第11讲 圆（含答案详解）-全国重点高中自主招生大揭秘

圆 一、填空题 1．（2022·福建·九年级统考竞赛）如图，BD 为圆的内接四边形，且⊥BD，若B=10，D=8，则圆的面积为 ______． 2．（2022·广东·九年级统考竞赛）古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图所示的几何图形，此图由三个半 圆构成，三个半圆的直径分别为 的斜边 ，直角边 ， ．若以 ， 为直径的两个半 圆的弧长总长度为 ，则以斜边 为直径的半圆面积的最小值为________． 3．（2018·全国·九年级竞赛）已知 是 内一点， 是 的中点， ， ， ， ，则 __________． 4．（2022 春·湖南长沙·八年级校联考竞赛）如图1～4，在直角边分别为3 和4 的直角三角形中，每多作一 条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10 中有10 个直角三角形的内切圆，它们的面积 分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=______． 5．（2016 秋·山东泰安·九年级竞赛）如图是“横店影视城”的圆弧形门，妙可同学到影视城游玩，很想知 道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的， m， m，且 与水平地面都是垂直的．根据以上数据，你帮助妙可同学计 算这个圆弧形门的最高点离地面的高度是_________． 6．（2015 秋·山东临沂·九年级竞赛）已知正六边形的边心距为 ，则它的周长是______． 7．（2015 秋·山东临沂·九年级竞赛）如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为 120°，则圆锥的母线长是________． 8．（2015 秋·山东泰安·九年级竞赛）如图，直线B 与半径为2 的⊙相切于点，点D、E、F 是⊙上三个点， EF//B，若EF=2 ，则∠ED 的度数为__________ 二、单选题 9．（2016 秋·山东临沂·九年级竞赛）如图，平行四边形BD 的顶点、B、D 在⊙上，顶点在⊙直径BE 上， 连结E，若∠E=36°，则∠D 的度数是（ ） ．44° B．53° ．72° D．54° 10．（2017 秋·江苏镇江·九年级竞赛）如图，B 为半圆的直径，为半圆上一点，且 为半圆的 ，设扇形、 △B、弓形Bm 的面积分别为 、 、 ，则下列结论正确的是（ ）． ． B． ． D． 11．（2016 秋·山东泰安·九年级竞赛）在平面直角坐标系中有两点（-1,2）,B（3,2），若点是坐标轴上的 一点，且△B 是直角三角形，则满足条件的点的个数为( ) ．3 B．4 ．5 D．6 12．（2015 秋·山东临沂·九年级竞赛）如图，⊙的半径D⊥弦B 于点，连结并延长交⊙于点E，连结E． 若B=8，D=2，则E 的长为（ ） ．2 B．2 ．2 D．8 13．（2015 秋·山东泰安·九年级竞赛）如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1m 的圆形，使 之恰好围成图2 所示的一个圆锥，则圆锥的高为（ ） ． m B．4m ． m D． m 14．（2015 秋·山东泰安·九年级竞赛）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙与x 轴交于B（2， 0）、（8，0）两点，与y 轴相切于点D，则点 的坐标是（ ） ．（3，5） B．（4，5） ．（5，3） D．（5，4） 15．（2016·全国·九年级竞赛）如图，⊙的半径D 垂直于弦B，垂足为点，连接并延长交⊙于点E，连接 BE，E．若B=8，D=2，则△BE 的面积为（ ） ．12 B．15 ．16 D．