专题19 线段和角的定值问题课堂学案及配套作业(解析版)

专题19 线段和角的定值问题（解析版） 第一部分 学 类型一 线段中的定值问题 1．（2019 秋•北仑区期末）如图，为射线B 上一点，B＝30，比B 的1 4 多5，P、Q 两点分别从、B 两点同 时出发，分别以2 个单位/秒和1 个单位/秒的速度在射线B 上沿B 方向运动，当点P 运动到点B 时，两 点同时停止运动，运动时间为t（s），M 为BP 的中点，为MQ 的中点，以下结论：①B＝2；②B＝ 4Q；③当BP¿ 1 2BQ 时，t＝12；④M，两点之间的距离是定值．其中正确的结论 （填写序号） 思路引领：根据线段中点的定义和线段的和差关系即可得到结论． 解：∵B＝30，比B 的1 4 多5， ∴B＝20，＝10， ∴B＝2；故①正确； ∵P，Q 两点分别从，B 两点同时出发，分别以2 个单位/秒和1 个单位/秒的速度， ∴BP＝30 2 ﹣t，BQ＝t， ∵M 为BP 的中点，为MQ 的中点， ∴PM¿ 1 2BP＝15﹣t，MQ＝MB+BQ＝15，Q¿ 1 2MQ＝75， ∴B＝4Q；故②正确； ∵BP=30−2t ，BQ=t ，BP=1 2 BQ， ∴30−2t= t 2，解得：t＝12，故③正确， ∵BP＝30 2 ﹣t，BQ＝t， ∴BM¿ 1 2PB＝15﹣t， ∴MQ＝BM+BQ＝15﹣t+t＝15， ∴M¿ 1 2MQ¿ 15 2 ， ∴M 的值与t 无关是定值， 故答为：①②③④． 总结提升：本题考查两点间的距离，解题的关键是求出P 到达B 点时的时间，以及点P 与Q 重合时的 时间，涉及分类讨论的思想． 2．（2020 秋•东西湖区期末）如图，已知直线l 上有两条可以左右移动的线段：B＝，D＝b，且，b 满足| 2|+ ﹣ （b 6 ﹣）2＝0．M 为线段B 的中点，为线段D 中点． （1）求线段B、D 的长； （2）若线段B 以每秒2 个单位长度的速度向右运动，同时线段D 以每秒1 个单位长的速度也向右运动， 在运动前点表示的数为﹣2．B＝6，设运动时间为t 秒，求t 为何值时，M＝4； （3）若将线段D 固定不动，线段B 以每秒2 个单位长度的速度向右运动，在运动前D＝36，在线段B 向右运动的某一个时间段内，始终有M+B 为定值，求出这个定值，并求出t 的取值范围． 思路引领：（1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）t 秒后点M 表示的数是﹣1+2t，点表示的数是9+t，然后根据M＝4 列出方程可得答； （3）根据题意分类讨论得到结果． 解：（1）∵| 2|+ ﹣ （b 6 ﹣）2＝0， 2 ∴﹣＝0，b 6 ﹣＝0， ∴＝2，b＝6， ∴B＝2，D＝6； （2）∵运动前点表示的数为﹣2，B＝6， ∴点B 表示的数是0，点、D 表示的数分别是6 和12， ∵M 为线段B 的中点，为线段D 中点， ∴点M、表示的数分别是﹣1 和9， t 秒后点M 表示的数是﹣1+2t，点表示的数是9+t， | ∴（﹣1+2t）﹣（9+t）|＝4， 解得t＝14 或6， 答：t＝14 秒或6 秒时，M＝4； （3）运动t 秒后，M＝|32 2 ﹣t|，B＝|28 2 ﹣t|， 当0≤t＜14 时，M+B＝32 2 ﹣t+28 2 ﹣t＝60 4 ﹣t， 当14≤t≤16 时，M+B＝32 2 ﹣t+2t 28 ﹣ ＝4， 当t＞16 时，M+B＝2t 32+2 ﹣ t 28 ﹣ ＝4t 60 ﹣ ， ∴当14≤t≤16 时，M+B 为定值． 总结提升：本题主要考查了非负数的性质，一元一次方程的应用以及数轴和两点间的距离等知识，解答 本题的关键是掌握两点间的距离公式，解答第三问注意分类讨论思想，此题难度不大． 3．