第13讲 概率与统计 （含详解答案）-全国重点高中自主招生大揭秘

概率与统计 一、单选题 1．（2023 春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字1、 2、4．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，则满足关于x 的 方程 有两个不相等实数根的概率是（ ） ． B． ． D． 2．（2021·全国·九年级竞赛）设正方形 的中心为点 ，在以五个点 、 、 、 、 为顶点所 构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（ ） ． B． ． D． 3．（2021·全国·九年级竞赛）从分别写有数字1，2，3，4，5 的5 张卡片中任意取出两张，把第一张卡片 上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3 的倍数 的概率是（ ） ． B． ． D． 4．（2021·全国·九年级竞赛）将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6 的质地均匀的正方体骰子先后 投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于 的方程组 只有正 数解的概率为（ ）． ． B． ． D． 5．（2016 秋·山东临沂·九年级竞赛）如图，已知点，B，，D，E，F 是边长为1 的正六边形的顶点，连接 任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为 的线段的概率为 （ ） ． B． ． D． 6．（2015 秋·山东泰安·九年级竞赛）准备两张大小一样，分别画有不同图的正方形纸片，把每张纸都对折、 剪开，将四张纸片放在盒子里，然后混合，随意抽出两张正好能拼成原图的概率是( ) ． B． ． D． 7．（2015 秋·山东临沂·九年级竞赛）如图，、B 是数轴上的两点，在线段B 上任取一点，则点到表示－1 的点的距离小于或等于2 的概率是（ ） ． B． ． D． 8．（2023·浙江·九年级专题练习）甲乙丙丁四人互相给其他的三人之一写信，选择对象的方式是等可能的． 问存在两个人收到对方的信的概率（ ） ． B． ． D． 9．（2022 秋·浙江温州·九年级统考阶段练习）有10 张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字：1 至 10，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取三张卡片，b，，则这三张卡片，b，的数字正好是直角三 角形的三边长的概率是（ ） ． B． ． D． 10．（2023 春·全国·七年级专题练习）同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如 与 、 与 ．在一次制取 的实验中， 与 的原子个数比为 ， 与 的原子 个数比为 ，若实验恰好完全反应生成 ，则反应生成 的概率（ ） ． B． ． D． 11．（2023 秋·浙江金华·九年级统考期末）按小王、小李、小马三位同学的顺序从一个不透明的盒子中随 机抽取一张标注“主持人”和两张空白的纸条，确定一位同学主持班级“交通安全育”主题班会．下列说 法中正确的是（ ） ．小王的可能性最大 B．小李的可能性最大．小马的可能性最大 D．三人的可能性一样大 二、解答题 12．（2021·全国·九年级竞赛）一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，裁判在黑板上写出 正整数2，3，4，…，2006，然后随意擦去一个数，接下来由甲、乙两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦 去其中一个数，然后甲再擦去一个数）．如此下去，若最后剩下的两个数互素，则判甲胜；否则，判乙胜， 按照这种游戏规则，求甲获胜的概率（用具体数字作答）． 13．（2017 春·江苏镇江·九年级竞赛）某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面 调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建 了4 个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自 己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）九（1）班的学生人数为 ，并把条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中m= ，= ，表示“足球”的扇形的圆心角是 度； （3）排球兴趣小组4 名学生中有3 男1 女，现在打算从中随机选出2 名学生参加学校的排球队，请用列表 或画树状图的方法求选出的2 名学生恰好是1 男1 女的概率． 14．