专题19.3 一次函数的图象与性质【十大题型】（解析版）

专题193 一次函数的图象与性质【十大题型】 【人版】 【题型1 判定一次函数的图像】.............................................................................................................................2 【题型2 根据一次函数解析式判断其经过的象限】..............................................................................................5 【题型3 根据函数经过的象限判断参数取值范围】..............................................................................................6 【题型4 一次函数的图像与坐标轴的交点问题】.................................................................................................. 9 【题型5 一次函数的平移问题】........................................................................................................................... 11 【题型6 判断一次函数的增减性】.......................................................................................................................14 【题型7 根据一次函数的增减性求参数或最值】................................................................................................15 【题型8 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】................................................................................16 【题型9 比较一次函数值的大小】.......................................................................................................................18 【题型10 一次函数的规律探究问题】................................................................................................................. 20 【知识点1 一次函数与正比例函数的图象与性质】 1、正比例函数的图象与性质 解析式 y=kx (k ≠0) 自变量取值范围 全体实数 图象 形状 过原点的一条直线 k的取值 k>0 k<0 示意图 x y O x y O 位置 经过一、三象限 经过二、四象限 趋势 从左向右上升 从左向右下降 函数增减性 y随x的增大而增大， 即：当x1>x2时，y1> y2 y随x的增大而减小 即：当x1>x2时，y1< y2 2、一次函数的图象与性质 1 解析式 y=kx+b (k ≠0) 自变量取值范围 全体实数 图象 形状 过(0，b)和( −b k ,0)的一条直线 k、b的 取值 k>0 k<0 b>0 b<0 b>0 b<0 示意图 O y x O y x O y x O y x 位置 经过一、二、 三象限 经过一、三、 四象限 经过一、二、 四象限 经过二、三、 四象限 趋势 从左向右上升 从左向右下降 函数增减性 y随x的增大而增大， 即：当x1>x2时，y1> y2 y随x的增大而减小 即：当x1>x2时，y1< y2 3、截距 定义 直线y=kx+b 与y 轴相交于（0，b）,b 叫做直线 y=kx+b 在y 轴上的截距，简称截距 举例 直线y=−2 x−3的截距是−3 【题型1 判定一次函数的图像】 【例1】（2022 春•牡丹江期末）直线y1＝mx+2+1 和y2＝﹣mx﹣的图象可能是（ ） ． B． ． D． 1 【分析】对于y1＝mx+2+1，2+1＞0，所以直线一定与y 轴正半轴相交，再根据m 的符号 判断即可． 