52 二次函数中的动点有关的综合问题

二次函数中的动点有关的综合问题 1、如图①，已知抛物线y＝x2 4 ﹣mx+3m2（、m 为参数，且＞0，m＞0）与x 轴交于、B 两点（在B 的左 边），与y 轴交于点． （1）求点B 的坐标（结果可以含参数m）； （2）连接、B，若（0，3m），求t∠B 的值； （3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴为直线l：x＝2，点P 是抛物线上的一个动点，F 是抛物 线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△PF 成为以点P 为直角顶点的的等腰直角三角形． 若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答】（1）B（3m，0）；（2）t∠B＝ ； （3）点P 的坐标是：（ ）或（ ）或（ ）或（ ）． 【解析】 解：（1）令y＝0，则有x2 4 ﹣mx+3m2＝0， 解得：x1＝m，x2＝3m， ∵m＞0，在B 的左边， ∴B（3m，0）； （2）如图1，过点作D⊥B，垂足为点D， 由（1）可知B（3m，0），则△B 为等腰直角三角形， ∵＝B＝3m， ∴B＝3 m， 又∵∠B＝45°， ∴∠DB＝45°， ∴D＝BD， ∵B＝2m， ∴ m，D＝2 m， t ∴∠B＝ ； （3）∵由题意知x＝2 为对称轴， 2 ∴m＝2， 即m＝1， ∵在（2）的条件下有（0，3m）， 3 ∴m＝3m2， 解得m＝ ，即＝1， ∴抛物线的解析式为y＝x2 4 ﹣x+3， ①当P 在对称轴的左边，如图2，过P 作M⊥y 轴，交y 轴于M，交l 于， ∵△PF 是等腰直角三角形，且P＝PF， 易得△MP≌△PF， ∴M＝P， ∵P（m，m2 4 ﹣m+3）， 则﹣m2+4m 3 ﹣＝2﹣m， 解得：m＝ 或 ， ∴P 的坐标为（ ， ）或（ ）； ②当P 在对称轴的右边， 如图3，过P 作M⊥x 轴于，过F 作FM⊥M 于M， 同理得△P≌△PMF， ∴P＝FM， 则﹣m2+4m 3 ﹣＝m 2 ﹣， 解得：x＝ 或 ； P 的坐标为（ ）或（ ）； 综上所述，点P 的坐标是：（ ）或（ ）或（ ）或（ ）． 2、如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−(x−a) (x−4 ) (a<0)与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点 （1）若D点坐标为( 3 2 , 25 4 )，求抛物线的解析式和点C的坐标； （2）若点M为抛物线对称轴上一点，且点M的纵坐标为a，点N为抛物线在x轴上方一点，若以C、B、 M、N为顶点的四边形为平行四边形时，求a的值； （3）直线y=2 x+b与（1）中的抛物线交于点D、E（如图2），将（1）中的抛物线沿着该直线方向进行 平移，平移后抛物线的顶点为D '，与直线的另一个交点为E，与x轴的交点为B '，在平移的过程中，求 D ' E '的长度；当∠E ' D ' B '=90°时，求点B '的坐标 【答】（1）y=−x 2+3 x+4;C (0,4 );（2）a=−2±2❑ √13； a1=−2−2❑ √13，a2=6−2❑ √21 3 ;（3） B ' (−1,0) 【解析】 （1）依题意得：25 4 =−( 3 2−a)( 3 2−4) 解得a=−1， ∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-4）或y=−x 2+3 x+4 ∴C (0,4 ) （2）由题意可知A (a,0)、B (4,0)、C (0,−4 a) 对称轴为直线x=a+4 2 ，则M( a+4 2 ,a) ①MN /¿ BC，且MN=BC，根据点的平移特征可知N( a−4 2 ,−3a) 则−3a=−( a−4 2 −a)⋅( a−4 2 −4)， 解得：a=−2±2❑ √13（舍去正值）； ②当BC为对角线时，设N (x , y )，根据平行四边形的对角线互相平分可得 ¿， 解得¿， 则−5a=−( 4−a 2 −a)⋅( 4−a 2 −4) 解得：a=6±2❑ √21 3 ∴a1=−2−2❑ √13，a2=6−2❑ √21 3 （3）联立¿ 解得：¿(舍去)，¿ 则DE=2❑ √5，根据抛物线的平移规律， 