专题24 最值模型之将军饮马模型（解析版）

专题24 最值模型之将军饮马模型 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此 却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。将军饮马问题从本质上来看是由轴 对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中 高档题为主，本专题就将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 在解决将军饮马模型主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法有：利用轴对 称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。 模型1 求两条线段和的最小值（将军饮马模型） 【模型解读】在一条直线m 上，求一点P，使P+PB 最小； （1）点、B 在直线m 两侧： （2）点、B 在直线同侧： m A B P m A B m A B P m A B A' 【最值原理】两点之间线段最短。 上图中’是关于直线m 的对称点。 例1．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图， 是边长为的等边三角形，点 为高 上的动 点．连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ．连接 ， ， ，则 周长的最小值是 ． 【答】 / 【分析】根据题意，证明 ，进而得出 点在射线 上运动，作点 关于 的对称点 ， 连接 ，设 交 于点 ，则 ，则当 三点共线时， 取得最小值，即 ，进而求得 ，即可求解． 【详解】解：∵ 为高 上的动点．∴ ∵将 绕点 顺时针旋转 得到 ． 是边长为的等边三角形， ∴ ∴ ∴ ，∴ 点在射线 上运动，如图所示， 作点 关于 的对称点 ，连接 ，设 交 于点 ，则 在 中， ，则 ， 则当 三点共线时， 取得最小值，即 ∵ ， ， ∴ ∴ 在 中， , ∴ 周长的最小值为 ，故答为： ． 【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定， 勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键． 例2．（2023·广东广州·校考一模）如图，在 中， 的面积为 ， ， 平分 ，E、F 分别为 、 上的动点，则 的最小值是（ ） ． B． ．2 D． 【答】D 【分析】本题考查的是角平分线的性质，垂线段最短，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考， 通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．过点作 ，垂足为，交 于F 点，过F 点作 ，垂足为 ，则 为所求的最小值，根据 的面积为 ， ，结合三 角形的面积公式求出 ，即可解答． 【详解】解：如图，过点作 ，垂足为，交 于F 点，过F 点作 ，垂足为 ，则 为所求的最小值， ∵ 是 的平分线，∴ ，∴ 是点到直线 的最短距离（垂线段最短）， ∵ 的面积为 ， ，∴ ， ∵ 的最小值是 ．故选：D． 例3．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，正方形 的边长为4，点E 在边 上，且 ，F 为 对角线 上一动点，连接 ， ，则 的最小值为 ． 【答】 【分析】连接 交 于一点F，连接 ，根据正方形的对称性得到此时 最小，利用勾股 定理求出 即可． 【详解】解：如图，连接 交 于一点F，连接 ， ∵四边形 是正方形，∴点与点关于 对称，∴ ， ∴ ，此时 最小， ∵正方形 的边长为4，∴ ，∵点E 在 上，且 ， ∴ ，即 的最小值为 故答为： ． 【点睛】此题考查正方形的性质，熟练运用勾股定理计算是解题的关键． 例4．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形 ，点 、 、 、 均在坐标轴上， ，点 ，点 是 的中点，点 是 上的一动点，则 的最小值是（ ） ．3 B．5 ． D． 【答】 【分析】直线上的动点P 到E、D 两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D 关于直线的对称点B， 连接BE，则线段BE 的长即是PD+PE 的最小值． 【详解】如图：连接BE，∵菱形BD，∴B、D 关于直线对称， ， ∵直线上的动点P 到E、D 两定点距离之和最小 ∴根据“将军饮马”模型可知BE 长度即是PD+PE 的最小值． ∵菱形BD， ，点 ，∴ ， ， ∴ ∴△DB 是等边三角形∴ ∵点 是 的中点，∴ ,且BE⊥D， ∴ 故选：． 【点睛】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长． 例5．