专题17 绝对值专题(课堂学案及配套作业)(解析版)

专题17 期末复习绝对值专题（解析版） 第一部分 学 类型一 利用绝对值的性质求值 例1 （2022 秋•江岸区校级月考）已知|x|＝3，|y|＝5． （1）若x＜y，求x+y 的值； （2）若xy＜0，求x﹣y 的值． 思路引领：由题意可知x＝±3，y＝±5， （1）由于x＜y 时，有x＝3，y＝5 或x＝﹣3，y＝5，代入x+y 即可求出答； （2）由于xy＜0，x＝﹣3，y＝5 或x＝3，y＝﹣5，代入x﹣y 即可求出答． 解：由题意知：x＝±3，y＝±5， （1）∵x＜y， ∴x＝±3，y＝5， ∴x+y＝2 或8； （2）∵xy＜0， ∴x＝﹣3，y＝5 或x＝3，y＝﹣5， ∴x﹣y＝±8． 总结提升：本题考查有理数的运算，绝对值的性质，涉及代入求值，分类讨论的思想，属于基础题型． 变式训练 1．（2022 秋•方城县校级月考）已知|x|＝3，|y|＝7． （1）若x＜y，求x+y 的值； （2）若x＞y，求x﹣y 的值． 思路引领：（1）先求得x＝±3，y＝±7，再根据条件求出x、y 即可求解； （2）根据条件求得x、y，进而求解即可． 解：（1）∵|x|＝3，|y|＝7， ∴x＝±3，y＝±7， ∵x＜y， ∴x＝﹣3，y＝7 或x＝3，y＝7， 当x＝﹣3，y＝7 时，x+y＝﹣3+7＝4； 当x＝3，y＝7 时，x+y＝3+7＝10， ∴x+y 的值为4 或10； （2）∵x＞y， ∴x＝﹣3，y＝﹣7 或x＝3，y＝﹣7， 当x＝﹣3，y＝﹣7 时，x﹣y＝﹣3+7＝4， 当x＝3，y＝﹣7 时，x﹣y＝3+7＝10， ∴x﹣y 的值为4 或10． 总结提升：本题考查代数式求值、绝对值的性质，根据题设求得对应的x、y 是解答的关键． 类型二 利用绝对值的性质去绝对值 例2 已知＜﹣b，且a b ＞0，化简|| | ﹣b|+|+b|+|b|＝ ． 思路引领：根据题中的条件判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即 可得到结果． 解：∵＜﹣b，且a b ＞0， + ∴b＜0，，b 同号，都为负数， 则原式＝﹣+b﹣﹣b+b＝﹣2+b． 故答为：﹣2+b 总结提升：此题考查了整式的加减，以及绝对值，判断出绝对值里边式子的正负是解本题的关键． 例3（2021 秋•渝中区校级期中）已知有理数，b，在数轴上面的位置如图所示： 化简|+b| | |+| ﹣﹣ b | ﹣＝ ． 思路引领：根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合 并即可． 解：由图可知b＜0＜＜， 则+b＜0，﹣＞0，b﹣＜0， ∴原式＝﹣﹣b + ﹣﹣b+ ＝﹣2b． 故答为：﹣2b． 总结提升：本题考查了整式的加减、数轴及绝对值的知识，掌握数轴上右边的数总比左边的数大是解答 本题的关键． 变式训练 1．（2022 秋•江岸区期中）如图，数轴上的点、B、、D 对应的数分别为、b、、d，且这四个点满足每相 邻的两点之间的距离相等． （1）化简| | | ﹣﹣b | | ﹣﹣b﹣d|． （2）若||＝||，b﹣d＝﹣4，求的值． 思路引领：（1）根据数轴得到＜b＜＜d，得到﹣＜0 b﹣＞0 b﹣d＜0，根据绝对值的性质和去括号法则 计算； （2）根据题意得到B 点为原点，即b＝0，根据数轴的概念解答． 解：（1）由图可知：＜b＜＜d ∴﹣＜0 b﹣＞0 b﹣d＜0， ∴原式＝﹣（﹣）﹣（b﹣）﹣[﹣（b﹣d）] ＝﹣+﹣b+﹣d+b ＝﹣d； （2）∵||＝||，＜，B＝B ∴B 点为原点， ∴b＝0， ∵b﹣d＝﹣4， ∴d＝4， ∴＝﹣2． 总结提升：本题考查的是数轴和绝对值，掌握绝对值的性质，数轴的概念是解题的关键． 2．