第04讲 二次根式（含详解答案）-全国重点高中自主招生大揭秘

二次根式 一、单选题 1．已知实数x，y 满足（x- ）（y- ）=2008，则3x2-2y2+3x-3y-2007 的值为（ ） ．-2008 B．2008 ．-1 D．1 2．下列根式中，是最简二次根式的是( ) ． B． ． D． 3．化简： 的结果是（ ） ．6 B． ． D． 4．记 ，则 （ ） ． B． ． D． 5．已知 的三边长为，，，有以下三个结论：（1）以 ， ， 为边长的三角形一定存在； （2）以 ， ， 为边长的三角形一定存在；（3）以 ， ， 为边长的三角 形一定存在．其中正确结论的个数是（ ）． ．0 个 B．1 个 ．2 个 D．3 个 6．如果一个三角形的三边长分别为1，k，3，则化简 的结果是（ ） ．-5 B．1 ．13 D．19-4k 7．设、b 是整数，方程x2+x+b=0 的一根是 ，则 的值为（ ） ．2 B．0 ．-2 D．-1 8．已知 ，将 的整数部分加上 的小数部分的倒数得到 ，再将 的整数部分加上 的小数 部分的倒数得到 ，以此类推可得到 ， ，……， ．如 的整数部分为1，小数部分为 ，所 以 ．根据以上信息，下列说法正确的有（ ） ① ；② 的小数部分为 ；③ ；④ ；⑤ ． ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 二、解答题 9．求 的值． 解：设x= ，两边平方得： ，即 ，x2=10 ∴x= ． ∵ ＞0，∴ = ． 请利用上述方法，求 的值． 10．先化简，再求值： ，其中 ． 11．观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： 例1： 例2： ， ，… （1） = ； （2）请你用含 (为正整数)的关系式表示上述各式子的变形规律； （3）利用上面的规律，求下面式子的值： 12．（1）已知 ，求，的值． （2）化简 的结果是______． 13．若实数x，y 满足（x﹣ ）（y﹣ ）＝2016． （1）求x，y 之间的数量关系； （2）求3x2 2 ﹣y2+3x 3 ﹣y 2017 ﹣ 的值． 14．阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理 化因式 例如： ，我们称 的一个有理化因式是 的一个有理 化因式是 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中 不含根号，这种变形叫做分母有理化 例如： ， 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1) 的有理化因式为______， 的有理化因式为______(均写出一个即可) (2)将下列各式分母有理化(要求写出变形过程)： ① ② (3)请从下列，B 两题中任选一题作答，我选择题 计算： 的结果为______ B 计算： 的结果为_____ 15．阅读下列材料，然后回答问题，在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如如 一样的 式子，其实我们还可以将其进一步化简： ＝ ＝ （1） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ＝ （2） ①请参照（1）（2）的方法用两种方法化简： 方法一： ＝ 方法二： ＝ ②直接写出化简结果： ＝ ＝ ③计算： + + +…+ + 16．定义 ，求 + …+ +…+ 的值 17．设 ， ，求为何值时，代数式 的值为2001 18．阅读下列两则材料，回答问题： 材料一：我们将 与 称为一对“对偶式”因为 ，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将 和 中的 去掉例如：已知 ，求 的值．解： ， 材料二：如图，点 ，点 ，以B 为斜边作 ，则 ，于是 ， ，所以 反之，可将代数式 的值看作点 到点 的距离 例如： = ． 所以可将代数式 的值看作点 到点 的距离． 利用材料一，解关于x 的方程： ，其中 ； 利用材料二，求代数式 的最小值，并求出此时y 与x 的函数关系式，写出x 的取值范围； 将 所得的y 与x 的函数关系式和x 的取值范围代入 中解出x，直接 写出x 的值． 19．经研究发现： ，由于30 没有大于1 的平方约数，因此 为有理数的条件是正整数 （其中t 为正整数）． (1)若正整数使得 ，则的值为_________． (2)已知、b、是正整数，满足 ．当 时，称 为“三元数组”． ①若 为“三元数组”，且 ，则 ________； ②若 为“三元数组”，且 ，则 ________， ________； ③“三元数组”共有_________个． 