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形 是矩形， ， ，点P 是边 上一点（不与点，D 重合），连接 ．点M，分别是 的中点，连接 ， ， ， 点E 在边 上， ，则 的最小值是（ ） ． B．3 ． D． 【答】 【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得 ， ，通过证明四边形 是平行四 边形，可得 ，则 ，作点关于直线 的对称点M，则 ，点B，P，M 三点共线时， 的值最小，最小值为 ． 【详解】解： 四边形 是矩形， ， ， 点M，分别是 的中点， ， ， ， ， ， ， ，又 ， 四边形 是平行四边形， ， ， 如图，作点关于直线 的对称点M，连接 ， ，则 ， 当点B，P，M 三点共线时， 的值最小，最小值为 ， 在 中， ， ， ， 的最小值 ，故选． 【点睛】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质， 轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思 想． 例6．（2023·山东济宁·九年级校考期末）如图， 是 的直径，点、D 是 上的点．且 ， 分别与 、 相交于点E，F．若 的半径为5， ，点P 是线段 上任意一点，则 的最小值是 ． 【答】 【分析】利用圆周角定理得到 ，再证明 ，然后根据垂径定理得， ，作 点 关于 的对称点 ， 交 于 ，连接 ，如图，利用两点之间线段最短得到此时 的值最 小，再计算出 ，作 于 ，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30 度的直角三 角形三边的关系求出 ，从而得到 的最小值． 【详解】解：∵ 是 的直径，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， 作 点关于 的对称点 ， 交 于 ，连接 ，如图， ∵ ，∴ ，∴由两点之间线段最短可知，此时 的值最小， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵点 和点 关于 对称，∴ ，∴ ， 作 于 ，如图，则 ，则 ， 在 中， ，∴ ， ∴ ，∴ 的最小值为 ．故答为： ． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂 径定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 例7．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，点E 是线段 上的一个动点， ，且 ，则 的最小值是___． 【答】 【分析】作点关于线段 的对称点F，连接 ， 交 于点，连接 ，过点F 作 ， 交 的延长线于点，过点 作 ，交 的延长线于点G，由题意易得 ， 则有 ，然后可得四边形 是平行四边形，进而可得 ，推出 ，勾股定理求出 的长即可得解． 【详解】解：作点关于线段 的对称点F，连接 ， 交 于点，连接 ，过点F 作 ，交 的延长线于点，过点 作 ，交 的延长线于点G，如图所示： 由轴对称的性质可知： ， ， ， ∴ ，∵ ，∴四边形 是平行四边形，∴ ， ∵ ，∴ ， 当点E 与点重合时，则 的最小值即为 的长， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ，∴ ∴ ，∴即 的最小值为 ；故答为 ． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质、平行四边形的性质与判定、勾股定理及等腰三角形的判定和性质， 熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键． 例8．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线 经过 两点，并交x 轴于 另一点B，点M 是抛物线的顶点，直线M 与轴交于点D． (1)求该抛物线的表达式；(2)若点是x 轴上一动点，分别连接M，D，求 的最小值； 【答】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点 关于 轴的对称点 ，连接 ， 与 轴的交点即为点 ，进而得到 的最小 值为 的长，利用两点间距离公式进行求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线 经过 两点， ∴ ，解得： ，∴ ； （2）∵ ，∴ ，设直线 ， 则： ，解得： ，∴ ，当 时， ，∴ ； 作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，则： ， ， ∴当 三点共线时， 有最小值为 的长， ∵ ， ，∴ ，即： 的最小值为： ； 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函 数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 模型2 求多条线段和（周长）最小值 【模型解读】在直线m、上分别找两点P、Q，使P+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： n m A B Q P n m A B P' Q' n m A B Q P n m A B B' （3）两个点都在内侧： n m A B Q P n m A B B' A' （4）台球两次碰壁模型 1）已知点、B 位于直线m, 的内侧，在直线、m 分别上求点D、E 点，使得围成的四边形DEB 周长最短 2）已知点位于直线m, 的内侧, 在直线m、分别上求点P、Q 点P+PQ+Q 周长最短 m n A B E D m n A B A' B' m n A P Q m n A A" A' 【最值原理】两点之间线段最短。 