（2020 秋•遵化市期末）如图，已知线段B＝m，D＝，线段D 在直线B 上运动（点在点B 的左侧，点 在点D 的左侧），若|m 12|+ ﹣ （6﹣）2＝0． （1）求线段B，D 的长； （2）若点M，分别为线段，BD 的中点，B＝4，求线段M 的长； （3）当D 运动到某一时刻时，点D 与点B 重合，点P 是线段B 的延长线上任意一点，下列两个结论： ①PA−PB PC 是定值，②PA+PB PC 是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明． 思路引领：（1）先由|m 12|+ ﹣ （6﹣）2＝0，根据非负数的性质求出＝6，m＝12，即可得到B＝12，D ＝6； （2）需要分类讨论：①如图1，当点在点B 的右侧时，根据“M、分别为线段、BD 的中点”，先计算 出M、D 的长度，然后计算M＝D﹣M﹣D；②如图2，当点位于点B 的左侧时，利用线段间的和差关 系求得M 的长度； （3）计算①或②的值是一个常数的，就是符合题意的结论． 解：（1）∵|m 12|+ ﹣ （6﹣）2＝0， | ∴m 12| ﹣ ＝﹣（6﹣）2， ∴m 12 ﹣ ＝0，6﹣＝0， ∴＝6，m＝12， ∴B＝12，D＝6； （2）如图1，∵M、分别为线段、BD 的中点， ∴M¿ 1 2¿ 1 2（B+B）＝8， D¿ 1 2BD¿ 1 2（D+B）＝5， ∴M＝D﹣M﹣D＝9； 如图2，∵M、分别为线段、BD 的中点， ∴M¿ 1 2¿ 1 2（B﹣B）＝4， D¿ 1 2BD¿ 1 2（D﹣B）＝1， ∴M＝D﹣M﹣D＝12+6 4 4 1 ﹣﹣﹣＝9； （3）②正确．理由如下： ∵PA+PB PC =( PC+ AC )+( PC−CB) PC =2 PC PC =¿2， ∴②PA+PB PC 是定值2． 总结提升：本题考查了一元一次方程的应用，比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系 是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线 段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． 4．（2018 秋•江夏区期末）已知，如图所示，一条直线上依次有、B、三个点． （1）若B＝10，＝3B，求B 的长； （2）若点D 是射线B 上一点，点M 为BD 中点，点为D 中点，求BC MN 的值； （3）当点P 在线段B 的延长线上运动时，点E 是P 的中点，点F 是B 的中点（E，F 不重合）．下列结 论中：① EF AC+BP 是定值；② EF AC−BP 是定值，其中只有一个结论正确，请选择正确结论并求出其 值． 思路引领：（1）由＝B+B＝3B 可得； （2）分三种情况：①D 在B 之间时②D 在B 之间时③D 在点左侧时； （3）分三种情况讨论：①F、E 在B 之间，F 在E 左侧②F 在B 之间，E 在P 之间③F、E 在B 之间， F 在E 右侧； 解：（1）∵B＝10，＝B+B＝3B， ∴B＝5； （2）∵点M 为BD 中点，点为D 中点， ∴BM＝BD，D＝， ①D 在B 之间时： B＝BD+D＝2MD+2D＝2M， ∴BC MN =¿2； ②D 在B 之间时： B＝D﹣DB＝2D 2 ﹣MB＝2（B+2MB）﹣2MB＝2B+2MB＝2M， ∴BC MN =¿2； ③D 在点左侧时： B＝D﹣B＝M+DM﹣B＝M+MB﹣B＝M+M+B﹣B＝2M， ∴BC MN =¿2； 故BC MN =¿2； （3）点E 是P 的中点，点F 是B 的中点． ∴E＝EP，BF＝F， ①F、E 在B 之间，F 在E 左侧， EF＝F﹣E¿ 1 2B + ﹣E¿ 1 2（﹣B）﹣+E＝E−1 2 B−1 2 ， BP＝P﹣B＝2E﹣B， ﹣BP＝﹣2E+B， ∴ EF AC−BP =−1 2 ． ②F 在B 之间，E 在P 之间， EF¿ 1 2B+E¿ 1 2B+E﹣¿ 1 2（﹣B）+E﹣＝E−1 2 B−1 2 ， BP＝P﹣B＝2E﹣B， ﹣BP＝+B 2 ﹣E， ∴ EF AC−BP =−1 2 ． ③F、E 在B 之间，F 在E 右侧， EF＝E﹣F＝E−1 2 B＝﹣E−1 2 B＝﹣E−1 2 （﹣B）¿ 1 2﹣E+1 2 B， BP＝P﹣B＝2E﹣B， ∴﹣BP＝+B 2 ﹣E， ∴ EF AC−BP =1 2， ∴只能是② EF AC−BP 是定值，定值为1 2． 总结提升：本题考查线段之间量的关系，结合图形，能够考虑到所有分类是解题的关键． 5．（越秀区期末）已知线段B＝8（点在点B 的左侧） （1）若在直线B 上取一点，使得＝3B，点D 是B 的中点，求D 的长； （2）若M 是线段B 的中点，点P 是线段B 延长线上任意一点，请说明P+PB 2 ﹣PM 是一个定值． 思路引领：（1）①当点在线段B 上时，如图1，②当点在线段B 的延长线上时，如图2，③当点在B 的延长线上时，明显，次情况不存在；列方程即可得到结论； （2）如图3，设BP＝x，则P＝B+BP＝8+x，PM¿ 1 2B+BP＝4+x，代入P+PB 2 ﹣PM 即可得到结论． 解：（1）①当点在线段B 上时，如图1， ∵＝3B， 设B＝x，则＝3x， ∵B＝+B， 8 ∴＝3x+x， ∴x＝2， ∴B＝2，＝6， ∵点D 是B 的中点， ∴D＝BD¿ 1 2B＝1， ∴D＝+D＝6+1＝7； ②当点在线段B 的延长线上时，如图2， 设B＝x，＝3B＝3x， ∵B＝﹣B＝2x＝8， ∴x＝4， ∴B＝4，＝12，B＝8， ∵点D 是B 的中点， ∴BD＝D¿ 1 2B＝2， ∴D＝B+BD＝8+2＝10； ③当点在B 的延长线上时，明显，次情况不存在； 综上所述，D 的长为7 或10； （2）如图3，设BP＝x，则P＝B+BP＝8+x，PM¿ 1 2B+BP＝4+x， ∴P+PB 2 ﹣PM＝8+x+x 2 ﹣（4+x）＝0， ∴P+PB 2 ﹣PM 是一个定值0． 总结提升：本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，正确的作出图形是解题的关键． 6．（2020 秋•奉化区校级期末）如图，已知直线l 有两条可以左右移动的线段：B＝m，D＝，且m，满足| m 4|+ ﹣ （﹣8）2＝0． （1）求线段B，D 的长； （2）线段B 的中点为M，线段D 中点为，线段B 以每秒4 个单位长度向右运动，线段D 以每秒1 个单 位长度也向右运动，若运动6 秒后，M＝4，求线段B 的长； （3）将线段D 固定不动，线段B 以每秒4 个单位速度向右运动，M、分别为B、D 中点，B＝24，在线 段B 向右运动的某一个时间段t 内，始终有M+D 为定值．求出这个定值，并直接写出t 在哪一个时间段 内． 思路引领：（1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）若6 秒后，M’在点’左边时，若6 秒后，M’在点’右边时，根据题意列方程即可得到结论； （3）根据题意分类讨论于是得到结果． 解：（1）∵|m 4|+ ﹣ （﹣8）2＝0， ∴m 4 ﹣＝0，﹣8＝0， ∴m＝4，＝8， ∴B＝4，D＝8； （2）若6 秒后，M’在点’左边时， 由M+’＝MM’+M’’， 即2+4+B+6×1＝6×4+4， 解得B＝16， 若6 秒后，M’在点’右边时， 则MM’＝M+’+M’’， 即6×4＝2+B+4+6×1+4， 解得B＝8， （3）运动t 秒后 M＝|30 4 ﹣t|，D＝|36 4 ﹣t|， 当0≤t＜75 时，M+D＝66 8 ﹣t， 当75≤t≤9 时，M+D＝6， 当t≥9 时，M+D＝8t 66 ﹣ ， ∴当75≤t≤9 时，M+D 为定值． 