第08讲 平行线及三角形（含答案详解）-全国重点高中自主招生大揭秘

平行线及三角形 一、单选题 1．（2022 秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，B∥D，点E 在线段B 上，D＝E，若∠B＝30°，则∠D 的度数为 （ ） ．85° B．75° ．65° D．30° 2．（2022 秋·江苏·八年级校考竞赛）如图， 为等边三角形， ，则 等于 （ ） ． B． ． D． 3．（2021·全国·九年级竞赛）将长为15m 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边， 则不同的截法有（ ） ．5 种 B．6 种 ．7 种 D．8 种 4．（2017 秋·浙江杭州·八年级竞赛）下列图形中，正确画出边上的高的是（ ） ． B． ． D． 5．（2017 秋·浙江杭州·八年级竞赛）如图，P 为△B 边B 上的一点，且P=2PB，已知∠B=45°，∠P=60°，那 么∠B 的度数是 （ ） ．45° B．75° ．90° D．60° 6．（2022 秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）如图，直角 中， ， ， ， ，点P 是线段 上一动点（可与点、点B 重合），连接 ，则线段 长度的取值范围 是（ ） ． B． ． D． 7．（2022 秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）如图，已知直线B D，直线EF 分别交直线B，D 于点E，F，EM 平分∠EF 交D 于点M．G 是射线MD 上一动点（不与点M，F 重合）．E 平分∠FEG 交D 于点，设∠ME=α，∠EGF=β．现有下列四个式子：①2α=β，②2α-β=180°，③α-β=30°，④2α+β=180，在 这四个式子中，正确的是（ ） ．①② B．①④ ．①③④ D．②③④ 8．（2022 秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，在△B 中，∠=70°，∠=30°，BD 平分∠B 交于点D，DE∥B，交B 于点E，则∠BDE 的度数是（ ） ．30° B．40° ．50° D．60° 二、填空题 9．（2022 秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）如图， 沿 折叠使点 落在点 处， 、 分别是 、 平分线，若 ， ，则 _____ ． 10．（2022 秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）在 中， ， 的平分线交于点 ， 的外角平分线所在直线与 的平分线相交于点 ，与 的外角平分线相交于点 ，则下 列结论一定正确的是 _____．（填写所有正确结论的序号） ① ；② ；③ ；④ ． 11．（2022 秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）如图，把两块大小相同的含45°的三角板F 和三 角板FB 如图所示摆放，点D 在边上，点E 在边B 上，且∠FE＝13°，∠FD＝32°，则∠DE 的度数为_______． 12．（2022 秋·江苏·八年级校考竞赛）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三 角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为____． 13．（2022 秋·江苏·八年级校考竞赛）如图， 中， 是 上任意一点， 于点 于点F，若 ，则 ________． 14．（2022 秋·江苏·八年级校考竞赛）如图．在 中， ， ．若 ，则 ______． 15．（2022 秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，在 中， ， ，以点为圆心，长为半径 作弧，交直线B 于点P，连结P，则 的度数是_______． 16．（2022 春·湖南长沙·八年级校联考竞赛）如图，已知在△B，△DE 中，∠B=∠DE=90，B=，D=E，点， D，E 三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=E；②BD⊥E；③∠E+∠DB=45°； ④BE=+D，其中结论正确的是___________（填序号） 17．（2018 春·四川自贡·八年级竞赛）如上图，已知 ,则 的度数是 ________ 18．（2022 秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）如图， ，BF，DF 分别平分 和 ， ， 与 互补，则 的度数为______． 三、解答题 19．（2018 春·四川自贡·八年级竞赛）如图，在△B 中，B＝，点D、E、F 分别在B、B、边 且BE＝F， D+E＝B． （1）求证：△DEF 是等腰三角形； （2）当∠＝40°时，求∠DEF 的度数． 20．（2017·全国·八年级竞赛）如图， 中，D 为B 的中点，DE 平分 ，DF 平分 ， ， ，P 为D 与EF 的交点，证明： ． 