第01讲 有理数的运算（含详解答案）-全国重点高中自主招生大揭秘

有理数的运算 一、单选题 1．（2022·福建·九年级统考竞赛）将形如3m 和 （m，为正整数）的正整数从小到大排列，并依次记为 若第k 个数 ，则k 的值为（ ） ．682 B．683 ．684 D．685 2．（2021·全国·九年级竞赛）若关于x 的方程|x+1|+|x-1|= 有实根．则实数的取值范围是( )． ．≥0 B．>0 ．≥1 D．≥2 3．（2019 秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）在数轴上点 、 所表示的数分别为 和5，点 在数轴上， 且点 到点 、 的距离之和为13，则点 所表示的数为（ ） ． B．8 ． 或8 D．3 或 4．（2019 秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）下列说法：①若、互为相反数，则 ；②若 ， 则、互为相反数；③一个数的平方是它本身，则这个数为0 或1；④若 ，则 ，其中正 确的是（ ） ．②③ B．①② ．①③④ D．②③④ 5．（2017 秋·浙江杭州·七年级竞赛）有理数，b 在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式 的值是（ ） ．﹣1 B．0 ．1 D．2 6．（2022·广东·九年级统考竞赛）已知x 为实数，且 的值是一个确定的 常数，则这个常数是（ ）． ．5 B．10 ．15 D．75 7．（2020 秋·江西·七年级江西省于都中学校考竞赛）下列各有理数中，属于正数的有（ ） ①001；② ；③15 的绝对值；④0；⑤ ；⑥-2333 的相反数 ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 8．（2021·全国·九年级竞赛）已知非零实数，满足 ，则 等于（ ）． ．－1 B．0 ．1 D．2 9．（2022·广东·九年级统考竞赛）某大学毕业生为自主创业于2021 年8 月初向银行贷款360000 元，与银 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升育 址：sp492842749tbm 行约定按“等额本金还款法”分10 年进行还款，从2021 年9 月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利 率为 ，现因经营状况良好，准备向银行申请提前还款，计划于2026 年8 月初将剩余贷款全部一次还 清，则该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少（ ）（注：“等额本金还款 法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成．一部分为每期本金，即贷款 本金除以还款期数；另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．1 年按12 个月计算） ．18300 元 B．22450 元 ．27450 元 D．28300 元 10．（2019 秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）有一口水井，水面比井口低 ，一只蜗牛从水面沿井壁往井 口爬，它每天白天向上爬行 ，但每天晚上又下滑 ，蜗牛爬出井口需要的天数是（ ） ．6 天 B．7 天 ．8 天 D．9 天 11．（2021·全国·九年级竞赛）设 ，则与最接近的正整数为（ ） ．18 B．20 ．24 D．25 12．（2019 秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）一个整数 用科学记数法表示为 ，则原数 中“0”的个数为 ．8 B．9 ．10 D．11 13．（2021·全国·九年级竞赛）某人将2008 看成了一个填数游戏式：2□□8．于是，他在每个框中各填写了 一个两位数 与 ，结果发现，所得到的六位数 恰是一个完全立方数．则 + =（ ） ．40 B．50 ．60 D．70 14．（2017 秋·江苏镇江·九年级竞赛）设= ，b= ，= ，则，b，之间的大 小关系是（ ） ．<b< B．<b< ．<<b D．<<b 15．（2021·全国·九年级竞赛）若x 为实数，记{x}=x-[x]（表示不超过x 的最大整数），则方程:2006x+{x} = 的实根的个数是( )． ． B．1 ．2 D．大于2 的整数 二、解答题 16．（2020 秋·江西·七年级江西省于都中学校考竞赛）已知数轴上点与点B 相距12 个单位长度，点在原点 的右侧，到原点的距离为22 个单位长度，点B 在点的左侧，点表示的数与点B 表示的数互为相反数，动 点P 从出发，以每秒1 个单位的速度向终点移动，设移动时间为t 秒． （1）点表示的数为______，点表示的数为______． （2）用含t 的代数式表示P 与点的距离： ______． （3）当点P 运动到B 点时，点Q 从点出发，以每秒3 个单位的速度向点运动，Q 点到达点后，再立即以 同样的速度返回，回到点处停止运动． ①在点Q 运动过程中，请求出点Q 运动几秒后与点P 相遇? ②在点Q 从点向点运动的过程中，P、Q 两点之间的距离能否为3 个单位?