第06讲 一次函数与反比例函数（含答案解析）-全国重点高中自主招生大揭秘

一次函数与反比例函数 一、单选题 1．（2023 春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）如图所示的是反比例函数 和一次函数 的图象，则下列结论正确的是（ ） ．反比例函数的解析式是 B．一次函数的解析式为 ．当 时， 最大值为1 D．若 ，则 2．（2023 春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）如图，点 ， 分别在 轴正半轴、轴正半轴上，以 为 边构造正方形 ，点 ， 恰好都落在反比例函数 的图象上，点 在 延长线上， ， ，交轴于点 ，边 交反比例函数 的图象于点 ，记 的面积为 ，若 ，则 的面积是（ ） ． B． ． D． 3．（2022·广东·九年级统考竞赛）2021 年新冠肺炎疫情防控形势依然严峻，严格按照防疫要求进行个人防 护和环境消杀是防控的重点．已知某种环境消杀使用的消毒液中含有有效成分 ，每将 个单位的 溶解在一定量水中，则消毒液的浓度 （克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为 ，其中当 时， ，当 时， ．若多次溶解 ，则某一时刻水 中 的浓度为每次溶解的 在相应时刻溶解的浓度之和．根据科学实验，当消毒液的浓度不低于4（克/ 升）时，它才能有效消毒．则下列结论不正确的是（ ） ．一次投放4 个单位的 ，在2 分钟时，消毒液的浓度为 克/升 B．一次投放4 个单位的 ，有效消毒时间可达8 分钟 ．若第一次投放2 个单位的 ，6 分钟后再投放2 个单位的 ，第8 分钟消毒液的浓度为5 克/升 D．若第一次投放2 个单位的 ，6 分钟后再投放2 个单位的 ，接下来的4 分钟能够持续有效消毒 4．（2021·全国·九年级竞赛）已知 ，并且 ，则函数 图像一定经过 （ ） ．第一、二、三象限 B．第二、三象限 ．第二、三、四象限 D．第一、四象限 5．（2017 春·江苏镇江·九年级竞赛）如图，直线y=kx+b 交坐标轴于（﹣2，0），B（0，3）两点，则不 等式kx+b＞0 的解集是 ．x＞3 B．﹣2＜x＜3 ．x＜﹣2 D．x＞﹣2 6．（2017 秋·江苏镇江·九年级竞赛）已知b 0，而且 ，那么直线y=px+p 一定通过 （ ）． ．第一、二象限 B．第二、三象限 ．第三、四象限 D．第一、四象限 7．（2021·全国·九年级竞赛）设0＜k＜1，关于x 的一次函数y=kx+ （1 x ﹣），当1≤x≤2 时，y 的最大值 是（ ）． ．k B．2k- ． D．k+ 8．（2021·全国·九年级竞赛）反比例函数 与一次函数y＝k（x+1）（其中x 为自变量，k 为常数） 在同一坐标系中的图象可能是（ ） ． B． ． D． 9．（2021·全国·九年级竞赛）如图，正比例函数y＝kx（k＞0），与反比例函数 的图象相交于，两点， 过作B⊥x 轴于B，连接B，若△B 的面积为S，则（ ） ．S＝1 B．S＝2 ．S＝k D．S＝k2 二、填空题 10．（2023 春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）在直角坐标系xy 中，直线 交x 轴、y 轴于点E， F，点B 的坐标是 ，过点B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为，．点D 是线段 上的动点，以 为 对称轴，作与 成轴对称的 ．当直线l 经过点时（如图），求点D 由到的运动过程中，线段 扫过的图形与 重叠部分的面积________． 11．（2023·四川成都·统考二模）如图，在 中， ，射线B 分别交y 轴于点D，交双曲线 于点B，，连接 ，当 平分 时， 与 满足 ，若 的 面积为4，则 ___________． 12．（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，在矩形 中，点 在轴正半轴上，点 在 轴正半轴上， 点 在第一象限内，反比例函数 （ ）的图像分别与 ， ， 交于 ， ， 三点， 与 交于点 ，连接 ， ，若 ， ，则的值为______． 13．（2023·山东济宁·济宁学院附属中学校考二模）如图，四边形 为矩形，点在第二象限，点关于 的对称点为点D，点B，D 都在函数 的图象上， 轴于点E．若 的延长线交x 轴于 点F，当矩形 的面积为10 时， 的值为______． 14．（2023 春·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考阶段练习）如图，点 在 的图象上， 点 在 的图象上（ 在 左边），直线 经过原点 ，直线 交 轴于点 ，直线 交轴于点 ．则 __________；若 ， ，则 __________． 三、解答题 15．（2023 春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙 地后立即以另一速度原路返回甲地，货车到达乙地后停止．