【解答】解：∵y1＝mx+2+1，2+1＞0，所以直线一定与y 轴正半轴相交， ∴排除和B； 对于选项，可知m＜0， ∴﹣m＞0， ∴选项可能成立； 对于D 选项，可知m＞0， ∴﹣m＜0，另一条直线应该是下降的，故不符合题意． 故选：． 【变式1-1】（2022 春•喀什地区期末）直线y＝kx+b 的图象如图所示，则直线y＝bx﹣k 的 图象是（ ） ． B． ． D． 【分析】根据是一次函数y＝kx+b 的图象经过一、二、四象限得出k，b 的取值范围解答 即可． 【解答】解：因为一次函数y＝kx+b 的图象经过一、二、四象限， 可得：k＜0，b＞0， 所以直线y＝bx﹣k 的图象经过一、二、三象限， 故选：． 【变式1-2】（2022 春•安阳县期末）一次函数y＝mx+的图象如图所示，则y＝﹣2mx+的图 1 象可能是（ ） ． B． ． D． 【分析】先根据一次函数y＝mx+的图象得出m、的范围，再根据一次函数的图象与系 数的关系推知y＝﹣2mx+的图象所经过的象限，此题得解． 【解答】解：一次函数y＝mx+的图象经过第一、三象限，则m＞0． 该直线与y 轴交于正半轴，则＞0． 所以﹣2m＜0． 所以一次函数y＝mx+的图象经过第二、四象限，且与y 轴交于正半轴． 观察选项，只有选项符合题意． 故选：． 【变式1-3】（2022•萧山区模拟）若实数，b，满足+b+＝0，且＜b＜，则函数y＝﹣x﹣的 图象可能是（ ） ． B． ． D． 【分析】先判断出是负数，是正数，然后根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过 的象限以及与y 轴的交点的位置即可得解． 【解答】解：∵+b+＝0，且＜b＜， ∴＜0，＞0，（b 的正负情况不能确定）， ∴﹣＞0，﹣＜0， 1 ∴函数y＝﹣x﹣的图象经过二、一、四象限． 故选：B． 【题型2 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【例2】 （2022•海门市校级模拟）已知关于x 的一次函数为y＝mx+4m+3，那么这个函数 的图象一定经过（ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【分析】当x＝﹣4 时，可求出y＝3，由此即可得出答． 【解答】解：当x＝﹣4 时，y＝﹣4m+4m+3＝3， 即此一次函数的图象经过定点（﹣4，3）， 因为点（﹣4，3）位于第二象限，所以这个函数的图象一定经过第二象限． 故选：B． 【变式2-1】（2022 春•集贤县期末）一次函数y＝2（x+1）﹣1 不经过第（ ）象限． ．一 B．二 ．三 D．四 【分析】先将解析式化简，然后通过一次项系数和常数项符号进行判断． 【解答】解：y＝2（x+1）﹣1＝2x+1， ∴直线y＝2x+1 经过一，二，三象限， 故选：D． 【变式2-2】（2022 秋•九龙坡区校级期末）如图，点，B 在数轴上分别表示数﹣2+3，1， 则一次函数y＝（1﹣）x+ 2 ﹣的图象一定不经过（ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【分析】根据数轴得出的范围，进而利用象限特点解答即可． 【解答】解：由数轴可得：0＜﹣2+3＜1， 可得：1＜a＜3 2， 1 ∴﹣＜0，﹣2＜0， 所以一次函数y＝（1﹣）x+ 2 ﹣的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故选：． 【变式2-3】（2022•萧山区一模）已知y 3 ﹣与x+5 成正比例，且当x＝﹣2 时，y＜0， 则y 关于x 的函数图象经过（ ） ．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 ．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【分析】由y 3 ﹣与x+5 成正比例，可设y 3 ﹣＝k（x+5），整理得：y＝kx+5k+3．把x＝ 1 ﹣2 代入得不等式，可解得k＜﹣1，再判断5k+3 的符号即可． 【解答】解：∵y 3 ﹣与x+5 成正比例， ∴设y 3 ﹣＝k（x+5），整理得：y＝kx+5k+3． 当x＝﹣2 时，y＜0， 即﹣2k+5k+3＜0，整理得3k+3＜0， 解得：k＜﹣1． ∵k＜﹣1， 5 ∴k+3＜﹣2， ∴y＝kx+5k+3 的图象经过第二、三、四象限． 故选：D． 【题型3 根据函数经过的象限判断参数取值范围】 【例3】（2022•黄州区校级自主招生）已知过点（2，3）的直线y＝x+b（≠0）不经过第四 象限，设s＝﹣2b，则s 的取值范围是（ ） ．3 2 ≤s＜6 B．