专题19 线段和角的定值问题课堂学案及配套作业(原卷版)

专题19 线段和角的定值问题（原卷版） 第一部分 学 类型一 线段中的定值问题 1．（2019 秋•北仑区期末）如图，为射线B 上一点，B＝30，比B 的1 4 多5，P、Q 两点分别从、B 两点同 时出发，分别以2 个单位/秒和1 个单位/秒的速度在射线B 上沿B 方向运动，当点P 运动到点B 时，两 点同时停止运动，运动时间为t（s），M 为BP 的中点，为MQ 的中点，以下结论：①B＝2；②B＝ 4Q；③当BP¿ 1 2 BQ 时，t＝12；④M，两点之间的距离是定值．其中正确的结论 （填写序号） 2．（2020 秋•东西湖区期末）如图，已知直线l 上有两条可以左右移动的线段：B＝，D＝b，且，b 满足| 2|+ ﹣ （b 6 ﹣）2＝0．M 为线段B 的中点，为线段D 中点． （1）求线段B、D 的长； （2）若线段B 以每秒2 个单位长度的速度向右运动，同时线段D 以每秒1 个单位长的速度也向右运动， 在运动前点表示的数为﹣2．B＝6，设运动时间为t 秒，求t 为何值时，M＝4； （3）若将线段D 固定不动，线段B 以每秒2 个单位长度的速度向右运动，在运动前D＝36，在线段B 向右运动的某一个时间段内，始终有M+B 为定值，求出这个定值，并求出t 的取值范围． 3．（2020 秋•遵化市期末）如图，已知线段B＝m，D＝，线段D 在直线B 上运动（点在点B 的左侧，点 在点D 的左侧），若|m 12|+ ﹣ （6﹣）2＝0． （1）求线段B，D 的长； （2）若点M，分别为线段，BD 的中点，B＝4，求线段M 的长； （3）当D 运动到某一时刻时，点D 与点B 重合，点P 是线段B 的延长线上任意一点，下列两个结论： ①PA−PB PC 是定值，②PA+PB PC 是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明． 4．（2018 秋•江夏区期末）已知，如图所示，一条直线上依次有、B、三个点． （1）若B＝10，＝3B，求B 的长； （2）若点D 是射线B 上一点，点M 为BD 中点，点为D 中点，求BC MN 的值； （3）当点P 在线段B 的延长线上运动时，点E 是P 的中点，点F 是B 的中点（E，F 不重合）．下列结 论中：① EF AC+BP 是定值；② EF AC−BP 是定值，其中只有一个结论正确，请选择正确结论并求出其 值． 5．（越秀区期末）已知线段B＝8（点在点B 的左侧） （1）若在直线B 上取一点，使得＝3B，点D 是B 的中点，求D 的长； （2）若M 是线段B 的中点，点P 是线段B 延长线上任意一点，请说明P+PB 2 ﹣PM 是一个定值． 6．（2020 秋•奉化区校级期末）如图，已知直线l 有两条可以左右移动的线段：B＝m，D＝，且m，满足| m 4|+ ﹣ （﹣8）2＝0． （1）求线段B，D 的长； （2）线段B 的中点为M，线段D 中点为，线段B 以每秒4 个单位长度向右运动，线段D 以每秒1 个单 位长度也向右运动，若运动6 秒后，M＝4，求线段B 的长； （3）将线段D 固定不动，线段B 以每秒4 个单位速度向右运动，M、分别为B、D 中点，B＝24，在线 段B 向右运动的某一个时间段t 内，始终有M+D 为定值．求出这个定值，并直接写出t 在哪一个时间段 内． 7．（2022 秋•平南县月考）如图B＝48，为线段B 的延长线上一点，M，分别是，B 的中点． （1）若B＝10，求M 的长； （2）若B 的长度为不定值，其它条件不变，M 的长还是定值吗？若是，请求出M 的长；若不是，请说 明理由． 类型二 角中的定值问题 8．（2017 秋•宁海县期末）如图，已知在同一平面内⊥B，是绕点顺时针方向旋转α（α＜90°）度得到， D 平分∠B，E 平分∠． （1）若α＝60 即∠＝60°时，则∠B＝ °，∠DE＝ °． （2）在α 的变化过程中，∠DE 的度数是一个定值吗？若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明 理由． 9．