总结提升：本题主要考查了非负数的性质，一元一次方程的应用以及数轴和两点间的距离等知识，解答 本题的关键是掌握两点间的距离公式，解答第三问注意分类讨论思想，此题难度不大． 7．（2022 秋•平南县月考）如图B＝48，为线段B 的延长线上一点，M，分别是，B 的中点． （1）若B＝10，求M 的长； （2）若B 的长度为不定值，其它条件不变，M 的长还是定值吗？若是，请求出M 的长；若不是，请说 明理由． 思路引领：（1）根据线段中点的性质，可得M，的长，根据线段的和差，可得答； （2）根据线段中点的性质，可得M，的长，根据线段的和差，可得答． 解：（1）由已知得＝B+B＝58． 由M，分别是，B 的中点，得 M＝29，＝5． 由线段的和差，得 M＝M﹣＝29+5＝24； （2）若B 的长度为不定值，其它条件不变，M 的长是定值． 由M，分别是，B 的中点，得 M¿ 1 2（B+B），¿ 1 2B， M＝M﹣ ¿ 1 2（B+B）−1 2 B ¿ 1 2B ＝24． 总结提升：本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出M，的长是解题关键，又利用了线段的 和差． 类型二 角中的定值问题 8．（2017 秋•宁海县期末）如图，已知在同一平面内⊥B，是绕点顺时针方向旋转α（α＜90°）度得到， D 平分∠B，E 平分∠． （1）若α＝60 即∠＝60°时，则∠B＝ °，∠DE＝ °． （2）在α 的变化过程中，∠DE 的度数是一个定值吗？若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明 理由． 思路引领：（1）先得到∠B＝∠B+∠＝150°，再根据角平分线的定义得到∠D＝75°，∠E＝30°，然后计算 ∠D﹣∠E 得到∠DE 的度数； （2）根据角平分线的定义∠D¿ 1 2∠B＝45°+1 2 α，∠E¿ 1 2∠¿ 1 2α，所以∠DE＝∠D﹣∠E＝45°，从而可判 断∠DE 的度数是一个定值． 解：（1）∵⊥B， ∴∠B＝90°， ∴∠B＝∠B+∠＝90°+60°＝150°， ∵D 平分∠B， ∴∠D¿ 1 2∠B＝75°， ∵E 平分∠， ∴∠E¿ 1 2∠＝30°， ∴∠DE＝∠D﹣∠E＝75° 30° ﹣ ＝45°； 故答为150°；45°； （2）在α 的变化过程中，∠DE 的度数是一个定值，为45°． ∵D 平分∠B， ∴∠D¿ 1 2∠B¿ 1 2（90°+α）＝45°+1 2 α ∵E 平分∠， ∴∠E¿ 1 2∠¿ 1 2α， ∴∠DE＝∠D﹣∠E＝45°+1 2 α−1 2 α＝45°， 即∠DE 的度数是一个定值． 总结提升：本题考查了角度的计算：会利用几何图形计算角度的和与差．也考查了角平分线的定义． 9．（2020 秋•平山区校级期中）已知∠B＝110°，∠D＝40°，E 平分∠，F 平分∠BD． （1）如图1，当B、重合时，∠E﹣∠BF＝ ； （2）如图2，当∠D 从图1 所示位置绕点以每秒3°的速度顺时针旋转t 秒（0＜t＜10），在旋转过程中 ∠E﹣∠BF 的值是否会因t 的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． 思路引领：（1）首先根据角平分线的定义求得∠E 和∠BF 的度数，然后根据∠E﹣∠BF 求解； （2）首先由题意得∠B＝3t°，再根据角平分线的定义得∠＝∠B+3t°，∠BD＝∠D+3t°，然后由角平分线的 定义解答即可． 解：（1）∵E 平分∠，F 平分∠BD， ∴∠E¿ 1 2∠¿ 1 2 ×110°＝55°，∠BF¿ 1 2∠BD¿ 1 2 ×40°＝20°， ∴∠E﹣∠BF＝55° 20° ﹣ ＝35°． 