重难点突破13 几何最值问题2种题型（将军饮马与蚂蚁爬行,16种模型）（解析版）

重难点13 几何最值问题2 种题型 （将军饮马与蚂蚁爬行，16 种模型） 目 录 题型01 将军饮马 题型02 蚂蚁爬行 题型01 将军饮马 模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中 隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿 营问如何行走才能使总的路程最短 模型一-模型四的理论依据：两点之间线段最短 模型一（两点在河的异侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿 营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离 方法：如右图，连接B，与线段L 交于点M,在M 处渡河距离最短，最短距离为线段B 的长 【将军饮马之模型一 专项训练】 1．（2021·海南海口·统考一模）如图，在△ABC中，B＝，分别以点、B 为圆心，以适当的长为半径作弧， 两弧分别交于E，F，作直线EF，D 为B 的中点，M 为直线EF 上任意一点．若B＝4，△ABC面积为10， 则BM+MD 长度的最小值为（ ） ．5 2 B．3 ．4 D．5 【答】D 【分析】由基本作图得到得EF 垂直平分B，则MB＝M，所以BM+MD＝M+MD，连接M、D，如图，利用 两点之间线段最短可判断M+MD 的最小值为D，再利用等腰三角形的性质得到D⊥B，然后利用三角形面 积公式计算出D 即可． 【详解】解：由作法得EF 垂直平分B， ∴MB＝M， ∴BM+MD＝M+MD， 连接M、D，如图， ∵M+MD≥D（当且仅当M 点在D 上时取等号）， ∴M+MD 的最小值为D， ∵B＝，D 点为B 的中点， ∴D⊥B， ∵S△ABC=1 2 BC · AD=10, ∴AD=10×2 4 =5, ∴BM+MD 长度的最小值为5． 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之 间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 2．（2023·山东枣庄·校考模拟预测）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E 在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ） ．4 ❑ √3 B．2❑ √3 ．❑ √6 D．❑ √3 【答】B 【分析】连接BD，PB，根据点B 与D 关于AC对称，得出PD=PB，从而得出PD+PE=PB+PE≥BE， 即PD+PE最小值为值为BE的长，求出BE的长即可． 【详解】解：连接BD，PB，如图所示： ∵四边形ABCD为正方形， ∴点B 与D 关于AC对称， ∴PD=PB， ∴PD+PE=PB+PE≥BE， ∴PD+PE最小值为BE的长， ∵正方形ABCD的面积为12， ∴AB=❑ √12=2❑ √3， 又∵△ABE是等边三角形， ∴BE=AB=2❑ √3， ∴PD+PE最小值为2❑ √3，故B 正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，等边三角形的性质，解题的关键是根据轴对称的 性质得出BE的长为PD+PE的最小值． 3．（2020·山东泰安·中考真题）如图，点，B 的坐标分别为A(2,0),B(0,2)，点为坐标平面内一点， BC=1，点M 为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ） ．❑ √2+1 B． ❑ √2+ 1 2 ．2❑ √2+1 D．2❑ √2−1 2 【答】B 【分析】如图所示，取B 的中点，连接，M，根据三角形的三边关系可知M＜+M，则当与M 共线时，M= +M 最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答． 【详解】解：如图所示，取B 的中点，连接，M，三角形的三边关系可知M＜+M，则当与M 共线时，M= +M 最大， ∵A(2,0),B(0,2)， 则△B 为等腰直角三角形， B= ∴ ❑ √O A 2+O B 2=2❑ √2，为B 的中点， = ∴1 2 AB=❑ √2， 又∵M 为的中点， M ∴ 为△B 的中位线，B=1， 则M=1 2 BC=1 2， M=+M= ∴ ❑ √2+ 1 2， M ∴ 的最大值为 ❑ √2+ 1 2 故答选：B． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当与M 共线时， M= +M 最大． 4．