例1．（2023·陕西西安·九年级校考阶段练习）【问题提出】 (1)如图1， ，在 内部有一点P，M、分别是 、 上的动点，分别作点P 关于边 、 的对称点 ， ，连接 ， 与 、 相交于M、，则此时 的周长最小，且顺次连接， ， 后 的形状是等腰直角三角形．理由如下： ∵点P 关于边 、 的对称点分别为 ， ， ∴ ， ， ， ， ∴ 即 周长的的最小值为 ∵ ，∴ ∴ 是等腰直角三角形． 学以致用：若 ，在 内部有一点P，分别作点P 关于边 、 的对称点 ， ，顺次连 接， ， ，则 的形状是__________三角形． (2)【问题探究】如图2，在 中， ， ，点D 是 的中点，若 ，请用含 有的代数式表示 的面积．(3)【问题解决】如图3，在四边形 内有一点P，点P 到顶点B 的距 离为10， ，点M、分别是 、 边上的动点，顺次连接P、M、，使 在周长最小的 情况下，面积最大，问：是否存在使 在周长最小的条件下，面积最大这种情况？若存在，请求出 的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答】(1)等边(2) (3)存在， 【分析】（1）根据对称性，得到 ， ， ，进而得到： ，即可得到 为等边三角形；（2）作 的垂直平分线，交 于点 ，连接 ，根据 中垂线的性质，得到 ， ，推出 是含 的直角三角形，用 分别表示 出 ，再利用 ，求出 ，进而求出 的面积．（3）如图，作点 关于 的对 称点 ，作点 关于 的对称点 ，连接 ，交 ， 于点M，，此时 的周长最小，可以求 出 ，由 推出 最小时， 的值 最大，此时 的面积最大，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点P 关于边、B 的对称点分别为 ， ， ∴ ， ， ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ 为等边三角形；故答为：等边； （2）解：∵ ， ，点D 是 的中点， ∴ ， ， ， 作 的垂直平分线，交 于点 ，连接 ， 则： ， ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ； （3）解：存在；理由如下：如图，以点 为圆心， 为半径画圆，分别作点 关于 ， 的对称点 ， ，则点 ， 在 上，连接 ，分别交 ， 于点 ， ，此时 的周长最小． ∴ ， ， ， ∵ ，∴ ，且 ，∴ ， 过点 作 于 ，∴ ， ，∴ ，∴ ， ∵ ， ∵ 为定值，∴ 最小时， 的值最大，此时 的面积最大， 过点 作 于点 ，则 ， ∴当 时，即点与Q 点重合时， 的值最大， ∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ， ∴ ，∴ ∴ ， 此时 是等边三角形，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ 的最大值 ． 【点睛】本题考查轴对称，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含 的直角三角形、 隐圆等知识．通过构造轴对称，利用轴对称进行求解，是解题的关键． 例2．（2023 下·四川达州·八年级校考期末）如图， ，点M、分别在射线 上， ， 的面积为12，P 是直线 上的动点，点P 关于 对称的点为 ，点P 关于 对称的点为 ，当点P 在直线 上运动时， 的面积最小值为 ． 【答】 【分析】连接 ，过点作 交 的延长线于，先利用三角形的面积公式求出 ，再根据轴对 称的性质可得 ， ， ，从而可得 ，然后利用三角 形的面积公式可得 的面积为 ，可得当点P 与点重合时， 取得最小值， 的面积最 小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接 ， ∵ ，且 ，∴ ， ∵点P 关于 对称的点为 ，点P 关于 对称的点为 ， ∴ ， ， ， ∵ ，∴ ， ∴ 的面积为 ， 由垂线段最短可知，当点P 与点重合时，最小值为 ， ∴ 的面积的最小值为 ，故答为： ． 【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键． 例3．