如图所示的图象分别表示货车、轿车离甲地距 离 与轿车行驶时间 的关系． (1)求轿车在返回甲地过程中的速度； (2)当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，求相遇处离甲地的距离． 16．（2017 春·江苏镇江·九年级竞赛）如图，在直角坐标系中，矩形B 的顶点与坐标原点重合，顶点，分 别在坐标轴上，顶点B 的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与B，B 交于点M，． (1)求直线DE 的解析式和点M 的坐标； (2)若反比例函数 （x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点是否在该 函数的图象上； (3)若反比例函数 （x＞0）的图象与△MB 有公共点，请直接写出m 的取值范围． 17．（2018 春·四川自贡·八年级竞赛）如图，已知直线 ，直线 ；直线 分别 交轴于 两点， 相交于点 ⑴求 三点的坐标； ⑵求⊿ 的面积 18．（2017 秋·浙江杭州·八年级竞赛）杭州市成功申办2022 年亚运会，这将推动杭州市体育事业发展，为 了促进全民健身活动的发展，某社区为辖区内学校购买一批篮球和足球，已知篮球和足球的单价分别为 120 元和90 元 （1）根据实际需要，社区决定购买篮球和足球共100 个，其中篮球购买的数量不少于40 个，社区可用于 购买这批篮球和足球的资金最多为10260 元，请问有几种购买方； （2）若购买篮球个，学校购买这批篮球和足球的总费用为 元，在（1）的条件下，求哪种方能使 最 小，并求出 的最小值 19．（2023·浙江绍兴·统考一模）如图1 在平面直角坐标系 中，四边形 是矩形，点 ，点 在 轴上，点 ，点 在第一象限， ， ， (1)求点 的坐标 (2)直线与轴， 轴的正半轴分别交于点 ， ，点 ， 关于直线的对称点分别为 ， ①如图2，若点 和点 在直线上，求点 到轴的距离 ②若点 ，点 到轴的距离都为1，请直接写出点 的纵坐标 20．（2023·天津西青·统考一模）在平面直角坐标系中， 为原点， 是等腰直角三角形， ， ，点 在轴的负半轴上，点 在第二象限，矩形 的顶点 ，点 在轴的正半轴上，点 在 轴的正半轴上．将 沿轴向右平移，得到 ，点 ， ， 的 对应点分别为 ， ， ． (1)如图1，当 经过点 时，求点 的坐标； (2)设 ， 与矩形 重叠部分的面积为； ①如图②，当 与矩形 重叠部分为五边形时， 与 相交于点 ， 分别与 ， 交于点 ， ，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②请直接写出满足 的所有的值． 21．（2023 春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，已知直线 ： 交 轴于点 ，交轴于点 ，直线 交轴于点 （，），请解答下列问题： (1)点 的坐标为，点 的坐标为_______； (2)如图1，作射线 轴，交直线 于点 ，请说明： 平分 ； (3)点 为直线 上的一个动点，连接 ，若 ，求点 的坐标； (4)过 作直线垂直于轴，若 是直线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（2023·四川成都·统考二模）如图，直线 与双曲线 相交于，B 两点，点坐标为 ． 点P 是x 轴负半轴上的一点． (1)分别求出直线和双曲线的表达式； (2)连接 ， ， ， ，若 ，求点P 的坐标； (3)我们把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做“美丽四边形”．在（2）的条件下，平 面内是否存在点Q，使得以，B，P，Q 为顶点的四边形是美丽四边形，若存在，请直接写出Q 点的坐标； 若不存在，请说明理由． 23．（2023 秋·湖南岳阳·九年级统考期末）如图，矩形 的顶点 、 分别在轴和 轴上，点 的 坐标为 ，D 是边 上的一个动点（不与、B 重合），反比例函数 的图象经过点D 且与边 交于点E，连接 ． (1)如图1，若点D 是 的中点，求E 点的坐标； (2)如图2，若直线 与x 轴、y 轴分别交于点M，，连接 ， ①求证： ； ②求 的值； (3)如图3，将 沿 折叠，点B 关于 的对称点为点 ， ①当点 落在矩形 内部时，求k 的取值范围； ②连接 ，直接写出 的最小值． 24．（2023 春·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考开学考试）已知点 、 均在 反比例函数 的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，点P 是反比例函数 图象上一点， 轴于点，点B 是y 轴上一点， 交射线 于点D，点M 为线段 上一点，连接 ，点为 的中点，点为射线 上一点，当四边形 为菱形且面积为 时，求点P 的坐标； (3)如图2，点Q 为反比例函数图象 上一动点，过Q 作 轴于点E，连接 并延长，交反 比例函数 图象于点，过E 作 ，交反比例函数 图象于点F，连接 ，试判断 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 参考答： 1．D 【分析】结合图象，求出两个函数的解析式，再逐一进行判断即可。 