则平移后的线段D ' E '始终等于2❑ √5 设平移后的D '(m,2m+ 13 4 )，则E '(m−2,2m−3 4) 平移后的抛物线解析式为：y=−(x−m) 2+2m+ 13 4 则D ' B '：y=−1 2 x+n过(m,2m+ 13 4 )， ∴y=−1 2 x+ 5 2 m+ 13 4 ，则B '(5m+ 13 2 ,0) 抛物线y=−(x−m) 2+2m+ 13 4 过B '(5m+ 13 2 ,0) 解得m1=−3 2 ，m2=−13 8 ∴B1 ' (−1,0)，B2 '( −13 8 ,0)（与D '重合，舍去） ∴B ' (−1,0) 3、如图，抛物线y＝x2+bx+与直线y＝ x 3 ﹣交于，B 两点，其中点在y 轴上，点B 坐标为（﹣4，﹣ 5），点P 为y 轴左侧的抛物线上一动点，过点P 作P x ⊥轴于点，交B 于点D． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）以，，P，D 为顶点的平行四边形是否存在若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由． 【答】(1) y＝x2+ x 3 ﹣；(2)见解析 【思路引导】 （1）将点、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）PD=|m²+4m|，∵PD∥，则当PD==3 时，存在 以，，P，D 为顶点的平行四边形，即PD=|m²+4m|=3，即可求解． 【解析】 解：（1）将点、B 的坐标代入抛物线表达式得： ，解得： ， 故抛物线的表达式为：y＝x2+ x 3 ﹣； （2）存在，理由： 同理直线B 的表达式为：y＝ x 3 ﹣， 设点P（m，m2+ m 3 ﹣），点D（m， m 3 ﹣）（m＜0），则PD＝|m2+4m|， PD ∵ ∥，则当PD＝＝3 时，存在以，，P，D 为顶点的平行四边形， 即PD＝|m2+4m|＝3， ①当m2+4m＝3 时， 解得：m＝﹣2± （舍去正值）， 即m2+ m 3 ﹣＝1﹣ ，故点P（﹣2﹣ ，﹣1﹣ ）， ②当m2+4m＝﹣3 时，解得：m＝﹣1 或﹣3， 同理可得：点P（﹣1，﹣ ）或（﹣3，﹣ ）； 综上，点P（﹣2﹣ ，﹣1﹣ ）或( 1 ﹣，﹣ ）或（﹣3，﹣ ）． 【方法总结】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式、平行四边形性质等，要注意分类讨论 思想的运用． 4、在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线y=x2+bx+与x 轴交于点（-1，0），B（3，0），与y 轴 交于点（0，3），顶点为G． （1）求抛物线和直线的解析式； （2）如图1，设E（m，0）为x 正半轴上的一个动点，若△GE 和△G 的面积满足S GE △= S G △，求点E 的坐 标； （3）如图2，设点P 从点出发，以每秒1 个单位长度的速度沿x 轴向右运动，运动时间为ts，点M 为射线 上一动点，过点M 作M x ∥轴交抛物线对称轴右侧部分于点．试探究点P 在运动过程中，是否存在以P， M，为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答】（1） ；y=3x+3；（2）点E 的坐标为：（1,0）或（-7,0）；（3）存在，t 的值为 或 或 ． 【思路引导】 （1）用待定系数法即能求出抛物线和直线解析式． （2）△GE 与△G 虽然有公共底边G，但高不好求，故把△GE 构造在比较好求的三角形内计算．延长G 交x 轴于点F，则△FGE 与△FE 的差即为△GE． （3）设M 的坐标（e，3e＋3），分别以M、、P 为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线 段长度关系，用e 表示相关线段并列方程求解，再根据e 与P 的关系求t 的值． 