18 三、解答题 16．（2023 春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）如图1，菱形BD 的边长为12m，∠B＝60°，M，分别在边 B，D．上，M＝3m，D＝4m，点P 从点M 出发，沿折线MB﹣B 以1m/s 的速度向点匀速运动（不与点重 合）；△P 的外接圆⊙与D 相交于点E，连接PE 交于点F．设点P 的运动时间为ts． (1)∠PE＝ °； (2)若⊙与D 相切， ①判断⊙与D 的位置关系； ②求 的长； (3)如图3，当点P 在B 上运动时，求F 的最大值，并判断此时PE 与的位置关系； (4)若点在⊙的内部，直接写出t 的取值范围． 17．（2022·福建·九年级统考竞赛）已知矩形BD 的边B=21，B=19，r 是给定的小于1 的正实数． (1)在矩形BD 内任意放入114 个直径为1 的圆．证明：在矩形BD 内一定还可以放入一个直径为r 的圆，它 和这114 个圆都没有交点（也不在某个圆的内部）； (2)在矩形BD 内任意放入95 个单位正方形（边长为1 的正方形）．证明：在矩形BD 内一定还可以放入一 个直径为r 的圆，它和这95 个正方形都没有交点（也不在某个正方形的内部）． 18．（2012·全国·九年级竞赛）已知抛物线 的顶点为 ，与轴的正半轴交于 、 两点，与 轴交于点 ， 是 的外接圆的切线．设 ，若 ，求 抛物线的解析式． 19．（2013·全国·九年级竞赛）在 中， ， 、分别是 的外心和内心，且满足 ．求证： （1） ； （2） ． 20．（2022·广东·九年级统考竞赛）已知 的两边分别与圆 相切于点 ， ，圆 的半径为． （1）如图1，点 在点 ， 之间的优弧上， ，求 的度数； （2）如图2，点 在圆上运动，当 最大时，要使四边形 为菱形， 的度数应为多少？请说 明理由； （3）若 交圆 于点 ，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含的式子表示）． 21．（2015 秋·山东临沂·九年级竞赛）如图，B 是⊙直径，D 为⊙上一点，T 平分∠BD 交⊙于点T，过T 作D 的垂线交D 的延长线于点． （1）求证：T 为⊙的切线； （2）若⊙半径为2，T= ，求D 的长． 参考答： 1． 【分析】连接 ，并延长交圆 于点 ，连接 ， ，可得 ，从而可得BD//E， 得到 ，所以BE=D，由勾股定理可得E 的长，从而可求出圆的面积． 【详解】解：如图，连接 ，并延长交圆 于点 ，连接 ， ． 则 ， ． ∵ ， ∴ // ， ∴ ∴BE=D， ∵ ∴ ． 在Rt△ 中，B=10， 所以，由勾股定理得， ∴ ． 所以圆 的面积为 ． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中平行弦所夹弧相等等知识，正确作 出辅助线构造直角是解答本题的关键． 2． 【分析】设B=，=b，由题意可得 ．根据勾股定理可得： ．以斜边 B 为直径的半圆面积 ，再利用基本不等式的性质即可得出． 【详解】解：设B=，=b， ∵以B，为直径的两个半圆的弧长总长度为2π， 则 ， 化简为：+b=4． ∵∠ ， ∴ ． ∴以斜边B 为直径的半圆面积 ， 当且仅当=b=2 时取等号． ∴以斜边B 为直径的半圆面积的最小值为π． 故答为：π． 【点睛】本题考查了圆的性质、勾股定理、基本不等式，考查了推理能力与计算能力． 3．4 【分析】延长 至 ，使 ，则有，F，B， 四点共圆，得到△BF 是等腰三角形，利用三线合 一可得 ，进而用勾股定理求出 ，再利用中位线性质求出 ． 【详解】延长 至 ，使 ，则 且 ， ∴ ， ∴，F，B， 四点共圆， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 又 ， ∴ ， ∴ ． 