第09讲 四边形（含答案详解）-全国重点高中自主招生大揭秘

四边形 一、单选题 1．（2023 春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）已知：、b 是正数，且 ，则 的最小值 是（ ） ． B． ． D． 2．（2020·江西南昌·八年级竞赛）如图，四边形 是菱形，对角线 ， ， 于点 ，则 的长（ ） ． B． ． D． 3．（2020·江西南昌·八年级竞赛）在四边形BD 中，将下列条件中的任意两个进行组合，可以判定它是平 行四边形的有（ ）组． （1）B∥D （2）D∥B （3）B=D （4）D=B （5）∠=∠ （6）∠B=∠D ．7 B．8 ．9 D．10 4．（2017·全国·八年级竞赛）梯形BD 中，D// B ，B=3，B=4，D=2， D=1，则梯形的面积为 （ ） ． B． ． D． 5．（2023·四川绵阳·统考三模）如图，矩形 的边 在x 轴的正半轴上，点B 在点的右边，点，D 在第一象限， ， ，点P 在 边上运动，若b 取某个确定的值时，使得 是等腰三角形 的点P 有三个可能位置，则b 的取值范围是（ ） ． B． ． D． ，且 6．（2023 春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，正方形 的边长为1，点E 是边D 上一点，且 ，点F 是边 上一个动点，连接EF，以 为边作菱形 ，且 ，连接 ， 点P 为 的中点，在点F 从点运动到点B 的过程中，点 运动所走的路径长为（ ） ． B．1 ． D． 二、解答题 7．（2023 春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）如图，在△B 外分别以B，为边作正方形BDE 和正方形FG， 连接EG，M 是△B 中B 边上的中线，延长M 交EG 于点． 求证： （1）M EG； （2）⊥EG； （3）EG2+B2＝2（B2+2）． 8．（2022 春·湖南长沙·八年级校联考竞赛）某同学对矩形纸片BD 进行了如下的操作：如图，先沿直线G 折叠，使点B 落在对角线上的点P 处，再沿直线折叠，使点D 落在上的点Q 处．若 ， ，求 四边形 的面积． 9．（2020·江西南昌·八年级竞赛）如图，在 中， ， ， ，点D 从点 出发沿方向以 的速度向点匀速运动，同时点E 从点出发沿B 方向以 的速度向点B 匀速运动， 当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E 运动的时间是秒（ ）．过点 作 于点F，连接DE，EF． (1)求证： ； (2)四边形 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，说明理由； (3)当为何值时， 为直角三角形？请说明理由． 10．（2020·江西南昌·八年级竞赛）在矩形BD 中，B＝8，B＝6，点E 是B 边上一点，连接E，把△BE 沿 E 折叠，使点B 落在点B′处． （1）当B′在边D 上时，如图①所示，求证：四边形BB′E 是正方形； （2）当B′在对角线上时，如图②所示，求BE 的长． 11．（2020·江西南昌·八年级竞赛）如图，在平行四边形BD 中，E 为B 的中点，连接E 并延长交D 的延长 线于点F． (1)求证：B=F； (2)当B 与F 满足什么数量关系时，四边形BF 是矩形，并说明理由． 12．（2023·辽宁丹东·统考一模）已知正方形 和等腰直角三角形 ， ，连接 ， ， ， ，点G，，分别为线段 ， ， 的中点，连接 ， ， ． (1)如图1，当点B，，F 在一条直线上时，请直接写出线段 与 的关系； (2)如图2，将 绕点顺时针旋转 ，判断线段 与 的关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若 ， ， ， ， 的面积分别为 ， ，． ①请直接写出 与 大小关系； ②直接写出 的值． 13．（2023 春·四川德阳·八年级四川省德阳市第二中学校校考期中）如图，四边形 为矩形， 点在 轴上， 点在 轴上， 点坐标是 ， 点坐标是 ，矩形 沿直线 折叠，点 落在 边上的 处， 、 分别在 、 上，直线 解析式为 ， 点的坐标是 ． (1)求出的值； (2)若直线 平行于直线 ，交轴于点 ，求直线 的解析式； (3)点 在轴上，直线 上是否存在点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？若存 在，请直接写出 点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（2023 春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点， 的直 角顶点 在 轴的正半轴上，点坐标为 ，点 在射线 上，点 以每秒个单位长度的速度从点 出发向终点 运动，同时动点 以每秒个单位长度的速度从点 出发向终点 运动，点 ， 同时到达 终点，点 为 的中点，连接 ， ，以 ， 为边构造▱ 设点 的运动时间为秒． (1) ______ ，点 的坐标是______ （用含的代数式表示）； (2)在点 ， 运动过程中，是否存在直线 将▱ 的面积分成：的两部分？