专题24 最值模型之将军饮马模型（原卷版）

专题24 最值模型之将军饮马模型 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此 却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。将军饮马问题从本质上来看是由轴 对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中 高档题为主，本专题就将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 在解决将军饮马模型主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法有：利用轴对 称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。 模型1 求两条线段和的最小值（将军饮马模型） 【模型解读】在一条直线m 上，求一点P，使P+PB 最小； （1）点、B 在直线m 两侧： （2）点、B 在直线同侧： m A B P m A B m A B P m A B A' 【最值原理】两点之间线段最短。 上图中’是关于直线m 的对称点。 例1．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图， 是边长为的等边三角形，点 为高 上的动 点．连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ．连接 ， ， ，则 周长的最小值是 ． 例2．（2023·广东广州·校考一模）如图，在 中， 的面积为 ， ， 平分 ，E、F 分别为 、 上的动点，则 的最小值是（ ） ． B． ．2 D． 例3．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，正方形 的边长为4，点E 在边 上，且 ，F 为 对角线 上一动点，连接 ， ，则 的最小值为 ． 例4．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形 ，点 、 、 、 均在坐标轴上， ，点 ，点 是 的中点，点 是 上的一动点，则 的最小值是（ ） ．3 B．5 ． D． 例5．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形 是矩形， ， ，点P 是边 上一点（不与点，D 重合），连接 ．点M，分别是 的中点，连接 ， ， ， 点E 在边 上， ，则 的最小值是（ ） ． B．3 ． D． 例6．（2023·山东济宁·九年级校考期末）如图， 是 的直径，点、D 是 上的点．且 ， 分别与 、 相交于点E，F．若 的半径为5， ，点P 是线段 上任意一点，则 的最小值是 ． 例7．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，点E 是线段 上的一个动点， ，且 ，则 的最小值是___． 例8．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线 经过 两点，并交x 轴于 另一点B，点M 是抛物线的顶点，直线M 与轴交于点D． (1)求该抛物线的表达式；(2)若点是x 轴上一动点，分别连接M，D，求 的最小值； 模型2 求多条线段和（周长）最小值 【模型解读】在直线m、上分别找两点P、Q，使P+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： n m A B Q P n m A B P' Q' n m A B Q P n m A B B' （3）两个点都在内侧： n m A B Q P n m A B B' A' （4）台球两次碰壁模型 1）已知点、B 位于直线m, 的内侧，在直线、m 分别上求点D、E 点，使得围成的四边形DEB 周长最短 2）已知点位于直线m, 的内侧, 在直线m、分别上求点P、Q 点P+PQ+Q 周长最短 m n A B E D m n A B A' B' m n A P Q m n A A" A' 【最值原理】两点之间线段最短。 例1．（2023·陕西西安·九年级校考阶段练习）【问题提出】 (1)如图1， ，在 内部有一点P，M、分别是 、 上的动点，分别作点P 关于边 、 的对称点 ， ，连接 ， 与 、 相交于M、，则此时 的周长最小，且顺次连接， ， 后 的形状是等腰直角三角形．理由如下： ∵点P 关于边 、 的对称点分别为 ， ， ∴ ， ， ， ， ∴ 即 周长的的最小值为 ∵ ，∴ ∴ 是等腰直角三角形． 学以致用：若 ，在 内部有一点P，分别作点P 关于边 、 的对称点 ， ，顺次连 接， ， ，则 的形状是__________三角形． (2)【问题探究】如图2，在 中， ， ，点D 是 的中点，若 ，请用含 有的代数式表示 的面积．