重难点突破13 几何最值问题2种题型（将军饮马与蚂蚁爬行,16种模型）（原卷版）

重难点13 几何最值问题2 种题型 （将军饮马与蚂蚁爬行，16 种模型） 目 录 题型01 将军饮马 题型02 蚂蚁爬行 题型01 将军饮马 模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中 隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿 营问如何行走才能使总的路程最短 模型一-模型四的理论依据：两点之间线段最短 模型一（两点在河的异侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿 营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离 方法：如右图，连接B，与线段L 交于点M,在M 处渡河距离最短，最短距离为线段B 的长 【将军饮马之模型一 专项训练】 1．（2021·海南海口·统考一模）如图，在△ABC中，B＝，分别以点、B 为圆心，以适当的长为半径作弧， 两弧分别交于E，F，作直线EF，D 为B 的中点，M 为直线EF 上任意一点．若B＝4，△ABC面积为10， 则BM+MD 长度的最小值为（ ） ．5 2 B．3 ．4 D．5 2．（2023·山东枣庄·校考模拟预测）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E 在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ） ．4 ❑ √3 B．2❑ √3 ．❑ √6 D．❑ √3 3．（2020·山东泰安·中考真题）如图，点，B 的坐标分别为A(2,0),B(0,2)，点为坐标平面内一点， BC=1，点M 为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ） ．❑ √2+1 B． ❑ √2+ 1 2 ．2❑ √2+1 D．2❑ √2−1 2 4．（2022·安徽蚌埠·统考一模）如图，Rt △ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=6，P 是△ABC内部的 一个动点，满足∠PAB=∠PBC，则线段P 长的最小值为（ ） ．32 5 B．2 ．2❑ √13−6 D．2❑ √13−4 5．（2020·广东深圳·南山实验育集团南海中学校考一模）如图，AC ,BD在AB的同侧， AC=2,BD=8, AB=8，点M为AB的中点，若∠CMD=120 ∘，则CD的最大值是 ． 模型二（两点在河的同侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B 点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离 方法：如右图，作点B 关于直线L 的对称点B’，连接B’,与直线L 的交点即为所求的渡河点，最短距离为 线段B’的长 【将军饮马之模型二 专项训练】 1．（2022·湖南湘潭·校考模拟预测）如图，菱形草地ABCD中，沿对角线修建60 米和80 米两条道路 ( AC<BD )，M、分别是草地边BC、CD的中点，在线段BD 上有一个流动饮水点P，若要使PM +PN的 距离最短，则最短距离是 米． 2（2021 下·河南省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，在直角坐标系中，点（2，2），（4，4）是第一 象限角平分线上的两点，点B 的纵坐标为2，且B＝B，在y 轴上取一点D，连接B，B，D，D，使得四边 形BD 的周长最小，则这个周长的最小值为 ． 3．（2022 下·广东湛江·八年级统考期末）如图，正方形BD 的边长为4，点M 在D 上，且DM=1，是上一 动点，则D+M 的最小值为（ ） ．4 B．4 ❑ √2 ．2❑ √5 D．5 4．（2022·湖北黄石·统考中考真题）如图，等边△ABC中，AB=10，点E 为高AD上的一动点，以BE 为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF=¿ ，FB+FD的最小值为 ． 5．（2022 上·福建莆田·八年级莆田二中校考期末）如图，在Rt △ABC中，∠ACB=90°，AC=BC， 点C在直线MN上，∠BCN=30°，点P为MN上一动点，连接AP，BP．当AP+BP的值最小时， ∠CBP的度数为 度． 6．（2020·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y=a x 2+bx+c与x轴交于A (1,0)、B (4,0)，与y轴交于点 C (0,3)，点D为OC的中点，点E、F分别为x轴正半轴和抛物线对称轴上的动点，连接DE、EF、CF， 求四边形CDEF周长最小时点E、F的坐标． 7．（2015·贵州贵阳·统考中考真题）如图，在矩形纸片BD 中，B=4，D=12，将矩形纸片折叠，使点落在 D 边上的点M 处，折痕为PE，此时PD=3． （1）求MP 的值； （2）在B 边上有一个动点F，且不与点，B 重合．