第07讲 二次函数（含答案详解）-全国重点高中自主招生大揭秘

二次函数 一、单选题 1．（2022·广东·九年级统考竞赛）如图，在四边形 中， ， ， ， ， ．动点M，同时从点出发，点M 以 的速度沿 向终点B 运动，点以 的速度沿折线 向终点运动．设点的运动时间为 ， 的面积为 ，则下列图象能大 致反映S 与t 之间函数关系的是（ ） ． B． ． D． 2．（2021·全国·九年级竞赛）一条抛物线 的顶点为 ，且与轴的两个交点的横坐标 为一正一负，则，，中为正数的（ ） ．只有 B．只有 ．只有 D．只有和 3．（2021·全国·九年级竞赛）已知二次函数y=x2+bx+的图象如图所示，则下列代数式：b，，+b+，-b+, 2+b，2-b 中，其值为正的代数式的个数为（ ） ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．4 个以上 4．（2021·全国·九年级竞赛）在平面直角坐标系 中，作抛物线 关于轴对称的抛物线 ，再将抛物 线 向左平移2 个单位，向上平移1 个单位，得到的抛物线 的函数解析式是 ，则抛物线 所对应的的函数解析式是( ) ． B． ． D． 5．（2021·全国·九年级竞赛）已知 ， ，则 （ ）． ．4 B．0 ．2 D． 6．（2021·全国·九年级竞赛）在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次 函数 的图象与轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的 个数是（ ） ． B． ． D． 7．（2023 春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）二次函数 的图象与x 轴的两个交点为 ， ，且 ，点 是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ） ．当 时， B．当 时， ．当 时， D．当 时， 8．（2017 秋·江苏镇江·九年级竞赛）函数 图像的大致位置如图所示，则b，b，2+b， ， ，b2-2 等代数式的值中，正数有（ ） ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 9．（2022·福建·九年级统考竞赛）已知二次函数 的图象交x 轴于(x1，0)，B(x2，0)两点，交 y 轴于点(0，3)，若 ，且△B 的面积为3，则+b（ ） ．3 B．-5 ．-3 D．5 二、解答题 10．（2022·福建·九年级统考竞赛）已知开口向上的抛物线 与直线：yx，yx中的每一 条都至多有一个公共点． (1)求 的最大值； (2)当 取最大值时，设直线 交抛物线 于，B 两点，为抛物线的顶点，若△B 内切圆 的半径为1，求的值． 11．（2023 春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）已知拋物线 ． (1)若此拋物线与轴只有一个公共点且过点 ． ①求此抛物线的解析式； ②直线 与该抛物线交于点 和点 ．若 ，求的取值范围． (2)若 ，将此抛物线向上平移个单位 得到新抛物线 ，当 时， ；当 时， ．试比较 与1 的大小，并说明理由． 12．（2022 春·湖南长沙·八年级校联考竞赛）如图1，抛物线 与x 轴交于点 ，与y 轴交于点B，在x 轴上有一动点 （ ），过点E 作x 轴的垂线交直线B 于点， 交抛物线于点P，过点P 作PM⊥B 于点M． (1)求的值和直线B 的函数表达式： (2)设△PM 的周长为 ，△E 的周长为 ，若 求m 的值． (3)如图2，在（2）的条件下，将线段E 绕点逆时针旋转得到 ，旋转角为 （ ），连接 、 ，求 的最小值． 13．（2022·广东·九年级统考竞赛）定义：如果二次函数 （ ， ， ， 是常数） 与 （ ， ， ， 是常数）满足 ， ， ，则这两个函数互 为“”函数． （1）写出 的“”函数的表达式； （2）若题（1）中的两个“”函数与正比例函数 的图像只有两个交点，求k 的值； （3）如图，二次函数y1与y2互为“”函数，、B 分别是“”函数y1与y2图象的顶点，是“”函数 与y 轴正半轴的交点，连接 、 、 ，若点 且 为直角三角形，求点的坐标． 14．（2021·全国·九年级竞赛）某公司生产的种产品，它的成本是2 元，售价是3 元，年销售量为100 万件， 为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告 根据经验，每年投入的广告费是x（10 万元）时， 产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如下表： x（10 万元） 0 1 2 … y 1 15 18 … （1）求y 与x 的函数关系式； （2）如果把利润看做是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（10 万元）与广告费x（10 万元） 的函数关系式； （3）如果投入的年广告费为10~30 万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而 增大？ 