第03讲 因式分解及分式（含详解答案）-全国重点高中自主招生大揭秘

因式分解及分式 一、单选题 1．（2021·全国·九年级竞赛）若 ，则 （ ） ．是完全平方数，还是奇数 B．是完全平方数，还是偶数 ．不是完全平方数，但是奇数 D．不是完全平方数，但是偶数 2．（2021·全国·九年级竞赛）已知 可被40 至50 之间的两个整数整除，则这两个整数是（ ） ．41，48 B．45，47 ．43，48 D．41，47 3．（2022·福建·九年级统考竞赛）已知实数x，y 满足 且 ，则 的值为（ ） ． B． ． D．2 4．（2021·全国·九年级竞赛）已知， ，满足 ，则 值为（ ） ．1 B． ． D． 5．（2021·全国·九年级竞赛）设＞b＞0，2+b2=4b，则 的值为( ) ．3 B． ．2 D． 6．（2021·全国·九年级竞赛）使代数式y= 的值为整数的全体自然数 的和是( )． ．5 B．6 ．12 D．22 7．（2022·浙江·九年级自主招生）若，b，均为非零实数，且 ，则 的最小值 为（ ） ．6 B．8 ．9 D．13 8．（2023 春·重庆江北·八年级重庆十八中校考期中）已知正整数，b，，d 满足 ，且 ，关于这个四元方程下列说法正确的个数是（ ） ① ， ， ， 是该四元方程的一组解； ②连续的四个正整数一定是该四元方程的解； ③若 ，则该四元方程有21 组解； ④若 ，则该四元方程有504 组解． ．1 B．2 ．3 D．4 9．（2023·重庆·模拟预测）按顺序排列的若干个数： ，（是正整数），从第二个数 开始， 每一个数都等于与它前面的那个数的差的倒数，即： ， ，……，下列说法正确的个数 有（ ） ①若 ，则 ②若 ，则 ③若 ，则 ④当 时，代数式 的值恒为负 ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 二、填空题 10．（2021·全国·九年级竞赛）已知多项式 可分解为两个一次因式的积，则 ______________． 11．（2021·全国·九年级竞赛）满足 的整数对 ，共有______ 对 12．（2023 春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）对于任意两个非零实数、b，定义新运算“*”如下： ，例如： ．若x*y＝2，则 的值为______． 13．（2022·福建·九年级统考竞赛）若正数，b，满足b1， ，则 ______． 14．（2022 春·湖南长沙·八年级校联考竞赛）已知 ，则 _______． 15．（2021·全国·九年级竞赛）已知 满足 ， ， ，则xyz=__________ 16．（2018 春·四川自贡·八年级竞赛） 为常数，且对任何实数都有 成立，则 = _________ 17．（2018 春·四川自贡·八年级竞赛）已知 - =1，则 的值等于 __________ 18．（2022 秋·湖南长沙·七年级校联考阶段练习）已知，b，，d，x，y，z，是互不相等的非零实数，且 ，则 的值为______ ． 三、解答题 19．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式： 20．（2021·全国·九年级竞赛）为何值时，多项式 能分解成两个一次因式的乘 积？ 21．（2018 春·四川自贡·八年级竞赛）已知实数 满足 且 ，求 的值 22．（2017 春·江苏镇江·九年级竞赛）先化简： ，然后从 中选择一个合适 的数代入求值． 23．（2023 春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）若一个四位数 的百位数字与千位 数字的差恰好是个位数字与十位数字的差的倍，则将这个四位数 称作“星耀重外数”．例如： ，∵ ，∴ 是“星耀重外数”；又如 ，∵ ，∴ 不 是“星耀重外数”． (1)判断 ， 是否是“星耀重外数”，并说明理由； (2)一个“星耀重外数” 的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为 ，且满足 ，记 ，当 是整数时，求出所有满足条件的 ． 24．（2022 秋·上海青浦·七年级校考期中）证明： 参考答： 1． 