专题11 线段的计算专题复习(课堂学案及配套作业)(解析版)

专题11 线段的计算专题复习（解析版） 第一部分 学 类型一 单中点 1．（2020 秋•开福区校级月考）已知线段B＝13m，为线段B 上一点，B＝5m，点D 为的中点．求DB 的长 度． 思路引领：根据线段图，先求出的长，再求出D 的长，就可以求出DB 的长． 解：∵B＝13m，B＝5m， ∴＝B﹣B＝8m． ∵D 是中点． ∴D¿ 1 2 AC=¿4m， ∴DB＝D+B＝9m． 总结提升：本题主要考查线段的长度计算，分别考查了线段的做差、中点、求和等问题．属于简单题． 主要锻炼学生书写解题过程，和逻辑推理能力． 2．已知线段B＝10m，点D 是线段B 的中点，直线B 上有一点，并且B＝2m，点E 是D 的中点，则线段 DE 的长为 ． 思路引领：分在线段B 延长线上，在线段B 上两种情况作图．再根据正确画出的图形解题． 解：∵B＝10m，点D 是线段B 的中点， ∴DB¿ 1 2B¿ 1 2 ×10＝5（m）， ①在线段B 上， ∵B＝2m， ∴D＝B﹣B＝5 2 ﹣＝3（m）， ∵点E 是D 的中点， ∴DE¿ 1 2D¿ 1 2 ×3¿ 3 2（m）， ②在线段B 延长线上， ∵B＝2m， ∴D＝DB+B＝5+2＝7（m）， ∵点E 是D 的中点， ∴DE¿ 1 2D¿ 1 2 ×7¿ 7 2（m）， 故答为：3 2或7 2． 总结提升：本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差，分类讨论是解题关键，以 防遗漏． 3．（2019 秋•潮阳区期末）如图，点、D 在线段B 上，D 是线段B 的中点，¿ 1 3D，D＝4，求线段B 的长． 思路引领：根据¿ 1 3D，D＝4，求出D 与D，再根据D 是线段B 的中点，即可得出答． 解：∵¿ 1 3D，D＝4， ∴D＝D﹣＝D−1 3 D¿ 2 3D， ∴D¿ 3 2D＝6， ∵D 是线段B 的中点， ∴B＝2D＝12； 总结提升：此题考查了两点间的距离公式，主要利用了线段中点的定义，比较简单，准确识图是解题的 关键． 类型二 双中点 4．（2019 秋•秦淮区期末）已知：如图，点在线段B 上，点M、分别是、B 的中点． （1）若线段＝4，B＝6，则线段M＝ ； （2）若B＝m，求线段M 的长度． 思路引领：（1）由已知可求得M，的长，从而不难求得M 的长度； （2）由已知可得B 的长是M 的2 倍，已知B 的长则不难求得M 的长度． 解：（1）∵是B 的中点，M 是的中点，＝4，B＝6， ∴M＝2，＝3， ∴M＝M+＝2+3＝5； （2）∵M 是的中点，是B 的中点，B＝m， ∴M＝M+¿ 1 2B¿ 1 2m． 故答为：5． 总结提升：本题主要考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活 选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性． 5．（2022 春•垦利区期末）如图，点在线段B 上，＝6m，MB＝10m，点M，分别为，B 的中点． （1）求线段B，M 的长； （2）若在线段B 的延长线上，且满足﹣B＝m，M，分别是线段，B 的中点，请画出图形，并用的式子 表示M 的长度． 思路引领：（1）根据“点M 是的中点”，先求出M 的长度，再利用B＝MB﹣M，＝12B，M＝M+即可 求出线段B，M 的长度． （2）先画图，再根据线段中点的定义得M¿ 1 2，¿ 1 2B，然后利用M＝M﹣得到M¿ 1 2m． 解：（1）∵M 是的中点， ∴M¿ 1 2＝3m， ∴B＝MB﹣M＝7m， 又为B 的中点， ∴¿ 1 2B＝35m， ∴M＝M+＝65m； （2）如图1（或图2）： ∵M 是的中点， ∴M¿ 1 2， ∵是B 的中点， ∴¿ 1 2B， ∴M＝M﹣¿ 1 2 −1 2 B¿ 1 2（﹣B）¿ 1 2m． 