15．（2017 秋·浙江杭州·八年级竞赛）如图1，在△M 中，∠M=90°，M=6m，∠M=30°等边△B 的顶点B 与 点重合，B 在M 上，点恰好在M 上 （1）求等边△B 的边长； （2）如图2,将等边△B 沿M 方向以1m/s 的速度平移,边B、分别与M 交于点E、F,在△B 平移的同时,点P 从 △B 的顶点B 出发,以2m/s 的速度沿折线B→→运动,当点P 达到点时,点P 停止运动,△B 也随之停止平移． 设△B 平移时间为t（s） ①用含t 的代数式表示E 的长,并写出t 的取值范围； ②在点P 沿折线B→→运动的过程中,是否在某一时刻,点P、E、F 组成的三角形为等腰三角形?若存在,求出 此时t 值；若不存在,请说明理由． 16．（2023·黑龙江哈尔滨·校考二模）如图1，在平面直角坐标系 中，直线 与抛物线 交于点，B，点的横坐标为1，且为抛物线的顶点，点B 的横坐标为3． (1)求b 的值； (2)如图2，作 轴，交抛物线于另一点D，交y 轴于点E，若线段 与x 轴交于点（点不与点，B 重 合），连接 交y 轴于点F，设 的面积为d，求d 关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范 围； (3)如图3，在（2）的条件下，在 延长线上取点Q，连接 并延长，交x 轴于点P，连接 ，若 ， 的面积为 ，求与的值． 三、填空题 17．（2023 春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）已知二次函数 、、为常数的图象 如图所示，下列个结论． ； ； ； 为常数，且 ． 其中正确的结论有___________（填写序号）． 18．（2022·广东·九年级统考竞赛）如图，一个长为5，宽为3 的矩形被平行于边的两条直线所割，其中矩 形的左上角是一个边长为的正方形，则阴影部分面积的最小值为________． 19．（2021·全国·九年级竞赛）设二次函数 的图象顶点为 ，与轴交点为 、 ， 当 为等边三角形时，的值为________． 20．（2021·全国·九年级竞赛）已知直线y=b（b 为实数）与函数 y= 的图像至少有三个公共点， 则实数b 的取值范围_____________ 参考答： 1．B 【分析】先求出B= m，可知M 由到B 需3 秒,由到D 需2 秒,到需35 秒分三种情况讨论: (1)当在D 上时,即0＜t≤2,画出图形求解; (2) 当在D 上且M 没到达B 时,即2＜t＜3, 画出图形 求解; (3)当在D 上且M 与B 重合时,即3≤t≤35, 画出图形求解即可选出正确答 【详解】解: ∠=45°，D=3m， B= = m, ∴M 由到B 需3 秒,由到D 需2 秒,到需35 秒, 下面分三种情况讨论: (1)当在D 上时,即0＜t≤2,如图1, 作ME⊥D 于E, 可知=2t,M= , ∴EM=t, ∴ 故此段图像是一条开口向上的抛物线; (2) 当在D 上且M 没到达B 时,即2＜t＜3,如图2, 作MF⊥D 于F,延长B 与D 的延长线交于, 可知D=2t-4,M= ,D=4,= , ∴=4-D=8-2t,M= , ∴MF=4- t, ∴ , , , ∴ , 故此段图像是一条开口向下的抛物线; (3)当在D 上且M 与B 重合时,即3≤t≤35,如图3, 可知B=1,D=2t-4, ∴=3-D=7-2t , ∴ , , , ∴ , 故此段图像是一条呈下降趋势的线段; 综上所述,答是B 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广 泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问 题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S 与t 的函数关系式． 2． 【分析】根据b2−4 与零的关系即可判断出二次函数 的图象与x 轴交点的个 数；另外，与x 轴的两个交点x1、x2，且x1·x2＝ ＜0，由这些已知条件，即可做出判断． 【详解】解：由题意，得 由③得： ⑤ 由①、⑤得， ＞0，即 ＞0 ∴ ⑥ 由②、⑥得， 由④、⑥得， ∴ 故选： 【点睛】在解关于二次函数与一元二次方程时，充分利用顶点坐标，和根的判别式来解答， 这样会降低题的难度，提高做题效率． 3． 