第13讲 二次函数图象与性质（讲义）（解析版）

第13 讲 二次函数的图象与性质 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 二次函数的相关概念 题型01 判断函数类型 题型02 判断二次函数 题型03 已知二次函数的概念求参数值 题型04 利用待定系数法求二次函数的解析式 类型一 一般式 类型二 顶点式 类型三 交点式 考点二 二次函数的图象与性质 题型01 根据二次函数解析式判断其性质 题型02 将二次函数的一般式化为顶点式 题型03 二次函数y=x2+bx+的图象和性质 题型04 利用五点法绘二次函数图象 题型05 二次函数平移变换问题 题型06 已知抛物线对称的两点求对称轴 题型07 根据二次函数的对称性求函数值 题型08 根据二次函数的性质求最值 题型09 根据二次函数的对称性求字母的取值范围 题型10 根据二次函数的最值求字母的取值范围 题型11 根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的取值范围 题型12 根据二次函数的增减性求字母的取值范围 考点三 二次函数与各项系数之间的关系 题型01 根据二次函数图象判断式子符号 题型02 二次函数图象与各项系数符号 题型03 二次函数、一次函数综合 题型04 二次函数、一次函数、反比例函数图象综合 题型05 两个二次函数图象综合 考点四 二次函数与方程、不等式 题型01 求二次函数与坐标轴交点坐标 题型02 求二次函数与坐标轴交点个数 题型03 抛物线与x 轴交点问题 题型04 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型05 图象法确定一元二次方程的近似根 题型06 求x 轴与抛物线的截线长 题型07 图象法解一元二次不等式 题型08 根据交点确定不等式的解集 题型09 二次函数与斜三角形相结合的应用方法 考点要求 新课标要求 命题预测 二次函数的相关 概念  通过对实际问题的分析，体会二次函数 的意义 二次函数作为初中三大函数中考点最多， 出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中 考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分 值为15-20 分，预计2024 年各地中考还会考而 对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中 在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方 程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几 大方面题型变化较多，考生复习时需要熟练掌 握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点 的复习 二次函数的图象 与性质  能画二次函数的图象，通过图象了解二 次函数的性质，知道二次函数系数与图 象形状和对称轴的关系  会求二次函数的最大值或最小值，并能 确定相应自变量的值，能解决相应的实 际问题 二次函数与各项 系数的关系  理解二次函数与各项系数的关系 二次函数与方 程、不等式  知道二次函数和一元二次方程之间的关 系，会利用二次函数的图象求一元二次 方程的近似解 考点一 二次函数的相关概念 二次函数的概念：一般地，形如y=x²+bx+ (其中、b、是常数，≠0)的函数叫做二次函数其中，x 是自变 量，、b、分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项 二次函数的结构特征：1）函数关系式是整式； 2）自变量的最高次数是2； 3）二次项系数≠0，而b，可以为零 根据实际问题列二次函数关系式的方法： 1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系； 2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系； 3）列出相应二次函数的关系式 二次函数的常见表达式： 名称 解析式 前提条件 一般式 y=x²+bx+ (≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用 一般式求其表达式 顶点式 y＝(x–)²＋k（，，k 为常数， ≠0），顶点坐标是（，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常 用顶点式求其表达式 交点式 y＝（x–x1）（x–x2） (≠0) 其中x1，x2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，若 题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式 求其表达式 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法 题型01 判断函数类型 【例1】（2022·北京·统考一模）线段AB=5．