（2021 秋•贡井区期中）如图，数轴上的点，B，，D，E 对应的数分别为，b，，d，e，且这五个点满 足每相邻两个点之间的距离都相等． （1）填空：﹣ 0，b﹣ 0，b﹣d 0（填“＞“，“＜“或“＝“）； （2）化简：| | 2| ﹣﹣b | | ﹣﹣b﹣d|； （3）若||＝|e|，|b|＝3，直接写出b﹣e 的值． 思路引领：（1）根据数轴得出＜b＜＜d＜e，再比较即可； （2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可； （3）先求出b、e 的值，再代入求出即可． 解：（1）从数轴可知：＜b＜＜d＜e， ∴﹣＜0，b﹣＞0，b﹣d＜0， 故答为：＜，＞，＜； （2）原式＝| | 2| ﹣﹣b | | ﹣﹣b﹣d| ＝﹣+ 2 ﹣（b﹣）﹣（d﹣b） ＝﹣+ 2 ﹣b+2﹣d+b ＝﹣b+﹣d； （3）||＝|e|， ∴、e 互为相反数， | ∵b|＝3，这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等， ∴b＝﹣3，e＝6， ∴b﹣e＝﹣3 6 ﹣＝﹣9． 总结提升：本题考查了数轴，绝对值，相反数和有理数的大小比较等知识点，能根据数轴得出＜b＜＜d ＜e 是解此题的关键． 类型三 利用绝对值的非负性求值 例4（2009 秋•新华区校级月考）已知|+2|+|b 3| ﹣＝0，求和b 的值． 思路引领：直接根据非负数的性质进行解答即可． 解：∵|+2|+|b 3| ﹣＝0， +2 ∴ ＝0，b 3 ﹣＝0， 解得＝﹣2，b＝3． 总结提升：本题考查的是非负数的性质，根据绝对值的性质得出+2＝0，b 3 ﹣＝0 是解答此题的关键． 变式训练 1．（2020 秋•洪山区校级月考）已知| 1| ﹣＝3，|b 3| ﹣与（+1）2互为相反数，且＜b，求代数式2﹣b+﹣b 的 值． 思路引领：利用绝对值的代数意义，非负数的性质确定出各自的值，代入原式计算求出值． 解：∵| 1| ﹣＝3，|b 3| ﹣与（+1）2互为相反数，且＜b， 1 ∴﹣＝3 或﹣1＝﹣3，|b 3|+ ﹣ （+1）2＝0， 解得：＝4 或﹣2， ∵＜b， ∴＝﹣2，b＝3，＝﹣1， 原式＝2×（﹣2）﹣3+（﹣1）﹣（﹣2）×3×（﹣1）＝﹣14． 总结提升：此题考查了有理数的混合运算，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 类型四 类型问题 例5 （2022 秋•隆昌市校级月考）阅读下列材料并解决有关问题，我们知道|x|¿{ x( x＞0) 0( x=0) −x( x＜0) ，当x＞0 时， x ¿ x∨¿= x x =¿¿ 1，当x＜0 时， x ¿ x∨¿= x −x =−¿¿ 1．且当x＞0，y＜0 时，xy＜0．现在我们可以用这 个结论来解决下面问题： （1）已知，b 是有理数，当＜0，b＞0 时， a ¿a∨¿+ b ¿b∨¿=¿¿ ¿ ． （2）已知，b 是有理数，当b≠0 时， a ¿a∨¿+ b ¿b∨¿=¿¿ ¿ ． （3）已知，b，是有理数，+b+＝0，b＜0，求 b+c ¿a∨¿+ a+c ¿b∨¿+ a+b ¿c∨¿¿ ¿ ¿的值． 思路引领：（1）根据“当x＞0 时， x ¿ x∨¿= x x =¿¿ 1，当x＜0 时， x ¿ x∨¿= x −x =−¿¿ 1”进行计算即 可； （2）分三种情况进行解答，即、b 同正，同负，一正一负进行解答即可； （3）由+b+＝0 可得+b＝﹣，+＝﹣b，b+＝﹣，进而将原式变为 −a ¿a∨¿− b ¿b∨¿− c ¿c∨¿¿ ¿ ¿，再根据 （1）的解法进行计算即可． 