三、填空题 20．计算 ，所得的结果是______ 21．已知，是正整数，且满足 是整数，则这样的有序数对 共有________对． 22．已知 ，则 =_______ 23．设 表示最接近的整数( ，为整数)，则 的 值为______ 24．观察下列等式： 第1 个等式： ， 第个等式： ， 第个等式： ， 第个等式： ， … 按上述规律，计算 ___________． 参考答： 1．D 【详解】由（x- ）（y- ）=2008，可知将方程中的x,y 对换位置，关系 式不变， 那么说明x=y 是方程的一个解 由此可以解得x=y= ，或者x=y=- ， 则3x2-2y2+3x-3y-2007=1， 故选D 2． 【详解】解：． ，不是最简二次根式； B． =2 ，不是最简二次根式； ． 是最简二次根式； D． ，不是最简二次根式； 故选． 【点睛】本题考查了最简二次根式，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根 式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方 数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式． 3．D 【分析】利用完全平方公式化简 即可 【详解】 故选D 【点睛】本题考查多重二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式是解题关键 4．D 【分析】 利用完全平方公式可化简为 ，再 利用二次根式的性质即可开方，再分别取k=1，2，3，4，…，，并相加求得 ，取=2016 即可求得结果． 【详解】 ． 所以 ， 故 ． 所以 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的化简及运算、二次根式的性质，就 中项的一般形式化简是本 题的关键． 5． 【分析】不妨设0＜≤b≤，利用作差法求出（ ＋ ）2－（ ）2的符号和三角形的三边 关系即可判断（1）；利用举反例的方法即可判断（2）；假设 ≤ ≤ ，根 据绝对值的性质： 和三角形的三边关系，即可得出结论． 【详解】解： 的三边长为，，，不妨设0＜≤b≤， ∴＋b＞， ＜ ＜ 则（ ＋ ）2－（ ）2 = = ∵ ∴ ＞0 ∴（ ＋ ）2＞（ ）2 ∴ ＋ ＞ ∴以 ， ， 为边长的三角形一定存在，故（1）正确； 令=2，b=3，=4，此时＋b＞，符合条件 此时 ＋ =13， =16， ∴ ＋ ＜ ∴以 ， ， 为边长的三角形不一定存在，故（2）错误； 假设 ≤ ≤ 根据绝对值的性质： ＋ ≥ = ∴ ＋ ＋2＞ ∴ ＋ ＞ ∴以 ， ， 为边长的三角形一定存在，故（3）正确． 综上：正确的有2 个 故选． 【点睛】此题考查的是三角形的三边关系、二次根式的运算和绝对值的性质，掌握三角形 的三边关系、二次根式的运算法则、利用举反例说明假命题和绝对值的性质是解决此题的 关键． 6．B 【详解】由三角形三边关系得：2＜k＜4， ， ，所以原式等于 ，所以选B． 7． 【分析】先化简 ，再代入方程x2+x+b=0 并整理，根据题意列出二元一次方程组并 求解求得和b 的值，再代入计算即可． 【详解】解： = = 1． ∵方程x2+x+b=0 的一根是 ， ∴ + +b=0． ∴ ． ∴ ． ∵、是整数， ∴ 解得 ∴ = = ． 故选：． 【点睛】本题考查二次根式的化简，一元二次方程的解，二元一次方程组的应用，正确构 造二元一次方程组是解题关键． 8．B 【分析】根据定义找到 的规律，再逐个判断即可． 【详解】解：由题意得， ，它的整数部分为2，小数部分 为 ； ，它的整数部分为4，小数部分为 ； ，它的整数部分为5，小数部分为 ； ，它的整数部分为7，小数部分为 ； ，它的整数部分为8，小数部分为 ； ，它的整数部分为10，小数部分为 ； ∴为奇数时， ，它的整数部分为 ，小数部分为 ； 为偶数时， ，它的整数部分为 ，小数部分为 ； ∴① ，正确； ② 的小数部分为 ，错误； ③ ，正确； ④ ，错误； ⑤ ，正确； 综上所述，正确的是①③⑤,共3 个； 故选：B． 【点睛】本题考查的是数字类规律探究、估算无理数的大小，二次根式的混合运算，通过 计算找到规律是解题的关键． 9． 【分析】根据题意给出的解法即可求出答即可． 【详解】设x= + ， 两边平方得：x2=（ ）2+（ ）2+2 ， 即x2=4+ +4﹣ +6， x2=14 ∴x=± ． ∵ + ＞0，∴x= ． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于 中等题型． 