如果能，请求出此时点P 表示的 数；如果不能，请说明理由． 17．（2017 春·安徽芜湖·七年级竞赛）如果有理数，b 满足 ，试求 +…+ 的值． 18．（2019 秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）已知 ， ， ，化简： 19．（2022 春·山东济南·六年级校考竞赛）如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中 任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． （1）可求得x=___，第2009 个格子中的数为___； （2）判断：前m 个格子中所填整数之和是否可能为2018？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由； （3）如果，b 为前三个格子中的任意两个数，那么所有的|−b|的和可以通过计算|9−&mp;|+|9−#|+|&mp;−#|+| &mp;−9|+|#−9|+|#−&mp;|得到，若，b 为前19 个格子中的任意两个数，则所有的|−b|的和为___． 20．（2022·福建·九年级统考竞赛）将1，2，3，…，16 这16 个数分成8 组 若 ．求 的最小值． 必要时可以利用排序不等式（又称排序原理）：设 ， 为两组实数， 是 的任一排列，则 ． 21．（2023 春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）对于任意一个四位数，我们可以记为 ，即 ．若规定： 对四位正整数 进行 F 运算，得到整数 ．例如， ； ． （1）计算： ； （2）当 时，证明： 的结果一定是4 的倍数； （3）求出满足 的所有四位数． 三、填空题 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升育 址：sp492842749tbm 22．（2017 春·安徽芜湖·七年级竞赛）如果b＜0，那么 =__． 23．（2022 秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考竞赛）在有理数的原有运算法则中我们定义一个新运算 “★”如下： 时， ； 时， ．则当 时，代数式 的值为_ _________． 24．（2020 秋·江西·七年级江西省于都中学校考竞赛）公元前2000 年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中 有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用 的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位，根据符号记数的方 法，右下面符号表示一个两位数，则这个两位数是_______． 25．（2021·全国·九年级竞赛）已知， ，是三个互不相同的非零实数，设 ， ， ， ．则与的大小关系是_______；与 的大小关系是 ______． 26．（2020 秋·江西·七年级江西省于都中学校考竞赛）如图，有一个半径为 个单位长度的圆，将圆上的 点 放在原点，并把原片沿数轴逆时针滚动一周，点 到达点 的位置，则点 表示的数是______；若点 表示的数是-314，则点 在点 的______（填“左边”、“右边”或“重合”）． 参考答： 1． 【分析】先确定 和 不等，考虑在从小到大排列的形如 ( 为正整数)的正整数3，6，9，27，…中， 从小到大添加形如 ( 为正整数)的数．再根据 即可． 【详解】易知形如 和 ( ，为正整数)的正整数不可能相等． 考虑在从小到大排列的形如 ( 为正整数)的正整数3，6，9，27，…中，从小到大添加形如 ( 为正整 数)的数． 由 知，将形如 ( 为正整数)的正整数从小到大排列，2022 是第674 个数． 由于 ， ，所以有10 个形如 ( 为正整数)的数小于2022，这10 个数排在 2022 前面． 所以 ． 【点睛】本题考查数字排列规律问题，掌握因数分解方法，有理数大小比较是解题关键． 2．D 【分析】根据绝对值性质，将|x+1|+|x-1|= 去掉绝对值，需要分为x＜−1、−1≤x≤1、x＞1 三种情况讨论， 然后根据求得的值解不等式，从而求得的取值范围． 【详解】解：当x＜−1 时， 原式去绝对值得：−x−1−x＋1＝， 解得x＝− ． ∴− ＜−1． ∴＞2． 当−1≤x≤1 时， 原式去绝对值得：x＋1−x＋1＝， 解得：＝2． 当x＞1 时， 原式去绝对值得：x＋1＋x−1＝， 解得x＝ ． ∴ ＞1． ∴＞2． 综上所述：≥2． 故选：D． 【点睛】本题将一元一次方程、绝对值、不等式进行结合，考查知识点较多，同时也考查了分类讨论思想 的应用． 3． 