动点以每秒1 个单位长度的速度从点出发，沿线段AB运动 至点B，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆．设点的运动时间为t，正方形APCD周 长为y，⊙B的面积为S，则y 与t，S 与t 满足的函数关系分别是（ ） 二次函数的特殊形式：1)当b＝0 时， y＝x²＋（≠0） 2)当＝0 时， y＝x²＋bx （≠0） 3)当b＝0，＝0 时， y＝x²（≠0） ．正比例函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，正比例函数关系 ．正比例函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【答】 【分析】根据题意分别列出与，与的函数关系，进而进行判断即可． 【详解】解：依题意：P=t，BP=5-t, 故y=4t，S=（5-t）2 故选择： 【点睛】本题考查了列函数表达式，正比例函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关 键． 【变式1-1】（2021 上·北京海淀·九年级统考期中）如图，在△ABC中， ∠C=90°，AC=5，BC=10，动点M、分别从、两点同时出发，点M 从点开始沿边向点以每秒1 个 单位长的速度移动，点从点开始沿B 向点B 以每秒2 个单位长的速度移动．设运动的时间为t，点M、之间 的距离为y，△MCN的面积为S，则y 与t，S 与t 满足的函数关系分别是（ ） ．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 ．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 【答】D 【分析】求出y 与t，S 与t 满足的函数关系式，再根据函数的类型进行判断即可． 【详解】解：由题意得，M＝t，＝2t， ∴M＝−M＝5−t， 即y＝5−t， ∴S＝1 2M•＝5t−t2， 因此y 是t 的一次函数，S 是t 的二次函数， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数、二次函数，理解一次函数、二次函数的意义是正确解答的前提，求出y 与t， S 与t 的函数关系式是正确判断的关键． 【变式1-2】（2023·北京·统考二模）如图，某小区有一块三角形绿地ABC，其中∠B=90°，AB=BC． 计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBN，使点P，M，分别在边AC ，BC ，AB上．记 PM=x m，PN= y m，图中阴影部分的面积为S m 2．当x 在一定范围内变化时，y 和S 都随x 的变化而 变化，则y 与x，S 与x 满足的函数关系分别是（ ） ．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系 ．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【答】 【分析】先求出∠A=∠C=45°，再证明△PCM 、△APN都是等腰直角三角形，从而推出 y=−x+BC，S=1 2 x 2+ 1 2 (BC−x ) 2，由此即可得到答． 【详解】解：∵∠B=90°，AB=BC， ∴∠A=∠C=45°， ∵四边形PMBN是矩形， ∴∠PMB=∠PMC=∠PNB=∠PNA=90°，PN=BM， ∴△PCM 、△APN都是等腰直角三角形， ∴CM=PM ，AN=PN=BM， ∴PM +PM=CM +BM=BC，即x+ y=BC， ∴y=−x+BC，S=1 2 PM ⋅CM + 1 2 PN ⋅AN=1 2 x 2+ 1 2 (BC−x ) 2 ∴S=1 2 PM ⋅CM + 1 2 PN ⋅AN=1 2 x 2+ 1 2 (BC−x ) 2， ∴y 与x，S 与x 满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系， 故选． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，列函数关系式，二次函数的定义等 等，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． 题型02 判断二次函数 【例2】（2023·山东济宁·校联考三模）以下函数式二次函数的是（ ） ．y=a x 2+bx+c B．y=(2 x−1) 2−4 x 2 ． y= a x 2 + b x +c (a≠0) D．y=(x−1) (x−2) 【答】D 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=a x 2+bx+c（、b、是常数，a≠0）的函数叫做二次函数， 进行判断． 【详解】解：、当a=0时，y=a x 2+bx+c不是二次函数，故本选项错误； B、由y=(2 x−1) 2−4 x 2得到y=−4 x+1，是一次函数，故本选项错误； 、该等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误； D、由原函数解析式得到y=x 2−3 x+2，符合二次函数的定义，故本选项正确． 