10．1 【详解】分析：将括号内的部分通分后相减，再将除法转化为乘法后代入求值． 解：原式= ． 当 时，原式= ． 11．（1） ；（2） ；（3） -1 【分析】（1）利用分母有理化求解； （2）按照所给等式的变化规律写出第个等式即可； （3）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算． 【详解】解：（1） = = 故答为： （2） （3） = = -1 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二 次根式的乘除运算，再合并即可，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运 用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功． 12．（1）x=3 或y=2； ， ；（2） 【分析】（1）把等式右边展开和左边对比，据含根号的项相等和不含根号的项相等，列出 关于x、y 的方程组，解方程组即可． （2）变形 ， 设 运用（1）的方法求出x、y 再进 行化简即可 【详解】解：（1） ， 解得， ， 即 ， 或者 ， ． （2）因为 ， 故设 ∴ 得 解得， ， ∴ = = ． 【点睛】此题考查二次根式的化简，对于二重根号 ，其关键是要列方程组找到 x、y，使得 成立． 13．（1）x=y；（2）-1 【分析】（1）将式子变形后，再分母有理化得①式：x﹣ ＝y+ ，同理 得②式：x+ ＝y﹣ ，将两式相加可得结论； （2）将x=y 代入①式得：x2=2016，再代入原式结合x2=2016，计算即可． 【详解】解：（1）∵（x﹣ ）（y﹣ ）＝2016， ∴x﹣ ＝ ＝ ＝y+ ①， 同理得：x+ ＝y﹣ ②， ①+②得：2x＝2y， ∴x＝y， （2）把x＝y 代入①得：x－ ＝x+ ， ∴x2＝2016， 则3x2－2y2+3x－3y－2017， ＝3x2－2x2+3x－3x－2017， ＝x2－2017， ＝2016－2017， ＝－1． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简, 掌握分母有理化的方法是解题的关键 14．(1) ；(2)① ；② ；(3)： ；B： 【分析】（1） 乘以本身即可得有理数； 乘以 可得有理数，因此填 ， ；（2）①中的分母乘以 即可分母有理化；②中分子分母都乘以 ； （3）将每项分母有理化后进行加法计算即可 【详解】解：(1) 乘以本身即可得有理数； 乘以 可得有理数， 因此填 ， ； (2)① ② (3)： = B： = = 故填 ；B 填 【点睛】此题是阅读理解题，理解题意很重要，根据题意找到相应的分母有理化因式，才 能将每个因式分母有理化 15．①方法一： ＝ ＝ 方法二： ＝ ② ； ；③ 【分析】①根据材料运用的两种方法进行分母有理化即可； ②根据材料运用的两种方法进行分母有理化即可； ③先分母有理化，再根据式子的规律即可求解 【详解】①方法一： ＝ ＝ 方法二： ＝ ② ＝ ＝ ＝ ＝ 故答为 ； ③ + + +…+ + 【点睛】本题主要考查二次根式的分母有理化，分析材料，运用材料的方法是解题关键 16．5 【分析】将 进行分母有理化，分子分母同时乘以 可得 ，进而求得 ， ， ，则 【详解】 ， ， ， ，…， ． ． 【点睛】本题以新定义型题形式考查了二次根式的运算，解本题的关键是通过分母有理化 将 简化，再代值得到 ，即可解题 17．t=2 【分析】将x，y 部分进行分母有理化可得 ， 原代 数式进行整理可得： ，代x，y 值即可解题 【详解】 ， ， ． 由题知 ． 则 ． 或 (舍去)． 当 时，代数式 的值为2001． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解一元二次方程，解本题的关键是通过对x，y 进行 分母有理化及对代数式用完全平方公式进行整理即可解题 18．（1） ；（2）① ， ；② 【分析】 根据理解材料一的内容进行解答，比对这题很容易解决． 中把根式下的式子转化成平方平方的形式，转化成点到点的距离问题，根据两点之 间距离最短，所以当三个点共线时距离最短，可以求出最小值和函数关系式 中也根据材料二的内容来解答求出x 的值． 【详解】 根据材料一； , ， ， , , 解得： , ； 解：由材料二知： ， ， 可将 的值看作点 到点 的距离 的值看作点 到点 的距离， ∴ ， 当代数式 取最小值， 即点 与点 ， 在同一条直线上，并且点 位点 的中间， 的最小值 = ， 且 ， 设过 ， ， 的直线解析式为： ， 解得： ， ； 中， ， ( ), ⅰ 又 ( ) ⅱ 由( ) ⅰ 得： ， 解得： 舍， ， 的值为 【点睛】本题是材料阅读题，属于新定义题，理解新定义的内容是解题的关键 19．