第12讲 相似三角形 （含答案详解）-全国重点高中自主招生大揭秘

相似三角形 一、单选题 1．（2022·福建·九年级统考竞赛）如图，在矩形BD 中，B=2B，点M 是D 边的中点，点E，F 分别是边 B，B 上的点，且F⊥ME，G 为垂足．若EB=2，BF=1，则四边形BFGE 的面积为（ ） ． B． ． D． 2．（2014·全国·八年级竞赛）已知 的三边长分别为2，3，4， 为三角形内一点，过点 作三边 的平行线，交各边于 、 、 、 、 、 （如图），如果 ，则 （ ） ． B． ． D． 3．（2016·全国·九年级竞赛）如图，在四边形 中， ， ， ， 对角线的交点为 ，则 （ ） ． B． ． D． 4．（2016 秋·山东泰安·九年级竞赛）如图，在Rt△B 中，∠=90°，=B=6m，点P 从点出发，沿B 方向以每 秒 m 的速度向终点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发沿B 方向以每秒1m 的速度向终点运动，将△PQ 沿B 翻折，点P 的对应点为点P′．设点Q 运动的时间为t 秒，若四边形QPP′为菱形，则t 的值为（ ） ． B．2 ．2 D．3 5．（2014·全国·九年级竞赛）在 中， ，D 在 上，E 在 上，使得 为等腰直角三角形， ，则 的长为（ ） ． B． ． D． 6．（2015 秋·山东泰安·九年级竞赛）△B 中，D、E、F 分别是在B、、B 上的点，DE∥B，EF∥B，那么下 列各式正确的是( ) ． = B． = ． = D． = 7．（2015 秋·山东泰安·九年级竞赛）如图，在直角坐标系中，矩形B 的顶点在坐标原点，边在x 轴上，在 y 轴上，矩形′B′′与矩形B 关于点位似，且矩形′B′′的面积等于矩形B 面积的 ，那么点B′的坐标是 ( ) ．(2, ) B．(－2，- ) ．(2, )或(－2， ) D．(2, )或(－2，- ) 8．（2015 秋·山东泰安·九年级竞赛）如图，直线l 和双曲线y= (k>0)交于、B 两点，P 是线段B 上的点 (不与、B 重合)，过点、B、P 分别向x 轴作垂线，垂足分别为、D、E，连接、B、P，设△的面积为 、 △BD 的面积为 、△PE 的面积为 ，则（ ） ． B． ． D． 二、填空题 9．（2023 春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）如图，在四边形设 中， ， ， 是等边三角形，且点 在 上，如果 ， ， 的面积为________． 10．（2018·全国·八年级竞赛）若 ，则 的值为_____． 11．（2022 秋·江苏·八年级校考竞赛）如图，在 中， ，点D 是 的中点，过点D 作 ，垂足为点E，连接 ，若 ， ，则 ________． 三、解答题 12．（2022 春·湖南长沙·八年级校联考竞赛）回答下列问题： (1)如图，当 时， ，将△PB 绕B 点顺时针旋转90°画出旋转后的图形； (2)在（1）中，若 ， ， ，求 的大小． (3)如图， ， ，且 ， ， ，则△ 面积是 ． (4)如图，△B 中， ， ，点P 在△B 内，且 ， ， ，求△B 的面积． 13．（2023 春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）如图 1，四边形BD 和EFG 都是菱形，∠DB=∠GE=60°，点 G, E 分别在边D，B 上，点F 在菱形BD 内部，将菱形EFG 绕点旋转一定角度α，点E、F 始终在菱形BD 内部． （1）如图2，求证：△DG △ ≌BE； （2）如图3，点P、Q 分别在B、D 的延长线上，连接F 并延长与∠QD 的平分线交于点，连接E 并延长与 ∠PB 的平分线交于K，连接D、K、、K． ①求证：△D∽△KB； ②若B=2 ，D=5，则线段BK 的长度为 ，线段K 的长度为 ． ③菱形EFG 绕点旋转α 度（0°<α<30°），B=m，△KB 是等腰三角形，则线段K 的长为 ． 14．（2015 秋·山东临沂·九年级竞赛）如图，在平行四边形 中，E 是B 延长线上的一点，DE 交B 于 点F．已知 ， ，求△DF 的面积． 15．（2013·浙江绍兴·九年级竞赛）如图D、分别是△B（其中B＞）的角平分线、高线，M 点是D 的中点， △MD 的外接圆交M 于E，求证∠EB=90°． 16．（2013·全国·七年级竞赛）已知四条直线、、、依次相交于，过上的任意一点 引平行于的 直线交于点 ，过 引平行于的直线交于点 ，过 引平行于的直线交于点 ，过 引平行于 的直线交于点P．求证： ． 17．（2018·全国·九年级竞赛）如图，在扇形 中， ， ，点 在 上， ， 点 为 的中点，点 为弧 上的动点， 与 的交点为 ． （1）当四边形 的面积最大时，求 ； （2）求 的最小值． 18．（2017 春·江苏镇江·九年级竞赛）如图，已知：正方形BD 中，B=8，点为边B 上一动点，以点为圆心， B 为半径的⊙交边D 于点E（不与点、D 重合），EF⊥E 交边D 于点F．