（2022·山东泰安·中考真题）如图， ，点M、分别在边 上，且 ， 点P、Q 分别在边 上，则 的最小值是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】作M 关于B 的对称点M′，作关于的对称点′，连接M′′，即为MP+PQ+Q 的最小值；证出△′为等边 三角形，△MM′为等边三角形，得出∠′M =90° ′ ，由勾股定理求出M′′即可． 【详解】解：作M 关于B 的对称点M′，作关于的对称点′，如图所示： 连接M′′，即为MP+PQ+Q 的最小值． 根据轴对称的定义可知： ， ，∠′Q=∠M′B=30°， ∠ ∴ =60° ′ ， ，∴△′为等边三角形，△MM′为等边三角形， ∠ ∴ ′M =90° ′ ，∴在Rt△M′′中，M = ′′ ．故选：． 【点睛】本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解 题的关键． 例4．（2023 春·湖北黄石·八年级统考期中）如图，在矩形 中， ， ， 、 分别是 和 上的两个动点， 为 的中点，则 （1） 的最小值是________；（2）若 ，则 的最小值为________． 【答】 / 【分析】（1）延长 作点D 的关于点的对称点 ，延长 作点M 的关于点对称点 ，作 ， 且 ， 即为最小值； （2）过点E 作 于P，可得 ，则 ，故求 的最小值即先求 的最小值．过点E 作 ，且 ，可知当D，E， 三点共线时， 最小．利用 ，可求得 ，进一步计算即可得出答． 【详解】解：（1）如下图所示，延长 作点D 的关于点的对称点 ，延长 作点M 的关于点对称点 ，作 ，且 ， 可得 ，∴ ，∴ 的最小值为 ， ∵ ，且 ，四边形 为矩形，∴四边形 为矩形， ∵ 为 的中点∴ ， ，∴ ； （2）过点E 作 于P，∵ ，∴ ，∴ ， 则 ，∴求 的最小值即先求 的最小值． 过点E 作 ，且 ， ∴ ，∴当D，E， 三点共线时， 最小．此时 ， ∴ ，∴ ，∴ ， 设 ，则 ．∴ ，解得 ， ∴ ， ， ， ， ∴ ，∴ 的最小值为 ．故答为： ． 【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题、矩形的性质，根据题意找到使所求线段的和最小时点的位置是解 题的关键． 模型3 求两条线段差最大值 【模型解读】在一条直线m 上，求一点P，使P 与PB 的差最大； （1）点、B 在直线m 同侧： m B A m B A P' P 延长B 交直线m 于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’-P’B＜B，而P-PB=B 此时最大， 因此点P 为所求的点。 （2）点、B 在直线m 异侧： m A B m A B B' P P' 过B 作关于直线m 的对称点B’,连接B’交点直线m 于P,此时PB=PB’，P-PB 最大值为B’ 【最值原理】三角形两边之差小于第三边。 例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形 中， ，对角线 交于点 ， ，点 为 的中点，点 为 上一点，且 ，点 为 上一动点，连接 ，则 的最大值为________． 【答】 【分析】作 的对称点 ，连接 并延长交 于点 ，根据三角形三边关系可得到 ，最后根据等边三角形的性质及菱形的性质即可解答． 【详解】解：作 的对称点 ，连接 并延长交 于点 ，∴ ，∴ ， 当 在同一条直线上时， 有最大值 ， ∵在菱形 中， ，∴ ， ， ∴ 是等边三角形，∴ ，， ， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， ∵点 为 的中点，∴ 为 的中点，∴ ， ∴ ，∴ 是等边三角形，∴ ，故答为 ； 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，菱形的性质，中点的定义，三角形的三边关系，掌握等边 三角形的性质及菱形的性质是解题的关键． 例2．（2023 春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形 中， ，为对角线 的中 点，点P 在 边上，且 ，点Q 在 边上，连接 与 ，则 的最大值为____________， 的最小值为__________． 【答】 【分析】①连接 并延长交 于点Q，则这个点Q 满足使 的值最大，最大值为 的长度，证 明四边形 是矩形可得 ， ， ，再利用勾股定理进行计算即可； ②过点作关于 的对称点 ，连接 交 于点Q， 的值最小， 的最小值为 的长度，延长 交 于点G，根据对称的性质可得 ，再根据 ，点是 的中点，可得 ，从而求得 ，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：①连接 并延长交 于点Q，则这个点Q 满足使 的值最大，最大值为 的长度， ∵四边形 是矩形，∴ ， ，∴ ， ∵点是 的中点，∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ ， ， ∵ ，∴ ，过点P 作 于点P， ∵ ，∴四边形 是矩形， ∴ ， ，∴ ， ∴ ，∴ ； ②过点作关于 的对称点 ，连接 交 于点Q， 的值最小， 的最小值为 的长度，延长 交 于点G， ∵ ，点是 的中点，∴ ， ∴