【详解】解：、由图象可知，两个函数图象相交于两个点，其中一个点坐标为 ， 把 代入 得， ， ，选项错误，不符合题意； B、当 时， ， 另一个交点坐标为： ， 直线解析式为： ，分别代入 ， ，得： ， 解得 ， ，选项错误，不符合题意； 、由图象可知，当 时， 随的增大而减小，当 时， ，选项错误，不符合题意； D、由图象可知， ，直线在双曲线的下方， ，选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点、反比例函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式． 解题的关键是待定系数法求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解． 2．B 【分析】如图，过点 作 轴，过点 作 轴，设 ， ，证明 ，并得到 ， ，根据反比例函数的性质得 ，即 ，继而得到 是等腰直角三角形，已知 的面积为，可得 ，又因为 在反比例函数的图象上，可得 ，即可求出 ， ，再求出直线 的表达式，利用方程组确定点 的坐标，求出 和 ，即可得出 的面积． 【详解】解：如图，过点 作 轴，过点 作 轴，设 ， ， ∴ ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ， 又∵ ， 在反比例函数 的图象上， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ 在反比例函数 的图象上，即 ， ∴ ， ， ∴ ， ，反比例函数的表达式为 ， 设：直线 的表达式为 ， ∴ ，解得： ， ∴直线 的表达式为 ， ∵ ，解得： 或 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上的点的特征，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，求一次函 数的解析式等，利用设出的 ， 表示出相关点的坐标是解答本题的关键． 3． 【分析】根据题意，对于题意根据当 时， ，当 时， ，当 时， ，当 时， ，根据题意求得 时的函数值，即可判断，令 根据 上述函数关系式，求得的取值范围，进而判断B 选项，根据当 时，求得函数关系式，求得当 时的函数值即可判断选项，根据选项的解析式求得 的最小值即可判断D 选项． 【详解】对于，由题意可得 ，当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ，故正确， 对于B，当 时， ，解得 ， 故 ， 当 时， ，解得 ， 故 ， 综上所述， ， 若一次投放4 个单位的 ，消毒时间可达8 分钟，故B 正确， 对于，当 时， ，当 时， ， 故错误， 对于D，∵ ， ∴ ，当且仅当 ，即 时取等号， ∴ 有最小值 ， ∴接下来的4 分钟能够持续消毒，故D 正确． 故选 【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的应用，类比反比例函数求解是解题的关键． 4．B 【分析】当 时，将 的每一部分都加上1，可得 ， 要使等式成立，分子相等，分母也要相等．则 ，可求出p 得值，当 时，可得 再 根据一次函数的图像的性质即可作答． 【详解】解∵ ， ∴ ∴ ， ①当+b+不等于0 时， ， ∴3=p+1 解得： 则 ， 直线 经过一、二、三象限（如图）． ②当+b+=0 时，p+1=0，解得p=-1， 则y=-x-1， 直线y=-x-1 经过二、三、四象限（如图）， 综上： 的图像一定经过二、三象限； 故选B． 【点睛】本题主要考查了等式的性质以及一次函数的图像和性质，熟练地掌握等式的性质以及一次函数的 图像和性质是解题的关键．一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0 时，图像经过一三象限，当k<0 时，图像经过二 四象限；当b>0 时，图像与有y 轴交于正半轴，当b<0 时，图像与y 轴交于负半轴． 5．D 【详解】试题分析：∵直线y=kx+b 交x 轴于（﹣2，0）， ∴不等式kx+b＞0 的解集是x＞﹣2． 故选D． 6．B 【分析】根据 得到+b=b+=+b=p，再将式子拆分进行相加得到2（+b+）=p （+b+），讨论当p=2 或+b+=0 两种情况即可． 【详解】解：由条件得：① +b=p，② b+=p，③ +=pb， 三式相加得2（+b+）=p（+b+）． ∴ 有p=2 或+b+=0． 当p=2 时，y=2x+2．则直线通过第一、二、三象限． 当+b+=0 时，不妨取+b=-，于是p= =-1，（≠0）， ∴ y=-x-1， ∴ 直线通过第二、三、四象限． 综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系及比例的性质，比较有难度，关键是根据+b=b+=+b=p 列出方程，然后讨论求解． 7． 【详解】试题分析：由于自变量的取值已经确定，此函数又为一次函数．所以应直接把自变量的最小值与 最大值代入函数求值．当x=1 时，y=k；当x=2 时，y=2k﹣ ，∵0＜k＜1，∴k＞2k﹣ ，∴y 的最大值是 k． 