【分析】根据抛物线的开口向下可判断的符号，根据抛物线对称轴的位置可判断b 的符号， 根据抛物线与y 轴的交点可判断的符号，进而可判断的符号； 由于x=1 时，y=+b+，x=－1 时，y=－b+，结合图象即可判断+b+与－b+的符号； 由对称轴为直线 并结合的符号可判断2+b 的符号，由、b 的符号即可判断2－b 的符号，从而可得答 【详解】解：∵图象的开口向下，∴<0，∵图象与y 轴的交点在x 轴下方，∴<0，∴>0； ∵对称轴在y 轴右侧，∴ ，∴b<0； 由图可知，当x=1 时，y=+b+>0，当x=－1 时，y=－b+<0； ∵ ，<0，∴－b>2，∴2+b<0； ∵<0，b>0，∴2－b<0 综上，其值为正的代数式有2 个 故选： 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质和二次函数与其系数之间的关系，属于常考题 型，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合的思想方法是解答的关键 4．D 【分析】易得抛物线的顶点，进而可得抛物线B 的顶点坐标，根据顶点式及平移前后二次 项系数不变可得抛物线B 的解析式，而根据关于x 轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相 等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得抛物线所对应的的函数表达式 【详解】易得抛物线的顶点（-1，-1）， ∵是向左平移2 个单位，向上平移1 个单位得到抛物线， ∴抛物线B 的顶点坐标（1，-2）， 可设抛物线B 的解析式为y=2 +k，代入得y=2 -2， 易得抛物线的二次项系数为-2，顶点坐标为（1,2）， ∴抛物线的解析式为y=-2 +2， 故正确答为D 【点睛】此题主要考查二次函数图像的平移问题，只需看顶点坐标的如何平移得到即可； 关于x 轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标相反，二次项系数互为相反数 5．B 【分析】先将字母b 表示字母，代入 ，转化为非负数和的形式，根据非负数 的性质求出、b、的值，从而得到+b 的值． 【详解】 代入 ,可得 即b=-2,=0 故选 【点睛】本题考查拆项、添项、配方、待定系数法,解题关键在于熟练掌握计算法则 6． 【分析】找到函数图象与x 轴的交点，那么就找到了相应的x 的整数值，代入函数求得y 的值，那么就求得了y 的范围． 【详解】将该二次函数化简得,y=−[(x−3)2− ],令y=0 得,x= 或 画出图象可知,在红色区域 内部及其边界上的整点为(2,0),(3,0),(4,0),(2,1),(3,1),(4,1),(3,2)七个． 故选 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的相关知识点，解题的关键是能根据二次函数画出其 抛物线 7．D 【分析】根据二次函数的图象与性质可进行排除选项． 【详解】解：由二次函数 可知开口向上，对称轴为直线 ， 当 时， 随的增大而减小，当 时，y 随x 的增大而增大； ∵ ， 是二次函数与x 轴的交点，点 是图象上的一点， ∴当 时，则 或 ；故 、 选项错误； 当 时，则 ，故 正确；当 且 时，此时有可能 ，故 错误； 故选 ． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的 关键． 8． 【分析】图像开口向下＜0，＜0，对称轴 >0，当x=1 时，y>0，当x=-1 时y<0，由 以上信息即可判断． 【详解】解：观察图形，显然，＜0，＜0，b＞0， ∴ b＜0，b＜0， 由− ＜1，得b＜-2，所以2+b＜0； 由-b+＜0 得（+）2-b2=（+b+）（-b+）＜0； 由+b+＞0 得+b＞-＞0， 因此（+b）2-2＞0，|b|＞||，b2-2＞0． 综上所述，仅有（+b）2-2，b2-2为正数． 故选． 【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，难度一般，认真观察图形分析出、b、的正 负是关键． 9． 【分析】方法一：由根与系数的关系可得 ， ，再利用 列方程求解 ，再检验即可得到 答；方法二：不妨设 ，由三角形的面积先求解 ，结合 ， 再求解 再利用待定系数法求解 从而可得答 【详解】解：方法一：依题意 为方程 的两根，且 ． 所以 ， ． 所以 ， 所以 面积 ． 解得 ，经检验符合题意， ． 因为函数 的图象与轴有两个不同交点，因此 ， ， 符合要求． 所以 ． 方法二：不妨设 ，则 ，由 的面积为3，且 ，得 ． 所以 ，又 ， 解得： ， ． 因此 ． 将 代入，得 ，所以 ． 所以 ， 因此 ． 故选 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数与 x 轴的交点坐标的含义是解本题的关键 10．(1)5 (2)1 【分析】（1）联立 和yx可得 、 ，再根据题意可得 ； 联立 和yx再结合一元二次根的判别式可得 ，进而可得 ，然后求解即可； （2）先求出 取最大值时，求出抛物线 的顶点，进而求解方程，然后再说 明 为等边三角形，最后求得的值即可． (1) 解：由 ，得 ， ， 由抛物线 与直线 至多有一个公共点，得 ． 由 ，及 ， 得 ． 因为抛物线 与直线 至多有一个公共点， 所以 ， 即 ． 结合 ，得 ， 解得 ． 又抛物线 与直线 ， 中的每一条都至多一个公共点． 