（2020 秋•平山区校级期中）已知∠B＝110°，∠D＝40°，E 平分∠，F 平分∠BD． （1）如图1，当B、重合时，∠E﹣∠BF＝ ； （2）如图2，当∠D 从图1 所示位置绕点以每秒3°的速度顺时针旋转t 秒（0＜t＜10），在旋转过程中 ∠E﹣∠BF 的值是否会因t 的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． 10．、如图，已知∠＝80°，∠BD＝30°，若M 平分∠B，平分∠D． （1）如图1，当与B 重合时，求∠M 的度数； （2）如图2，当∠BD 从图1 位置开始绕点顺时针旋转m（0＜m＜90）时，∠BM﹣∠D 的值是否为定值？ 若是定值，求出∠BM﹣∠D 的值；若不是定值，请说明理由； （3）如图2，当∠BD 从图1 位置开始绕点顺时针旋转m（30＜m＜70）时，满足∠D+∠M＝7∠BD，求 m 的值． 11．（2022 秋•沁阳市期末）已知∠B＝110°，∠D＝40°，E 平分∠，F 平分∠BD． （1）如图1，当B、重合时，∠E﹣∠BF＝ ； （2）如图2，当∠D 从图1 所示位置绕点以每秒3°的速度顺时针旋转t 秒（0＜t＜10），在旋转过程中 ∠E﹣∠BF 的值是否会因t 的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． （3）在（2）的条件下，当∠F＝17°时，t＝ 秒． 12．（2021 秋•宿豫区期末）如图，将两块直角三角尺的60°角和90°角的顶点叠放在一起．将三角尺DE 绕点旋转，旋转过程中三角尺DE 的边D 始终在∠B 的内部在旋转过程中，探索： （1）∠BE 与∠D 的度数有何数量关系，并说明理由； （2）试说明∠E﹣∠BD＝30°； （3）作∠BD 和∠E 的平分线M、，在旋转过程中∠M 的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值；若 变化，请求出变化范围． 13．（2022 秋•晋州市期中）如图所示，以直线B 上的一点为端点，在直线B 的上方作射线P，使∠BP＝ 68°，将一块直角三角尺（∠M＝90°）的直角顶点放在点处，且直角三角尺在直线B 的上方．设∠BM ＝°（0＜＜90）． （1）当＝30 时，求∠P 的大小；（2）当P 恰好平分∠M 时，求的值； （3）当≠68 时，嘉嘉认为∠与∠PM 的差为定值，淇淇认为∠与∠PM 的和为定值，且二人求得的定值相 同，均为22°，老师说，要使两人的说法都正确，需要对分别附加条件．请你补充这个条件： 当满足 时，∠﹣∠PM＝22°； 当满足 时，∠+∠PM＝22°． 14．（2021 秋•迁安市期末）如图1，把∠PB 放置在量角器上，P 与量角器的中心重合，射线P、PB 分别 对准刻度117°和153°，将射线P 绕点P 逆时针旋转90°得到射线P． （1）∠PB＝ 度；（2）求出∠PB 的度数； （3）小红在图1 的基础上，在∠PB 内部任意做一条射线PD，并分别做出了∠PD 和∠BPD 的平分线PE 和PF，如图2，发现PD 在∠PB 内部的不同位置，∠EPF 的度数都是一个定值，请你求出这个定值． 15．（2022 秋•硚口区期末）∠B 与它的补角的差正好等于∠B 的一半 （1）求∠B 的度数； （2）如图1，过点作射线，使∠＝4∠B，D 是∠B 的平分线，求∠D 的度数； （3）如图2，射线M 与B 重合，射线在∠B 外部，且∠M＝40°，现将∠M 绕顺时针旋转°，0＜＜50，若 在此过程中，P 平分∠M，Q 平分∠B，试问∠AOP−∠BOQ ∠POQ 的值是定值吗？若是，请求出来，若不是， 请说明理由． 16．（2019 秋•莆田期末）定义：若α﹣β＝90°，且90°＜α＜180°，则我们称β 是α 的差余角．例如：若 α＝110°，则α 的差余角β＝20°． （1）如图1，点在直线B 上，射线E 是∠B 的角平分线，若∠E 是∠的差余角，求∠BE 的度数； （2）如图2，点在直线B 上，若∠B 是∠E 的差余角，那么∠B 与∠BE 有什么数量关系； （3）如图3，点在直线B 上，若∠E 是∠的差余角，且E 与在直线B 的同侧，∠AOC−∠BOC ∠COE 请你探 究是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 17．（2022 秋•荔城区期末）如图∠B＝120°，把三角板60°的角的顶点放在处．