（2022·安徽蚌埠·统考一模）如图，Rt △ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=6，P 是△ABC内部的 一个动点，满足∠PAB=∠PBC，则线段P 长的最小值为（ ） ．32 5 B．2 ．2❑ √13−6 D．2❑ √13−4 【答】D 【分析】结合题意推导得∠APB=90°，取B 的中点，以点为圆心，AB为直径作圆，连接P；根据直角 三角形斜边中线的性质，得OP=OA=OB=1 2 AB=4；根据圆的对称性，得点P 在以B 为直径的⊙O上， 根据两点之间直线段最短的性质，得当点、点P、点三点共线时，P 最小；根据勾股定理的性质计算得OC， 通过线段和差计算即可得到答． 【详解】∵∠ABC=90°， ∴∠ABP+∠PBC=90°， ∵∠PAB=∠PBC， ∴∠BAP+∠ABP=90°， ∴∠APB=90°， 取B 的中点，以点为圆心，AB为直径作圆，连接P， ∴OP=OA=OB=1 2 AB=4 ∴点P 在以B 为直径的⊙O上，连接交⊙O于点P， 当点、点P、点三点共线时，P 最小 在Rt △BCO中， ∵∠OBC=90°，BC=6，OB=4， ∴OC= ❑ √BO 2+BC 2= ❑ √4 2+6 2=2❑ √13， ∴PC=OC−OP=2❑ √13−4 ∴PC最小值为2❑ √13−4 故选：D． 【点睛】本题考查了两点之间直线段最短、圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟 练掌握圆的对称性、两点之间直线段最短、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解． 5．（2020·广东深圳·南山实验育集团南海中学校考一模）如图，AC ,BD在AB的同侧， AC=2,BD=8, AB=8，点M为AB的中点，若∠CMD=120 ∘，则CD的最大值是 ． 【答】14 【分析】如图，作点关于M 的对称点′，点B 关于DM 的对称点B′，证明△′MB′为等边三角形，即可解决问 题． 【详解】解：如图，作点A关于CM的对称点A '，点B关于DM的对称点B'． ∵∠CMD=120 ∘， ∴∠AMC+∠DMB=60 ∘， ∴ ∠CMA '+∠DMB'=60 ∘， ∴∠A ' MB'=60 ∘， ∵MA '=MB'， ∴ΔA ' MB'为等边三角形 ∵CD≤CA '+ A ' B'+B' D=CA+ AM +BD=14， ∴CD的最大值为14， 故答为14． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学 会利用两点之间线段最短解决最值问题 模型二（两点在河的同侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B 点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离 方法：如右图，作点B 关于直线L 的对称点B’，连接B’,与直线L 的交点即为所求的渡河点，最短距离为 线段B’的长 【将军饮马之模型二 专项训练】 1．（2022·湖南湘潭·校考模拟预测）如图，菱形草地ABCD中，沿对角线修建60 米和80 米两条道路 ( AC<BD )，M、分别是草地边BC、CD的中点，在线段BD 上有一个流动饮水点P，若要使PM +PN的 距离最短，则最短距离是 米． 【答】50 【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P '，连接M P '，当P点与P '重合时， MP+NP=M P '+N P '=NQ的值最小，根据菱形的性质和勾股定理求出BC长，即可得出答． 【详解】解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P '，连接M P '， 当P点与P '重合时，MP+NP=M P '+N P '=NQ的值最小， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC ⊥BD，∠QBP=∠MBP， 即Q在AB上， ∵MQ⊥BD， ∴AC ∥MQ， ∴M为BC中点， ∴Q为AB中点， ∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形， ∴BQ∥CD，BQ=CN， ∴四边形BQNC是平行四边形， ∴NQ=BC， 设AC与BD的交点为点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC ⊥BD，OC=1 2 AC=30米，OB=1 2 BD=40米， ∴BC= ❑ √O B 2+OC 2=50米， ∴PM +PN的最小值是50 米． 故答为：50． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用， 解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置． 