（2015 秋·山东临沂·九年级竞赛）甲、乙两个袋中均有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的 三张卡片上所标的数值分别为﹣7，﹣1，3，乙袋中的三张卡片上所标的数值分别为﹣2，1，6．先从甲袋 中随机取出一张卡片，用x 表示取出的卡片上标的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y 表示取出的 卡片上标的数值，把x、y 分别作为点的横坐标、纵坐标． （1）用适当的方法写出点（x，y）的所有情况； （2）求点落在第二象限的概率． 15．（2023·江苏泰州·统考二模）某村深入贯彻落实习近平新时代中国特色社会主义思想，认真践行“绿 水青山就是金山银山”理念．在外打工的王大叔返回江南创业，承包了四座荒山，各栽100 棵小枣树，发 现成活率均为97%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他任意选了两座山（记作甲山、 乙山），从两山上随意各采摘了4 棵树上的小枣，每棵的产量如折线统计图所示． (1)直接写出甲山4 棵小枣树产量的中位数； (2)分别计算甲、乙两座山小枣样本的平均数，并判断哪座山的样本的产量高； (3)用样本平均数估计四座荒山小枣的产量总和； (4)用树状图或表格分析王大叔选中甲、乙两座山的概率． 16．（2022 秋·山东青岛·九年级统考期中）在一个不透明的口袋中装有4 张相同的纸牌，它们分别标有数 字1，2，3，4，随机地一次摸取两张纸牌，请用列表或画树状图的方法解决下列问题． (1)计算两次摸取纸牌上数字之和为5 的概率； (2)甲、乙两人进行游戏，如果两次摸取纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸取纸牌上数字之和为 偶数，则乙胜．这是个公平的游戏吗？请说明理由． 三、填空题 17．（2021·全国·九年级竞赛）小红、小芳、小明在一起做游戏时需要确定作游戏的先后顺序，他们约定 用“锤子、剪子、包袱”的方式确定请问在一个回合中三个人都出“包袱”的概率是_________ 18．（2016 秋·山东临沂·九年级竞赛）从﹣2，﹣1，0，1，2 这五个数中任取一个数，作为关于x 的一元 二次方程x2 x+k=0 ﹣ 中的k 值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是__________． 19．（2017 春·江苏镇江·九年级竞赛）从某班全体学生中任意选取一名男生的概率为 ，则该班男、女学 生的比为________． 20．（2017 秋·江苏镇江·九年级竞赛）从1，2，3，4 中任取3 个数，作为一个一元二次方程的系数，则构 作的一元二次方程有实根的概率是__________． 21．（2015 秋·山东临沂·九年级竞赛）某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字 路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为 ，遇到黄灯的概率为 ，那么他遇到绿 灯的概率为______． 22．（2011·全国·九年级竞赛）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4； 另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8 同时掷这两枚骰子，则其朝上 的面两数字之和为奇数5 的概率是________． 23．（2022 秋·九年级课时练习）如图，某城市的道路都是横平竖直的，小明同学家住在点处，学校在B 点处．小明每天上学会随机选择一条最近的道路从点步行至B 点．某一天点施工无法经过，小明同学并不 知情，那么小明能够不绕路的概率是_________． 24．（2022 秋·四川成都·九年级校考期中）若关于的一元一次不等式组 的解集为 ， 且关于 的分式方程 的解是正整数，则所有满足条件的整数是非负整数的概率为_____ ___． 参考答： 1． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与满足关于x 的方程 有两个不相等实数根的情况，继而利用概率公式即可求得答． 【详解】解：画树状图得： ∵ 有两个不相等的实数根， ∴ ， ∵共有6 种等可能的结果，满足关于x 的方程 有两个不相等实数根的有 共2 种情况， ∴满足关于x 的方程 有两个不相等实数根的概率是： ． 故选：． 【点睛】此题考查根的判别式，列表法与树状图法，解题关键在于利用判别式进行计算． 2．B 【详解】不妨设正方形的面积为1．容易知道，以五个点 、 、 、 、 为顶点所构成的三角形都是 等腰直角三角形，它们可以分为两类： （1）等腰直角三角形的直角顶点为正方形 的四个顶点之一，这样的三角形有4 个，它们的面积都 为 ； （2）等腰直角三角形的直角顶点为正方形 的中心 ，这样的三角形也有4 个，它们的面积都为 ． 所以以五个点 、 、 、 、 为顶点可以构成 个三角形，从中任意取出两个，共有28 种取法． 