应选：D． 【点睛】此题考查了二次函数的定义，掌握定义，会根据定义进行判断是解题的关键． 【变式2-1】（2023·辽宁鞍山·统考一模）下列函数是二次函数的是（ ） ．y=x+ 1 3 B．y=a x 2+bx+c ．y=3 (x−1) 2 D．y=3 x 【答】 【分析】二次函数的解析式必须是含自变量的整式，二次项系数不为0． 【详解】解：、y=x+ 1 3是一次函数，故本选项不符合题意； B、y=a x 2+bx+c二次项系数不能确定是否为0，不是二次函数，故本选项不符合题意； 、y=3 (x−1) 2是二次函数，故本选项符合题意； D、y=3 x是正比例函数，故本选项不符合题意； 故选：． 【点睛】解题关键是掌握二次函数的定义及条件：二次函数y=a x 2+bx+c的定义条件是：、b、为常数， a≠0，自变量最高次数为2． 【变式2-2】（2023·广东云浮·校考一模）关于x 的函数y=(a−b) x 2+1是二次函数的条件是（ ） ．a≠b B．a=b ．b=0 D．a=0 【答】 【分析】根据二次函数的定义，直接求解即可得到答； 【详解】解：∵y=(a−b) x 2+1是二次函数， ∴a−b≠0， 解得：a≠b， 故选． 【点睛】本题考查二次函数的条件，二次函数二次项系数不为0． 题型03 已知二次函数的概念求参数值 【例3】（2022·山东济南·模拟预测）若y=(m 2+m) x m 2−m是二次函数，则m的值等于（ ） ．−1 B．0 ．2 D．−1或2 判断一个函数是不是二次函数的方法：在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简、整理(去括号、 合并同类项)后，能写成y=x²+bx+(≠0)的形式，那么这个函数就是二次函数，否则,它就不是二次函数 【答】 【分析】根据二次函数的定义求解即可，形如y=a x 2+bx+c(a≠0)的函数为二次函数． 【详解】解：y=(m 2+m) x m 2−m是二次函数，则m 2−m=2且m 2+m≠0 由m 2−m=2可得m=2或m=−1， 由m 2+m≠0可得m≠0，m≠−1， 综上m=2 故答为： 【点睛】此题考查了二次函数的定义，涉及了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握二次函数的定义． 题型04 利用待定系数法求二次函数的解析式 类型一 一般式 【例4】（2023·陕西西安·高新一中校考三模）二次函数¿a x 2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中x与y 的部分对应值如下表，下列结论，正确的个数有（ ） x −1 0 1 3 y −1 3 5 3 ①ac<0 ②当x>1时，y的值随x值的增大而减小； ③4 是方程a x 2+(b−2) x+c+9=0的一个根； ④当−1<x<3时，a x 2+(b−1) x+c>0 ．4 个 B．3 个 ．2 个 D．1 个 【答】B 【分析】利用待定系数法先求解抛物线的解析式为：y=−x 2+3 x+3；可得ac<0，可判①；根据函数的 对称轴为直线x=3 2，函数图象开口向下，可得当x ≥3 2时，y的值随x值的增大而减小；可得②不符合题意； 由a x 2+(b−2) x+c+9=0可化为x 2−x−12=0，可判断③符合题意；由 a x 2+(b−1) x+c=−x 2+2 x+3=0时，可得x=3或x =−1，可得当−1<x<3时，a x 2+(b−1) x+c>0； 可得④符合题意；从而可得答． 【详解】解：当x=0时，y=3，则c=3； 当x =−1时，y=−1；当x=1时，y=5， 则有¿， ∴¿， ∴y=−x 2+3 x+3； ①ac<0，故①符合题意； ②函数的对称轴为直线x=3 2，函数图象开口向下， ∴当x≥3 2时，y的值随x值的增大而减小；故②不符合题意； ③a x 2+(b−2) x+c+9=0可化为x 2−x−12=0， ∴x=4或x=−3；故③符合题意； ④a x 2+(b−1) x+c=−x 2+2 x+3=0时， ∴x=3或x =−1， ∴当−1<x<3时，a x 2+(b−1) x+c>0；故④符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练的掌握二次 函数的图象与性质进而作出准确的判断是解本题的关键． 【变式4-1】（2023·天津河北·统考三模）二次函数y=a x 2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x 与函数值y的部分对应值如下表： x … −2 −1 0 1 2 … y=a x 2+bx+c … 1 m −2 −2 n … 且当x=−1 2 时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：①abc<0；②−2和3是关于x的方程 ax ²+bx+c=1的两个根，③0<m+n< 20 3 ．其中，正确结论的个数是（ ） ．0 B．