若存在，则求出此时 的值；若不存在，请说明理由． (3)若 ， 交于点 ，作点 关于直线 的对称点为点 ，连接 ， ，当 是以 为 腰的等腰三角形时，的值是______ （直接写出答）． 15．（2023 春·湖南长沙·八年级湖南师大附中博才实验中学校联考期中）定义：对于给定的一次函数 （ ，k、b 为常数），把形如 （ ，k、b 为常数）的函数称为一次函数 （ ，k、b 为常数）的衍生函数．已知 的顶点坐标分别为 ， ， ， ． (1)点 在一次函数 的衍生函数图象上，则 ________； (2)如图，一次函数 （ ，k、b 为常数）的衍生函数图象与 交于M、、P、Q 四点，其 中P 点坐标是 ，并且 ，求该一次函数的解析式． (3)一次函数 （ ，k、b 为常数），其中k、b 满足 ． ①请问一次函数的图象是否经过某个定点，若经过，请求出定点坐标；若不经过，请说明理由； ②一次函数 （ ，k、b 为常数）的衍生函数图象与 恰好有两个交点，求b 的取值范围． 三、填空题 16．（2022 春·湖南长沙·八年级校联考竞赛）已知长分别为14，13，9，7 的四条线段可以构成梯形，则在 所有可能构成的梯形中，连接梯形两腰中点的线段长度的最大值是_______． 17．（2022 春·湖南长沙·八年级校联考竞赛）如图，P 为Rt△B 内一点，其中∠B=90°，并且P=3，PB=7， P=9，则B 的最大值为________． 18．（2022 春·湖南长沙·八年级长沙市长郡双语实验中学校考竞赛）如图，P 为Rt△B 内一点，其中 ，并且 ， ， ，则 的最大值为_______． 19．（2020·江西南昌·八年级竞赛）若顺次连接四边形BD 各边中点所得四边形为矩形，则四边形BD 的对 角线、BD 之间的关系为_____． 20．（2020·江西南昌·八年级竞赛）如图，P 是正方形BD 内的一点，且△PB 是等边三角形，则∠PD 的度 数为______． 21．（2020·江西南昌·八年级竞赛）如图，四边形BD 是矩形，点E 在线段B 的延长线上，连接DE 交B 于 点F，∠ED=2∠ED，点G 是DF 的中点，若BE=2，DF=8，则B 的长为______ ． 22．（2020·江西南昌·八年级竞赛）如图，在正方形BD 中，点E 是B 上的一定点，且BE=5，E=7，点P 是BD 上的一动点，则PE+P 的最小值是______． 23．（2023 春·浙江舟山·八年级校联考期中）如图，有一张平行四边形纸条 ， ， ， ，点E，F 分别在边 ， 上， ．现将四边形 沿 折叠，使点， D 分别落在点 ， 上．当点 恰好落在边 上时，线段 的长为___________ ．在点F 从点B 运 动到点的过程中，若边 与边 交于点M，则点 相应运动的路径长为___________ ． 24．（2023 春·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，平行四边形 的对角线 ， 交于点 ， 平分 ，交 于点 ，且 ．设 ，连接 ；若 ， ，则 平行四边形 的面积为______ ；设 ，则与满足的关系式为______． 参考答： 1． 【分析】如图，将 的最小值转化为求 的最小值问题，利用轴对称的性质，进行求 解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ，代入 ， 得： ， 构造如下图形，如图，其中 ， ， ，在 上取一点 使 ，可得 ， 在 中，根据勾股定理得： ， 在 中，根据勾股定理得： ， 则 ， ∴当 的值最小时， 的值最小， 作点 关于直线的对称点 ，连接 ，则： ， ∴当 三点共线时， 的值最小，即为 的长， 延长 ，过 作 垂直于 的延长线，垂足为 ，则，四边形 为矩形， ∴ ， ， ∴ ， 在 中，由勾股定理，得： ； ∴ 的最小值为 ． 故选． 【点睛】本题考查轴对称的性质，勾股定理，矩形的判定和性质．解题的关键，是将代数问题转化为几何 模型，利用轴对称的性质，解决线段和最小问题． 2． 【分析】由菱形对角线和边长组成一个直角三角形，由勾股定理可得菱形的边长，再利用面积相等建立等 式，即可求解高D 的长． 【详解】解：∵在菱形BD 中：⊥BD，= =4m，B= BD=3m， ∴ , 在Rt△B 中，=4m，B=3m， ∴B= =5（m）， 菱形的面积S= •BD=B•D， 即 ×8×6=5×D， 解得D= m，故正确． 故选：． 【点睛】此题考查了菱形的性质和菱形的面积，熟练掌握“菱形的对角线互相垂直平分，菱形的面积等于 对角线乘积的一半”是解题的关键． 3． 