要使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第（1）类或都取自第（2）类，不同的取法有12 种． 因此，所求的概率为 ． 3． 【详解】能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45， 51，52，53，54，共20 个，其中是3 的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8 个，所以所组 成的数是3 的倍数的概率是 ， 故选． 4．D 【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 【详解】解：当2-b=0 时，方程组无解； 当2-b≠0 时，由、b 的实际意义为1，2，3，4，5，6 易知，b 都为大于0 的整数， 则两式联合求解可得 ， ∵使x、y 都大于0 则有 ， 解得＜15，b＞3 或者＞15，b＜3，而，b 都为1 到6 的整数， 所以可知当为1 时b 只能是4，5，6；或者为2，3，4，5，6 时b 为1 或2， 这两种情况的总出现可能有3+10=13 种； 又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36 种情况，故所求概率 ， 故选D． 【点睛】难点是：当方程组相同未知数的系数之比相等，但与常数项之比不相等时，方程组无解，关键是 得到使方程组为正整数的解的个数．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 5．B 【分析】先求出连接两点所得的所有线段总数，再用列举法求出取到长度为 的线段条数，由此能求出在 连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为 的线段的概率． 【详解】根据题意可得所有的线段有15 条，长度为 的线段有E、、FD、FB、E、BD 共6 条，则P（长 度为 的线段）= ． 故选：B 【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用． 6． 【详解】试题分析：设分成的四张纸片中，1 和2 为一张；3 和4 为一张；如图： 那么共有12 种情况，正好能拼成的占4 种，概率是 故选． 考点：概率的求法 7．D 【详解】试题分析：将数轴上到表示﹣1 的点之间的距离不大于2、表1 的点到表示﹣1 的点间的距离不大 于2，而B 间的距离分为5 段，根据概率公式可知 故选D 考点：概率公式；数轴 点评：此题结合几何概率考查了概率公式，将B 间的距离分段，利用符合题意的长度比上B 的长度即可 8． 【分析】分只存在两个人收到对方的信和有两组两个人收到对方的信两种情况分别计算出概率然后加起来 即可． 【详解】解：分两种情况，当只存在两个人收到对方的信的情况有：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙 丁共计六种，以其中甲乙情况为例：甲写给乙的概率为 ，乙写给甲的概率为 ，在这种情况下，又分两 种情形，一种是丙写给丁的概率为 ，那么丁不写给丙概率为 ，另一种是丙不写给丁的概率为 ，那么 甲乙的概率为 ，所以当只存在两个人收到对方的信的情况概率为： ； 当存在两组两个人收到对方的信的情况有：甲乙和丙丁、甲丙和乙丁、甲丁和乙丙共计三种，以甲乙和丙 丁情况为例，甲写给乙的概率为 ，乙写给甲的概率为 ，丙写给丁的概率为 ，丁写给丙的概率为 ， 那么甲乙和丙丁的概率为 ，所以存在两组两个人收到对方的信的情况概率为 ； 则存在两个人收到对方的信的概率为 ， 故选． 【点睛】本题考查了概率的计算，分情况讨论计算概率是解题关键． 9．B 【分析】此题能组成直角三角形的数组只有3，4，5，和6，8，10．由抽到3，4，5 有3×2×1= 6 种可能； 抽到6，8，10 也有6 种可能；抽出三张牌共有10×9×8= 720 种可能；根据概率公式即可求解． 【详解】1~10 中能组成直角三角形的数组只有3，4，5， 和6，8，10 抽到3，4，5 有3×2×1= 6 种可能； 抽到6，8，10 也有6 种可能； 抽出三张牌共有10×9×8= 720 种可能； 数字正好是直角三角形的三边长的概率是： 故选：B 【点睛】本题主要考查等可能事件的概率的求法，等可能事件的概率常用公式：P()等于事件可能出现的次 数与所有可能出现的次数的比值，进行求解． 10．B 【分析】根据反应的化学方程式，画树状图展示所有6 种等可能的结果数，找出反应生成 的结果数， 然后根据概率公式求解．． 【详解】解：反应的化学方程式为 ， 与 的原子个数比为 ， 与 的原子个数比为 ， 反应后生成的 中 来自于反应物，而 来自于反应物， 共有6 种等可能的结果数，其中反应生成 的结果数为2， ∴反应生成 的概率为 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合 事件或B 的结果数目m，然后利用概率公式计算事件或事件B 的概率． 11．