第13讲 二次函数图象与性质（练习）（解析版）

第13 讲 二次函数图象与性质 目 录 题型01 判断函数类型 题型02 已知二次函数的概念求参数值 题型03 利用待定系数法求二次函数的解析式（一般式） 题型04 利用待定系数法求二次函数的解析式（顶点式） 题型05 利用待定系数法求二次函数的解析式（交点式） 题型06 根据二次函数解析式判断其性质 题型07 将二次函数的一般式化为顶点式 题型08 利用五点法绘二次函数图象 题型09 二次函数y=x2+bx+的图象和性质 题型10 二次函数平移变换问题 题型11 已知抛物线对称的两点求对称轴 题型12 根据二次函数的对称性求字母的取值范围 题型13 根据二次函数的性质求最值 题型14 根据二次函数的最值求字母的取值范围 题型15 根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的取值范围 题型16 根据二次函数的增减性求字母的取值范围 题型17 根据二次函数图象判断式子符号 题型18 二次函数图象与各项系数符号 题型19 二次函数、一次函数综合 题型20 二次函数、一次函数、反比例函数图象综合 题型21 抛物线与x 轴交点问题 题型22 求x 轴与抛物线的截线长 题型23 根据交点确定不等式的解集 题型24 二次函数与斜三角形相结合的应用方法 题型01 判断函数类型 1．（2022·北京房山·统考一模）某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50m，把这个长方 体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16 元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（ ） ．正比例函数关系 B．一次函数关系 ．反比例函数关系 D．二次函数关系 【答】D 【分析】设底面边长为xm，则正方体的高为(x+50)m，设总费用为y 元，则可表示出y 与x 的函数关系，根 据关系式即可作出选择． 【详解】设底面边长为xm，则正方体的高为(x+50)m，设总费用为y 元， 由题意得：y=16[2 x 2+4 x( x+50)]=96 x 2+3200 x， 这是关于一个二次函数． 故选：D． 【点睛】本题考查了列函数关系并判断函数形式，关键是根据题意列出函数关系式． 2．（2023·北京东城·北京市广渠门中学校考模拟预测）用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为 x m，它的邻边长为y m，矩形的面积为Sm 2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y 与x，S与x满足的函数关系分别是（ ） ．二次函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 ．二次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 【答】D 【分析】根据长方形的周长公式和面积公式得出y 与x、S 与x 的关系式即可做出判断． 【详解】解：由题意可得：2 x+2 y=10，S=xy， 即：y=5−x，S=x (5−x )=−x 2+5 x， ∴y 与x 是一次函数关系，S 与x 是二次函数关系， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、矩形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握 二次函数与一次函数的解析式是解答的关键． 3．（2023·北京石景山·统考二模）如图，在Rt △ACB中，∠ACB=90°，CA=CB=10．点P 是CB边 上一动点（不与，B 重合），过点P 作PQ⊥CB交AB于点Q．设CP=x，BQ的长为y，△BPQ的面积 为S，则y与x，S 与x满足的函数关系分别为（ ） ．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 ．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 【答】 【分析】先求出∠A=∠B=45°，再求出BP=10−x，然后解Rt △BPQ得到PQ=10−x， BQ=❑ √2 (10−x )，进而得到y=−❑ √2 x+10 ❑ √2，S=1 2 (10−x ) 2，由此即可得到答． 【详解】解：∵在Rt △ACB中，∠ACB=90°，CA=CB=10， ∴∠A=∠B=45°， ∵CP=x， ∴BP=BC−CP=10−x， ∵PQ⊥CB， ∴∠QPB=90°， 在Rt △BPQ中，PQ=BP⋅tan B=10−x，BQ= BP cos B =❑ √2 (10−x )， ∴y=❑ √2 (10−x )=−❑ √2 x+10 ❑ √2，S=1 2 BP⋅PQ=1 2 (10−x ) 2， ∴y与x，S 与x满足的函数关系分别为一次函数关系，二次函数关系， 故选． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等边对等角，列函数关系式，正确求出y=−❑ √2 x+10 ❑ √2， S=1 2 (10−x ) 2是解题的关键． 题型02 已知二次函数的概念求参数值 1．（2023·四川南充·统考一模）点P (a,9)在函数y=4 x 2−3的图象上，则代数式(2a+3) (2a−3)的值等于 ． 【答】3 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出4 a 2=12，将其代入(2a+3)(2a−3)=4 a 2−9中即可 求出结论． 【详解】解：∵点P(a,9)在函数y=4 x 2−3的图象上， ∴9=4 a 2−3， ∴4 a 2=12， 则代数式(2a+3)(2a−3)=4 a 2−9=12−9=3， 故答为：3． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题 的关键． 2．（2020·陕西西安·西安市大明宫中学校考三模）已知二次函数y=(m−1) x m 2−3的图象开口向下，则m 的 值为 ． 【答】−❑ √5 【分析】根据二次函数的定义及开口向下时m+1<0 即可解答． 【详解】根据题意得： ¿ 解得：m=−❑ √5． 故答为：−❑ √5． 【点睛】本题考查的是二次函数的定义及性质，易错点是只考虑其次数是2，没有考虑开口向下时的性质． 3．（2021·四川凉山·统考模拟预测）若y＝（m 1 ﹣）x|m|+1+8mx 8 ﹣是关于x 的二次函数，则其图象与x 轴 的交点坐标为 ． 【答】（﹣2，0） 【分析】首先根据二次函数的定义可知|m|+1＝2 且m 1≠0 ﹣ ，求出m 的值并代入，再令y=0 求出x 的值，即 可得出答． 【详解】∵|m|+1＝2， ∴m＝±1． ∵m 1≠0 ﹣ ， ∴m≠1， ∴m＝﹣1， ∴y＝﹣2x2 8 ﹣x 8 ﹣． 当y=0 时，x1=x2=-2， ∴抛物线与x 轴交点坐标为（﹣2，0）． 故答为：（﹣2，0）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的关系式，求抛物线与x 轴的交点坐标，根据二次函数的定义求出m 的 值是解题的关键． 题型03 利用待定系数法求二次函数的解析式（一般式） 1．（2021·广东广州·统考中考真题）抛物线y=a x 2+bx+c经过点(−1,0)、(3,0)，且与y 轴交于点(0,−5)， 则当x=2时，y 的值为（ ） ．−5 B．−3 ．−1 D．5 【答】 【分析】解法一：先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求函数值即可． 解法二：利用二次函数图象的对称性可知：x=2和x=0对应的函数值相等，从而得解． 【详解】解：∵抛物线y=a x 2+bx+c经过点(−1,0)、(3,0)，且与y 轴交于点(0,−5)， ∴¿， 解方程组得¿， ∴抛物线解析式为y=5 3 x 2−10 3 x−5， 当x=2时，y=5 3 ×4−10 3 ×2−5=−5． 故选择． 解法二：抛物线y=a x 2+bx+c经过点(−1,0)、(3,0)， ∴抛物线的对称轴为：x=−1+3 2 =1， 又∵0+2 2 =1， ∴x=2和x=0的函数值相等，即均为−5， 故选择． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，和函数值，掌握系数法求抛物线解析式方法和函数值求法 是解题关键．同时利用数形结合思想和对称性解题会起到事半功倍的效果． 2．（2022·山东泰安·统考中考真题）抛物线y=a x 2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如表： x -2 - 1 0 1 y 0 4 6 6 下列结论不正确的是（ ） ．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线x=1 2 ．抛物线与x 轴的一个交点坐标为(2,0) D．函数y=a x 2+bx+c的最大值为25 4 【答】 【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可 【详解】解：由题意得¿， 解得¿， ∴抛物线解析式为y=−x 2+x+6=−(x−1 2) 2 + 25 4 ， ∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x=1 2，该函数的最大值为25 4 ，故、B、D 说法正确，不符合题意； 令y=0，则−x 2+x+6=0， 解得x=3或x=−2， ∴抛物线与x 轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故说法错误，符合题意； 故选． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 3．