21．（2022 秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）如图1， ，点E，F 分别在直线 上， ，过点作 的延长线交于点G，交 于点， 平分 ，交 于点， 交 于点M． (1)直接写出 之间的关系： ． (2)若 ，求 ． (3)如图2，在（2）的条件下，将 绕着点E 以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当 边与 射线 重合时停止，则在旋转过程中，当 的其中一边与 的某一边平行时，直接写出此时t 的 值． 22．（2022 秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）如图1，在五边形BDE 中， ， ． (1)猜想B 与D 之间的位置关系，并说明理由； (2)如图2，延长DE 至F，连接BE，若 ， ， ，求∠的度数． 参考答： 1．B 【分析】根据B∥D，可得∠＝∠B＝30°，再由等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵B∥D， ∠ ∴ ＝∠B＝30°， 又∵D＝E， ∠ ∴ D＝∠ED， ∠ ∵ +∠D+∠ED＝180°，即30°+2∠D＝180°， ∠ ∴ D＝75°． 故选：B 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形中，等边对等角是解题 的关键． 2． 【分析】先根据等边三角形的性质可得 ，再根据平行线的性质可得 ，然后根据角的和差即可得． 【详解】解： 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 解得 ， 故选：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键． 3． 【详解】试题分析：已知三角形的周长，分别假设三角形的最长边，从而利用三角形三边关系进行验证即 可求得不同的截法． 解：∵长棒的长度为15m，即三角形的周长为15m ∴①当三角形的最长边为7 时，有4 种截法，分别是：7，7，1；7，6，2；7，5，3；7，4，4； ②当三角形的最长边为6 时，有2 种截法，分别是：6，6，3；6，5，4； ③当三角形的最长边为5 时，有1 种截法，是：5，5，5； ④当三角形的最长边为4 时，有1 种截法，是4，3，8，因为4+3＜8，所以此截法不可行； ∴不同的截法有：4+2+1=7 种． 故选． 考点：三角形三边关系． 4．D 【分析】根据高的定义即可求解． 【详解】解：根据锐角三角形和钝角三角形的高线的画法，可得D 选项中，BE 是△B 中边长的高， 故选：D． 【点晴】此题主要考查高的作法，解题的关键是熟知高的定义． 5．B 【详解】试题解析：过作P 的垂线D，垂足为点D．连接BD； △ ∵PD 中，∠P=60°， ∠ ∴ DP=30°，P=2PD， ∵P=2PB， ∴BP=PD， △ ∴BPD 是等腰三角形，∠BDP=∠DBP=30°， ∠ ∵ BP=45°， ∠ ∴ BD=15°， ∠ ∵ BP=∠P-∠B=60°-45°=15°， ∠ ∴ BD=∠BD=15°， ∴BD=D， ∠ ∵ DBP=45°-15°=30°，∠DP=30°， ∴BD=D， △ ∴BD 是等腰三角形， ∵BD=D， ∴D=D， ∠ ∵ D=90°， ∠ ∴ D=45°， ∠ ∴ B=∠DP+∠D=75°， 故选B 6．D 【分析】根据垂线段最短，找到点P 的位置，利用面积法求出 取值，再比较点P 与点重合，与点B 重 合时的情况，得到 最大值，即可得解． 【详解】解：当点 时， 最短， 此时， ， 当点P 与点重合时， ，当点P 与点B 重合时， ， ∴ 最大值为4， ∴ 的取值范围是 ， 故选D． 【点睛】本题考查了垂线段最短，面积法，解题的关键是找到取最值的情况． 7．B 【分析】分两种情况讨论，即当G 在F 左侧时，当G 在F 的右侧时，根据平行线的性质和角平分线的定义 分别求出2α=β 或2α+β=180°，则可作出判断 【详解】解：如图，当G 在F 左侧时， ∠ ∵ ME=∠MEF-∠EF= ∠EF- ∠GEF= α ， ∠EGF=∠GEB=∠EG=∠EF-∠GEF=β ， ∴2α=β， 故①正确； 如图，当G 在F 的右侧时， ∠ ∵ ME=∠MEF+∠EF= ∠EF+ ∠GEF= α ， ∠EGF=∠GEB=180°-∠EG=180°-∠EF-∠GEF=β ， ∴2α+β=2( ∠EF+ ∠GEF)+180°-∠EF-∠GEF=180°， 故④正确； 综上所述，正确的是①④ ； 故选：B 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质． 8．B 【分析】由三角形的内角和可求∠B，根据角平分线可以求得∠BD，由DE//B，可得∠BDE=∠BD 即可． 【详解】解：∵∠+∠=100° ∠ ∴ B=80°， ∵BD 平分∠B， ∠ ∴ BD=40°， ∵DE∥B， ∠ ∴ BDE=∠BD=40°， 故答为B． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的意义、平行线的性质，灵活应用所学知识是解答本题 的关键． 