示的点可能的3 种情况，如图所示： (1)如图①， 在1 的左边，从图中很明显可以看出 到1 和2 的距离之和大于1． (2)如图②， 在1，2 之间(包括在1，2 上)，看出 到1 和2 的距离之和等于1． (3)如图③， 在2 的右边，从图中很明显可以看出 到1 和2 的距离之和大于1．因此，我 们可以得出结论：当 在1，2 之间(包括在1，2 上)时， 有最小值1． (问题解决) (1) 的几何意义是 ，请你结合数轴探究： 的最小值是 ． (2)请你结合图④探究 的最小值是 ，由此可以得出 为 ． (3) 的最小值为 ． (4) 的最小值为 ． (拓展应用)如图，已知 使到-1，2 的距离之和小于4，请直接写出 的取值范围是 ． 【答】(1)这个数在数轴上对应的点到4 和7 两个点的距离之和，3；(2)2，2；(3)6； (4)1021110；拓展应用 ． 【详解】(1) 的几何意义是这个数在数轴上对应点到4 和7 两个点的距离之和； 当在4 和7 之间时(包括4，7 上)， 可以看出到4 和7 的距离之和等于3，此时 取得最小值是3； 故答为：这个数在数轴上对应的点到3 和6 两个点的距离之和，最小值是3 (2)当取中间数2 时，绝对值最小， 的最小值是1+0+1=2； 如图所示： 故答为：2，2； (3)当取最中间数时，绝对值最小， 的最小值是 ； (4)当取中间数1011 时，绝对值最小， 的最小值为： 1010+1009+1008+1007+……+1+0+1+2+3+……+1010= ； 拓展应用 ∵使它到-1，2 的距离之和小于4，∴ ， ① ∴ 当 时，则有 ，解得： ，∴ ； ②当 时，则有 ，∴ ， ③当 时，则有 ，解得： ，∴ ， 综上： ，数轴上表示如下： 类型三、分类讨论法化简绝对值 例1 化简： 【答】 【解析】试题解析：①当 时，原式 ②当 时，原式 ③当 时，原式 ④当 时，原式 综上所述： 【变式训练1】若 ，则 的值为_________． 【答】0 或2 或4 【详解】∵ ， ∴、b、三个数中必定是一正两负， ∴当 时， ，此时 当 时， ，此时 当 时， ，此时 故答为：0 或2 或4 【变式训练2】(1)数学小组遇到这样一个问题：若，b 均不为零，求 的值． 请补充以下解答过程(直接填空) ①当两个字母，b 中有2 个正，0 个负时，x= ；②当两个字母，b 中有1 个正，1 个负 时，x= ；③当两个字母，b 中有0 个正，2 个负时，x= ；综上，当，b 均不为零，求 x 的值为 ． (2)请仿照解答过程完成下列问题： ①若，b，均不为零，求 的值． ②若，b，均不为零，且+b+=0，直接写出代数式 的值． 【答】(1)①2，②0，③-2，2 或0 或-2；(2)①1 或3 或-3 或-1；②-1 或1 【详解】(1)①∵、b 都是正数，∴ =， =b，∴ =1+1=2， 故答为：2； ②设是负数，b 是正数，∴ =-， =b，∴ =-1+1=0，故答为：0； ③∵、b 都是负数，∴ =-， =-b，∴ =-1-1=-2，故答为：-2； 综上，当，b 均不为零，求x 的值为2 或0 或-2； (2)①由题意可得：、b、的符号分为四种情况： 当、b、都是正数时， =1+1-1=1， 当、b、为两正一负且、b 为正为负时， =1+1+1=3， 当、b、为一正两负且、b 为负为正时， =-1-1-1=-3, 当、b、都是负数时， =-1-1+1=-1， 综上， 的值为1 或3 或-3,或-1； ②∵，b，均不为零，且+b+=0， ∴ = ， ∴当、b、为两正一负时， =-1-1+1=-1， 当、b、为一正两负 =-1+1+1=1， 综上， 的值为-1 或1