【分析】根据数轴可知B=7，点 到点 、 的距离之和为13，所以点在点的左侧或点B 的右侧，分这两 种情况讨论求解即可 【详解】解：B=5-（-2）=7，点 到点 、 的距离之和为13， 点在点的左侧或点B 的右侧， 设点表示的数为x， ①当在点的左侧时，依题意得(-2-x)+(5-x)=13 解得，x=-5； 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升育 址：sp492842749tbm ②当点在点B 的右侧时，依题意得x-(-2)+x-5=13 解得，x=8； ∴点表示的数为-5 或8； 故选： 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用及数轴上两点之间的距离，能通过题目找出相等关系列出方程是 关键，这里还需要注意分类讨论的问题． 4． 【分析】①取= =0，可作出判断； ②两边乘以5b 得出与b 的关系，可作出判断； ③根据平方的性质，可作出判断； ④取= 时，计算出则 和 的值，可作出判断 【详解】解：①当= =0 时，有 ，故①错误； ②若 ，则=- 所以、互为相反数，故②正确； ③一个数的平方是它本身，则这个数为0 或1，故③正确； ④当= 时，则 ， ，所以 ，故④错误 故选： 【点睛】本题考查了有理数的相反数、倒数、绝对值、乘方等知识点，掌握相关知识点是解题的关键． 5．D 【详解】由数轴得，+1>0，<0，-b<0，b-1<0， = 故选D 【点睛】本题考查了化简绝对值问题，根据 ，此时，可以看作一个式子，是正数或0，则把 绝对值变成括号，如果是负数，则绝对值变括号，前面加负号． 6． 【分析】将 按照每一段的取值范围进行分类讨论，即可得到答． 【详解】解：（1）当 时，原式 ，不是常数； （2）当 时，原式 ，不是常数； （3）当 时，原式 ，不是常数； （4）当 时，原式 ，不是常数； （5）当 时，原式 ，不是常数； （6）当 时，原式 ，不是常数； （7）当 时，原式 ，不是常数； （8）当 时，原式 ，不是常数； （9）当 时，原式 ，不是常数； （10）当 时，原式 ，不是常数； （11）当 时，原式 ，是常数； （12）当 时，原式 ，不是常数； （13）当 时，原式 ，不是常数； （14）当 时，原式 ，不是常数； （15）当 时，原式 ，不是常数； （16）当 时，原式 ，不是常数． 故选：． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，解决本题的关键是弄清绝对值的性质以及具有分类讨论的意识． 7． 【分析】先把需要化简的数进行化简，再根据正数定义进行判断，即可得到结果． 【详解】解：∵ ，-2333 的相反数是2333， 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升育 址：sp492842749tbm ∴正数有：①③⑥， 故选：． 【点睛】本题考查正数、绝对值、相反数，正确理解相关定义是解题的关键． 8． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出、b 的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵（-3）b2≥0， ∴-3≥0， ∴≥3， ∴2-4＞0， ∴原式变形为 ， ∴b+2=0，（-3）b2=0， ∴b=-2，=3， ∴+b=3+（-2）=1． 故选． 【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0 时，这几个非负数都为0． 9． 【分析】截止2026 年8 月，两种还款方式最终所还本金相同，且两种还款方式所还利息也相同．所以按现 计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少的部分为：按原计划还款时，自2026 年9 月起至原计划结 束时所还的利息，即共计60 个月的利息．根据“等额本金还款法”，算出2026 年9 月起每个月的利息， 然后进行求和就可得后60 个月的总利息，从而得出答． 【详解】∵每月应还本金为 ， 2026 年8 月还完后本金还剩 ， 2026 年9 月应还利息为： ； 2026 年10 月应还利息为： ； 2026 年11 月应还利息为： ；……， 最后一次应还利息为： ； ∴后60 个月的利息合计为： ． 即该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少27450 元． 故选：． 【点睛】本题考查了题意理解能力、计算能力和实际问题解决能力，能理解题意并准确地进行有理数运算 是做出本题的关键． 10．B 【分析】如果把向上爬记为正数，向下滑记为负数，则蜗牛一天爬032+（-02）=012 米，那么蜗牛爬了6 天，就爬072 米，剩下028 米，第7 天就可以爬出来了． 【详解】解：∵32m=032m，20m=02m， ∴蜗牛每天向上实际爬032-02=012 米， ∵ （米）， ∴蜗牛要爬7 天． 故选：B． 【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的意义，需要注意第7 天白天向上爬32m 后已经爬出井口，夜 间就不存在下滑20m 的问题了，这一点有的学生考虑不周可能会出错． 11．D 【分析】按照有理数混合运算的顺序， 以此类推可以计算结果． 