总结提升：本题主要考查了两点间的距离，线段的中点定义，线段的中点把线段分成两条相等的线段． 6．（2019 秋•长兴县期末）如图，已知点为线段B 上一点，＝15m，B¿ 3 5，点D，E 分别为线段，B 的中 点，求线段B 与DE 的长． 思路引领：根据线段的中点定义即可求解． 解：∵＝15m，B¿ 3 5， ∴B＝9， ∴B＝+B＝24， ∵点D，E 分别为线段，B 的中点， ∴D¿ 1 2¿ 15 2 E¿ 1 2B＝12 ∴DE＝E﹣D¿ 9 2． 答：线段B 与DE 的长为24、9 2． 总结提升：本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是利用线段的中点定义． 7．已知、B、三点在同一条直线上，B＝8，B＝4，M、分别为B、B 的中点，求线段M 的长． 思路引领：由题意将点位置分两种情况分别求解： ①当点在B 之间时，M 与点重合； ②当在线段B 延长线上时，M＝BM+B． 解：①当点在B 之间时， 由已知，M 与点重合， ∵B＝8，B＝4，M、分别为B、B 的中点， ∴M＝B＝2； ②当在线段B 延长线上时， M＝BM+B＝4+2＝6； 综上所述，M 的长为2 或6． 总结提升：本题考查线段两点间距离；能够准确确定点的位置是解题的关键． 类型三 方程思想 8．（2019 秋•克东县期末）如图，为线段中点，点M、点B 分别为线段、上的点，且满足M：MB：B＝ 1：4：3． （1）若＝6，求M 的长． （2）若B＝2，求的长． 思路引领：（1）根据线段中点的定义得到＝2＝12，于是得到M¿ 1 1+4+3 ׿ 1 8 ×12¿ 3 2； （2）根据线段中点的定义得到¿ 1 2，得到B¿ 1+4 1+4+3¿ 5 8，列方程即可得到结论． 解：（1）∵＝6，为线段中点， ∴＝2＝12， ∵M：MB：B＝1：4：3． ∴M¿ 1 1+4+3 ׿ 1 8 ×12¿ 3 2； （2）∵为线段中点， ∴¿ 1 2， ∵M：MB：B＝1：4：3， ∴B¿ 1+4 1+4+3¿ 5 8， ∴B＝B﹣¿ 5 8 −1 2 ¿ 1 8＝2， ∴＝16． 总结提升：本题考查的是两点间的距离，正确理解线段中点的意义是解题的关键． 9．（2019 秋•江夏区期末）如图，点B，D 在线段上，BD¿ 1 3B，B¿ 3 4 D，线段B、D 的中点E、F 之间的 距离是20，求线段的长． 思路引领：设BD＝x，求出B＝3x，D＝4x，求出BE¿ 1 2B＝15x，DF＝2x，根据EF＝20 得出方程 15x+2x﹣x＝5，求出x 即可． 解：设BD＝x，则B＝3x，D＝4x， ∵线段B、D 的中点分别是E、F， ∴BE¿ 1 2B＝15x，DF＝2x， ∵EF＝20， 15 ∴ x+2x﹣x＝20， 解得：x＝8， ∴E+EF+F＝15x+20+2x＝12+20+16＝48． 总结提升：本题考查了求两点之间的距离，能根据题意得出方程是解此题的关键． 10．（鄂城区期末）已知，B，，D 四点在同一条直线上，点是线段B 的中点，点D 在线段B 上． （1）若B＝6，BD¿ 1 3B，求线段D 的长度； （2）点E 是线段B 上一点，且E＝2BE，当D：BD＝2：3 时，线段D 与E 具有怎样的数量关系？请说 明理由． 思路引领：（1）根据线段中点的性质求出B，根据题意计算即可； （2）设D＝2x，用x 表示出B，根据题意用x 表示出D、E，得到D 与E 的数量关系． 解：（1）如图1，∵点是线段B 的中点，B＝6， ∴B¿ 1 2B＝3， ∵BD¿ 1 3， ∴BD＝1， ∴D＝B﹣BD＝2； （2）如图2，设D＝2x，则BD＝3x， ∴B＝D+BD＝5x， ∵点是线段B 的中点， ∴¿ 1 2B¿ 5 2x， ∴D＝﹣D¿ 1 2x， ∵E＝2BE， ∴E¿ 2 3B¿ 10 3 x， E＝E﹣¿ 5 6x， ∴D：E¿ 1 2x：5 6x＝3：5． 