D 【分析】先分析小王抽到空白纸条和“主持人”纸条的可能性，再在小王抽到空白纸条的基础上分析小李 抽到“主持人”纸条的可能性，注意小李如果没有抽到主持人，则小马必然抽到“主持人”，由此可以求 出三人抽到“主持人”的可能性． 【详解】解：小王先抽，小王可能抽到“主持人”，也可能抽到空白纸条，则分为两种情况： 小王抽到“主持人”可能性为 ， 小王抽到空白纸条的可能性为： ，在此基础上，小李抽取情况分为抽到“主持人”或抽到空白纸条， 抽取“主持人”可能性为： ， 抽取空白纸条可能性为： （当此种情况出现时，则小李必抽到“主持人”）， 故小李抽到“主持人”的可能性为： ， 小马抽到“主持人”的可能性为： ， 故选：D． 【点睛】本题考查概率计算，能够根据事件分析出某个事件发生的概率是解决本题的关键． 12． 【详解】解 获胜的关键，要看裁判擦去的是奇数还是偶数，注意到2，3，4，…，2006 中有1003 个偶数， 1002 个奇数． （1）若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜． 乙不管甲擦去什么数，只要有奇数，乙就擦去奇数（没有奇数时才擦去偶数）这样最后两个数一定都是偶 数，它们不互素，故乙胜． （2）若裁判擦去的是偶数 ，则所剩的2004 个数可配成1002 对，每对中两个数互补： ， ，…， ， ，…， 这样不管乙擦去哪个数，甲都擦去所配对中另一个数，最后剩下的两数必然是配成一对的两个数，它们互 补，故甲胜． 所以，甲获胜的概率为 ． 13．（1）40，补全统计图见详解（2）10；20；72（3）见详解 【分析】（1）根据喜欢篮球的人数与所占的百分比列式计算即可求出学生的总人数，再求出喜欢足球的 人数，然后补全统计图即可； （2）分别求出喜欢排球、喜欢足球的百分比即可得到m、的值，用喜欢足球的人数所占的百分比乘以 360°即可； （3）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解． 【详解】解： (1)九(1)班的学生人数为：12÷30%=40(人)， 喜欢足球的人数为：40−4−12−16=40−32=8(人)， 补全统计图如图所示； (2)∵ ×100%=10%， ×100%=20%， ∴m=10，=20， 表示“足球”的扇形的圆心角是20%×360°=72°； 故答为(1)40;(2)10；20；72； (3)根据题意画出树状图如下： 一共有12 种情况，恰好是1 男1 女的情况有6 种， ∴P(恰好是1 男1 女)= = 14．（1）9（2） 【分析】（1）直接利用表格列举即可解答； （2）利用（1）中的表格求出点落在第三象限共有两种情况，再除以点的所有情况即可． 【详解】解：（1）如下表， 7 ﹣ 1 ﹣ 3 2 ﹣ （﹣7，﹣2） （﹣1，﹣2） （3，﹣2） 1 （﹣7，1） （﹣1，1） （3，1） 6 （﹣7，6） （﹣1，6） （3，6） 点（x，y）共9 种情况； （2）∵点落在第三象限共有（﹣7，﹣2）（﹣1，﹣2）两种情况， ∴点落在第三象限的概率是 ． 【点评】此题主要考查利用列表法求概率，关键是列举出事件发生的所有情况，并通过概率公式进行计算， 属于基础题． 15．(1)38 千克 (2)甲座山小枣样本的平均数为40 千克，乙座山小枣样本的平均数为40 千克，甲、乙两座山的样本的产量 一样高 (3)15520 千克 (4) 【分析】（1）根据中位数的定义求解可得． （2）根据平均数的定义分别计算出甲、乙两座山样本的产量，据此可得． （3）用平均数乘枣树的棵树，求得四座山的产量和，再乘成活率即可． （4）用表格或树状图列出所有可能的结果，然后用概率公式即可求得． 【详解】（1）解：因为甲山4 棵小枣树产量分别为34 千克、36 千克、40 千克、50 千克， 所以甲山4 棵小枣树产量的中位数为 （千克）． 故答为：38 千克． （2）解：因为 （千克）， （千克）， 所以 ， 所以甲、乙两座山的样本的产量一样高． 答：甲座山小枣样本的平均数为40 千克，乙座山小枣样本的平均数为40 千克，甲、乙两座山的样本的产 量一样高． （3）四座山的小枣树的总产量为： （千克）． 答：用样本平均数估计四座荒山小枣的产量总和为15520 千克． （4）将这四座山分别记作甲山、乙山、丙山、丁山，列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 由上表可知，共有12 种等可能的结果，其中选中甲、乙两座山的结果数为2 种， 所以王大叔选中甲、乙两座山的概率为 ． 【点睛】本题考查了统计与概率，涉及折线统计图、平均数、中位数、用样本平均数估计总体、画树状图 或列表求简单事件的概率等，解题的关键是根据折线统计图得出正确的信息． 16．(1) (2)这不是个公平的游戏，理由见解析 【分析】（1）结合题意，根据树状图法求概率的性质计算，即可得到答； （2）结合（1）的结论，根据树状图法求概率的性质分别计算甲和乙胜的概率，从而完成求解 【详解】（1）根据题意，树状图如下： ∴随机地一次摸取两张纸牌，共有12 种情况，其中两次摸取纸牌上数字之和为5 的情况共有4 种 ∴两次摸取纸牌上数字