(3)【问题解决】如图3，在四边形 内有一点P，点P 到顶点B 的距 离为10， ，点M、分别是 、 边上的动点，顺次连接P、M、，使 在周长最小的 情况下，面积最大，问：是否存在使 在周长最小的条件下，面积最大这种情况？若存在，请求出 的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 例2．（2023 下·四川达州·八年级校考期末）如图， ，点M、分别在射线 上， ， 的面积为12，P 是直线 上的动点，点P 关于 对称的点为 ，点P 关于 对称的点为 ，当点P 在直线 上运动时， 的面积最小值为 ． 例3．（2022·山东泰安·中考真题）如图， ，点M、分别在边 上，且 ， 点P、Q 分别在边 上，则 的最小值是（ ） ． B． ． D． 例4．（2023 春·湖北黄石·八年级统考期中）如图，在矩形 中， ， ， 、 分别是 和 上的两个动点， 为 的中点，则 （1） 的最小值是________；（2）若 ，则 的最小值为________． 模型3 求两条线段差最大值 【模型解读】在一条直线m 上，求一点P，使P 与PB 的差最大； （1）点、B 在直线m 同侧： m B A m B A P' P 延长B 交直线m 于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’-P’B＜B，而P-PB=B 此时最大， 因此点P 为所求的点。 （2）点、B 在直线m 异侧： m A B m A B B' P P' 过B 作关于直线m 的对称点B’,连接B’交点直线m 于P,此时PB=PB’，P-PB 最大值为B’ 【最值原理】三角形两边之差小于第三边。 例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形 中， ，对角线 交于点 ， ，点 为 的中点，点 为 上一点，且 ，点 为 上一动点，连接 ，则 的最大值为________． 例2．（2023 春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形 中， ，为对角线 的中 点，点P 在 边上，且 ，点Q 在 边上，连接 与 ，则 的最大值为____________， 的最小值为__________． 例3．（2022·河南南阳·一模）如图，已知△B 为等腰直角三角形，＝B＝6，∠BD＝15°，P 为直线D 上的动 点，则|P－PB|的最大值为____． 例4．（2022·湖北·武汉八年级期末）如图， ， 为 上一动点， ，过 作 交直线 于 ，过 作 交直线 于点 ，若 ，当 的值最大时， 则 ________ ． 课后专项训练 1．（2022·四川资阳·中考真题）如图，正方形 的对角线交于点，点E 是直线 上一动点．若 ，则 的最小值是( ) ． B． ． D． 2．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在菱形BD 中， ，M 是对角线BD 上的一个 动点， ，则 的最小值为（ ） ．1 B． ． D．2 3．（2023·安徽·统考中考真题）如图， 是线段 上一点， 和 是位于直线 同侧的两个等 边三角形，点 分别是 的中点．若 ，则下列结论错误的是（ ） ． 的最小值为 B． 的最小值为 ． 周长的最小值为6 D．四边形 面积的最小值为 4．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，点 是正方形 内部一个动点，且 ， ，则 的最小值为（ ） ． B． ． D． 5．（2023 春·福建厦门·八年级校联考期中）如图，在▱BD 中，B＝2，B＝4，∠D＝60°，点P、Q 分别是和 B 上的动点，在点P 和点Q 运动的过程中，PB+PQ 的最小值为（ ） ．4 B．3 ．2 D．4 6．（2023·安徽合肥·二模）如图，在矩形BD 中，点E、F、G、分别是边B、B、D、D 上的动点(不与端点 重合)，若四点运动过程中满足E=G、BF=D，且B=10、B=5，则四边形EFG 周长的最小值等于（ ） ．10 B．10 ．5 D．5 7．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形 边长为3，点E 在 边上且 ，点P，Q 分别是 边 ， 的动点（均不与顶点重合），当四边形 的周长取最小值时，四边形 的面积是 （ ） ． B． ． D． 8．（2022·江苏·九年级月考）如图，点 ， 在直线 的同侧， 到 的距离 ， 到 的距 离 ，已知 ， 是直线 上的一个动点，记 的最小值为 ， 的最大值为 ， 则 的值为（ ） ．160 B．150 ．140 D．130 9．（2023 上·山东菏泽·八年级统考期中）如图， 中， ， ， ， 是 的垂直平分线，分别交 ， 于点E，F，点D 是 边的中点，点M 是线段 上一动点，则 的最小值为（ ） ．6 B．7 ．8 D．9 10．（2023 上·江苏连云港·九年级校联考阶段练习）如图， 是 的直径， ，点 在 上， ， 为 的中点， 是直径 上一动点，则 的最小值是 ． 