所以 的最大值为5． (2) 解：当 取最大值时，抛物线为 ，其顶点 ． 由 ， 得 ， ， 于是 ， ． 设为 的内心， 为线段 中点，则 ， ， 且 ， ． ∴ ， ， 为等边三角形． ∴ ．因此 ， ． 所以 ． 或：由 ， 得 的周长 ， 面积 ． 利用 ，得 ， 解得 ． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的综合、二次函数与几何的综合、勾股定理 等知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质． 11．(1)① ；② (2) ，证明见解析 【分析】（1）①由抛物线 与轴只有一个公共点得到 求出 ，然后抛物线 过点 ．把坐标代入函数解析式即可求解； ②首先把 的坐标代入二次函数解析式中求出 ，然后联立两个解析式解方程组得到 两点坐标即可求解； （2） ，首先设此抛物线解析式为 ，接着把 代入解析式得到 ，然后利用函数图象的示意图即可得到 ，即可得到 ． 【详解】（1）①∵抛物线 与轴只有一个公共点， ∴ ， ∴ ， 又∵抛物线 过点 ． ∴ ， ∴抛物线的解析式 ； ②当 时， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 联立 ， 解得 或 ， ∴ ， ∴当 时， 或 ； （2） ，理由： 由题知 ，将此抛物线 向上平移个单位 ， 其解析式为 ，且过点 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 且当 时， ， 对称轴： ，抛物线开口向上，画草图如下所示． 由题知，当 时， ． ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】此题分别考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线与直线的交点坐标及抛物线与不等 式的关系，综合运用以上知识是解题的关键． 12．(1)=- ．直线B 解析式为y=- x+3； (2)2 (3) 【分析】（1）令y=0，求出抛物线与x 轴交点，列出方程即可求出，根据待定系数法可以 确定直线B 解析式； （2）由△PM∽△E，推出 ，列出方程即可解决问题； （3）在y 轴上 取一点M 使得M′= ，构造相似三角形，可以证明M′就是E′+ E′B 的最小 值． 【详解】（1）令y=0，则x2+（+3）x+3=0， ∴（x+1）（x+3）=0， ∴x=-1 或- ， ∵抛物线y=x2+（+3）x+3（≠0）与x 轴交于点（4，0）， ∴- =4， ∴=- ． ∵（4，0），B（0，3）， 设直线B 解析式为y=kx+b，则 ， 解得 ， ∴直线B 解析式为y=- x+3； （2）如图1， ∵PM⊥B，PE⊥， ∠ ∴ PM=∠E， ∠ ∵ PM=∠E， △ ∴PM∽△E， ∵ ∴ ， ∵E∥B， ∴ ， ∴ ， ∵抛物线解析式为 ， ∴ ， ∴ ， 解得m=2 或4， 经检验x=4 是分式方程的增根， ∴m=2； （3）如图2，在y 轴上 取一点M′使得M′= ，连接M′，在M′上取一点E′使得E′=E． ∵E′=2，M′•B= ， ∴E′2=M′•B， ∴ ， ∠ ∵ BE′=∠M′E′， △ ∴M′E′∽△E′B， ∴ ， ∴ ， ∴ ，此时 最小（两点间线段最短，、M′、E′共 线时）， 最小值 ． 【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小 值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段M′就是 的最小值． 13．（1） ；（2）k 的值为3 或－1；（3）点的坐标为（0， ）或（0， 5）． 【分析】（1）根据“”函数的定义即可求得答； （2）根据中心对称的性质可得 的图像与 的图像只有一个交点， 由此联立方程即可求得答； （3）先根据中心对称的性质求得点B 的坐标，进而可分别表示出y1与y2的函数关系式， 以及点的坐标，再根据 为直角三角形分类讨论，利用直角三角形的勾股定理列出方 程求解即可． 【详解】解：（1）∵ ， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ， ∴ 的“”函数的表达式为 ； （2） ， 同理： ， ∴ 与 关于原点成中心对称， 又∵正比例函数 的图像也是关于原点成中心对称，且题（1）中的两个“”函 数与正比例函数 的图像只有两个交点， ∴ 的图像与 的图像只有一个交点， ∴方程 有两个相等的实数根， ∴ ， 整理，得： ， ∴ ， 解得： ， ， ∴k 的值为3 或－1； （3）由（2）可知，若二次函数y1与y2互为“”函数， 则二次函数y1与y2的图像关于原点成中心对称， ∵、B 分别是“”函数y1与y2的图像的顶点，点 ， ∴点 ，点为B 的中点， ∴设 （ ），则 ， 当 时， ， ∴点（0， ）， ∵是“”函数 与y 轴正半轴的交点， ∴若 为直角三角形，则∠B＝90°或∠B＝90°， 当∠B＝90