解：（1）∵＜0， || ∴＝﹣， ∴ a ¿a∨¿= a −a=−¿¿ 1， 又∵b＞0， | ∴b|＝b， ∴ b ¿b∨¿=b b=¿¿ 1， ∴ a ¿a∨¿+ b ¿b∨¿=¿¿ ¿ 0； 故答为：0； （2）当＞0，b＞0 时， a ¿a∨¿+ b ¿b∨¿=¿¿ ¿ 1+1＝2， 当＞0，b＜0 时， a ¿a∨¿+ b ¿b∨¿=¿¿ ¿ 1 1 ﹣＝0， 当＜0，b＞0 时， a ¿a∨¿+ b ¿b∨¿=−¿¿ ¿ 1+1＝0， 当＜0，b＜0 时， a ¿a∨¿+ b ¿b∨¿=−¿¿ ¿ 1 1 ﹣＝﹣2， 故答为：﹣2 或0 或2； （3）∵+b+＝0， + ∴b＝﹣，+＝﹣b，b+＝﹣， ∴原式 ¿− a ¿a∨¿− b ¿b∨¿− c ¿c∨¿¿ ¿ ¿， 又∵+b+＝0，b＜0， ∴、b、中有一个负数，两个正数， ∴原式 ¿− a ¿a∨¿− b ¿b∨¿− c ¿c∨¿¿ ¿ ¿ ＝﹣1 1+1 ﹣ ＝﹣1， 答： b+c ¿a∨¿+ a+c ¿b∨¿+ a+b ¿c∨¿¿ ¿ ¿的值为﹣1． 总结提升：本题考查绝对值，理解“当x＞0 时， x ¿ x∨¿= x x =¿¿ 1，当x＜0 时， x ¿ x∨¿= x −x =−¿¿ 1” 是解决问题的关键． 变式训练 1．（2017 秋•邛崃市期末）设+b+＝0，b＞0，则 b+c ¿a∨¿+ c+a ¿b∨¿+ a+b ¿c∨¿¿ ¿ ¿的值是 ． 思路引领：由+b+＝0，b＞0，可知、b、中二负一正，将b+＝﹣，+＝﹣b，+b＝﹣代入所求代数式，可 判断 −a ¿a∨¿¿ ， −b ¿b∨¿¿ ， −c ¿c∨¿¿ 中二正一负． 解：∵+b+＝0，b＞0， ∴、b、中二负一正， 又b+＝﹣，+＝﹣b，+b＝﹣， ∴ b+c ¿a∨¿+ c+a ¿b∨¿+ a+b ¿c∨¿= −a ¿a∨¿+ −b ¿b∨¿+ −c ¿c∨¿¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ， 而当＞0 时， −a ¿a∨¿=−¿¿ 1，当＜0 时， −a ¿a∨¿=¿¿ 1， ∴ −a ¿a∨¿¿ ， −b ¿b∨¿¿ ， −c ¿c∨¿¿ 的结果中有二个1，一个﹣1， ∴ b+c ¿a∨¿+ c+a ¿b∨¿+ a+b ¿c∨¿¿ ¿ ¿的值是1． 故答为：1． 总结提升：此题考查的知识点是绝对值，判断、b、的符号是解题的关键． 类型五 多绝对值问题 例6 （2020 秋•恩施市月考）已经知道|x|的几何意义是数轴上数x 所对应的点与原点之间的距离，即|x﹣ 0|，也就是说，表示数轴上的数x 与数0 之间的距离，这个结论可以推广为，|x1﹣x2|表示数x1与数x2对 应点之间的距离． 例1：已知|x|＝2，求x 的值． 解：在数轴上与原点的距离为2 的点表示的数为﹣2 和2，所以x 的值为2 或者﹣2． 例2：已知|x 1| ﹣＝2，求x 的值． 解：在数轴上与1 对应的点的距离为2 的点表示的数为3 和﹣1，所以x 的值为3 或者﹣1．根据两个例 子，求解： （1）|x 1| ﹣＝5，求x． （2）|x+1|＝5，求x． （3）|x+3|+|x 3| ﹣＝6，找出所有符合条件的整数x． 思路引领：通过对例题的理解，根据数轴的性质，找到在数轴上对应的点，即可求解． 解：（1）在数轴上与1 对应的点的距离为5 的点表示的数为﹣4 和6，所以x 的值为﹣4 或者6； （2）在数轴上与（﹣1）对应的点的距离为5 的点表示的数为4 和﹣6，所以x 的值为4 或者﹣6； （3）在数轴上与（﹣3）对应的点的距离加上在数轴上与3 对应的点的距离之和为6，因为（﹣3）到3 的距离为6， 所以x 只有在（﹣3）与3 之间可以满足表达式，x 可以取：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3． 总结提升：本题主要考查了数轴结合绝对值的应用，绝对值性质在数轴上双向表示方法是解决问题的关 键． 