故答为：4 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，四点共圆，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键 是能够构建四点共圆． 4．π 【详解】 图1,过点做E , ⊥F⊥B,垂足为E F,则∠E=∠F=90° =90° ∵∠ ∴四边形EF 为矩形 ∵E=F ∴矩形EF 为正方形 设圆的半径为r, 则E=F=r, D=E=3−r, BD=4−r 3− ∴ r+4−r=5,r= =1 ∴S1=π×12=π 图2,由S△B= ×3×4= ×5×D ∴D= 由勾股定理得：D= ,BD=5− = ， 由(1)得： ⊙的半径= , ⊙E 的半径= ， ∴S1+S2=π×( )2+π×( )2=π 图3,由S△DB= × × = ×4×MD ∴MD= ， 由勾股定理得：M= , MB=4− = ， 由(1)得：⊙的半径= , ⊙E 的半径= ， ∴⊙F 的半径= ， ∴S1+S2+S3=π×( )2+π×( )2+π×( )2=π 5．520m． 【详解】试题解析：连接F，交D 于点E， B ∵ 是⊙的切线， F B ∴⊥， ∵四边形BD 是矩形， D B ∴∥， E D ∴⊥，EF=B， 设圆的半径为R，在Rt E △ 中，E= =100 E=R-B=R-20， E ∵ 2+E2=2， 100 ∴ 2+（R-20）2=R2， 解之R=260． 260×2=520（m）． 答：这个圆弧形门的最高点离地面的高度为520m． 考点：垂径定理的应用；勾股定理． 6．12 【分析】首先由题意画出图形，易证得△B 是等边三角形，又由正六边形的边心距利用三角函数的知识即 可求得的长，即可得B 的长，继而求得它的周长． 【详解】如图，连接，B， ∵六边形BDEF 是正六边形， B= ∴∠ ×360°=60°， =B ∵ ， B ∴△ 是等边三角形， =60° ∴∠ ， ∵⊥，= ， ∴ ， B==2 ∴ ， ∴它的周长是：2×6=12 考点：正多边形和圆 点评：此题考查了圆的内接正多边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用 7．30 【分析】圆锥的底面周长即为侧面展开后扇形的弧长，已知扇形的圆心角，所求圆锥的母线即为扇形的半 径，利用扇形的弧长公式求解． 【详解】解：∵圆锥的底面周长是20π ∴侧面展开后所得的扇形的弧长是20π ∵侧面展开后所得的扇形的圆心角为120° ∴侧面展开后所得的扇形的半径为： ∵圆锥的母线就是侧面展开后所得的扇形的半径 ∴圆锥的母线长度为30 故答为30 【点睛】本题考查了圆锥的计算．关键是体现两个转化，圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的 底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长． 8． 【详解】分析：连接、E，由切线的性质知⊥B，而EF B ∥，则⊥EF；设交EF 于M，在Rt EM △ 中，根据垂 径定理可得到EM 的长，E 即⊙的半径已知，即可求出∠EM 的正弦值，进而可求得∠EM 的度数，由圆周 角定理即可得到∠ED 的度数． 解：连接E、，设与EF 的交点为M； B ∵ 切⊙于， B ∴⊥； EF B ∵ ∥， EF ∴⊥ ，则EM=MF= ； Rt EM △ 中，EM= ，E=2； 则s EM= ∠ ，∴∠EM=60°； ED= ∴∠ EM=30° ∠ ． 9．D 【分析】根据直径所对的圆周角为直角可得∠BE=90°，再根据直角三角形的性质和平行四边形的性质可得 解 【详解】根据直径所对的圆周角为直角可得∠BE=90°， 根据∠E=36°可得∠B=54°， 根据平行四边形的性质可得∠D= B=54° ∠ 故选D 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、圆的基本性质 10．