故选． 考点：一次函数的性质． 8． 【分析】分别根据反比例函数与一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：一次函数 可化为 ，即一次函数在y 轴上的截距为k， 、由反比例函数的图象可知，k＞0，由一次函数的图象可知k＜0，由一次函数在y 轴上的截距可知k＜0， 两结论矛盾，故本选项错误； B、由反比例函数的图象可知，k-1>0，即k＞1，由一次函数的图象可知0＜k＜1，两结论矛盾，故本选项 错误； 、由反比例函数的图象可知k-1＜0，即k＜1，由一次函数的图象可知k＞0，当x=-1 时，y=0，故0＜k＜ 1，两结论一致，故本选项正确确； D、由反比例函数的图象可知，k＜0，由一次函数的图象可知k＜0，由一次函数在y 轴上的截距可知k＞ 0，两结论矛盾，故本选项错误． 故选． 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与一次函数的图象，熟知以上知识是解答此题的关键． 9． 【分析】根据正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数 的图象均关于原点对称，可求出、两点坐标的关 系，设出两点坐标再根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：∵正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数 的图象均关于原点对称， ∴设点坐标为（x， ），则点坐标为（-x，- ）， ∴S△B= B•B= = ， S△B= B•|- |= = ， ∴S△B=S△B+S△B= + =1 故选． 【点睛】本题考查的是反比例函数与正比例函数图象的特点，解答此题的关键是找出、两点坐标的关系， 设出两点坐标即可． 10． 【分析】先求出直线 ，再确定点的运动轨迹是以点B 为圆心， 为半径的圆，可知所求 面积为弓形，利用扇形和等边三角形的面积公式即可求解． 【详解】 ∵点B 的坐标是 ， ∴ ， ∵直线 经过点， ∴ ， ∴直线 ， ∵ ，点D 由到的运动过程中，线段 扫过的图形是扇形， ∴当点D 与 重合时，点 与 重合，且线段 扫过的图形与 重叠部分是弓形， ∴当点 在直线 上时， ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴重叠部分的面积为 ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，能够根据题意 确定点的运动轨迹是以点B 为圆心， 为半径的圆是解题的关键． 11． / 【分析】由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可得出 ．再根据角平分 线的定义即得出 ，即易证 ，得出 ，设 ，则 ， 从而可求出 ， ， ， ．过点B 作 轴于点 E，作 轴于点G，过点作 轴于点F，作 轴于点，易证 ，即得出 ，从而得出 ．设 ，则 ， ， ，从而可求出 ， ，进而可求出 ，即可求出 ，最后由三角 形面积公式 ，代入数据，即可求出k 的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ． ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ，即 ． 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 设 ，则 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 如图，过点B 作 轴于点E，作 轴于点G，过点作 轴于点F，作 轴于点， ∴ ， ∴ ∴ ， ∴ ，即 ． 设 ，则 ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答为： ． 【点睛】本题为反比例函数综合题，考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，三角 形相似的判定和性质等知识．正确的作出辅助线是解题关键． 12．4 【分析】先根据 ，得到点E，F 的横纵坐标的关系，设出未知数，然后根据相似得到D 点的横纵坐 标的关系，最后列出 进行解方程，即可得到的值． 【详解】连接 ，过 作 于 ，过 作 于 ， 连接 交 于 ，过 作 于 ， ∵在矩形 中， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵反比例函数 （ ）的图像分别与 ， ， 交于 ， ， 三点， ∴设 ， ∴ ∴ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴设 ， ∴ ∴ 将 代入 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ，那么 两点重合， ∵ ∴ 解得 ∴ 【点睛】此题考查反比例函数的几何意义，解题关键是通过相似求出各个点横纵坐标之间的数量关系， 设出未知数，然后将坐标转化为三角形的边长，将已知三角形的面积用未知数表示出来，进而转化出的 值． 1