类型六 绝对值最值问题 例7 （2018 秋•雨花区校级月考）同学们都知道，|2﹣（﹣1）|表示2 与﹣1 的差的绝对值，实际上位可理 解为在数轴上正数2 对应的点与负数﹣1 对应的点之间的距离，试探索： （1）|2﹣（﹣1）|＝ ；如果|x 1| ﹣＝2，则x＝ ． （2）求|x 2|+| ﹣ x 4| ﹣的最小值，并求此时x 的取值范围； （3）由以上探索已知（|x 2|+| ﹣ x+4|）+（|y 1|+| ﹣ y 6| ﹣）＝20，则求x+y 的最大值与最小值； （4）由以上探索及猜想，计算|x 1|+| ﹣ x 2|+| ﹣ x 3|+…+| ﹣ x 2017|+| ﹣ x 2018| ﹣ 的最小值． 思路引领：（1）根据绝对值的意义直接计算即可； （2）把|x 2|+| ﹣ x 4| ﹣理解为：在数轴上表示x 到﹣4 和2 的距离之和，根据两点间的距离公式，点在线 段上，可得最小值，从而得结论； （3）先确定x、y 的取值范围，再分类讨论． （4）观察已知条件可以发现，|x | ﹣表示x 到的距离．要使题中式子取得最小值，则应该找出与最小数 和最大数距离相等的x 的值，此时式子得出的值则为最小值． 解：（1）|2﹣（﹣1）|＝|2+1|＝3， |x 1| ﹣＝2， x 1 ﹣＝2 或x 1 ﹣＝﹣2 x＝3 或﹣1 故答为：3，3 或﹣1； （2）∵|x 2|+| ﹣ x 4| ﹣理解为：在数轴上表示x 到4 与2 的距离之和， ∴当x 在2 与4 之间的线段上（即2≤x≤4）时，|x 2|+| ﹣ x 4| ﹣的值有最小值，最小值为4 2 ﹣＝2，此时x 的取值范围为：2≤x≤4． （3）因为x 2 ﹣＝0，x+4＝0 时，x＝2 或﹣4，y 1 ﹣＝0，y 6 ﹣＝0 时，y＝1 或6． 当x＜﹣4 时，|x 2|+| ﹣ x+4|＝2﹣x﹣x 4 ﹣＝﹣2x 2 ﹣；当﹣4≤x≤2 时，|x 2|+| ﹣ x+4|＝2﹣x+x+4＝6；当x＞2 时，|x 2|+| ﹣ x+4|＝x 2+ ﹣ x+4＝2x+2； 当y＜1 时，|y 1|+| ﹣ y 6| ﹣＝1﹣y+6﹣y＝﹣2y+7；当1≤y≤6 时，|y 1|+| ﹣ y 6| ﹣＝y 1+6 ﹣ ﹣y＝5；当y＞6 时， |y 1|+| ﹣ y 6| ﹣＝y 1+ ﹣ y 6 ﹣＝2y 7 ﹣； 当x＜﹣4，y＜1 时，x+y 取最小值， 此时（﹣2x 2 ﹣）+（﹣2y+7）＝20 x+y¿−15 2 当x＞2，y＞6 时，x+y 取最大值， 此时（2x+2）+（2y 7 ﹣）＝20 x+y¿ 25 2 所以x+y 的最大值是25 2 ，最小值是−15 2 ． （4）由已知条件可知，|x | ﹣表示x 到的距离，只有当x 到1 的距离等于x 到2018 的距离时，式子取得 最小值． ∴当x¿ 1+2018 2 =¿10095 时，式子取得最小值， 此时，|x 1|+| ﹣ x 2|+| ﹣ x 3|+…+| ﹣ x 2017|+| ﹣ x 2018| ﹣ ＝|10095 1|+|10095 2|+|10095 3|+…+|10095 2016|+|10095 2017|+|10095 2018| ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ＝2（10085+10075+…+25+15+05） ＝2×[05×1009+（1+2+3…+1008）] ＝2×（5045+1008(1+1008) 2 ） ＝1018081． 总结提升：本题考查了绝对值，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键． 变式训练 1．