【详解】 = = = = = = 因为 所以与最接近的正整数为25． 故选D． 【点睛】本题考查的是有理数的运算能力．注意：在有理数混合计算中，公式的运用． 12． 【分析】把 写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得 【详解】解：∵ 表示的原数为8016000000000， 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升育 址：sp492842749tbm ∴原数中“0”的个数为10， 故选：． 【点睛】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，当＞0 时，是几，小数点就向后移几位． 13．D 【分析】根据题意可设 ，则据末位数字特征得y＝2，进而根据603＝216000，703＝343000 确定 ，即可求解． 【详解】设 ，则据末位数字特征得y＝2， ∵603＝216000，703＝343000， ∴ ， ∴ ， ∵623＝238328， ∴ ， ∴ 故选D 【点睛】本题考查的知识点是完全平方数，解题关键是根据末位数字特征得y＝2 14． 【分析】利用平方法把三个数值平方，然后借助乘法公式计算后再比较大小即可． 【详解】∵2=2000+2 ， b2=2000+2 ， 2=4000=2000+2×1000， 1003×997=1 000 000-9=999 991， 1001×999=1 000 000-1=999 999， 10002=1 000 000． ∴＞b＞． 故选． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，及实数大小比较的知识，这里注意比较数的大小可以用平方法， 两个正数，平方大的就大．此题也要求学生熟练运用完全平方公式和平方差公式． 15． 【分析】结合已知条件将原式变形转化求出取值范围． 【详解】2006x+x-[x]= [x]=2007x- 由x-1<[x]<=x,得： 解得： =2007×2006 因此有[x]=0 或-1 [x]=0,2007x= , 得： [x]=-1, , 得： 因此共有上面两个解． 点评：本题难度中等，主要考查学生对实数运算知识点的掌握，结合已知条件将原式变形转化求出取值范 围为解题关键． 16．（1）22， -10；（2）t；（3）①点Q 运动6 或13 秒后与点P 相遇；②点P 表示的数55 或25． 【分析】试题分析：（1）根据：数轴上点与点B 的距离为12 个单位长度，点在原点的右侧，到原点的距 离为22 个单位长度，点B 在点的左侧，点表示的数与点B 表示的数互为相反数，可以确定、点对应的数； （2）因为动点P 从出发，以每秒1 个单位的速度向终点移动，且移动时间为t 秒，所以P=t； （3）①设运动时间是t 秒，根据点Q 追上点P 时，点Q 运动的路程=点P 运动的路程，列出关于t 的方程， 求出方程的解即可得到结果． ②分情况讨论：点Q 从点向点运动时，又分点Q 在点P 的后面与点Q 在点P 的前面；点Q 从点返回到点 时，又分点Q 在点P 的后面与点Q 在点P 的前面． 【详解】解：（1）由分析可知，点表示的数为22，点表示的数为-10； （2） ； （3）①Ⅰ）在点Q 向点运动过程中，设点Q 运动x 秒与点P 相遇，根据题意得 ， 解得 ． Ⅱ）在点Q 向点运动过程中，设点Q 运动x 秒与点P 相遇，根据题意得 ， 解得 ． 答：点Q 运动6 或13 秒后与点P 相遇； ②分两种情况： 如果点Q 在点P 的后面，那么 ，解得 ，此时点P 表示的数是55； 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升育 址：sp492842749tbm 如果点Q 在点P 的前面，那么 ，解得 ，此时点P 表示的数是25． 答：点P 表示的数55 或25． 【点睛】此题考查一元一次方程的应用，数轴，列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出 的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 17． 【分析】先根据绝对值和平方的非负性，求出、b 的值，再代入原式利用裂项求和的方法求值． 【详解】解：∵ ，∴ ， ， 解出 ， ， 代入式子得： ． 【点睛】本题考查绝对值和平方的非负性，以及裂项求和，解题的关键是掌握绝对值和平方的非负性，熟 悉裂项求和的方法． 18． 【分析】根据已知条件可得出b＜0，+b＞0，-＜0，b-＞0，再去绝对值，根据整式加减法则计算即可． 【详解】解：∵＜0＜，b＜0， ， ∴b＜0， ∴+b＞0，-＜0，b-＞0， ∴ = = = ． 【点睛】本题考查了整式的加减，掌握绝对值的性质是解题的关键． 19．（1）9，-6；（2）能，m=1211；（3）2424 【分析】（1）根据任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，得到x 及数字的排列规律，即可计算第 2009 个格子中的数； （2）先计算出这三个数的和，再按照规律计算； （3）由于是三个数重复出现，重复计算前三个数的和得到规律后即可得到答 【