【分析】根据平行四边形的5 种判定方法，能推出四边形BD 是平行四边形的有(1)(2)，(1)(3)，(1)(5)，(1) (6)，(2)(4)，(2)(5)，(2)(6)，(3)(4)，(5)(6)； 【详解】能推出四边形BD 是平行四边形的有： (1)(2)，两组对边分别平行的四边形是平行四边形； (1)(3)，(2)(4)，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (3)(4)，两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (5)(6)，两组对角分别相等的四边形是平行四边形； (1)(5)，(1)(6)，(2)(5)，(2)(6)，这几组都是一组对边平行，一组对角相等，由这个条件可以推导出另一组对 边平行(或另一组对角相等)，根据两组对边分别平行的四边形(或两组对角分别相等的四边形)是平行四边形 可得到平行四边形； 综上，共有9 组， 故选． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多 方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找 出添加的条件和所得的结论．在四边形中如果有：①四边形的两组对边分别平行；②一组对边平行且相等； ③两组对边分别相等；④对角线互相平分；⑤两组对角分别相等．则四边形是平行四边形． 4． 【分析】作梯形的两条高线，根据勾股定理求出高的长度，由梯形面积公式求解 【详解】如图，过、D 作E⊥B,DF⊥B,垂足为E、F ∴D=EF=1,E=DF, 设BE=x，则F=4-1-x=3-x, 在Rt△BE 中，由勾股定理得，E2=B2-BE2, ∴E2=32-x2, 在Rt△DF 中，由勾股定理得，DF2=D2-F2, ∴DF2=22-(3-x)2, ∴32-x2=22-(3-x)2, 解得，x= ， ∴E= , S 梯形BD= 故选： 【点睛】本题考查梯形面积公式，涉及高线的求法，用勾股定理求高是解答此题的关键 5．D 【分析】矩形 中， ， 则 ， 得 ，由 是等腰三角形，分 、 、 讨论，找到临界值，再分析 是等边三角形的情况，即可求解． 【详解】解：矩形 中， ， ， 则 ， ， ， 是等腰三角形， 如图：当 ，且 重合时， 在 中， ， ， ， ， ， 解得： 或 （不合题意，舍去）； 如图：当 ，且 重合时， 在 中， ， ， ， ， ， 解得： 或 （不合题意，舍去）； 如图：当 ， 在 的垂直平分线上，与 恒有一个交点， 如图：当 为等边三角形时，即 ， 过 作 轴于 ， 根据等边三角形三线合一易得： ， ； 综上所述： ，且 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形，等边三角形的性质以及勾股定理解直 角三角形；解题的关键是结合题意分类讨论并排除等边三角形的情况． 6． 【分析】当 与 重合时为 ，当 与 重合时为 ，当点 从 运动到 时， 的运动轨迹为线段 ，连接 ， ， ， ，可证 ，从而可证 ，由 、 分 别是 、 的中点，即可求解． 【详解】 解：如图，当 与 重合时为 ，当 与 重合时为 ， 当点 从 运动到 时， 的运动轨迹为线段 ， 连接 ， ， ， ， 四边形 和四边形 是菱形， ， ， ， 均是等边三角形， ， ， ， ， ， 在 和 中 ， ， ， ， ， 同理可证： ， ， 在 和 中 ， ， ， ， 、 分别是 、 的中点， ． 故选：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，菱形的性质，三角形全等的判定及性质，三 角形中位线定理，掌握相关的判定方法及性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键． 7．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析 【分析】（1）延长M 到点，使M＝M，连接B，先证得△MB △ ≌M，得到∠BM＝∠M，B＝，从而得到 B∥，B＝G，进一步得到∠B＝∠GE，根据SS 证得△B △ ≌GE，即可证得结论； （2）由△B △ ≌GE 得∠B＝∠EG，进一步求得∠E+∠E＝90°，即可证得∠E＝90°，得到⊥EG； （3）连接E、BG，易证△E △ ≌BG，得出E⊥BG，根据勾股定理得到EG2+B2＝G2+BE2，从而得到2 （B2+2）． 