第02讲 代数式（含详解答案）-全国重点高中自主招生大揭秘

代数式 一、单选题 1．（2022·福建·九年级统考竞赛）已知正整数，b，，d 满足：bd，bd2022， ，则这样的4 元数组(，b，，d)共有（ ） ．251 组 B．252 组 ．502 组 D．504 组 2．（2021·全国·九年级竞赛）当 时，多项式(4x3 1997x 1994) ﹣ ﹣ 2001的值为（ ） ．1 B．﹣1 ．22001 D．﹣22001 3．（2022·广东·九年级统考竞赛）已知 ，且 ，则 的值为（ ） ．2022 B．-2022 ．4044 D．-4044 4．（2021·全国·九年级竞赛）设 ，则 （ ） ． B． ． D． 5．（2019 秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）定义：若 ，则称与是关于数的“平衡数” 比如 3 与 是关于 的“平衡数”，5 与12 是关于17 的“平衡数” 现有 与 （为常数）始终是关于数的“平衡数”，则 ．11 B．12 ．13 D．14 6．（2019 秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）如果单项式 与单项式 是同类项，则 的 值是 ．1 B．-1 ．2 D．-2 7．（2020 秋·江西·七年级江西省于都中学校考竞赛）数学课上，老师讲了多项式的加减，放学后，小明回 到家拿出课堂笔记，认真的复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：（-x2+3xy- y2）-（- x2+4xy- y2）= - x2_____+y2空格的地方被钢笔水弄污了，那么空格中的一项是（ ） ．-7xy B．7xy ．-xy D．xy 8．（2022 春·山东济南·六年级校考竞赛）在发拉底河岸的古代庙宇图书馆遗址里，曾经发掘出大量的黏土 板，美索不达米亚人在这些黏土板上刻出来乘法表、加法表和平方表．用这些简单的平方表，美索不达米 亚人这样计算：第一步：（103+95）÷2＝99，第二步（103 95 ﹣ ）÷2＝4；第三步：查平方表；知99 的平 方是9801，第四步：查平方表，知4 的平方是16，第五步： 设两因数分别为和 b，写出蕴含其中道理的整式运算（ ） ． B． ． D． 二、解答题 9．（2022 春·山东济南·六年级校考竞赛）一般地，个相同的因数相乘 ，记为 ， 如 ，此时，3 叫做以2 为底8 的对数，记为 (即 ) ．一般地，若 且 ， 则叫做以为底的对数， 记为 (即 ) ．如 ， 则4 叫做以3 为底81 的对数， 记为 (即 ) ． （1）计算下列各对数的值： ； ； ． （2）观察（1）中三数4、16、64 之间满足怎样的关系式， 之间又满足怎样的关系式； （3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗? （4） 根据幂的运算法则： 以及对数的含义说明上述结论． 10．（2022 春·山东济南·六年级校考竞赛）如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中 任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． （1）可求得x=___，第2009 个格子中的数为___； （2）判断：前m 个格子中所填整数之和是否可能为2018？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由； （3）如果，b 为前三个格子中的任意两个数，那么所有的|−b|的和可以通过计算|9−&mp;|+|9−#|+|&mp;−#|+| &mp;−9|+|#−9|+|#−&mp;|得到，若，b 为前19 个格子中的任意两个数，则所有的|−b|的和为___． 11．（2022 春·山东济南·六年级校考竞赛）观察下列式子： 将以上三 个式子的两边分别相加，得 ＝1 （1）猜想并写出： ＝ ． （2）直接写出： ＝ ． 12．（2022 春·山东济南·六年级校考竞赛）观察下列等式： ， ， ， 将以上三个等式两边分别相加得： ． 观察发现 ________； __________． 初步应用 利用（1）的结论，解决以下问题： ①把 拆成两个分子为1 的正的真分数之差，即 _______； ②把 拆成两个分子为1 的正的真分数之和，即 _______； 深入探究 定义“ ”是一种新的运算，若 ， ， ，则 计算的结果是_________． 拓展延伸 第一次用一条直径将圆周分成两个半圆（如图），在每个分点标上质数k，记2 个数的和为 ；第二次将 两个半圆都分成 圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的 ，记4 个数的和为 ；第三次将 四个 圆都分成 圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的 ，记8 个数的和为 ；第四次将 八个 圆都分成 圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的 ，记16 个数的和为 ；……， 如此进行了次． ① __________（用含有k,的代数式表示）； ②若 4420，求 的值． 