(1)120 (2)①270；② ， ；③3 【分析】（1）根据算术平方根的定义即可求解； （2）①由 可得 ，即可解答； ②设 ， （， 为正整数而且 ），由 可得 ，进行求 解即可； ③设 ， ， （，，为正整数而且 ），可得 ， 根据分子为1 的分数和为1 的分数的特点进行讨论求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 故答为： ； （2）①∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答为：270， ②∵ ， ∴ ， ∴ ， 设 ， （， 为正整数而且 ）， ∴ ，即 ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ； 故答为：120，1080； ③设 ， ， （，，为正整数而且 ）， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ∴ ， ， 当 时， ，此时 ， ， 当 ，∴ ，∴ ， 当 时，同②， ， ， ； 当 时， ， ， ， ； 综上所述：“三元数组”共有3 个． 故答为：3 【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，理解题干所给的提示，将 转化为几个分子为1 的分数和为1 的分数的式子求解是解题关键． 20．2005 【分析】先把“2005×2006×2007×2008+1=（20052+3×2005+1）2”化为完全平方的形式，再 开平方，然后再来求值． 【详解】∵2005×2006×2007×2008+1 =2005×（2005+3）×（2005+1）（2005+2）+1 =（20052+3×2005）×（20052+3×2005+2）+1 =（20052+3×2005）2+2（20052+3×2005）+1 =（20052+3×2005+1）2 ∴ =20052+3×2005+1； ∴ -20062 =20052+3×2005+1-20062 =（2005+2006）（2005-2006）+3×2005+1 =2005； 故答为2005． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值．解答此题的难点是化 “2005×2006×2007×2008+1”为完全平方的形式，并开平方，然后再利用平方差公式求出 20052-20062=（2005+2006）（2005-2006）的值． 21．7 【分析】把2 放在根号下，得出 + ，2 ( )是整数，、b 的值进行讨论， 使 和 为整数或和为整数，从而得出答． 【详解】∵2 ( )= + ， ∴当、b 的值为15，60，135，240，540 时， 当=15，b=15 时，即2 ( )=4； 当=60，b=60 时，即2 ( )=2； 当=15，b=60 时，即2 ( )=3； 当=60，b=15 时，即2 ( )=3； 当=240，b=240 时，即2 ( )=1； 当=135，b=540 时，即2 ( )=1； 当=540，b=135 时，即2 ( )=1； 综上可得共有7 对． 故答为7． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，解决此题的关键是分类讨论思想，得出、b 可能的取值． 22．44 【分析】由已知条件，等式两边同时乘以 ，再利用平方差公式化简 即可得出 【详解】解： 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，注意利用平方差公式和整体带入求得答 23．5050． 【分析】根据题意可判断 ，又 表示最接近的整数( ， 为整数)，，则 ，故可知原式= =1+2+3+······+100=5050 【详解】 ， ， 从而原式 ． 【点睛】本题以新定义型题形式考查了二次根式的运算，解本题的关键是通过已知可推出 ，即可解题 24． / 【分析】首先根据题意，可得： ，然后根据分母有理数化的方法，求出算 式的值是多少即可． 【详解】解：第个等式： ， 第个等式： ， 第个等式： ， 第个等式： ， … 第个等式： ， 故答为： ． 【点睛】此题主要考查了分母有理化的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分 母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．