转动三角板（其中边始终 在∠B 内部），E 始终平分∠D． （1）【特殊发现】如图1，若边与边重合时，求出∠E 与∠BD 的度数． （2）【类比探究】如图2，当三角板绕点旋转的过程中（其中边始终在∠B 内部），∠E 与∠BD 的度数 比是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由． （3）【拓展延伸】如图3，在转动三角板的过程中（其中边始终在∠B 内部），若P 平分∠B，请画出图 形，直接写出∠EP 的度数（无需证明） 第二部分 配套作业 1．（2022 秋•成都期末）已知点为数轴原点，点在数轴上对应的数为，点B 对应的数为b，、B 之间的距离记 作B，且|+4|+（b 10 ﹣ ）2＝0． （1）求线段B 的长； （2）设点P 在数轴上对应的数为x，当P+PB＝20 时，求x 的值； （3）如图，M、两点分别从、B 出发以v1、v2 的速度同时沿数轴负方向运动（M 在线段上，在线段B 上），P 是线段的中点，若M、运动到任一时刻时，总有PM 为定值，下列结论：①v2 v1 的值不变； ②v1+v2的值不变．其中只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 2．（2022 秋•江岸区校级月考）已知：如图，一条直线上依次有、B、三点． （1）若B＝60，＝3B，求B 的长； （2）若点D 是射线B 上一点，点M 为BD 的中点，点为D 的中点，求BC MN 的值； （3）当点P 在线段B 的延长线上运动时，点E 是P 中点，点F 是B 中点，下列结论中： ①AC+BP EF 是定值； ②¿ AC−BP EF ∨¿是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值． 3．（2016 秋•启东市校级月考）如图，线段B＝24，动点P 从出发，以2 个单位/秒的速度沿射线B 运动， M 为P 的中点． （1）出发多少秒后，PB＝2M； （2）当P 在线段B 上运动时，试说明2BM﹣BP 为定值． （3）当P 在B 延长线上运动，为BP 的中点，下列两个结论：①M 长度不变； ②M+P 的值不变．选 出一个正确的结论，并求其值． 4．（2022 秋•高新区期中）如图，线段B＝12，动点P 从出发，以每秒2 个单位的速度沿射线B 运动，M 为P 的中点． （1）出发多少秒后，PB＝2M？ （2）当P 在线段B 上运动时，试说明2BM﹣BP 为定值． （3）当P 在B 延长线上运动时，为BP 的中点，下列两个结论：①M 长度不变；②M+P 的值不变， 选择一个正确的结论，并求出其值． 5．（2021 秋•双流区期末）如图，已知直线l 上有两条可以左右移动的线段：B＝m，D＝，且m，满足|m 4|+ ﹣ （﹣8）2＝0，点M，分别为B，D 中点． （1）求线段B，D 的长； （2）线段B 以每秒4 个单位长度向右运动，线段D 以每秒1 个单位长度也向右运动．若运动6 秒后， M＝4，求此时线段B 的长； （3）若B＝24，将线段D 固定不动，线段B 以每秒4 个单位速度向右运动，在线段B 向右运动的某一 个时间段t 内，始终有M+D 为定值．求出这个定值，并直接写出t 在哪一个时间段内． 6．（2021 秋•洛川县校级期末）已知∠B＝110°，∠D＝40°，E 平分∠，F 平分∠BD． （1）如图①，当B、重合时，求∠E﹣∠BF 的值； （2）当∠D 从图①所示位置绕点以每秒3°的速度顺时针旋转t 秒（0＜t＜10）；在旋转过程中∠E﹣ ∠BF 的值是否会因t 的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． 7．（2021 秋•侯马市期末）已知∠B＝110°，∠D＝40°，E 平分∠，F 平分∠BD． （1）如图，当B、重合时，求∠EF 的度数； （2）如图，当B、重合时，求∠E﹣∠BF 的值； （3）当∠D 从图示位置绕点以每秒3°的速度顺时针旋转t 秒（0＜t＜10）；在旋转过程中∠E﹣∠BF 的值 是否会因t 的变化而变化？若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． 8．