1 ．2 D．3 【答】B 【分析】①用待定系数法求出函数解析式，得出、b、的值，即可判定①； ②把x=−2，x=3代入ax ²+bx+c=1，看左右两边是否相等，可判定②； ③把x=−1，y=m，x=2，y=n，代入y=1 2 x 2−1 2 x−2，求出m、值，可计算m+n的值，即可判定③． 【详解】解：由表格可知：x=−2，y=1，x=0，y=−2，x=1，y=−2， 分别代入y=a x 2+bx+c，得 ¿，解得：¿， ∴y=1 2 x 2−1 2 x−2， ∴abc=1 3 ×( −1 3 )× (−2)= 2 9 >0， 故①错误； 把x=−2代入方程1 2 x 2−1 2 x−2=1， 左边¿ 1 2 × (−2) 2−1 2 × (−2)−2=1，右边¿1， ∴左边=右边 把x=3代入方程1 2 x 2−1 2 x−2=1， 左边¿ 1 2 ×3 2−1 2 ×3−2=1，右边¿1， ∴左边=右边 ∴−2和3是关于x的方程a x 2+bx+c=1的两个根； 故②正确； 把x=−1，y=m，代入y=1 2 x 2−1 2 x−2，得 m=1 2 × (−1) 2−1 2 × (−1)−2=0， 把x=2，y=n，代入n=1 2 x 2−1 2 x−2，得 n=1 2 ×2 2−1 2 ×2−2=−2 ∴m+n=0−2=−2<0， 故③错误； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确 定出对称轴是解题的关键． 【变式4-2】（2023·浙江·一模）已知二次方程x 2+bx+c=0的两根为−1和5，则对于二次函数 y=x 2+bx+c，下列叙述正确的是（ ） ．当x=2时，函数的最大值是9． B．当x=−2时，函数的最大值是9． ．当x=2时，函数的最小值是−9． D．当x=−2时，函数的最小值是−9． 【答】 【分析】根据二次方程x 2+bx+c=0的两根为−1和5，求出b，c的值，从而得出函数解析式，再根据函数 的性质求最值． 【详解】解：∵二次方程x 2+bx+c=0的两根为−1和5， ∴ ¿， 解得¿， ∴二次函数y=x 2+bx+c=x 2−4 x−5=( x−2) 2−9， ∵1>0， ∴当x=2时，y有最小值，最小值为−9， 故选：． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，关键是求函数解析式． 类型二 顶点式 【例5】（2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测）一个二次函数的图象与抛物线y=3 x 2的形状相同，且 顶点为(1，4 )，那么这个函数的关系式是 ． 【答】y=3 x 2−6 x+7或y=−3 x 2+6 x+1 【分析】根据题意，可设该二次函数的解析式为y=±3 (x−h) 2+k，再结合其顶点为(1，4 )，计算即可得 出答． 【详解】解：∵一个二次函数的图象与抛物线y=3 x 2的形状相同， ∴可设该二次函数的解析式为y=±3 (x−h) 2+k， ∵该二次函数的顶点为(1，4 )， ∴该二次函数的解析式为y=±3 (x−1) 2+4， ∴该二次函数的解析式为y=3 x 2−6 x+7或y=−3 x 2+6 x+1． 故答为：y=3 x 2−6 x+7或y=−3 x 2+6 x+1． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，理解图象形状相同的两个二次函数其二次项系数的绝 对值相等是解题关键． 【变式5-1】（2022 上·江苏南京·九年级统考期末）已知二次函数y＝x2＋bx＋的图像的顶点坐标为（1， m），与y 轴的交点为（0，m－2），则的值为 ． 【答】－2 【分析】利用待定系数法求解函数解析式即可求解． 【详解】解：根据题意，设该二次函数的解析式为y=(x－1)2+m， 将（0，m－2）代入得：+m=m－2， 解得：=－2， 故答为：－2． 【点睛】本题考查待定系数法求解二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解函数解析式的方法步骤，设 为顶点式求解是解答的关键． 类型三 交点式 【例6】（2023·江苏扬州·统考二模）已知：二次函数y=a x 2+bx+c的图象经过点(−1,0)、(3,0)和(0,3)， 当x=2时，y 的值为 ． 【答】3 【分析】根据题意可得交点式y=a (x−3) (x+1)，然后把(0,3)代入求出值，即可求出二次函数表达式． 【详解】解：∵二次函数y=a x 2+bx+c的图象经过点(−1,0)、(3,0) ∴抛物线的解析式为y=a (x−3) (x+1)， 把(0,3)代入得：−3a=3，解得：a=−1， ∴函数的解析式为y=−(x−3) (x+1)， 即y=−x 2+2 x+3， ∴当x=2时，y=−2 2+2×2+3=3， 故答为：3． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键． 【变式6-1】（2022·安徽宿州·校考模拟预测）已知抛物线y=a x 2+bx+c (a<0)与x轴交于点A (−1,0)和 B (3,0)，与y 轴交于点