设B=x，E=y． （1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （2）在点运动的过程中，△EFD 的周长是否发生变化？如果发生变化，请用x 的代数式表示△EFD 的周 长；如果不变化，请求出△EFD 的周长； （3）以点为圆心，为半径作圆，在点运动的过程中，讨论⊙与⊙的位置关系，并写出相应的x 的取值范围． 参考答： 1．B 【分析】设 ，得到 ， ．作 于 ，先证明出 ，利用性质建立等式解出 ，利用勾股定理求出 ，再根据 ，利用相似比求出面积即可． 【详解】解：设 ，则 ， ． 作 于 ， 则 ． 所以 ． 所以 ， 即 ， 解得 ． 于是 ， ． 所以 ， ． 又 ， 所以 ． 因此 ． 所以 ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理，解题的关键是掌 握相似三角形的判定． 2．D 【分析】首先证得四边形 ，四边形 ，四边形 均为平行四边形，利用 相似三角形的判定和性质可得 ，易得 ，利用平行四边形的性质可 得 ，求得 ，利用相似三角形的性质列方程，解得x． 【详解】解：∵ ， ， ， ∴四边形 ，四边形 ，四边形 均为平行四边形， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得 ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质定理和相似三角形的判定及性质定理， 能够用x 表示出其它边的长是解答此题的关键． 3．D 【分析】过点 作 于点 ，利用有两个角相等的三角形相似判定 ， 根据相似三角形的性质得比例式，设 ，用含的式子分别表示出 、 、 ， 再由面积法得出 的第二种表示方法，从而得关于的方程，解得的值，则 的值可 得，然后用勾股定理求得 即可． 【详解】解：如图，过点 作 于点 ， ， ， ， ， ， 设 ，由于 ，故 ， 在 中， 由勾股定理得： ， 则 ， 显然 ，化简整理得 解得 ， 不符合题意，舍去）， 故 ， 在 中， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理在计算中的应用、面积法及方程 思想在几何计算中的应用，本题具有一定的难度． 4．B 【分析】首先连接PP′交B 于，根据菱形的性质可得PP′⊥Q，可证出P∥，根据平行线分线 段成比例可得 ，再表示出P、B、的长，代入比例式可以算出t 的值． 【详解】解：连接PP′交B 于， ∵若四边形QPP′为菱形， ∴PP′⊥Q， ∠ ∴ PQ=90°， ∠ ∵ B=90°， ∴P∥， ∴ ∵设点Q 运动的时间为t 秒， ∴P= t，QB=t， ∴Q=6-t， ∴=3- ， ∵=B=6，∠B=90°， ∴B=6 ， ∴ 解得：t=2， 故选B． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例；等腰直角三角形及菱形的性质． 5． 【分析】过点E 作 ，交 于点F，证明 和 全等，得出 ，设 ，利用平行线分线段成比例定理，列出比例式，列方程解答． 【详解】过点E 作 ，交 于点F， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 中，由勾股定理得： ， ∵ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ∴ ， ∴ ， 设 ，所 ， ∵ ∴ ，即 ， 解得 ， ∴ ． 故选． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，含30 度角的直角三角形，等腰直角三角形 的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 6． 【详解】试题分析：根据题意画出图形，如图： ∵DE∥B，∴ ，故、D 错误； ∵EF∥B，∴△B △ ≌EF，∴ ，故B 错误； ∵DE∥B，EF∥B，∴ ， ∴ ，故 正确； 故选 考点：1、相似三角形的判定和性质；2、平行线分线段成比例定理 7．D 【详解】解：根据位似图形的性质可知，当矩形′B′′在第一象限时， ， ， 此时点B′的坐标为(2, )； 当矩形′B′′在第四象限时， 点B′的坐标为(－2，- ) 故选D 【点睛】此题考查了位似变换与坐标与图形的性质．此题难度不大，注意位似图形是特殊 的相似图形，注意掌握数形结合思想的应用． 8．D 【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的 直角三角形面积S 的关系即S＝ 解答即可． 【详解】解：根据双曲线的解析式可得 所以可得 设P 与双曲线的交点为 ，过 作x 轴的垂线，垂足为M 因此 而图象可得 所以 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数 中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点与原点 所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积为 ，是经常考查的一 个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义． 