（2022 秋•灌南县校级月考）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师过我们绝对值的几何含义，如|5 3| ﹣表示5，3 在数轴上对应的两点之间的 距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5，﹣3 在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5 0| ﹣，所以|5| 表示5 在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，，B 两点在数轴上分别表示有理数，b，那么，B 两点 之间的距离可表示为|﹣b|． （1）如果，B，三点在数轴上分别表示有理数x，﹣2，1，那么点到点B 的距 离与点到点的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）； （2）利用数轴探究： ①满足|x 3|+| ﹣ x+1|＝6 的x 的值是 ， ②设|x 3|+| ﹣ x+1|＝p，当x 的取值在不小于﹣1 且不大于3 的范围时，p 的值是不变的，而且是p 的最小 值，这个最小值是 ；当x 的取值在 的范围时，|x|+|x 2| ﹣的最小值是 ； （3）求|x 3|+| ﹣ x 2|+| ﹣ x+1|的最小值以及此时x 的值； （4）若|x 3|+| ﹣ x 2|+| ﹣ x 1|+| ﹣ x|≥对任意有理数x 都成立，求的最大值． 思路引领：（1）根据两点间的距离公式，可得答； （2）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值； （3）|x 3|+| ﹣ x 2|+| ﹣ x+1|＝（|x 3|+| ﹣ x+1|）+|x 2| ﹣，根据问题（2）中的探究②可知，要使|x 3|+| ﹣ x+1|的 值最小，x 的值只要取﹣1 到2 之间（包括﹣1、2）的任意一个数，要使|x 2| ﹣的值最小，x 应取2，显然 当x＝2 时能同时满足要求，把x＝2 代入原式计算即可； （4）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得答． 解：（1）到B 的距离与到的距离之和可表示为|x+2|+|x 1| ﹣． 故答为：|x+2|+|x 1| ﹣； （2）①满足|x 3|+| ﹣ x+1|＝6 的x 的所有值是﹣2、4． 故答为：﹣2，4； ②设|x 3|+| ﹣ x+1|＝p，当x 的值取在不小于﹣1 且不大于3 的范围时，p 的值是不变的，而且是p 的最小 值，这个最小值是4；当x 的值取在不小于0 且不大于2 的范围时，|x|+|x 2| ﹣取得最小值，这个最小值是 2； 故答为：4；不小于0 且不大于2；2；4，2； （3）由分析可知， 当x＝2 时能同时满足要求，把x＝2 代入原式＝1+0+3＝4； （4）|x 3|+| ﹣ x 2|+| ﹣ x+1|+|x+2|＝（|x 3|+| ﹣ x+2|）+（|x 2|+| ﹣ x+1|）， 要使|x 3|+| ﹣ x+2|的值最小，x 的值取﹣2 到3 之间（包括﹣2、3）的任意一个数，要使|x 2|+| ﹣ x+1|的值最 小，x 取﹣1 到2 之间（包括﹣1、2）的任意一个数，显然当x 取﹣1 到2 之间（包括﹣1、2）的任意一 个数能同时满足要求，不妨取x＝0 代入原式，得|x 3|+| ﹣ x 2|+| ﹣ x+1|+|x+2|＝3+2+1+2＝8； 方法二：当x 取在﹣1 到2 之间（包括﹣1、2）时，|x 3|+| ﹣ x 2|+| ﹣ x+1|+|x+2|＝﹣（x 3 ﹣）﹣（x 2 ﹣）+ （x+1）+（x+2）＝﹣x+3﹣x+2+x+1+x+2＝8． 总结提升：本题考查了列代数式、数轴、绝对值，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键． 第二部分 配套作业 1．（2020 秋•江汉区校级期末）下列说法：①||＝﹣，则为负数；②数轴上，表示、b 两点的距离为﹣b； ③|+b|＝﹣b，则＞0，b＝0 或＝0，b＜0；④|+b|＝|| |