13．（2022 春·山东济南·六年级校考竞赛）下列是用火柴棒拼出的一列图形． 仔细观察，找出规律，解答下列各题： (1)第4 个图中共有_________根火柴，第6 个图中共有_________根火柴； (2)第个图形中共有_________根火柴(用含的式子表示) (3)若f()=2−1（如f(−2)=2×(−2)−1，f(3)=2×3−1），求 的值． (4)请判断上组图形中前2017 个图形火柴总数是2017 的倍数吗，并说明理由? 14．（2021·全国·九年级竞赛）(25 分)在 中，有多少个不同的整数(其中，[x]表 示不大于x 的最大整数)? 15．（2021·全国·九年级竞赛）沿着圆周放着一些数，如果有4 个相连的数，，， 满足不等式 ，那么就可以交换，的位置，这称为一次操作． （1）若圆周上的依次放着数1，2，3，4，5，6，问能否经过有限次操作后，对任意相连的4 个数，， ， 都有 ？ （2）若圆周上依次放着数1，2，3，…，2010，问能否经过有限次操作后，对任意4 个问题相连的数， ，， 都有 ？ 16．（2022 春·湖南长沙·八年级校联考竞赛）已知实数，b，满足 ， ，求 的值． 17．（2020 秋·江西·七年级江西省于都中学校考竞赛）①当 ， 时，分别求代数式 和 的值． ②根据上面计算结果猜想这两个代数式的值有何关系?（若上面计算结果你还猜想不出关系，可以再尝试 几组、b 的值进行计算猜想．） ③根据你的猜想，请计算当 ， 时，代数式 的值． 18．（2019 秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）若 ，求 的值 19．（2022 春·湖南长沙·八年级校联考竞赛）已知： ，求 的值． 三、填空题 20．（2022 春·山东济南·六年级校考竞赛）一列数： ， ， ， ， ，其中 ， ，且当 时， ，用含的式子表示 的结果是__． 21．（2019 秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）把四张大小相同的长方形卡片（如图①）按图②、图③两种 放法放在一个底面为长方形（长为 ，宽为）的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图 ②中阴影部分的周长为 ，图③中阴影部分的周长为 ，则 ___________ 22．（2022·福建·九年级统考竞赛）若素数p，使得 是一个完全平方数，则p=______．（若一 个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数．） 23．（2020 秋·江西·七年级江西省于都中学校考竞赛）某同学做一道代数题：“求代数式 ，当 时的值”，由于将式中某一项前的“+”号错看 为“-”号，误得代数式的值为37，那么这位同学看错了______次项前的符号． 24．（2019 秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）当 时，代数式 的值为3，则 _________ 25．（2019 秋·河南许昌·七年级校联考竞赛）已知、互为倒数，为最小的正整数， 是最大的负整数， ，则式子 的值为_________ 26．（2021·全国·九年级竞赛）若一个正整数分别加上100 和168，可得到两个完全平方数，则这个正整数 为______． 27．（2022·福建·九年级统考竞赛）同余数是一个三边均为有理数的直角三角形的面积，即如果存在三个 正有理数，b，，使得 ，且 ，则称为同余数．如果正整数为同余数，则称为整同余数． 由于5 是三边长分别为 ， ， 的直角三角形的面积，6 是三边长分别为3，4，5 的直角三角形的面 积，7 是三边长分别为 ， ， 的直角三角形的面积，所以5，6，7 都是同余数，且是整同余数． 如何判断一个正整数是否为同余数至今尚未完全解决．关于同余数的第一个重要结论是费马（Fermt）在 17 世纪证明的1 不是同余数．在 ， 中，令 ， ，得 ．因此，若正整数是同余数，则二元三次不定方程 有有理数解；若正整数使得二 元三次不定方程 有有理数解，则是同余数．这样，古老的同余数问题与现代的椭圆曲线 的有理点（横、纵坐标均为有理数的点）之间建立了联系．阅读上述材料，请你写出椭圆曲 线 上的一个有理点坐标(x，y)______． 28．（2022 春·山东济南·六年级校考竞赛）现有一列整数,第一个数为 1,第二个数为 x 以后每一个数都由它 前一个数与再前一个数差的绝对值得到如第三个数是由 x 与 1 差的绝对值得到,即为|x 1| ,第四个数是由|x 1| 与 x 差的绝对值得到,即为|x1|  x| | ,依次类推 ①若 x=2,则这列数的前 10 个数的和为 ; ②要使这列数的前 100 个数中恰好有 30 个 0,则 x= 参考答： 1．