故答为：35°； （2）∠E﹣∠BF 的值是定值． 由题意∠B＝3t°， 则∠＝∠B+3t°＝110°+3t°，∠BD＝∠D+3t°＝40°+3t°， ∵E 平分∠，F 平分∠BD， ∴∠E¿ 1 2∠¿ 1 2（110°+3t°）＝55°+3 2 t°，∠BF¿ 1 2∠BD¿ 1 2（40°+3t°）＝20°+3 2 t°， ∴∠E﹣∠BF＝（55°+3 2 t°）−（20°+3 2 t°）＝35°， ∴∠E﹣∠BF 的值是定值，定值为35°． 总结提升：本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键． 10．（2019 秋•沙坪坝区校级期中）如图，已知∠＝80°，∠BD＝30°，若M 平分∠B，平分∠D． （1）如图1，当与B 重合时，求∠M 的度数； （2）如图2，当∠BD 从图1 位置开始绕点顺时针旋转m（0＜m＜90）时，∠BM﹣∠D 的值是否为定值？ 若是定值，求出∠BM﹣∠D 的值；若不是定值，请说明理由； （3）如图2，当∠BD 从图1 位置开始绕点顺时针旋转m（30＜m＜70）时，满足∠D+∠M＝7∠BD，求 m 的值． 思路引领：（1）由角平分线的定义求∠M＝∠MB¿ 1 2∠B，∠D＝∠¿ 1 2∠D，然后求∠M； （2）用含有m 的式子表示∠M、∠BD 和∠D，然后利用角的和差关系求∠BM﹣∠D； （3）分别用含有m 的式子表示∠D、∠M 和∠BD，然后根据已知条件列出方程，从而得到m 的值． 解：（1）∵M 平分∠B，平分∠D， ∴∠M＝∠MB¿ 1 2∠B，∠D＝∠¿ 1 2∠D， ∵∠B＝80°，∠D＝30°， ∴∠M＝40°，∠＝15°， ∴∠M＝∠M+∠＝40°+15°＝55°； （2）∠BM﹣∠D 为定值25°，理由如下： 由题意可知：∠D＝∠B+∠D+m＝110°+m， 由（1）可知：∠M＝∠MB¿ 1 2∠B，∠D＝∠¿ 1 2∠D， ∴∠BM＝∠M＝∠1 2（∠+m）¿ 1 2（80°+m），∠D¿ 1 2（∠BD+m）¿ 1 2（30°+m）， ∴∠BM﹣∠D¿ 1 2（80°+m）−1 2 （30°+m）＝25°， ∴∠BM﹣∠D 的值为25°； （3）由（2）知：∠D＝110°+m，∠M¿ 1 2（80°+m），∠D¿ 1 2（30°+m）， ∴∠M＝∠D﹣∠M﹣∠D＝110°+m−1 2 （80°+m）−1 2 （30°+m）＝55°， ∵∠D+∠M＝7∠BD，∠BD＝30°， 110°+ ∴ m+55°＝7×30°， ∴m＝45°． 总结提升：本题考查了角平分线的定义和图形的旋转，探究角与角之间的关系时，要注意先理清楚所求 角与已知角的和差关系，然后再逐步求解． 11．（2022 秋•沁阳市期末）已知∠B＝110°，∠D＝40°，E 平分∠，F 平分∠BD． （1）如图1，当B、重合时，∠E﹣∠BF＝ ； （2）如图2，当∠D 从图1 所示位置绕点以每秒3°的速度顺时针旋转t 秒（0＜t＜10），在旋转过程中 ∠E﹣∠BF 的值是否会因t 的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． （3）在（2）的条件下，当∠F＝17°时，t＝ 秒． 思路引领：（1）首先根据角平分线的定义求得∠E 和∠BF 的度数，然后根据∠E﹣∠BF 求解； （2）首先由题意得∠B＝3t°，再根据角平分线的定义得∠＝∠B+3t°，∠BD＝∠D+3t°，然后由角平分线的 定义解答即可； （3）根据题意得∠BF＝（3t+17）°，故3t+17=20+ 3 2 t，解方程即可求出t 的值． 解：（1）∵E 平分∠，F 平分∠BD， ∴∠AOE=1 2 ∠AOC=