（2019 秋•玄武区校级期末）已知∠B＝150°，为∠B 内部的一条射线，∠B＝60°． （1）如图1，若E 平分∠B，D 为∠B 内部的一条射线，∠D¿ 1 2 ∠BD，求∠DE 的度数； （2）如图2，若射线E 绕着点从开始以15 度/秒的速度顺时针旋转至B 结束、F 绕着点从B 开始以5 度/ 秒的速度逆时针旋转至结束，运动时间为t 秒，当∠E＝∠F 时，求t 的值： （3）若射线M 绕着点从开始以15 度/秒的速度逆时针旋转至B 结束，在旋转过程中，平分∠M，试问 2∠B﹣∠BM 在某时间段内是否为定值，若不是，请说明理由；若是请补全图形，求出这个定值并写出t 所在的时间段．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角） 9．（2022 秋•云梦县期末）已知∠B＝90°，∠D＝30°，E 平分∠，F 平分∠BD． （1）如图1，当B、重合时，求∠EF 的度数． （2）当∠D 从图1 所示位置绕点顺时针旋转°（0＜＜90）时，如图2，∠E﹣∠BF 的值是否为定值？若是 定值，求出∠E﹣∠BF 的值，若不是，请说明理由． 10．（2020 秋•江岸区期末）已知如图1，∠B＝40°． （1）若∠¿ 1 3 ∠B，则∠B＝ ； （2）如图2，∠＝20°，M 为∠B 内部的一条直线，是∠M 四等分线，且3∠＝∠M，求4 + ∠∠M 的值； （3）如图3，∠＝20°，射线M 绕着点从B 开始以5 度/秒的速度逆时针旋转一周至B 结束，在旋转过程 中，设运动的时间为t，是∠M 四等分线，且3∠＝∠M，当t 在某个范围内4 + ∠∠BM 会为定值，请直接 写出定值，并指出对应t 的范围（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）． 11．（2020 秋•渝中区校级期末）如图1，∠B＝40°，∠D＝60°，M、分别为∠B 和∠BD 的角平分线． （1）若∠M＝70°，则∠B＝ °； （2）如图2，∠D 从第（1）问中的位置出发，绕点逆时针以每秒4°的速度旋转；当与重合时，∠D 立即 反向绕点顺时针以每秒6°的速度旋转，直到与互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠D 的大 小不变，旋转后的对应射线记为′，D 旋转后的对应射线记为D′，∠BD′的角平分线记为′，∠D′的角平分 线记为P．设运动时间为t 秒． ①当′平分∠B′时，求出对应的t 的值； ②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|∠BP﹣∠M′|的值不变？若存在，请直接写出这个 定值及其对应的t 的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由． 12．（2022 秋•荔湾区期末）已知∠B＝100°，∠D＝40°，E 平分∠，F 平分∠BD． （1）如图1，当B，重合时，求∠EF 的度数； （2）如图2，当∠D 从图1 所示位置绕点顺时针旋转°（0＜＜90）时，∠E﹣∠BF 的值是否为定值？若是 定值，求出∠E﹣∠BF 的值；若不是，请说明理由． 13．已知∠B＝100°，∠D＝40°，E 平分∠，F 平分∠BD．（本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）． （1）如图1，当B、重合时，求∠EF 的度数； （2）当∠D 从图1 所示位置绕点顺时针旋转°（0＜＜90）时，∠E﹣∠BF 的值是否为定值？若是定值， 求出∠E﹣∠BF 的值；若不是，请说明理由． （3）当∠D 从图1 所示位置绕点顺时针旋转°（0＜＜180）时，满足∠D+∠EF＝6∠D，则＝ ． 14．如图，两条直线B、D 相交于点，且∠＝∠D，射线M（与射线B 重合）绕点逆时针方向旋转，速度为 15°/s，射线（与射线D 重合）绕点顺时针方向旋转，速度为12°/s．两射线M、同时运动，运动时间为t 秒．（本题出现的角均指小于平角的角） （1）图中一定有 个直角；当t＝2 时，∠M 的度数为 ，∠B 的度数为 ，∠M 的度数为 ． （2）当0＜t＜12 时，若∠M＝3 60° ∠﹣ ，试求出t 的值； （3）当0＜t＜6 时，探究7∠COM +2∠BON ∠MON 的值，在t 满足怎样的条件是定值，在t 满足怎样的条 件不是定值．