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）已知函数y=−x 2+bx+c（b，为常数）的图象经过点（0，﹣3）， （﹣6，﹣3）． (1)求b，的值． (2)当﹣4≤x≤0 时，求y 的最大值． (3)当m≤x≤0 时，若y 的最大值与最小值之和为2，求m 的值． 【答】(1)b＝-6，=-3 (2)x＝－3 时，y 有最大值为6 (3)m＝－2 或−3−❑ √10 【分析】（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y＝−x 2+bx+c，即可求解； （2）先求出抛物线的顶点坐标为（-3，6），再由-4≤x≤0，可得当x＝-3 时，y 有最大值，即可求解； （3）由（2）得当x＞-3 时，y 随x 的增大而减小；当x≤-3 时，y 随x 的增大而增大，然后分两种情况： 当-3＜m≤0 时，当m≤-3 时，即可求解． 【详解】（1）解：把（0，-3），（-6，-3）代入y＝−x 2+bx+c，得∶ ¿，解得：¿； （2）解：由（1）得：该函数解析式为y＝−x 2−6 x−3＝−( x+3) 2+6， ∴抛物线的顶点坐标为（-3，6）， -1 ∵ ＜0 ∴抛物线开口向下， 又∵-4≤x≤0， ∴当x＝-3 时，y 有最大值为6． （3）解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3， ∴当x＞-3 时，y 随x 的增大而减小；当x≤-3 时，y 随x 的增大而增大， ①当-3＜m≤0 时， 当x＝0 时，y 有最小值为-3， 当x＝m 时，y 有最大值为−m 2−6m−3， ∴−m 2−6m−3+（-3）＝2， ∴m＝-2 或m＝-4（舍去）． ②当m≤-3 时， 当x＝-3 时，y 有最大值为6， ∵y 的最大值与最小值之和为2， ∴y 最小值为-4， ∴−(m+3) 2+6=-4， ∴m＝−3−❑ √10或m＝−3+❑ √10（舍去）． 综上所述，m＝-2 或−3−❑ √10． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用分类讨论思想 解答是解题的关键． 题型04 利用待定系数法求二次函数的解析式（顶点式） 1．（2023·江苏泰州·校考三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为(4，−3)， 该图象与x 轴相交于点、B，与y 轴相交于点，其中点的横坐标为1． (1)求该二次函数的表达式； (2)求tan∠ABC． 【答】(1)该二次函数解析式为y=1 3 (x−4 ) 2−3； (2)tan∠ABC=1 3． 【分析】（1）由题意可设抛物线解析式为：y=a (x−4 ) 2−3，将A (1，0)代入解析式来求的值； （2）由锐角三角函数定义解答． 【详解】（1）解：由题意可设抛物线解析式为：y=a (x−4 ) 2−3，(a≠0)． 把A (1，0)代入，得0=a (1−4 ) 2−3， 解得a=1 3． 故该二次函数解析式为y=1 3 (x−4 ) 2−3； （2）解：令x=0，则y=1 3 (0−4 ) 2−3=7 3．则OC=7 3． 因为二次函数图象的顶点坐标为(4，−3)，A (1，0)，则点B 与点关于直线x=4对称， 所以B (7，0)． 所以OB=7． 所以tan∠ABC=OC OB = 7 3 7 =1 3 ，即tan∠ABC=1 3． 【点睛】考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，待定系数法确定函数关系式以及解直角三角形． 解题时，充分利用了二次函数图象的对称性质． 2．（2023·河北廊坊·校考三模）如图，二次函数的图象经过点(0,−1)，顶点坐标为(2,3)． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当0≤x ≤3时，y 的取值范围为 ； (3)直接写出该二次函数的图象经过怎样的平移恰好过点(0,−4 )，且与x 轴只有一个公共点． 【答】(1)y=−(x−2) 2+3 (2)−1≤y ≤3 (3)该二次函数的图象向下平移3 个单位长度或向左平移4 个单位长度，再向下平移3 个单位长度恰好经过 点(0,−4 )，且与x 轴只有一个公共点 【分析】（1）由题意设二次函数的顶点式，代入(0，−1)进行计算即可得到答； （2）由函数表达式可知：二次函数y=−(x−2) 2+3的图象有最高点(2，3)，对称轴是直线x=2，从而可 得此时y 的取值范围； （3）该二次函数的图象平移后的顶点在x 轴上，设它的表达式为y=−(x−h) 2，再把点(0，−4 )代入，求 出h的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点(0,−1)，顶点坐标为(2,3)， 设这个二次函数的表达式为：y=a (x−2) 2+3 (a≠0)， 把(0,−1)代入得： −1=a (0−2) 2+3，， 解得：a=−1， 这个二次函数的表达式为：y=−(x−2) 