【分析】根据已知得出2007=2006+1，将原式整理为关于2006 的平方形式得出答 【详解】设x=2006，则m=x2+x2(x+1)2+(x+1)2=(x-1-x)2+2x(x+1)+[x(x+1)]2=[x(x+1)+1]2 =(x2+x+1)2,则m=（20162+2016+1）2，所有m 为奇数 【点睛】掌握因式分解法：完全平方法（±b）2=2±2b+b2 2． 【详解】试题分析：因为 =（712+1）（76+1）（7+1）（72-7+1）（7-1）（72+7+1）=（712+1）（76+1）×8×43×6×57 =（712+1）（76+1）×48×43×57，所以可被40 至50 之间的两个整数整除的数是48，43． 故选． 考点：因式分解 3． 【分析】由 可得 ，进而可得 ，解得 或 ，然后再对 进行变形即可解答． 【详解】解：∵ ，得 ， 即 ． ∴ 或 ． 即 或 ． ∴ ，所以 ， ． 故选：． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、立方根、解一元二次方程等知识点，解题的关键是灵活应用相 关定义和运算法则以及整体法来求解． 4．B 【分析】设 ，则x=2k，y=6k，z=3k．代入 求值即可 【详解】设 ， 则 ， ， ∴ ， ， ∴ ， 则 【点睛】此题考查分式的化简求值，掌握运算法则是解题关键 5．D 【分析】由2+b2=4b 可得(+b)2=6b，∴(-b)2=2b，然后根据＞b＞0 得 代入 即 可． 【详解】解：∵2+b2=4b， ∴(+b)2=6b，∴(-b)2=2b， ∵＞b＞0， ∴ ∴ 故选D． 【点睛】本题考查了分式的运算，正确运用完全平方公式是解题的关键． 6．D 【详解】试题分析：解，原式= ，所以： 使得代数式 的值为整数的全体自然数x 分别为0,1,2,3,5,11． 所以全体自然数x 的和为0+1+2+3+5+11=22． 考点：分式 点评：本题难度较低，主要考查了分式的化简与变形的知识，解决本题的关键是对原分式进行正确的分解 与变形． 7． 【分析】根据 ，得到 ， ，将 转化为用表示的式子，构造 一个以 为两个根的一元二次方程，再转化为含字母的一元二次方程，根据方程有两个根，得到 ， 求出的取值范围，即可得解． 【详解】解：∵，b，均为非零实数，且 ， ∴ ， ， ∴ ， ∵b，是方程 的两根， 方程 有两个实数根， 则 ，即 ∵ ， ∴ ，即 ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ， 即 的最小值为9； 故选：． 【点睛】本题考查因式分解和一元二次方程的判别式．解题的关键是将待求代数式，用一个字母进行表示， 构造出一元二次方程． 8．D 【分析】将 ， ， ， 代入到四元方程中看等式两边是否相等即可判断①；设 ，然后代入四元方程即可判断②；先证明 ，同理得 到 ，即可推出 得到 ，据此即可判断③；根据 ③所求可以推出 ，由此即可判断④． 【详解】解：当 ， ， ， 时，方程左边 ，方程右边 ， ∴方程左右两边相等， ∴ ， ， ， 是四元方程的一组解，故①正确； 设 ， ∴ ， ， ∴当 ，四元方程左右两边相等， ∴连续的四个正整数一定是该四元方程的解，故②正确； ∵ ， ，且、d 均为正整数， ∴ ， ∴ ， 同理 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 时， 或 或 或 或 或 ， 同理 时， 或 或 或 或 ， 时， 或 或 或 ， ， 时， ， ∴当 ，该四元方程一共有 组解，故③正确； 由③得 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵，都是正整数，且 ， ∴当 时， ， 当 时， ， ， 当 时， ， ∴满足题意的、b、、d 的值有504 组， ∴若 ，则该四元方程有504 组解，故④正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，二元一次方程的解，解题的关键在于能够正确理解题意，以及 方程的解得含义． 9． 【分析】①将 代入式子依次计算即可；②从 开始依次计算出 ，即可找到周期性规律； 然后利用规律计算 即可；③利用规律找到 之间的规律，将 分别用 表示， 解方程即可；④利用规律将 化简得二次函数，利用二次函数求最值即可． 