2（2021 下·河南省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，在直角坐标系中，点（2，2），（4，4）是第一 象限角平分线上的两点，点B 的纵坐标为2，且B＝B，在y 轴上取一点D，连接B，B，D，D，使得四边 形BD 的周长最小，则这个周长的最小值为 ． 【答】4+2❑ √10 【分析】根据点的坐标和平行线的性质得到∠B=45°，从而得到∠B=90°，得出=B=2，作关于y 轴的对称点′， 连接′交y 轴于D′，则此时，四边形BD′的周长最小，这个最小周长的值=B+B+′，过根据勾股定理即可得到 结论． 【详解】解：∵点（2，2），点B 的纵坐标为2， ∴B∥x 轴， ∵是第一象限的角平分线 ∴∠B=45°， = ∵B， ∴∠B=∠B=45°， ∴∠B=90°， ∵（4，4） ∴B（4，2）， ∴B=B=2， 作（4，4）关于y 轴的对称点′（-4，4）， 连接′交y 轴于D′， 则此时，四边形BD′的周长最小，且D= ′D， 则这个最小周长的值=B+B+′， ′ ∵（-4，4），（2，2） ∴A C '= ❑ √6 2+2 2=2❑ √10， ∴四边形BD 的最小周长值= AB+BC+ A C '=4+2❑ √10， 故答为：4+2❑ √10 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用轴对称 解决最短问题． 3．（2022 下·广东湛江·八年级统考期末）如图，正方形BD 的边长为4，点M 在D 上，且DM=1，是上一 动点，则D+M 的最小值为（ ） ．4 B．4 ❑ √2 ．2❑ √5 D．5 【答】D 【分析】由正方形的对称性可知点B 与D 关于直线对称，连接BM 交于′，′即为所求在Rt△BM 中利用勾股 定理即可求出BM 的长即可． 【详解】∵四边形BD 是正方形， ∴点B 与D 关于直线对称， ∴D=B， 连接BD，BM 交于′，连接D′， ∴当B、、M 共线时，D+M 有最小值，则BM 的长即为D+M 的最小值， ∴是线段BD 的垂直平分线， 又∵D=4，DM=1 ∴M=D-DM=4-1=3， 在Rt△BM 中，BM=❑ √C M 2+BC 2= ❑ √3 2+4 2=5 故D+M 的最小值是5． 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D 关于直线的对称点，由轴对称及 正方形的性质判断出D 的对称点是点B 是解答此题的关键． 4．（2022·湖北黄石·统考中考真题）如图，等边△ABC中，AB=10，点E 为高AD上的一动点，以BE 为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF=¿ ，FB+FD的最小值为 ． 【答】 30°/30 度 5 ❑ √3 【分析】①△ABC与△BEF为等边三角形，得到BA=BC，BE=BF，∠ABE=∠CBF，从而证 △BAE≌△BCF(SAS)，最后得到答． ②过点D 作定直线F 的对称点G，连G，证出△DCG为等边三角形，CF为DG的中垂线，得到FD=FG， FB+FD=FB+FG≥BG，再证△BCG为直角三角形，利用勾股定理求出BG=5 ❑ √3，即可得到答． 【详解】解：①∵△ABC为等边三角形， ∴BA=BC，AD⊥BC， ∴∠BAE=1 2 ∠BAC=30°， ∵△BEF是等边三角形， ∵∠EBF=∠ABC=60°，BE=BF， ∴∠ABE=∠A BC−∠EBC=60°−∠EBC， ∠CBF=∠EBF−∠EBC=60°−∠EBC， ∴∠ABE=∠CBF， 在△BAE和△BCF中 ¿ ∴△BAE≌△BCF(SAS)， 得∠BAE=∠BCF=30°； 故答为：30°． ②（将军饮马问题） 过点D 作定直线F 的对称点G，连G， ∴△DCG为等边三角形，CF为DG的中垂线，FD=FG， ∴FB+FD=FB+FG， 连接BG， ∴FB+FD=FB+FG≥BG， 又DG=DC=1 2 BC， ∴△BCG为直角三角形， ∵BC=10，CG=5， ∴BG=5 ❑ √3， ∴FB+FD的最小值为5 ❑ √3． 故答为：5 ❑ √3． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，将军饮马，线段垂直平分线的判定及 性质，勾股定理等内容，熟练运用将军饮马是解题的关键，具有较强的综合性． 5．（2022 上·福建莆田·八年级莆田二中校考期末）如图，在Rt △ABC中，∠ACB=90°，AC=BC， 点C在直线MN上，∠BCN=30°，点P为MN上一动点，连接AP，BP．当AP+BP的值最小时， ∠CBP的度数为 度． 【答】15 【分析】如图，作B 关于MN的对称点D，连接AD ,BD ,CD，AP+BP的值最小，则MN交AD于P，由 轴对称易证∠CBP=∠CDP，结合∠BCN=30°证得△BCD是等边三角形，可得AC=CD，结合已知 根据等腰三角形性质可求出∠CDP，即可解决问题． 