2+3； （2）解：∵a=−1<0，二次函数的表达式为y=−(x−2) 2+3， 二次函数y=−(x−2) 2+3的图象有最高点(2,3)，对称轴是直线x=2， 当x=0时，y=−(0−2) 2+3=−1， 当x=3时，y=−(3−2) 2+3=2， ∴y 的取值范围为：−1≤y ≤3， 故答为：−1≤y ≤3； （3）解：∵该二次函数的图象经过平移后，与x 轴只有一个公共点， 该二次函数的图形平移后的顶点在x 轴上，设它的表达式为y=−(x−h) 2， ∵该二次函数的图像经过怎样的平移恰好过点(0，−4 )， ∴−4=−(0−h) 2， 解得：h=±2， 即该函数的图象平移后的表达式为：y=−(x−2) 2或y=−(x+2) 2， 该二次函数的图象向下平移3 个单位长度或向左平移4 个单位长度，再向下平移3 个单位长度恰好经过 点(0,−4 )，且与x 轴只有一个公共点． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、求二次函数的函数值的取值范围、二次函数图 象的平移，熟练掌握二次函数的图象与特征是解题的关键 题型05 利用待定系数法求二次函数的解析式（交点式） 1．（2023·江苏扬州·统考二模）已知：二次函数y=a x 2+bx+c的图象经过点(−1,0)、(3,0)和(0,3)，当 x=2时，y 的值为 ． 【答】3 【分析】根据题意可得交点式y=a (x−3) (x+1)，然后把(0,3)代入求出值，即可求出二次函数表达式． 【详解】解：∵二次函数y=a x 2+bx+c的图象经过点(−1,0)、(3,0) ∴抛物线的解析式为y=a (x−3) (x+1)， 把(0,3)代入得：−3a=3，解得：a=−1， ∴函数的解析式为y=−(x−3) (x+1)， 即y=−x 2+2 x+3， ∴当x=2时，y=−2 2+2×2+3=3， 故答为：3． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键． 2．（2022·山东威海·统考一模）如图1，在平面直角坐标系xy 中，抛物线y＝x2+bx+与x 轴分别相交于、B 两点，与y 轴相交于点，下表给出了这条抛物线上部分点(x，y)的坐标值： x … ﹣ 1 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 则这条抛物线的解析式为 ． 【答】y=−x 2+2 x+3 【分析】根据表格可得到点（-1,0）、（0，3）、（3,0），设抛物线的解析式为y=a( x+1)( x−3)，将 （0，3）代入解析式即可得到的值，再带回所设解析式化为一般式即可． 【详解】根据表格可得到点（-1,0）、（0，3）、（3,0） 设抛物线的解析式为y=a( x+1)( x−3) 将（0，3）代入解析式得3=−3a 解得a=−1 ∴解析式为y=−( x+1)( x−3)=−x 2+2 x+3 故答为：y=−x 2+2 x+3． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式的步骤是解题的关键． 题型06 根据二次函数解析式判断其性质 1．（2022·广东江门·鹤山市沙坪中学校考模拟预测）关于二次函数y=x 2+2 x−8，下列说法正确的是（ ） ．图象的对称轴在y 轴的右侧 B．图象与y 轴的交点坐标为(0，−9) ．图象与x 轴的交点坐标为(−2,0)和(4,0) D．y 的最小值为−9 【答】D 【分析】把二次函数的解析式化成顶点式和交点式，再利用二次函数的性质就可以判断各个选项中的结论 是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数y=x 2+2 x−8=(x+1) 2−9=(x+4 ) (x−2)， ∴该函数的对称轴是直线x=−1，在y 轴的左侧，故选项错误； 当x=0时，y=−8，即该函数与y 轴交于点(0，−8)，故选项B 错误； 当y=0时，x=2或x=−4，即图象与x 轴的交点坐标为(2,0)和(−4,0)，故选项错误； 当x=−1时，该函数取得最小值y=−9，故选项D 正确． 故选：D 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，把二次函数解析式化为顶点式和交点式是解题的关键． 2．（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考二模）对于二次函数y=−1 2 x 2+2 x+1的性质，下列叙述正确的是 （ ） ．当x>0时，y 随x 增大而减小 B．抛物线与直线y=x+2有两个交点 ．当x=2时，y 有最小值3 D．与抛物线y=−1 2 x 2形状相同 【答】D 【分析】将该抛物线表达式化为顶点式，记录判断、；联立y=x+2和y=−1 2 x 2+2 x+1，得到方程 0=−1 2 x 2+x−1，各级一元二次函数根的判别式，即可判断B；根据二次函数平移的性质，即可判断D． 【详解】解：∵y=−1 2 x 2+2 x+1=−1 2 (x−2) 2+3， ∴该二次函数的对称轴为直线x=2， ∵a=−1