9． 【分析】作 ，交 于点 ，过点 作 ，垂足为 ，证明 ，可得 ，设： ，则 ， ， ，证明 ，根据相似三角形对应边成比例可得 ，即可解 出 ，即可求出 的面积． 【详解】解：如图，作 ，交 于点 ，过点 作 ，垂足为 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 是等边三角形， ∴ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵在 和 中， ∴ ， ∴ ， ， 设： ，则 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，解得 ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定及相似三角形的性质和判定，等边三角形的 性质等，熟练掌握全等三角形及相似三角形的性质和判定，并根据题目作出辅助线是解答 本题的关键． 10．-1 或8 【分析】设 =k，根据比例的性质可得+b=k，b+=k，+=bk，根据等式的 性质可得2（+b+）=k（+b+），分+b+=0 和+b+≠0 两种情况，分别求出k 值，根据 =k3即可得答． 【详解】设 =k， ∴+b=k，b+=k，+=bk， ∴+b+b+++=k+k+bk，即2（+b+）=k（+b+）， ∴（+b+）(2-k)=0， 当+b+=0 时，即+b=-， ∴k= = =-1， ∴ = =k3=-1， 当+b+≠0 时，则2-k=0， 解得：k=2， ∴ = =k3=8， 故答为：-1 或8 【点睛】本题考查比例的性质，分情况讨论，注意整体代入思想的运用是解题关键． 11．3 【分析】根据直角三角形的性质得到B=10，利用勾股定理求出，再说明DE∥，得到 ，即可求出DE． 【详解】解：∵∠B=90°，点D 为B 中点， ∴B=2D=10， ∵B=8， ∴= =6， ∵DE⊥B，⊥B， ∴DE∥， ∴ ，即 ， ∴DE=3， 故答为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，解题的关键是 通过平行得到比例式． 12．(1)图见详解 (2)135° (3) (4) 【分析】（1）由 ， 可知点 旋转到点 ，在 的下方过点 作 的垂线，并且在垂线上截取 ，则 为点 绕 点顺时针旋转 以后的对应点，△ 即为所求； （2）连接 ，求出 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得 ， ，再利用勾股定理逆定理求出 ，然后计算即可得解； （3）根据全等三角形的面积相等求出 与 的面积之和等于四边形 的面积， 然后根据等边三角形的面积与直角三角形的面积列式计算即可得解，同理求出 和 的面积的和， 和 的面积的和，从而求出 的面积，然后根据 的面积 的面积 与 的面积的和计算即可得解； （4）首先作 ，使得 ， ，则有 ，即可得 △BQ 与△P 的相似比为2，继而可得△PQ 与△BPQ 是直角三角形，根据直角三角形的性质即 可求解△B 的面积． (1) 解：如图1 所示，△ 即为所求； (2) 解：如图2，连接 ． 将 绕 点顺时针旋转 ，与△ 重合， △ ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 在 中， ， ， ， ， △ 是直角三角形， ， ； (3) 解：如图3①，将 绕 点逆时针旋转 得到△ ，连接 ， △ ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， △ 是直角三角形， ， ， ， ； △ ， ； 如图3②， 同理可求： 和 的面积的和 ， 和 的面积的和 ， 的面积 ， 的面积 的面积 与 的面积的和 ． 故答为 ． (4) 解：如图，作 ，使得 ， ，连接PQ，取Q 的中点，连 接P， ∴ ， ∵ ， △ ∴BQ 与△P 的相似比为2， ∵ ， ， ， ∴ ， ， ， ∵点是Q 的中点， ∴ ， △ ∴P 是等边三角形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 作M⊥BQ 于点M，延长，使得=K，即B=K， △ ∴BK 是等边三角形， 由 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， △ ∵BK 是等边三角形， ∴ ， 设△BK 的高为，则 ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、含30 度直角三角形的性质、等边三角形 的性质与判定及旋转的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、含30 度直角三角形的性 质、等边三角形的性质与判定及旋转的性质是解题的关键． 