总结提升：本题考查的是两点间的距离的计算，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键． 11．（2019 秋•樊城区期末）如图，B＝97，D＝40，点E 在线段DB 上，D：E＝1：2，E：EB＝3：5，求 的长度． 思路引领：根据B＝97，D＝40，可得BD＝B﹣D＝57，由D：E＝1：2，E：EB＝3：5，可以设D＝x， 可得E＝2x，EB¿ 10 x 3 ，进而列出等式解得x 的值，再求的长即可． 解：因为B＝97，D＝40， 所以BD＝B﹣D＝57 因为D：E＝1：2，E：EB＝3：5， 所以设D＝x， 则E＝2x， EB¿ 10 x 3 ， 因为BD＝D+E+EB 所以x+2x+10 x 3 =¿57 解得x＝9 所以＝D+D＝40+9＝49． 答：的长度为49． 总结提升：本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是利用线段之间的关系列出等式． 类型四 整体思想 12．如图，点P 在线段B 的延长线上，点为线段B 的中点．试探究P+PB 与P 之间的数量关系，并说明理 由． 思路引领：设＝B＝x，PB＝y，求出P+PB 的长，然后与P 的长进行比较即可发现它们之间的数量关系． 解：P+PB 与P 之间的数量关系为：P+PB＝2P． 设＝B＝x，PB＝y， 由图中所给信息可得： 则P＝x+y，P＝2x+y， 所以P+PB＝2x+y+y ＝2（x+y）， 所以P+PB＝2P． 总结提升：本题考查线段的和差问题，关键是正确表示出线段的长． 13．（2021 秋•覃塘区期末）如图，点，D 为线段B 的三等分点，点E 为线段的中点，若ED＝12，则线段 B 的长为 ． 思路引领：设E＝x，根据点E 为线段的中点，得＝2E＝2x，再根据点，D 为线段B 的三等分点，得B＝ 3，结合ED＝12，求出x，进而得出线段B 的长． 解：设E＝x， ∵点E 为线段的中点， ∴＝2E＝2x， ∵点，D 为线段B 的三等分点， ∴＝D＝BD＝2x， ∵ED＝E+D，ED＝12， ∴x+2x＝12， 解得x＝4， ∴B＝3＝24， 故答为：24． 总结提升：本题主要考查了两点间的距离，掌握线段三等分点的定义，线段之间的数量转化是解题关键． 14．如图，已知，D 为线段B 上顺次两点，M，分别是，BD 的中点． （1）若B＝24，D＝10，求M 的长． （2）若B＝，D＝b，请用含，b 的式子表示出M 的长． 思路引领：（1）利用M，分别是，BD 的中点，可以得出M¿ 1 2 AB，D¿ 1 2 BD，再利用线段的和差关 系表示即可求出答； （2）和方法（1）一样，利用线段的和差关系表示出关系式即可． 解：（1）∵M，分别是，BD 的中点， ∴M¿ 1 2 AB，D¿ 1 2 BD， ∴M ＝ M+D+D ¿ 1 2 AC+ 1 2 BD+CD=1 2 ( AC+BD)+CD=1 2 ( AB−CD)+CD=1 2 AB+ 1 2 CD=1 2 ( AB+CD)=1 2 (24+10)=¿ 17， 故M 的长是17． 答：M 的长是17． （2）由（1）可知， M¿ 1 2 ( AB+CD)， ∵B＝，D＝b， ∴M¿ 1 2 (a+b)， 答：M 的长是1 2 (a+b)． 总结提升：本题主要考查两点间的距离，熟练掌握中点的定义和线段的和差关系是解题的关键． 类型五 分类讨论思想 15．（聊城期末）已知，B，三点在同一条直线上，若B＝60m，B＝40m，则的长为 ． 思路引领：根据题意，分两种情况讨论： （1）在B 内，则＝B﹣B； （2）在B 外，则＝B+B． 