当F 等于多少时，△MEF 的周长最小？ （3）若点G，Q 是B 边上的两个动点，且不与点，B 重合，GQ=2．当四边形MEQG 的周长最小时，求最 小周长值．（计算结果保留根号） 8．（2022·山东烟台·统考一模）问题提出：在一平直河岸l 同侧有，B 两个村庄，，B 到l 的距离分别是 4km和3km，AB=a km(a>1)，现计划在河岸l 上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．如何铺设 使得管道长度较短？ 方设计：某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方：图1 是方一的示意图，设该方中管道长度为d1，且 d1=PB+BA(km)（其中BP⊥l于点P）；图2 是方二的示意咨图，设该方中管道长度为d2，且 d2=PA+PB(km)（其中点A '与点关于l 对称，A ' B与l 交于点P）． (1)在方一中，d1=¿______km（用含的式子表示）； (2)在方二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图3 所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2=¿_ ______km（用含的式子表示）． (3)①当a=4时，比较大小：d1_______d2（填“＞”、“＝”或“＜”）； ②当a=7时，比较大小：d1______d2（填“＞”、“＝”或“＜”）； (4)请你参考方框中的方法指导，就（当a>1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应 选择方还是方二？ 方法指导 当不易直接比较两个正数m 与的大小时，可以对它们的平方进行比较： ∵m 2−n 2=(m+n)(m−n) ，m+n>0， ∴(m 2−n 2) 与(m−n)的符号相同． 当m 2−n 2>0时，m−n>0，即m>n； 当m 2−n 2=0时，m−n=0，即m=n； 当m 2−n 2<0时，m−n<0，即m<n； 模型三：如图，将军同部队行驶至P 处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河B、B 的交汇处，为防 止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P 处向将军汇报情况，问侦察兵在B、B 何处侦查才能 最快完成任务并求最短距离 数学描述：如图在直线B、B 上分别找点M、，使得∆PM 周长最小 方法：如右图，分别作点P 关于直线B、B 的对称点P’、P’’，连接P’ P’’，与两直线的交点即为所求点 M、，最短距离为线段P’ P’’的长 【将军饮马之模型三 专项训练】 1．（2020·全国·九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，CD 上的点，连接AE，AF，EF． （1）如图①，AB=AD，∠BAD=120°，∠EAF=60°．求证：EF=BE+DF； （2）如图②，∠BAD=120°，当△AEF周长最小时，求∠AEF+∠AFE的度数； （3）如图③，若四边形ABCD为正方形，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，若BE=3， DF=2，请求出线段EF的长度． 2．（2019 下·河南南阳·七年级统考期末）（1）【问题解决】已知点P在∠AOB内，过点P分别作关于 OA、OB的对称点P1、P2 ①如图1，若∠AOB=25 ∘，请直接写出∠P1O P2=¿______； ②如图2，连接P1 P2分别交OA、OB于C、D，若∠CPD=98 ∘，求∠AOB的度数； ③在②的条件下，若∠CPD=α度（90<α<180），请直接写出∠AOB=¿______度（用含α的代数式 表示） （2）【拓展延伸】利用“有一个角是60 ∘的等腰三角形是等边三角形”这个结论，解答问题：如图3，在 ΔABC中，∠BAC=30 ∘，点P是ΔABC内部一定点，AP=8，点E、F分别在边AB、AC上，请你在图 3 中画出使ΔPEF周长最小的点E、F的位置（不写画法），并直接写出ΔPEF周长的最小值 3．（2021 上·江苏南京·九年级校联考期中）如图，在四边形BD 中，∠BD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在B、D 上分别取一点M、，使△M 的周长最小，则∠M＝ °． 模型四 如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位 置点Q 处查看再返回P 处向将军汇报情况，问侦察在B、B 何处侦查才能最快完成任务并求最短距离 数学描述：如图在直线B、B 上分别找点M、，使得四边形PQM 周长最小 方法：如右图，分别作点P、点Q 关于直线B、B 的对称点P’、Q’，连接P’ Q’，与两直线的交点即为所求 点M、，最短距离为线段(PQ+P’Q’)的长 【将军饮马之模型四 专项训练】 1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点（，3）、B（b，1）都在双曲线y= 3 x 上，点、D 分别是x，y 轴上的动点，则四边形BD 的周长最小值为 ． 