D 【分析】根据题意得出 ，继而得出 ，再由已知条 件构造 ，即可解答． 【详解】因为，，， 为正整数，且 ， 所以 ． 所以 ． 因此 ， ，即 ， ． 所以 ，因此 ． 又 ，所以 ，因此 ． 所以符合条件的4 元数组 为 ，其中 ． 所以符合条件的4 元数组有504 组． 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的应用，解题的关键是根据题目已知等式构造不等式，属于竞赛 题． 2．B 【分析】由题意得(2x−1)2＝1994，得到4x2−4x-1993=0，将原式转化为 (4x3−4x−1993x−1993−1)2001＝[x(4x2−4x−1993)＋(4x2−4x−1993)−1]2001的值，再将4x2−4x＋1 ＝1994 代入可得出答． 【详解】解：∵ ， ∴(2x−1)2＝1994， ∴4x2−4x＋1＝1994， ∴4x2−4x-1993=0 = =-1 故选：B． 【点睛】本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，同学们要学会转化的思想，这是数 学上很重要的一种思想． 3．B 【分析】将2（b+）=b2（+），≠b，变形后可得b++b=0，进而可得结果． 【详解】解：2（b+）=b2（+）， 2b+2=b2+b2， 2b+2-（b2+b2）=0， 2b+2-b2-b2=0， b（-b）+（2-b2）=0， b（-b）+（+b）（-b）=0， （-b）（b++b）=0， ∵≠b， ∴b++b=0， ∵b2（+）=b（b+b）=b（-）=-b=2022， ∴b=-2022． 故选：B 【点睛】本题考查了单项式乘多项式以及因式分解，解决本题的关键是掌握平方差公式以 及提公因式法因式分解． 4． 【分析】首先根据 ，得出 ，再根据等式两边平方，得出 ，再 把 进行变形，然后把 代入计算即可． 【详解】解：由 ， 可得： ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选： 【点睛】本题考查了求代数式的值、二次根式的化简、整式的恒等变形，将所求式子进行 适当的变形是解本题的关键． 5． 【分析】利用“平衡数”的定义可得+b=，代入计算即可． 【详解】解：∵ 与 （k 为常数）始终是关于数的“平衡 数”， ∴+b= = =， ∴5-10k=0， 解得：k= ， ∴=12-2× =11． 故选：． 【点睛】此题考查了整式的加减的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键． 6．D 【分析】直接利用同类项的定义得出关于m，的方程进而得出答． 【详解】解：∵单项式 与单项式 是同类项， ∴m=2-m，+2=3-1， 解得，m=1，= ， 则m-2=-2， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了同类项，正确掌握同类项的定义是解题关键． 7． 【分析】按照整式加减法法则“几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同 类项”进行计算，然后对比结果，即可得出答 【详解】解： ＝－x2＋3xy－ y2＋ x2－4xy＋ y2 ＝－ x2－xy＋y2 所以空格中的一项是－xy 故选 【点睛】本题主要考查学生对整式的加减法的综合运用能力 解决本题的重点在于要将所给 的等式的左边进行计算，然后与右边进行对比，即可得出答 注意：在对比中要注重项的符 号，以避免功亏一溃 8．D 【分析】先观察题干实例的运算步骤，发现 对应的数即为 从而可得出结论 【详解】解：由题意得： 故选D 【点睛】本题考查的是利用完全平方公式进行运算，掌握“ ”是解本 题的关键 9．（1）2，4，6；（2）4×16=64， ；（3） ；（4）见解析 【分析】（1）根据对数的定义求解可得； （2）观察三个数字及对应的结果，找出规律； （3）将找出的规律写成一般形式； （4）设 ， ，利用 转化可推导． 【详解】（1）∵ , , ∴ 2， 4， 6 （2）4、16、64 的规律为：4×16=64 ∵2+4=6，∴ （3）根据（2）得出的规律，我们一般化，为： （4）设 ， 则 ， ∴ ∴ ∴ ，得证 【点睛】本题考查指数运算的逆运算，解题关键是快速学习题干告知的运算法则，找出相 应规律． 10．