解：（1）在B 内，则＝B﹣B＝20m； （2）在B 外，则＝B+B＝100m． ∴的长为100m 或20m． 总结提升：本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性．灵活运用线段的和、差转化线段之间的 数量关系．在今后解决类似的问题时，要防止漏解． 16．（ 永新县期末）已知线段B＝6，在直线B 上取一点P，恰好使P＝2PB，点Q 为PB 的中点，求线段 Q 的长． 思路引领：根据中点的定义可得PQ＝QB，根据P＝2PB，求出PB¿ 1 3B，然后求出PQ 的长度，即可求 出Q 的长度． 解：如图1 所示，∵P＝2PB，B＝6， ∴PB¿ 1 3B¿ 1 3 ×6＝2，P¿ 2 3B¿ 2 3 ×6＝4； ∵点Q 为PB 的中点， ∴PQ＝QB¿ 1 2PB¿ 1 2 ×2＝1； ∴Q＝P+PQ＝4+1＝5． 如图2 所示，∵P＝2PB，B＝6， ∴B＝BP＝6， ∵点Q 为PB 的中点， ∴BQ＝3， ∴Q＝B+BQ＝6+3＝9． 故Q 的长度为5 或9． 总结提升：本题考查了两点间的距离：两点的连线段的长叫两点间的距离，解题时注意分类思想的运用． 17．如图，已知点，D 为线段B 上顺次两点，M，分别是，BD 的中点．若B＝24，D＝10，求M 的长． 思路引领：根据点M、分别为、BD 的中点，可求出M+D 的值，进而求出M 的值． 解：∵点M、分别为、BD 的中点， ∴M＝M¿ 1 2，B＝D¿ 1 2BD， ∴M+D¿ 1 2（+BD）¿ 1 2（B﹣D）¿ 1 2（24 10 ﹣ ）＝7（m）， ∴M＝M+D+D＝7+10＝17（m）， 即M 的长为17m． 总结提升：本题主要考查两点间的距离，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键． 18．已知：线段B＝10，、D 为直线B 上的两点，且＝6，BD＝8，求线段D 的长． 思路引领：因为、D 的位置不确定，需要分四种情况讨论，分别画出图形，即可求出线段D 的长． 解：分四种情况： ①图1 中，D＝B+BD＝（B﹣）+BD＝4+8＝12； ②图2 中，D＝B﹣D﹣B＝B﹣（B﹣BD）﹣（B﹣）＝10 2 4 ﹣﹣＝4； ③图3 中，D＝+B+BD＝24； ④图4 中，D＝+D＝+（B﹣BD）＝6+2＝8． 综上可得：线段D 的长为12 或4 或24 或8． 总结提升：本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是分类讨论、D 的位置，容易漏解． 类型六 动点问题 19．如图，数轴上、B 所对应的数分别为﹣5、10，为原点，点为数轴上一动点且对应的数为x．点P 以每 秒2 个单位长度，点Q 以每秒3 个单位长度，分别自、B 两点同时出发，在数轴上运动（不改变方向）． 设运动时间为t 秒． （1）若点P、Q 相向而行且P＝Q，求t 的值． （2）若点P、Q 在点处相遇，求出点对应的数x． （3）当PQ＝5 时，求t 的值． （4）若点P、Q 相向，同时一只宠物鼠每秒4 个单位长度从B 点出发，与点P 相向而行，宠物鼠遇到P 后立即返回，又遇到Q 点后立即返回，又遇到P 后立即返回…直到、B 相遇为止，求宠物鼠整个过程中 的行驶路程． 思路引领：（1）根据P＝Q，即路程和＝B，或P 的路程﹣10＝Q 的路程﹣5，列出关于t 的方程求解即 可； （2）求出P 点运动的路程，进一步求解即可； （3）根据PQ＝5，分三种情况列出关于t 的方程求解即可； （4）根据路程＝速度×时间，列式计算即可求解． 解：（1）依题意有 （2+3）t＝10﹣（﹣5）， 解得t＝3； 或3t 10 ﹣ ＝2t 5 ﹣， 解得t＝5． 