9．140 【分析】欲求 ，因为 ，所以仅需求 ．根据三角形外角的性质， 得 ．因为 、 分别是 、 平分线，所以 ，进而可求出 ． 【详解】解：如图， 、 分别是 、 平分线， ， ． 又 ， ， 又 ， ， ， ， 由题意得： ， ， ， 故答为：140． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质以及角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质以及角平分线 的定义是解决本题的关键． 10．①②④ 【分析】由角平分线的定义可得 ，再由三角形的内角和定理可求解 ，即可判定①；由角平分线的定义可得 ，结合三角形外角的性质可判 定②；由三角形外角的性质可得 ，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理 可判定③；利用三角形外角的性质可得 ，结合 可判定④． 【详解】解： ， 的平分线交于点 ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确， 平分 ， ， ， ， ，故②正确； ， ， ， ， 平分 ， 平分 ， ， ， ， ， ，故③错误； ， ， ， ．故④正确， 综上正确的有：①②④， 故答为：①②④． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的 定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 11． 【分析】作F 垂直于FE，交于点，可证得 ，由对应边、对应角相等可得出 ，进而可求出 ，则 ． 【详解】作F 垂直于FE，交于点， ∵ 又∵ ， ∴ ∵ ，F=F ∴ ∴F=FE ∵ ∵ ∴ 又∵DF=DF ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答为： ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及其性质，作辅助线F 垂直于FE 是解题的关 键． 12．45°或36° 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答． 【详解】解：①如图1， 当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则=B，D=D=BD， 设∠=x°， 则∠D=∠=x°，∠B=∠=x°， ∠ ∴ BD=∠B=x°， ∠ ∵ +∠B+∠B=180°， ∴x+x+x+x=180， 解得x=45， ∴原等腰三角形的底角是45°； ②如图2， △B 中，B=，BD=D，=D， ∵B=，BD=D，=D， ∠ ∴ B=∠=∠BD，∠D=∠D， ∠ ∵ D=2∠B， ∠ ∴ B=3∠B， ∠ ∵ B+∠B+∠=180°， ∴5∠B=180°， ∠ ∴ B=36°， ∴原等腰三角形的底角为36°； 故答为45°或36° 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及其判定．作此题的时候，首先大致画出符合条件的图形，然后根 据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解． 13．1 【分析】将 的面积拆成两个三角形面积之和，即可间接求出 的值． 【详解】解：连接 ，如下图： 于点 于点 ， ， ， ， 故答是：1． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用面积法解决两边之和问题，解题的关键是：将 的面积 拆成两个三角形面积之和来解答． 14．54° 【分析】首先根据等腰三角形的性质得出∠=∠EF，再根据三角形的外角和定理得出∠+∠EF=∠FE，求出∠ 的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠B 的度数即可． 【详解】∵ F=EF， ∴ ∠=∠EF， ∠ ∵ +∠EF=∠FE=72°， ∴ ∠=36°， ∵ ∠=90°，∠+∠B+∠=180°， ∴ ∠B=180°-∠-∠=54°． 故答为：54°． 【点睛】本题考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键． 15． 或 【分析】分①点P 在B 的延长线上，②点P 在B 的延长线上两种情况，再利用等腰三角形的性质即可得出 答． 【详解】解：①当点P 在B 的延长线上时，如图 ∵ ， ， ∴ ∴ ∵以点为圆心，长为半径作弧，交直线B 于点P， ∴=P ∴ ∵ ∴ ∴ ②当点P 在B 的延长线上时，如图 由①得 ， ∵=P ∴ ∴ 故答为： 或 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论不重不漏是解题的关键． 16．