2．（2023 下·陕西西安·七年级高新一中校考阶段练习）如图，正方形ABCD中，点G是BC边上一定点， 点E、F、H分别是边AD、AB、CD上的动点，若CG= 1 4 BC=1，则四边形EFGH的周长最小时 GF=¿ ． 3．（2023 上·黑龙江大庆·九年级校考期中）如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴， OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点 D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处． (1)直接写出点E、F的坐标； (2)连接EF交BD于点G，求△BGE的面积． (3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值 和直线MN的函数解析式；如果不存在，请说明理由． 4（2019·天津西青·校联考一模）如图①，将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点A的坐标是 (3,0)，点C的坐标是(0,2)，点O的坐标是(0,0)，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻 折，使点A落在BC边上的点F处． （1）求点E、F的坐标； （2）如图②，若点P是线段DA上的一个动点（点P不与点D，A重合），过点P作PH ⊥DB于点H，设 OP的长为x，△DPH的面积为S，请求出S关于x的关系式； （3）如图③，在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？若存在，请求出四 边形MNFE周长的最小值及此时点M、N的坐标；若不存在，请说明理由 模型五、模型六的理论依据：垂线段最短 模型五：已知点P 在直线B、B 的外侧，在直线B 和B 上分别取一点M、，求PM+P 的最小值 方法：如右图，过点P 作P B ⊥，垂足为点，P 与B 相交于点M，与两直线的交点即为所求点M、，最短距 离为线段P 的长 模型六：已知点P 在直线B、B 的内侧，在直线B 和B 上分别取一点M、，求PM+P 的最小值 方法：如右图，作点P 关于直线B 的对称点P’，过点P’作P’ B ⊥，垂足为点，P’与B 相交于点M，与两直 线的交点即为所求点M、，最短距离为线段P’的长 【将军饮马之模型五与模型六 专项训练】 1．（2015·山东泰安·统考二模）如图，在Rt △ABC中，∠ACB=90° ,AC=6,BC=8，D 平分∠CAB 交B 于D 点，E、F 分别是D、上的动点，则CE+EF的最小值为 ． 18．（2022·湖南娄底·统考一模）已知在Rt △ABC中，∠C=90°，∠ABC=75°，AB=5．点E为边 AC上的动点，点F 为边AB上的动点，则线段FE+EB的最小值是 ． 2．（2020·新疆乌鲁木齐·校考一模）如图，在矩形BD 中，BC=10，∠ABD=30°，若点M、分别是线 段DB、B 上的两个动点，则AM +MN的最小值为 ． 3．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，直线y= 4 3 x+4交两坐标轴于A ，B两点， 点P为直线AB上一点，则线段OP的最小值是 ． 4．（2023·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐八一中学校考一模）菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，点P、Q 分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为 ． 5．（2022 下·四川德阳·八年级四川省德阳市第二中学校校考阶段练习）如图，点M 是菱形BD 的边B 的中 点，P 为对角线BD 上的动点，若B＝2，∠＝120°，则PM＋P 的最小值为（ ） ．2 B．❑ √3 ．❑ √2 D．1 6．（2021 上·河南南阳·八年级南阳市第十三中学校校考阶段练习）如图所示，在△ABC中，AB=AC， 直线EF 是B 的垂直平分线，D 是B 的中点，M 是EF 上一个动点，△ABC的面积为12，BC=4，则 △BDM周长的最小值是 ． 模型七、模型八的理论依据：在三角形中两边之差小于第三边 模型七（两点在同侧）：在直线L 上求一点P，求|P-PB|的最大值 方法：如右图，延长射线B，与直线L 交于点P，|P-PB|最大值为B 模型八（两点在异侧）：在直线L 上求一点P,求|P-PB|的最大值 方法：如右图，作点B 关于直线L 的对称点B’， 延长射线B’，与直线L 交于点P，|P-PB|最大值为B’ 【将军饮马之模型七与模型八 专项训练】 1．（2020 上·贵州黔东南·八年级统考期末）如图，在△B 中，B=3， =4， B=5， EF 是B 的垂直平分线． 