【详解】解：①将 代入 得： ， 然后依次求得： 故①正确 ② 由①可归纳得出规律：周期性为3；将 可以求得： ， 则：每个周期的和为 ， 中共 个数据， 周期个数为： 个 则： 故②错误 ③由规律得： ， ， 当 代入可得： ， 将三个数值代入 中得 故③正确 ④将 分别用 表示得： ， ， 则 ， ， 化简得：上式 开口向下，最大值为 ， 的对称轴为 ， ，所以 或 时， 有最大值0（取不到） 的值恒为负 故④正确 故选 【点睛】本题考查了归纳概括能力，相关知识点有：分式的化简、二次根式的化简、二次函数求最值、有 理数的运算等，归纳得出周期性规律是解题关键． 10．-18 【分析】设原式可分解为(x+ky+)(x+ly+d)， 展开后得出x2+(k+l)xy+kly2+(+d)x+(l+dk)y+d,推出 d=-24,+d=-5,l+dk=43,k+l=7,=kl 求出即可 【详解】解：∵多项式的第一项是x2，因此原式可分解为： (x+ky+)(x+ly+d) ∵ (x+ky+)(x+ly+d)= x2+(k+l)xy+kly2+(+d)x+(l+dk)y+d， ∴d=-24,+d=-5, ∴=3,d=-8, ∵l+dk=43, ∴3l-8k=43, ∵k+l=7, ∴k=-2,l=9, ∴=kl=-18 故答为-18 【点睛】此题考查因式分解的概念，根据题意得出d=-24,+d=-5,l+dk=43,k+l=7,=kl 是解决问题的关键． 11．3 【分析】把含字母的式子整理到等式的左边，常数项整理到等式的右边，把等式的左边进行因式分解，判 断相应的整数即可 【详解】∵2-m2=19982-19972=3995=5×17×47 ∴(-m)(+m)= 5×17×47 对于3995 的任意整数分解均可得到(m，)，故满足条件的整数对(m，)共有3 对 【点睛】熟练掌握因式分解的运用，本题考查平方差公式2-b2=（+b）（-b） 12．1011 【分析】根据新运算法则可得 ，即 ，代入原式化简即可求解． 【详解】解：由题意得： x*y＝2，即 ，则： ， 则 ， 故答为：1011． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，理解新运算法则，将已知化为未知的形式进行化简是解题的关键． 13． 【分析】计算 ，然后整体代入求解即可；或者把已知条件组成方程组，解方程组求 出 ， ，代入计算即可． 【详解】解：解法一：因为 所以 ， 解得 ． 故答为： ． 解法二：由 ，得 ， 因此 ， ． 由此可得 ， ． 所以 故答为： ． 【点睛】本题考查了分式的运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，注意运用整体思想求解． 14．-2 或0 或-1 或2 【分析】根据零指数幂的性质，得出 或底数是-1 指数是偶数或 ，解方程求出x，验 证底数不为0 即可． 【详解】解：∵ ， 分三种情况讨论： ∴ 或x2-x-1=-1 且指数为偶数或 ， （1）当 时， ∴ ， 当 时 ， ∴ ， （2）x2-x-1=-1 且指数为偶数时， x=0; (3)当 时， 因式分解得 解得 故答为-2 或0 或-1 或2． 【点睛】本题考查零指数幂性质，一元一次方程，一元二次方程解法，掌握任何不等于0 的0 次幂为1， 底数为-1 的偶次方为1，底数为1 的任何次方为1 是解题关键． 15．1 【分析】分别将三个等式相乘、相加，联立可得到一个只含有 的等式，求解即可 【详解】 三个等式相加得： 三个等式相乘得： 整理得： 将①代入②得： ，即 令 则 解得： 经检验， 是方程 的解 则 故答为：1 【点睛】本题考查了分式的化简求值，观察已知等式，将它们分别相加、相乘，再代入求解是一种常用的 解题思路，需熟练掌握 16．1 ； 【详解】解：∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，解得： ，∴ =1．故答为1． 17．0 ； 【详解】解：∵ =1，∴b = ﹣b，∴﹣b=﹣b，∴ = =0．故答为0． 18．2 【分析】设 ，即有： ，化简： ，则有： ， ， ，设 ， ，即 ， ， ， ，则问题即可得解． 【详解】结合，b，，d，x，y，z，是互不相等的非零实数进行下述运算， 设 ， 则有： ， 即有： ， 化简： ， 则有： ， ， ， 设 ， ， 即 ， ， ， 则有： ， ， 即有： ， 则有： ， 故答为：2． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则和性质是解题的关键． 19．