①②③ 【分析】根据全等、等腰三角形以及三角形边的性质即可得出答 【详解】∵∠B=∠DE=90，B=，D=E 又∠BD=∠B+∠D ∠E=∠ED+∠D ∠ ∴ BD=∠E △ ∴BD △ ≌E(SS) ∴BD=E，故选项①正确； ∠ ∴ BD=∠E=45° 又∠DE=45° ∠ ∴ BDE=∠DE+∠BD=90° ∴BD⊥E，故选项②正确； △ ∵BD △ ≌E ∠ ∴ E=∠BD 又∠B=∠BD+∠BD=∠E+∠BD=45°，故选项③正确； 在△BE 中 B+E>BE 又B=，E=D ∴+D>BE，故选项④错误； 故答为：①②③ 【点睛】本题考查的是等腰三角形，难度适中，需要熟练掌握等腰三角形、全等以及三角形的基本性质 17．20°/20 度 【分析】先证明△BD △ ≌E，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵BE=D， ∴BD=E． 在△BD 和△E 中， ∵ ， △ ∴BD △ ≌E（SS）， ∠ ∴ B=∠． ∠ ∵ B=80°， ∠ ∴ =（180° 80° ﹣ ）÷2=50°， ∠ ∴ E=180° 110° 50°=20° ﹣ ﹣ ． 故答为20°． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握SS 证明三角形全等是关键． 18． /36 度 【分析】延长FB 交D 于G,然后运用平行的性质和角平分线的定义，进行解答即可 【详解】解：如图延长FB 交D 于G ∵BF∥ED ∠ ∴ F=∠EDF 又∵DF 平分∠DE， ∠ ∴ DE=2∠F， ∵BF∥ED ∠ ∴ GF=∠EDF=2∠F， ∵B∥D ∠ ∴ BF=∠GF=2∠F， ∵BF 平分∠BE ∠ ∴ BE=2∠BF=4∠F， 又∵∠F 与∠BE 互补 ∠ ∴ F+∠BE=180°即5∠F=180°， 解得∠F=36° 故答为36° 【点睛】本题考查了平行的性质和角平分线的定义，做出辅助线是解答本题的关键 19．（1）见解析；（2）∠DEF＝70°． 【分析】（1）求出E=DB，∠B=∠，根据SS 推出△BED △ ≌FE，根据全等三角形的性质得出DE=EF 即可； （2）根据三角形内角和定理求出∠B=∠=70°，根据全等得出∠BDE=∠FE，求出∠DEB+∠FE=110°，即可得 出答； 【详解】（1）证明：∵B＝， ∠ ∴ B＝∠， ∵B＝D+BD，B＝D+E， ∴BD＝E， 在△DBE 和△EF 中， ， △ ∴DBE △ ≌EF（SS） ∴DE＝EF， △ ∴DEF 是等腰三角形； （2）∵∠＝40°， ∠ ∴ B＝∠＝ ＝70°， ∠ ∴ BDE+∠DEB＝110°， 又∵△DBE △ ≌EF， ∠ ∴ BDE＝∠FE， ∠ ∴ FE+∠DEB＝110°， ∠ ∴ DEF＝70°． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能灵活运 用性质进行推理是解此题的关键． 20．见解析 【分析】想办法证明四边形DEF 是平行四边形，再证明 即可解决问题． 【详解】证明： 平分 ，DF 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是B 中点， ， ≌ ， ， 四边形DEF 是平行四边形， ， ， ，同法可证： ， ． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识， 属于中考常考题型． 21．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得答； （2）根据 ，分别表示出 和 ，再由 ， 可得 的度数； （3）结合（2），分以下几种情况求解：①当 时，延长 交 边于 ，②当 时，③ 当 时，即 与 在同一直线上时，④当 时，⑤当 时． 【详解】（1） ， ， 是 的外角， ， ， 故答为： ； （2） ， ， ， ， ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）①当 时，延长 交 边于 ，如图， ， ， ， ， ， 当 绕 点旋转 时， ， （秒） ②当 时，如图， ， ， ， ， 当 绕点 旋转 时， ， （秒）， ③当 时，即 与 在同一直线上时， 当 绕点 旋转 时， ， （秒）， ④当 时， ， ， 当 旋转 时， ， （秒） ⑤当 时， ， ， 当 旋转 时， ， （秒）， 综上所述，当 的其中一边与 的某一边平行时t 的值为 ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，一元一次方程在几何问题中的应 用，理清题中的数量关系并分类讨论是解题的关键． 22．(1) ，理由见解析 (2) 【分析】（1）由已知可得∠+∠B=180°，再由 ∠=∠ 可得∠+∠B=180°，从而可得B∥D； （2）由（1）及已知可得∠+2∠2=180°，∠ ED+2∠2=180°，从而可得 ． 【详解】（1）解： 与 的位置关系是： ． 证明：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：由（1）知 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ， 即 ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 【点