【详解】如图，作B 关于MN的对称点D，连接AD ,BD ,CD， ∵AP+BP的值最小， 则MN交AD于P，由轴对称可知： CB=CD，PB=PD， ∴∠CBD=∠CDB ,∠PBD=∠PDB , ∴∠CBP=∠CDP， ∵∠BCN=30°， ∴∠BCD=2∠BCN=60°， ∴△BCD是等边三角形， ∵AC=BC， ∴AC=CD， ∴∠CAD=∠CDA， ∵∠ACB=90°，∠BCD=60°， ∴∠CAD=∠CDA=1 2 (180°−∠ACB−∠BCD )=15°， ∴∠CBP=∠CDP=15°， 故答为：15． 【点睛】本题考查等边三角形判定和性质、轴对称的性质、最短路径问题、等腰三角形的性质；熟练掌握 相关性质的联系与运用，会利用最短路径解决最值问题是解答的关键． 6．（2020·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y=a x 2+bx+c与x轴交于A (1,0)、B (4,0)，与y轴交于点 C (0,3)，点D为OC的中点，点E、F分别为x轴正半轴和抛物线对称轴上的动点，连接DE、EF、CF， 求四边形CDEF周长最小时点E、F的坐标． 【答】当四边形CDEF周长最小时，点E的坐标( 5 3 ,0)，点F的坐标为( 5 2 , 3 4)． 【分析】作点D关于x轴的对称点D '，作点C关于抛物线对称轴的对称点C '，连接C ' D '，交对称轴于点F， 交x轴于点E．求出直线C ' D '的解析为y= 9 10 x−3 2，进一步可得出结论． 【详解】如图，作点D关于x轴的对称点D '，作点C关于抛物线对称轴的对称点C '，连接C ' D '，交对称轴 于点F，交x轴于点E．由对称知C ' F=CF，D ' E=DE， ∴此时四边形CDEF的周长为CD+DE+EF+CF=CD+D ' E+EF+C ' F=CD+C ' D '． ∴此时四边形CDEF的周长最小，最小值为CD+C ' D '． ∵A (1,0)，B (4,0)， ∴抛物线对称轴为直线x=5 2． ∴C ' (5,3)． ∵D为OC的中点，∴D(0, 3 2)． ∴D '(0,−3 2)． 设直线C ' D '的解析式为y=kx+b． 将点C '、D '的坐标代入可得¿解得¿ ∴直线C ' D '的解析为y= 9 10 x−3 2． 令y=0，则x=5 3，∴点E的坐标为( 5 3 ,0)． 令x=5 2，则y= 3 4 ，∴点F的坐标为( 5 2 , 3 4)． ∴当四边形CDEF周长最小时，点E的坐标( 5 3 ,0)，点F的坐标为( 5 2 , 3 4)． 【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，四边形与二次函数的结合，线段的和差最值与二次函数的 结合，将不共线的线段转化为共线为解题关键． 7．（2015·贵州贵阳·统考中考真题）如图，在矩形纸片BD 中，B=4，D=12，将矩形纸片折叠，使点落在 D 边上的点M 处，折痕为PE，此时PD=3． （1）求MP 的值； （2）在B 边上有一个动点F，且不与点，B 重合．当F 等于多少时，△MEF 的周长最小？ （3）若点G，Q 是B 边上的两个动点，且不与点，B 重合，GQ=2．当四边形MEQG 的周长最小时，求最 小周长值．（计算结果保留根号） 【答】（1）5；（2）16 11；（3）7+5 ❑ √5． 【分析】（1）由折叠的性质和矩形性质以得PD=P=3，D=M=4，∠= D=90° ∠ ，利用勾股定理可计算出MP 的长； （2）如图1，作点M 关于B 的对称点M′，连接M′E 交B 于点F，利用两点之间线段最短可得点F 即为所 求，过点E 作E D ⊥，垂足为，则M=D MP PD=4 ﹣ ﹣ ，所以M=M′=4，再证明ME=MP=5，利用勾股定理计 算出M=3， M′=11，得出△FM′ EM′ ∽△ ，利用相似比即可计算出F； （3）如图2，由（2）知点M′是点M 关于B 的对称点，在E 上截取ER=2，连接M′R 交B 于点G，再过点 E 作EQ RG ∥ ，交B 于点Q，易得QE=GR，而GM=GM′，于是MG+QE=M′R，利用两点之间线段最短可得 此时MG+EQ 最小，于是四边形MEQG 的周长最小，在Rt M′R △ 中，利用勾股定理计算出M′R 得出，从而 得到四边形MEQG 的最小周长值． 【详解】解：（1）∵四边形BD 为矩形， D=B=4 ∴ ，∠D=90°， ∵矩形BD 折叠，使点落在D 边上的点M 处，折痕为PE， PD=P=3 ∴ ，D=M=4，∠= D=90° ∠ ， MP= ∴ ❑ √3 2+4 2=5； （2）如图1，作点M 关于B 的对称点M′，连接M′E 交B 于点F，则点F 即为所求，过点E 作E D ⊥，垂足 为， M=D MP PD=12 5 3=4 ∵ ﹣ ﹣ ﹣﹣ ， M=M′=4 ∴ ，