答：t 的值是3 或5． （2）﹣5+3×2 ＝﹣5+6 ＝1， 或10 [10 ﹣ ﹣（﹣5）]÷（3 2 ﹣）×3 ＝10 15÷1×3 ﹣ ＝﹣35． 故点对应的数是1 或﹣35． （3）依题意有 ①（2+3）t＝10﹣（﹣5）﹣5， 解得t＝2； ②（2+3）t＝10﹣（﹣5）+5， 解得t＝4； 答：t 的值是2 或4． （4）4×3＝12 个单位长度． 答：宠物鼠整个过程中的行驶路程是12 个单位长度． 总结提升：考查了一元一次方程的应用，两点间的距离的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题 目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 20．如图，数轴上、B 所对应的数分别为﹣5，10，为原点，点P 以每秒2 个单位长度，点Q 以每秒3 个单 位长度，分别自、B 两点同时出发，在数轴上运动，设运动时间为t 秒． （1）若点P、Q 相向而行，且P＝Q，求t 的值； （2）若P、Q 相向而行，且PQ＝5，求t 的值； （3）若P、Q 同时向左运动，且PQ＝5，求t 的值． 思路引领：（1）根据P＝Q，即路程和＝B，或P 的路程−10＝Q 的路程−5，列出关于t 的方程求解即 可； （2）由于运动的时间为t 秒，根据P、Q 相向而行，且PQ＝5，列出方程求得t 的值即可； （3）根据P、Q 同时向左运动，且PQ＝5，列出关于t 的方程求解即可． 解：（1）依题意有 （2+3）t＝10−（−5）， 解得t＝3； 或3t−10＝2t−5， 解得t＝5． 答：t 的值是3 或5． （2）依题意有|15 3 ﹣t 2 ﹣t|＝5， 即15 3 ﹣t 2 ﹣t＝5 或15 3 ﹣t 2 ﹣t＝﹣5， 解得t＝2 或4； （3）依题意有|3t 15 2 ﹣ ﹣t|＝5， 3t 15 2 ﹣ ﹣t＝5 或3t 15 2 ﹣ ﹣t＝﹣5， 解得t＝20 或10， 答：t 的值是20 或10． 总结提升：考查了一元一次方程的应用，两点间的距离的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题 目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 21．（2020 秋•西湖区期末）如图，数轴上有，B 两点，在B 的左侧，表示的有理数分别为，b，已知B＝ 12，原点是线段B 上的一点，且＝5B． （1）求，b 的值． （2）若动点P，Q 分别从，B 同时出发，向数轴正方向匀速运动，点P 的速度为每秒2 个单位长度，点 Q 的速度为每秒1 个单位长度，设运动时间为t 秒，当点P 与点Q 重合时，P，Q 两点停止运动，当t 为 何值时，2P﹣Q＝3． （3）在（2）的条件下，若当点P 开始运动时，动点M 从点出发，以每秒3 个单位长度的速度也向数 轴正方向匀速运动，当点M 追上点Q 后立即返回，以同样的速度向点P 运动，遇到点P 后点M 就停止 运动．求点M 停止时，点M 在数轴上所对应的数． 思路引领：（1）由＝5B 可知，将12 平均分成6 份，占5 份为10，B 占一份为2，由图可知，在原点的 左边，B 在原点的右边，从而得出结论； （2）分两种情况：点P 在原点的左侧和右侧时，P 表示的代数式不同，Q＝2+t，分别代入2P﹣Q＝3 列 式即可求出t 的值； （3）设点M 运动的时间为t 秒，分两种情况：点M 追上点Q；点P 与点M 相遇时；列出方程即可解决 问题． 解：（1）∵B＝12，＝5B， ∴＝10，B＝2， ∴点所表示的数为﹣10，B 点所表示的数为2， ∴＝﹣10，b＝2． 故答为：﹣10；2； （2）当0＜t＜5 时，如图1， P＝2t，P＝10 2 ﹣t，BQ＝t，Q＝2+t