D 【分析】连接，根据△的面积=△B 的面积，得S2＜S1，再由S1占半圆面积的 ，可得S3大于半圆面积的 ， 即可求解． 【详解】解：连接， ∵B 为半圆的直径， ∴∠B=90°，点为B 的中点， ∴△的面积=△B 的面积， ∵S1大于△的面积， ∴S2＜S1， ∵S1占半圆面积的 ， ∴S2小于半圆面积的 ∴S3大于半圆面积的 ， ∴ ． 故选：D 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，直径所对的圆周角是直角，根据题意得到△的面积=△B 的面积 是解题的关键． 11． 【分析】分三种情况考虑：即当点为直角顶点时；当点B 为直角顶点时；当点为直角顶点时，分别画图， 据此即可解答． 【详解】解：根据题意画出相应的图形，如图所示： 分三种情况考虑：当点为直角顶点时，过点作⊥x 轴于点1，连接B1，此时满足题意的点为1； 当点B 为直角顶点时，过点B 作B⊥x 轴于点2，连接2，此时满足题意的点为2； 当点为直角顶点时，以B 为直径作圆，由（-1，2），B（3，2），得到B=4，可得此圆与x 轴相切， ∴此圆与坐标轴有三个交点，分别为3，4，5， 如图所示，根据直径所对的圆周角为直角可得此3 点满足题意， 综上，所有满足题意的点有5 个． 故选：． 【点睛】此题考查了圆周角定理，切线的性质，勾股定理，以及坐标与图形性质，利用了分类讨论及数形 结合的思想． 12．B 【详解】试题分析：由D B ⊥，根据垂径定理得到=B= B=4，设=x，则=D D=x 2 ﹣ ﹣，在Rt△中根据勾股 定理得到x2=42+（x 2 ﹣）2，解得x=5，则E=10，=3，再由E 是直径，根据圆周角定理得到∠BE=90°，利用 是△BE 的中位线得到BE=2=6，然后在Rt BE △ 中利用勾股定理可计算出E． 试题解析：连结BE，如图， D B ∵⊥， =B= ∴ B= ×8=4， 设=x，则=D D=x 2 ﹣ ﹣， 在Rt△中，∵2=2+2， x ∴ 2=42+（x 2 ﹣）2，解得 x=5， E=10 ∴ ，=3， E ∵ 是直径， BE=90° ∴∠ ， ∵是△BE 的中位线， BE=2=6 ∴ ， 在Rt BE △ 中，E= ． 考点：1、垂径定理；2、勾股定理；3、三角形中位线定理；4、圆周角定理 13． 【详解】利用已知得出底面圆的半径为：1，周长为2π，进而得出母线长，即可得出答． 解：∵半径为1m 的圆形， ∴底面圆的半径为：1，周长为2π， 扇形弧长为：2π= ， R=4 ∴ ，即母线为4m， ∴圆锥的高为： = （m）． 故选． 此题主要考查了圆锥展开图与原图对应情况，以及勾股定理等知识，根据已知得出母线长是解决问题的关 键． 14．D 【详解】试题分析：连接B，作E B ⊥ 于点E，由点B、的坐标可求得E 的长，即可得到B，再根据勾股定 理即可求得结果 连接B，作E B ⊥ 于点E B ∵（2，0）、（8，0） E=5 ∴ ，BE=3 B=5 ∴ ∴ ∴点 的坐标是（5，4） 故选D 考点：勾股定理，垂径定理 点评：勾股定理与垂径定理的结合使用是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大， 需熟练掌握 15． 【详解】∵⊙的半径D 垂直于弦B，垂足为点，B=8， =B= ∴ B=4． 设=r，则=r 2 ﹣， 在Rt△中， ∵2+2=2，即42+（r 2 ﹣）2=r2，解得r=5， E=10 ∴ ， BE= ∴ ， BE ∴△ 的面积= B•BE= ×4×6=12． 故选． 16．(1)60° (2)①⊙与D 相切；② (3)F 的最大值为3m，此时⊥PE (4)当0<t<1 时或17<t<21 时，点在圆内部； 【分析】（1）根据菱形的性质易证△D 为等边三角形，根据同弧所对的圆周角相等即可得到∠PE 的度数； （2）①先找出⊙与D 相切时的情况，根据切线长定理即可证明⊙与D 相切；②根据切线长定理和菱形的 性质，可求得圆的半径，根据弧长公式即可求解； （3）要使F 取得最大值，则F 应该取最小值，当⊥PE 时，F 最小，此时F 取得最大值，求出即可； （4）分两种情况进行讨论，当P 在B 上时和当点P 在B 上时． 