﹣3＜s≤3 ．﹣6＜s≤3 2 D．3 2 ≤s≤5 【分析】根据题意得出＞0，b≥0，即可推出得0＜a≤3 2，从而求得s 的取值范围． 【解答】解：∵过点（2，3）的直线y＝x+b（≠0）不经过第四象限， ∴＞0，b≥0， 将（2，3）代入直线y＝x+b， 3＝2+b， b＝3 2 ﹣ ∴{ a＞0 3−2a≥0， 解得0＜a≤3 2， s＝﹣2b＝﹣2×（3 2 ﹣）＝5 6 ﹣， ＝0 时，s＝﹣6， ¿ 3 2，s¿ 3 2， 故﹣6＜s≤3 2． 故选：． 【变式3-1】（2022 春•丰都县期末）若关于x 的不等式组{ 5 x−k ＞0 x−3≤0 有且只有四个整数解， 1 且一次函数y＝（k+2）x+k+3 的图象不经过第一象限，则符合题意的整数k 的和为（ ） ．﹣12 B．﹣14 ．﹣9 D．﹣15 【分析】由一元一次不等式组的整数解求出k 的一个取值范围，再利用一次函数的性质 求k 的取值范围，从而确定k 的值，再求它们的和． 【解答】解：∵关于x 的不等式组{ 5 x−k ＞0 x−3≤0 有且只有四个整数解， 02 ∴ k＜x≤3， ∴x 的4 个整数解为0，1，2，3． 1≤02 ∴﹣ k＜0， 5≤ ∴﹣ k＜0； 又∵一次函数y＝（k+2）x+k+3 的图象不经过第一象限， ∴k+2＜0 且k+3≤0， ∴k≤ 3 ﹣， 5≤ ∴﹣ k≤ 3 ﹣， ∴k 的整数解为：﹣5；﹣4；﹣3． ∴它们的和为：﹣12． 故选：． 【变式3-2】（2022•泰兴市一模）过点（﹣1，2）的直线y＝mx+（m≠0）不经过第三象限 若p＝3m﹣，则p 的范围是（ ） ．﹣10≤p≤ 2 ﹣ B．p≥ 10 ﹣ ．﹣6≤p≤ 2 ﹣ D．﹣6≤p＜﹣2 【分析】根据过点（﹣1，2）的直线y＝mx+（m≠0）不经过第三象限，可以得到m 和 的关系，m、的正负情况，再根据p＝3m﹣，即可用含m 的式子表示p 和用含的式子表 示p，然后即可得到相应的不等式组，再解不等式组即可． 【解答】解：∵过点（﹣1，2）的直线y＝mx+（m≠0）不经过第三象限， ∴﹣m+＝2，m＜0，≥0， ∴＝2+m，m＝﹣2， ∵p＝3m﹣， ∴p＝3m﹣（2+m）＝3m 2 ﹣﹣m＝2m 2 ﹣， p＝3m﹣＝3（﹣2）﹣＝3 6 ﹣﹣＝2 6 ﹣， ∴m¿ p+2 2 ，¿ p+6 2 ， 1 ∴{ p+2 2 ＜0 p+6 2 ≥0 ， 解得﹣6≤p＜﹣2， 故选：D． 【变式3-3】（2022•辽宁）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b1 与y＝ k2x+b2的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是（ ） ．k1•k2＜0 B．k1+k2＜0 ．b1﹣b2＜0 D．b1•b2＜0 【分析】根据一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象位置，可得k1＞0，b1＞0，k2＞0， b2＜0，然后逐一判断即可解答． 【解答】解：∵一次函数y＝k1x+b1的图象过一、二、三象限， ∴k1＞0，b1＞0， ∵一次函数y＝k2x+b2的图象过一、三、四象限， ∴k2＞0，b2＜0， ∴、k1•k2＞0，故不符合题意； B、k1+k2＞0，故B 不符合题意； 、b1﹣b2＞0，故不符合题意； D、b1•b2＜0，故D 符合题意； 故选：D． 【题型4 一次函数的图像与坐标轴的交点问题】 【例4】（2022 春•镇巴县期末）已知直线l1：y＝﹣x+b 与x 轴交于点（1，0），直线l2与 直线l1关于y 轴对称，则关于直线l2，下列说法正确的是（ ） ．y 的值随着x 的增大而减小 B．函数图象经过第二、三、四象限 ．函数图象与x 轴的交点坐标为（1，0） D．函数图象与y 轴的交点坐标为（0，b） 【分析】根据轴对称的性质求得直线l2经过点（﹣1，0），从而求得直线l2为y＝x+b， 1 利用一次函数的性质和图象上点的坐标特征判断即可． 【解答】解：∵直线l1：y＝﹣x+b 与x 轴交于点（1，0），直线l2与直线l1关于y 轴对称， ∴直线l2经过点（﹣1，0），故错误； ∴直线l2为y＝x+b， ∵k＝1＞0， ∴y 的值随着x 的增大而增大，故错误； ∵y 的值随着x 的增大而增大， ∴函数图象不经过第二、三、四象限，故B 错误； 令x＝0，则y＝b， ∴函数图象与y 轴的交点坐标为（0，b），故D 正确； 故选：D． 【变式4-1】（2022 春•双阳区月考）若直线y＝kx﹣k（k＞0）与两个坐标轴所围成的三角 形的面积为4，则k＝ 8 ． 