【详解】（1）证明：延长M 到点，使M＝M，连接B， ∵M 是△B 中B 边上的中线， ∴M＝BM， 在△MB 和△M 中 △ ∴MB △ ≌M（SS）， ∠ ∴ BM＝∠M，B＝， ∴B∥，B＝G， ∠ ∴ B+∠B＝180°， ∠ ∵ GE+∠B＝360° 90° 90° ﹣ ﹣ ＝180°， ∠ ∴ B＝∠GE， 在△B 和△GE 中 △ ∴B △ ≌GE（SS）， ∴＝EG， ∴M EG； （2）证明：由（1）△B △ ≌GE 得∠B＝∠EG， ∠ ∵ E+∠B＝180° 90° ﹣ ＝90°， ∠ ∴ E+∠E＝90°， ∠ ∴ E＝90°， 即⊥EG； （3）证明：连接E、BG， ∵四边形FG 和四边形BDE 是正方形， ∴=G，B=E，∠G=∠BE=90°， ∠ ∴ BG=∠E， ∴△E △ ≌BG ∴E⊥BG， ∴EG2+B2＝G2+BE2， ∴EG2+B2＝2（B2+2）． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质， 勾股定理的应用等，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 8． 【分析】由折叠的性质可知P=B=5，BG=PG，∠B=∠PG=90°，Q=D=5，由勾股定理可得=13，然后可得 P=8，设G=x，则BG=PG=12-x，进而根据勾股定理建立方程求解x，最后问题可求解． 【详解】解：∵四边形BD 是矩形， ， ， ∴ ， ， ∴ ， 由折叠的性质可知P=B=5，BG=PG，∠B=∠PG=90°，Q=D=5， ∴P=8，∠PG=90°， 设G=x，则BG=PG=12-x， ∴由勾股定理可得： ， 解得： ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握折叠的性质、矩形的性质及勾股定 理是解题的关键． 9．(1)证明见解析； (2)t=10； (3)当t= 或12 时，△DEF 为直角三角形，理由见解析． 【分析】（1）由题意得∠B=30°，D=4tm，E=2tm，再由含30°角的直角三角形的性质得DF= D=2tm， 即 可得到E=DF； （2）由E=D，得四边形EFD 为菱形，得2t=60-4t，进而求得t 的值； （3）分∠EDF=90°、∠DEF=90°两种情况，根据直角三角形的性质列出算式，计算即可． 【详解】（1）证明：由题意可知D=4tm，E=2tm， ∠ ∵ B=90°，∠=60°， ∠ ∴ =30°， ∴DF= D=2t m． ∵E=2t m，DF=2t m， ∴E=DF． （2）解：∵B⊥B，DF⊥B， ∴ ． ∵E=DF， ， ∴四边形EFD 为平行四边形， ∴要使平行四边形EFD 为菱形，则需E=D， 即2t=60-4t， 解得t=10， ∴当t=10 时，四边形EFD 为菱形， 故答为：10． （3）当∠EDF=90°时，如图①， ∵DF⊥B，B⊥B， ∴ ， ∴四边形DFBE 为矩形． ∴ ∴D=2E，即60-4t=2t×2， 解得，t= ， 当∠DEF=90°时，如图②， ∵ ， ∴DE⊥， ∴ ． ∴E=2D，即2t=2×（60-4t）， 解得，t=12， 综上所述，当t= 或12 时，△DEF 为直角三角形． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、含30°角的直角三角形 的性质等知识，熟练掌握直角三角形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 10．（1）证明见解析；（2）3 【分析】（1）由折叠的性质可得BE＝ E，B＝ ，∠BE＝∠ E，然后根据等角对等边证出B＝BE＝ ＝B'E，从而证出四边形B E 是菱形，然后根据正方形的判定即可证出结论； （2）利用勾股定理求出，然后根据折叠的性质可得 ＝B＝6，BE＝ E，然后利用勾股定理即可求出结 论． 【详解】证明：（1）∵BE 沿E 折叠， ∴BE＝ E，B＝ ，∠BE＝∠ E， ∵四边形BD 是矩形， ∠ ∴ DB＝90°＝∠B． ∠ ∴ BE＝45°且∠B＝90°． ∠ ∴ BE＝∠BE＝45°． ∴B＝BE． ∵BE＝ E，B＝ ， ∴B＝BE＝ ＝B'E． ∴四边形B E 是菱形． 又∵∠B＝90° ， ∴四边形B E 是正方形． （2）∵B＝8，B＝6， ∴根据勾股定理得：＝10． ∵BE 沿E 折叠， ∴ ＝B＝6，BE＝ E， ∴ ＝4，E＝B﹣BE＝8﹣ E， 在Rt E 中，E2＝ 2+ E2， ∴（8﹣ E）2＝16+ E2 ， 解得： E＝3， ∴BE＝ E＝3． 【点睛】此题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质、正方形的判定和勾股定理是解决 此题的关键． 11．(1)见解析；(2)当B=F 时，四边形BF 是矩形，理由见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用S 判定△BE △ ≌FE，从而得到B=F； （2）由已知可得四边形BF 是平行四边形，B=F，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形BF 是矩形． 【详解】（1）证明：∵四边形BD 是平行四边形， ∴B∥D，B=D， ∴ ， ， ∵E 为B 的中点