（1）9，-6；（2）能，m=1211；（3）2424 【分析】（1）根据任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，得到x 及数字的排列规律， 即可计算第2009 个格子中的数； （2）先计算出这三个数的和，再按照规律计算； （3）由于是三个数重复出现，重复计算前三个数的和得到规律后即可得到答 【详解】（1）∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， ∴x=9，&mp;=-6， ∴#=2， ∴这列数是按9，-6,2 循环排列的， ∵2009 3=669 ， ∴第2009 个格子中的数是-6,， 故答为：9，-6； （2）能， ∵9-6+2=5，2018 5=403 ，且9-6=3， ∴前m 个格子中所填整数之和可能为2018， m 的值为： ； （3），由于是三个数重复出现，则前19 个格子中的这三个数中，9 出现7 次，-6 出现6 次， 2 出现6 次， 代入式子计算可得 ， 故答为：2424 【点睛】此题考查数字类规律的探究，根据题意找到数字的排列规律是解题的关键 11．（1） ；（2） 【分析】（1）通过观察，总结规律即可； （2）应用（1）得到的规律解题即可 【详解】解：（1）由 … 可得： = ； 故答为： ； （2） ＝ ＝ ＝ ， 故答为 ． 【点睛】本题考查了分式的加减运算法则，解题的关键在于通过观察发现规律，并正确应 用规律 12． 【分析】根据材料给出的规律解答即可 【详解】(1)观察发现： ； (2)①在(1)的结论下， 即 ② 即 (3)观察可知， (4)① ， ， ， ， ②∵ 且为质数 对 分解质因数可知 ∴ ∴ ， ∴ ， ∴ 【点睛】本题考查代数式的化简变形 13．(1)17，25 (2)(4+1) (3)2017 (4)是，理由见解析 【分析】（1）观察发现每增加一个图增加三根火柴，从而得到规律，代入求解即可求得总 数． （2）根据以上规律即可得； （3）利用高斯求和方法计算可得； （4）求出前2017 个图形中火柴总数即可得． （1） 第4 个图中火柴有4×4+1=17； 第6 个图中火柴有4×6+1=25； （2） 当=1 时，火柴的根数是4×1+1=5； 当=2 时，火柴的根数是4×2+1=9； 当=3 时，火柴的根数是4×3+1=13； 所以第个图形中火柴有4+1． （3） f(1)=2×1−1=1， f(2)=2×2−1=3， f(3)=2×3−1=5， ∴原式 =2017 （4） 4×1+1+4×2+1+⋯+4×2017+1 =4×（1+2+⋯+2017）+1×2017 =4× ×（1+2017）×2017+2017 =2×（1+2017）×2017+2017 =4037×2017 ∴是2017 倍数 【点睛】本题主要考查图形的规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化， 是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化 规律是此类题目中的难点． 14．1507 【分析】根据前后两个数的差找出前后两个整数的变化规律，从而得到前1004 个数中有重 复连续的整数，最小是0，最大为502，，后1004 个是不重复的整数， 【详解】设f()= ①当=1，2，…，1 004 时，有f()-f(-1)= - = <1 而[f(1)]=0，[f(1 004)]=[ ]= 502， 所以，从0 到502 的整数都能取到 ②当=1005，1 006，…，2 008 时，有f()-f(-1)= >1 而[f(1 005)]= = =502+1+ >503， 故从 是互不同的整数共1004 个从而，在 中，共有503+1 004=1507 个不同的整数 【点睛】此题主要考查了取整计算，根据已知得出所有整数的取值范围是解题关键． 15．（1）能；（2）能 【详解】解 （1）如图，连续进行4 次操作： 并且易检验最后一个圆周上的6 个数满足：对任意4 个相连的数，，， ，都有 ． （2）答也是肯定的，考虑这2010 个数相邻两数之积的和 ， 若圆周上相连的4 个数，，， 满足不等式 ，即 ， 交换与后，设圆周上相邻两数之积的总和为 ，则 ，即 ． 所以，每操作一次，相邻两数乘积和至少减少1，而相邻两数乘积和不可能是负数和零故 经过有限次操作后，对任意相连的4 个数，，， 都有 ． 16． 【分析】由 和 两式变形得出 ， ， ，再将原式变形为 ，计算即可． 【详解】∵ ， ∴ ，两边同时平方得 ， 即 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， 同理可得 ， ， 原式= = = = = = = = = = = = ． 【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式，解题的关键是对代数式进行变形． 17．①25，25；②这两个代数式的值相等；③1 【分析】①将已知条件代入，分别求值即可； ②根据题意，可猜想两个代数是相等关系； ③结合②的结论，简便计算即可． 【详解】①当 ， 时， ； ； ②根据上面计算结果猜想这两个代数式的值相等； ③当 ， 时，代数式 ． 【点睛】本题考查了代数式求值，以及规律总结，灵活总结出规律，并根据规律进行简便 计算是解题关键． 1