11．（2023 下·四川达州·八年级校考期末）如图， ， 在 的同侧， ， ， ， 点 为 的中点，若 ，则 的最大值是 ． 12．（2023 上·山东德州·八年级校考期中）如图，在 中， ， ， ， 是 的平分线．若P，Q 分别是 和 上的动点，则 的最小值是 ． 13．（2022·重庆大渡口·九年级期中）如图， ，∠B＝90°，B＝＝4，平面内直线B 的左侧有一点 P，连接BP，P， ，将 沿B 翻折至同一平面得到 ，连接 ．若 取得最大 值时，则 ______． 14．（2023 秋·江苏盐城·九年级统考期末） 中， ， ，点P 为高 上的一个 动点，连接 ，将射线 绕点顺时针旋转 ，交过点P 与 垂直的直线于点Q，连接 ，则 周长的最小值是______． 15．（2023·山东日照·校考二模）如图，在边长为1 的正方形 中，E 为 边上一动点（点E，B 不 重合），以 为直角边在直线 上方作等腰直角三角形 ， ，连接 ，则在点E 的运动 过程中， 周长的最小值是______． 16．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，己知长方体 ， 是 棱 上任意一点， 是侧面对角线 上一点，则 的最小值是________． 17．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点 为矩形 的对角线 上一动点，点 为 的中点，连 接 ， ，若 ， ，则 的最小值为________． 18．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，菱形BD 中，对角线，BD 相交于点， ， ，是 的平分线， 于点E，点P 是直线B 上的一个动点，则 的最小值是________． 19．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2 的正方形BD 中，点E 为D 的中点，将△DE 沿E 翻折 得△ME，点M 落在四边形BE 内．点为线段E 上的动点，过点作P//EM 交M 于点P，则M+P 的最小值为_ _______． 20．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在矩形BD 中， ，E，F 分别是D，B 的中点， 的平分线交B 于点G，点P 是线段DG 上的一个动点，则 的周长最小值为__________． 21．（2023·江西南昌·九年级校联考阶段练习）如图，已知点 ， ， 在抛物线 上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线 上方的抛物线上求一点 ，使 的面积为 ； （3）若点 是抛物线对称轴上一动点，当 的值最大时，求 点的坐标； 22．（2023·广东深圳·九年级校考开学考试）已知，如图，函数y＝ ， 的图象交于点、B． (1)直接写出、B 两点的坐标： ，B ；(2)观察图象，直接写出不等式 的解集： ； (3)点P 是坐标轴上的动点，当 取得最小值时，求点P 的坐标． 23．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，四边形 为平行四边形，延长 到点 ，使 ， 且 ．(1)求证：四边形 为菱形；(2)若 是边长为2 的等边三角形，点 、 、 分别 在线段 、 、 上运动，求 的最小值． 24．（2022·海南·中考真题）如图1，矩形 中， ，点P 在边 上，且不与点B、重合， 直线 与 的延长线交于点E． (1)当点P 是 的中点时，求证： ； (2)将 沿直线 折叠得到 ，点 落在矩形 的内部，延长 交直线 于点F． ①证明 ，并求出在（1）条件下 的值；②连接 ，求 周长的最小值；③如图2， 交 于点，点G 是 的中点，当 时，请判断 与 的数量关系，并说明理由． 25．（2023 上·广西桂林·八年级校联考期中）数学模型学习与应用： 白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣 模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把 直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1 所示：在直线l 上存在点P，使 的值最小． 作法：作点关于直线l 的对称点 ，连接 ， 与直线l 的交点即为点P．此时 的值最小． 模型应用：（1）如图2，已知 为等边三角形，高 ， 为 上一动点，D 为 的中点． ①当 的最小值时，在图中确定点P 的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）． ②则 的最小值为 ． 模型变式：（2）如图3 所示，某地有块三角形空地 ，已知 ， 是 内一点，连接 后测得 米，现当地政府欲在三角形空地 中修一个三角形花坛 ，点 ， 分别是 ， 边上的任意一点（不与各边顶点重合），求 周长的最小值．