点P 是EF 上的动点，则|P-PB|的最大值为 29．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，对角线AC 、BD交于点 O，BD=8，点E为OD的中点，点F为AB上一点，且AF=3 BF，点P为AC上一动点，连接PE 、PF， 则|PF−PE|的最大值为 ． 2．（2023·山东菏泽·统考二模）如图，直线y1=kx+2与反比例函数y2=3 x 的图象交于点A (m,3)，与坐标 轴分别交于B，两点． (1)若y1> y2>0，求自变量x 的取值范围； (2)动点P (n,0)在x 轴上运动．当为何值时，|PA−PC|的值最大？并求最大值． 3．（2023·贵州遵义·统考一模）如图，二次函数y=a x 2−2ax+c的图象与x轴交于、B (3,0)两点，与y轴 相交于点C (0,−3)． (1)求二次函数的解析式； (2)若点P是对称轴上一动点，当|PB−PC|有最大值时，求点P的坐标． 4．（2020·广东东莞·东莞市长安培英初级中学校考二模）如图，点（－2，），B（1，－2）是一次函数y ＝kx＋b 的图象和反比例函数y＝m x 的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出，当kx＋b<m x 时，x 的取值范围； （3）若是x 轴上一动点，设t＝B－，求t 的最大值，并求出此时点的坐标． 5．（2016·广东揭阳·统考二模）如图，抛物线y=x 2+bx+c过点A (3,0),B (1,0)，交y轴于点C，点P是该 抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合)，过点P作PD∥y轴交直线AC于点 D． (1)求抛物线的解析式； (2)求点P在运动过程中线段PD长度的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点M使|MA−MC|最大?若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请 说明理由． 6．（2021 上·四川自贡·八年级四川省荣县中学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的 三个顶点的坐标分别为A(2,3),B(3,1),C(−2,−2)． （1）请在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△≝¿(A ,B,C的对称点分别是D , E , F)，并直接写出 D , E , F的坐标； （2）求△ABC的面积． （3）在x 轴上找一点P，使｜P－PB｜最大．(在图中标出点P，保留作图痕迹)． 模型九 在直线L 上求一点P，求|P-PB|的最小值 方法：如右图，作线段B 的垂直平分线与直线L 相交于点P，|P-PB|最小值为0 模型九的理论依据：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等 【将军饮马之模型九 专项训练】 1．（2023·广东广州·统考二模）如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，DC=5 BD＝5，且 △ADC的面积为10，则△ABC的周长的最小值是（ ） ．10 B．12 ．14 D．16 2．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，腰AC的垂直平分线EF分 别交边AC、AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，若三角形CDM的周长的最小 值为13，则等腰三角形ABC的面积为（ ） ．78 B．39 ．42 D．30 3．（2022·安徽六安·校考模拟预测）某数学探究小组探究一个动点问题，如图，在△ABC中，P 为边AC 上一个动点，点D 在边AB上，已知AD BD =1 5 ，∠C=90°，∠A=30°， 请完成下列探究： （1）当PD=AD时，PA AC 的值为 ； （2）连接PB，若AB=12，则△PBD周长的最小值为 ． 4．（2023·陕西渭南·统考二模）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BC边上的高AD为4，则△ABC周 长的最小值为 ． 模型十：如图，一条宽度相同的河流两侧有、B 两个营地，将军令下属在河流间搭建一座垂直于河岸的桥 梁M，使得M+M+B 之和最短，在何处搭建桥梁才能完成任务呢？ 方法：如右图，将点向下平移M 的单位长度得到点’，连接’B，交于点，过点作M m ⊥，垂足为点M， 点M 和点即为所求，最短距离为’B+M 模型十一：线段M 在直线L 上可移动，且M=，当M 移动到什么位置时，求M+M+B 最小值 方法：如右图，将点向右平移个单位长度得点’，作B 关于直线L 的对称点B’，连接’B’，交直线L 于点， 将点向左平移个单位长度得点M，点M 和点即为所求，最短距离为’B’+M 模型十、十一的理论依据：平行四边形的性质+两点之间线段最短 【将军饮马之模型十与模型十一 专项训练】 1．（2