【详解】（1）解：∵四边形BD 为菱形，∠B＝60°， ∴∠D=∠B＝60°，D=D， ∴△D 为等边三角形， ∴∠E=60°， ∴∠PE=∠E=60°， 故答为：60°． （2） 如图，当点P 运动到点B 时，⊙与D 相切， ①∵四边形BD 为菱形， ∴D=D， ∵⊙与D 相切， ∴⊙与D 相切； ②连接D， 由（1）可知，∠D=60°， ∵D、D 分别与⊙相切， ∴∠D= ∠D=30°， = ∴ = ， ∴ ； （3） 由图可知：F=-F， ∵B=B，∠B=60°， ∴△B 为等边三角形，则=12m，∠B=60°， ∴要使F 取得最大值，则F 应该取最小值， 当⊥PE 时，F 最小，此时F 取得最大值， ∵点为△P 外接圆圆心， == ∴ P= =6m， ∵∠B=60°， ∴F= =3m， 综上：F 的最大值为3m，此时⊥PE． （4）①当点P 在B 上时， ∵四边形PE 为圆的内接四边形， ∴∠P+∠E=180°， ∵∠ED++∠E=180°， ∴∠P=∠ED， 在△P 和△DE 中， =D，∠P=∠D，∠P=∠ED， ∴△P≌△DE， ∴P=DE， 当点E 与点重合时，DE=D=P=4， ∴MP=4-3=1m， ∴t=1s， 当0<t<1 时，点在圆内部； ②当点P 在B 上运动时， ∵∠EP=∠P=60°， ∴△PE 为等边三角形， ∴P=E，∠PE=60°， ∵∠B=60°， ∴∠BP=∠E， 在△BP 和△E 中， B=， ∠BP=∠E， P=E， ∴△BP≌△E， ∴BP=E， 当点E 与带你重合时，E==BP=12-4=8m， 此时t= =9+8=17s， 当点P 到达点时，t=21s， 当17<t<21 时，点在圆内部； 综上：当0<t<1 时或17<t<21 时，点在圆内部． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，切线长定理，以及和圆相关的内容，熟练掌握相关知识点是解题的 关键．注意在解题过程中灵活运用“同弧所对的圆周角相等”这一定理． 17．(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（1）将矩形 的每条边向内缩进 得到矩形A1B1C1D1，再把直径为1 的小圆缩小为一点进行 考虑，将原直径为1 的圆扩大，即以原圆心为圆心，直径为2 作114 个新的圆，计算可得114 个新圆的面 积和小于矩形A1B1C1D1的面积，即可证明在矩形BD 内一定还可以放入一个直径为r 的圆，它和这114 个圆 都没有交点（也不在某个圆的内部）； （2）将矩形 的每条边向内缩进 得到矩形A1B1C1D1，再把直径为1 的小圆缩小为一点进行考虑，把 每个小正方形加框，即在小正方形的每条边的外部加一个长和宽分别为1 和 的矩形，4 个角上加上一个 直径为1 的四分之一圆弧，计算此时95 个加框图形的面积总和小于矩形A1B1C1D1的面积，即可证明在矩形 BD 内一定还可以放入一个直径为r 的圆，它和这95 个正方形都没有交点（也不在某个正方形的内部）． (1) 解：将矩形 的每条边向内缩进 ，得到一个长和宽分别为20 和18 的矩形A1B1C1D1(如图1 所示)，则 矩形A1B1C1D1的面积为 ．对矩形 内任意放入的114 个直径为1 的圆，分别以这114 个圆 的圆心为圆心，直径为2 作114 个新的圆(如图2 所示)．因为这114 个新圆的面积和等于 小于矩形A1B1C1D1的面积． 所以在矩形A1B1C1D1内，一定存在一点 ，它在这114 个新的圆的外部．因为点 到矩形 每条边的 距离都大于 ，且点 到每个旧圆圆心的距离都大于1，所以以点 为圆心，直径为的圆一定在矩形