【分析】先令x＝0，求出y 的值；再令y＝0 求出x 的值即可得出直线与坐标轴的交点， 再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：∵先令x＝0，则y＝﹣k； 令y＝0，则x＝1， ∴直线与坐标轴的交点分别为（0，﹣k），（1，0）， ∴S¿ 1 2 ×|﹣k|×1＝4， 解得k＝﹣8（舍去），或k＝8． 故答为：8． 【变式4-2】（2022 春•卧龙区期中）若一次函数y＝（k+2）x﹣k 3 ﹣与y 轴的交点在x 轴 的下方，则k 的取值范围是 k ＞﹣ 3 且 k ≠ 2 ﹣ ． 【分析】根据一次函数的图象的性质知，一次函数y＝（k+2）x﹣k 3 ﹣与y 轴的交点在x 轴的下方．则应有﹣k 3 ﹣＜0，求解即可． 【解答】解：一次函数y＝（k+2）x﹣k 3 ﹣中，令x＝0，解得：y＝﹣k 3 ﹣， 与y 轴的交点在x 轴的下方，则有﹣k 3 ﹣＜0， 解得：k＞﹣3． 又∵k≠ 2 ﹣ 则k 的取值范围是：k＞﹣3 且k≠ 2 ﹣． 故答为：k＞﹣3 且k≠ 2 ﹣． 【变式4-3】（2022•遵义模拟）平面直角坐标系xy 中，点P 的坐标为（3m，﹣4m+4）， 1 一次函数y¿ 4 3 x+12 的图象与x 轴、y 轴分别相交于点、B，若点P 在△B 的内部，则m 的 取值范围为（ ） ．m＞一1 或m＜0 B．﹣3＜m＜1 ．﹣1＜m＜0 D．﹣1≤m≤1 【分析】先求得点与点B 的坐标，然后令x＝3m，求得对应的y 的值，再结合点P 在△B 的内部列出关于m 的不等式，最后求得m 的取值范围． 【解答】解：当x＝0 时，y＝12，当y＝0 时，x＝﹣9， ∴（﹣9，0），B（0，12）， 当x＝3m 时，y¿ 4 3 ×3m+12＝4m+12， ∵点P 在△B 的内部， ∴{ −9＜3m＜0 −4 m+4＜4 m+12， 解得：﹣1＜m＜0， 故选：． 【题型5 一次函数的平移问题】 【例5】（2022 秋•宣州区校级期中）将直线y＝2x+3 平移后经过点（2，﹣1），求： （1）平移后的直线解析式； （2）沿x 轴是如何平移的． 【分析】（1）可设平移后的直线解析式为y＝2x+b，把已知点的坐标代入可求得b 的值， 则可求得平移后的解析式； （2）观察x 的变化情况即可求得答． 【解答】解： （1）设平移后的直线解析式为y＝2x+b， 把（2，﹣1）代入可得﹣1＝2×2+b，解得b＝﹣5， ∴平移后的直线解析式为y＝2x 5 ﹣； （2）∵y＝2x 5 ﹣＝2x 8+3 ﹣ ＝2（x 4 ﹣）+3， ∴是沿x 轴向右平移4 个单位得到的． 【变式5-1】（2022 秋•雁塔区校级月考）已知一次函数y¿−1 2x+1，它的图象与x 轴交于点， 与y 轴交于点B． （1）点的坐标为 （ 2 ， 0 ） ，点B 的坐标为 （ 0 ， 1 ） ； （2）画出此函数图象； （3）画出该函数图象向下平移3 个单位长度后得到的图象； 1 （4）写出一次函数y¿−1 2x+1 图象向下平移3 个单位长度后所得图象对应的表达式． 【分析】（1）将y＝0 代入y¿−1 2x+1，求出x 的值，得到点的坐标，将x＝0 代入y ¿−1 2x+1，求出y 的值，得到点B 的坐标； （2）根据一次函数的性质，过，B 两点画直线即可； （3）结合（2）中的图沿y 轴向下平移3 个单位画出直线即可； （4）根据直线平移的规律，将y¿−1 2x+1 向下平移三个单位后得到y¿−1 2x 2 ﹣． 【解答】解：（1）将y＝0 代入y¿−1 2x+1， 得−1 2 x+1＝0，解得x＝2， 则点的坐标为（2，0）． 将x＝0 代入y¿−1 2x+1， 得y¿−1 2 ×0+1＝1， 则点B 的坐标为（0，1）． 故答为（2，0），B（0，1）； （2）如下图： 1 （3）将y¿−1 2x+1 向下平移3 个单位后得到的图象如图． （4）将y¿−1 2x+1 向下平移三个单位后得到y¿−1 2x 2 ﹣． 【变式5-2】．（2022 春•安岳县期中）已知直线y＝（m+1）x|m| 1 ﹣+（2m 1 ﹣），当x1＞x2 时，y1＞y2，求该直线的解析式．并求该直线经过怎么的上下平移就能过点（2，5）？ 【分析】根据一次函数的图象性质作答； 先根据平移时k 的值不变，只有b 发生变化可设平移后的直线为y＝3x+b，将点（4， 0）代入，求出b 的值，然后根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解． 【解答】解：由题意得{ m+1＞0 ¿m∨−1=1 解得m＝2， ∴直线的解析式为y＝3x+3； 设平移后的直线为y＝3x+b，将点（2，5）代入得：b＝﹣1． 所以y＝3x 1 ﹣． ∴将直线y＝3x+3 向下平移4 个单位，可得直线y＝3x+3 4 ﹣，即y＝3x 1 ﹣