13．（1）见解析；（2） ；（3） 或 【分析】（1）根据菱形的性质可得 ，根据旋转角相等，可得 ，根据边角边即可证明△DG △ ≌BE； （2）①根据菱形的性质以及角平分线的性质可得 ，根据旋转的性质 可得 ,根据外角的性质可得 ，进而证明 ；②根据 列出比例式，代入数值即可求得 的长；连接 , 过点 作 ，垂足为 ,证明四边形 是矩形，进而在 中，勾股定 理即可求得 的大小；③分情况讨论，当 和 时，当 时，根据 求得 ，进而勾股定理在 中，求得 ，当 时，证明 四边形 是正方形即可求得 的长． 【详解】（1）如图， 四边形BD 和EFG 都是菱形， （2）如图， ① 四边形BD 和EFG 都是菱形，∠DB=∠GE=60°， , ， 平分∠QD ， 平分∠PB， , 为菱形 的对角线， , ② 四边形 是菱形 如图，连接 ,过点 作 ，垂足为 , 是等边三角形 ， 四边形 是矩形 ， 在 中， 故答为：，7 ③ ，△KB 是等腰三角形， 当 时，如图，过点 作 ，连接 ,过点 作 ，垂足为 , 在 中 , 在 中 当 时，如图， 四边形 是矩形 又 四边形 是正方形 综上所述 或者 故答为： 或 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的性质与判定，相似三角形的性质与判定， 正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，角平分线的定义，三 角形外角的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 14．S△DF= ． 【分析】根据平行四边形的性质，可证△BEF∽△DF，由BE：B=2：3，可证BE：D=2： 3，根据相似三角形的性质，可得 ． 【详解】解：∵四边形BD 是平行四边形， ∴E∥D， △ ∴BEF∽△DF ∵B=D，BE：B=2：3， ∴BE：D=2：3 ∴ ∴ ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识点，熟练掌 握相关性质及判定定理是解题关键． 15．通过三角形相似求得角度的相等，进而进行角度转化 【详解】试题分析：如图，连结 , ∵ 是 斜边 的中点 ∴ （5 分） ∴ ∵ 四点共圆 ∴ ∴ ∴ （10 分） ∵ ,∴ ∽ ∴ ,即 （15 分） ∴ ,又∵ ∴ ∽ , ∴ （20 分） ∴ ∴ 四点共圆，∴ （25 分） 考点：三角形相似 点评：本题属于对三角形相似的考点的，进而运用角度的变换求解 16．见解析 【详解】证明：延长 ， 分别交、于M、． 延长 交 于R． 设 ， ， ， 则 ， ． ， ． ． 而 ，得方程 ，即 把上式看作的二次方程，有 ．由 即得 亦即 ． 17．（1） ；（2） ． 【分析】（1）四边形面积最大时，两三角形的高的和等于半径，即可求得EF； （2）延长B 至点G，使BG=B，连接GE、G、DE．证明△DE～△EG，得到EG=2DE，所 以E+2DE=E+EG，当、E、G 三点在同一直线上上时，E+EG 最小，此时 即E+2DE 有最小值为 ． 【详解】解：（1）分别过 、 作 于 ， 于 ， ∵ ， ∴ ； 此时， 、 、 重合， ∵ ∴ ， ， ∴ ； （2）延长 至点 ，使 ，连接 、 、 ． ∴ ∵点 为 的中点， ， ∴ ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ， 即 ，∴ ， 当 、 、 三点在同一直线上上时， 最小， ， ， 此时 ， 故 有最小值为 ． 【点睛】本题考查了圆的相关性质，四边形面积最大值问题，动点中存在性问题．熟练掌 握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 18．（1） （2）△EFD 的周长不变．理由见解析； （3）当⊙与⊙相交时， ；当⊙与⊙内切时， ；当⊙与⊙内含时， 【分析】（1）B、E 均是 圆的半径，得出B=E，然后在Rt△E 中，运用勾股定理可得出y 与x 的关系式，结合二次根式有意义的条件，可得出x 的范围； （2）先判断△E∽△DEF，然后根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△DEF 周 长的表达式，进一步化简可得出答； （3）设 的半径R1=x，则 的半径R2=8-x，圆心距d==8-x，分三种情况讨论，依此解出x 的 范围即可． 【详解】解:（1）∵以点为圆心，B 为半径的⊙交边D 于点E， ∴B=E， ∵四边形BD 是正方形， ∠ ∴ =90°， ∴2+E2=E2，即（8-x）2+y2=x2， ∵y＞0， ∴ （2）△EFD 的周长不变． 理由如下： ∵EF⊥E， ∠ ∴ E+∠DEF=90°， ∠ ∵ D=∠=90°， ∠ ∴ E+∠E=90°， ∠ ∴ DEF=∠E