(x-z)(y-z)(x-y)(x+y+z) 【分析】去括号整理后可得x3(y-z)+y3(z-x)+z3(x-y)，由x-y=(x-z)+(z-y)，原式可变为x3(y-z)+y3(z-x)+z3[(x-z) +(z-y)]，将中括号去掉，把小括号作为整体，重新分组分解即可 【详解】xy(x2-y2)+yz(y2-z2)+zx(z2-x2) =x3y-xy3+y3z-yz3+z3x-zx3 =x3(y-z)+y3(z-x)+z3(x-y) ∵x-y=(x-z)+(z-y), ∴原式=x3(y-z)+y3(z-x)+z3[(x-z)+(z-y)] =(x3-z3)(y-z)+(y3-z3)(z-x) =(x-z)(x2+xz+z2)(y-z)+(y-z)(y2+yz+z2)(z-x) =(x-z)(y-z)(x2+zx+z2-y2-yz-z2) =(x-z)(y-z)(x-y)(x+y+z) 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解因式分解常用的 方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法 因式分解必须分解到每个因式都不能再 分解为止 20．k=-3 【分析】首先由x2+3x+2=(x+1)(x+2)，可设多项式=(x+my+1)×(x+y+2)，然后根据多项式乘以多项式的运算 法则求(x+my+1)×(x+y+2)的值，又由多项式相等时对应项的系数相等，可得方程组m+=-2、m=k、 2m+=-5，解得m 和的值，并求出k 值 【详解】因为x2+3x+2=(x+1)(x+2)，所以令原式=(x+my+1)×(x+y+2)，即x2+(m+)xy+my2+3x+(2m+)y+2=x2- 2xy+ky2+3x-5y+2,所以m+=-2、m=k、2m+=-5,求得m=-3，=1，所以k=m=-3，所以当k=-3 时，多项式x2- 2xy+ky2+3x-5y+2 能分解成两个一次因式的积 【点睛】熟练掌握因式分解提公因式法、公式法． 21．2 【详解】试题分析：展开已知条件可得 ，得到+=2b，即可得到结论． 试题解析：解：∵ ， ∴ ， ， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 点睛：本题考查了分式化简求值．解题的关键是把已知进行变形，得到 ． 22．化简结果为： ；将x=2 代入得： ； 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简 结果，将x 的值代入计算即可求出值 【详解】 解：原式 ， ∵ ， ∴可以取x=2， ∴原式= ． 【点睛】本题考查分式的混合运算，因式分解，能够熟练进行分式的混合运算是解决本题的关键． 23．(1) 不是“星耀重外数”， 是“星耀重外数”；理由见解析 (2) 或 或 【分析】（1）根据题干中的新定义判定求解； （2）根据新定义将 化为 ， 由题意可得： 为整数，从而推导出 是 的整数倍，利用因式分解 ，结合 ，可得 ， ，再分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ 不是“星耀重外数”； ∵ ， ∴ 是“星耀重外数”． ∴ 不是“星耀重外数”， 是“星耀重外数”． （2）∵一个“星耀重外数” 的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为 ， ， ∴ ，且，，， 均为正整数， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 由题意可得： 为整数， 又∵ 是整数， ∴ 是 的整数倍， ∵ ， 又∵ ， ∴ ， ， ∴有以下几种情况： 当 ， 时，即 ， ， ∴ ， ， 此时 为 ； 当 ， 时，即 ， ， ∴ ， 解得： ， ， 此时 为 或 ； 当 ， 时，即 ， ，不符合题意； 综上所述，满足条件的 的值为 或 或 ． 【点睛】本题考查因式分解的应用和新定义，运用了分类讨论的思想．理解新定义是解题的关键． 24．见解析 【分析】根据完全平方公式进行计算得出 即可得证． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， 即 ， 整理得 ， ∵ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了完全平方公式，平方的非负性，掌握完全平方公式是解题的关键．