【解析】 解：（1）将点（-1，0），B（3，0），点（0，3）代入抛物线y=x2+bx+得， ，解得 ， ∴ ， 设直线的解析式为y=kx+， 将点（-1，0），点（0，3）代入得： ，解得：k=3，=3 ∴直线的解析式为：y=3x+3 （2）延长G 交x 轴于点F，过点G 作G x ⊥轴于点， ∵ G ∴（1,4），G=4， ∴ ， 若S GE △= S G △， 则S GE △= S G △= ， ①若点E 在x 轴的正半轴， 设直线G 为 ，将G（1,4）代入得 ∴ ， ∴直线G 的解析式为y=x+3， ∴当y=0 时，x=-3，即F(-3,0) E ∵（m,0） EF=m-(-3)=m+3 ∴ ∴ = = = = ∴ ，解得：m=1 E ∴ 的坐标为（1,0） ②若点E 在x 轴的负半轴上，则点E 到直线G 的距离与点（1,0）到直线G 的距离相等， 即点E 到点F 的距离等于点（1,0）到点F 的距离， EF=-3-m=1-(-3)=4 ∴ m=-7 ∴ ，即E（-7,0） 综上所述，点E 的坐标为：（1,0）或（-7,0） （3）存在以P，M，为顶点的三角形为等腰直角三角形， 设M（e,3e+3），e＞-1，则 ， ①如图2，若∠MP=90°，PM=P， 过点M 作MQ x ⊥轴于点Q，过作R x ⊥轴于点R， M x ∵ ∥轴 MQ ∴ ＝R＝3e＋3 Rt MQP Rt RP ∴ △ △ ≌ （L） PQ ∴ ＝PR，∠MPQ＝∠PR＝45° MQ ∴ ＝PQ＝PR＝R＝3e＋3 x ∴＝xM＋3e＋3＋3e＋3＝7e＋6，即（7e＋6，3e＋3） ∵在抛物线上 − ∴（7e＋6）2＋2（7e＋6）＋3＝3e＋3， 解得： （舍去）， P ∵＝t，P＝t−1，P＋Q＝PQ t−1−e ∴ ＝3e＋3 t ∴＝4e＋4＝ ， ②如图3，若∠PM＝90°，PM＝M， M ∴ ＝PM＝3e＋3 x ∴＝xM＋3e＋3＝4e＋3，即（4e＋3，3e＋3） − ∴（4e＋3）2＋2（4e＋3）＋3＝3e＋3 解得：e1＝−1（舍去），e2＝ ， t ∴＝P＝e−（−1）＝ ， ③如图4，若∠PM＝90°，P＝M， M ∴ ＝P＝3e＋3，（4e＋3，3e＋3） 解得：e＝ t ∴＝P＝＋P＝1＋4e＋3＝ 综上所述，存在以P，M，为顶点的三角形为等腰直角三角形，t 的值为 或 或 ． 【方法总结】 本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方 程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关 键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算． 5、如图，已知直线B 与抛物线：y＝x2+2x+相交于点( 1 ﹣，0)和点B(2，3)两点． (1)求抛物线函数表达式； (2)若点M 是位于直线B 上方抛物线上的一动点，当 的面积最大时，求此时 的面积S 及点 M 的坐标． 【答】(1) y＝﹣x2+2x+3；(2) MB △ 的面积最大值是 ，M( ， ) 【解析】 (1)由题意把点( 1 ﹣，0)、(2，3)代入y＝x2+2x+， 得 ，解得 ， ∴此抛物线函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3； (2)如图，过点M 作M x ⊥轴于，交直线B 于K， 将点( 1 ﹣，0)、(2，3)代入y＝kx+b 中， 得 ，解得 ， y ∴ B＝x+1， 设点M(x，﹣x2+2x+3)，则K(x，x+1)，则MK＝﹣x2+2x+3 (x+1) ﹣ ＝﹣x2+x+2， S ∴ MB △ ＝S MK △ +S BMK △ ＝ MK•(xM x)+ ﹣ MK•(xB x ﹣ M) ＝ MK•(xB x) ﹣ ＝ ×(-x2+x+2)×3 ＝ ， ∵ ，当x＝ 时，S MB △ 最大= ，此时 ， MB ∴△ 的面积最大值是 ，M( ， )． 6、如图，直线y＝3 4 x+与x 轴交于点（4，0），与y 轴交于点B，抛物线y＝3 4 x2+bx+经过点，B．点M （m，0）为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线分别交直线B 及抛物线于点P，． （1）填空：点B 的坐标为 ，抛物线的解析式为 ； （2）当点M 在线段上运动时（不与点，重合）， ①当m 为何值时，线段P 最大值，并求出P 的最大值； ②求出使△BP 为直角三角形时m 的值； （3）若抛物线上有且只有三个点到直线B 的距离是，请直接写出此时由点，B，，P 构成的四边形的面积． 【答】（1）（0，﹣3），y＝3 4 x2﹣9 4 x 3 ﹣；（2）①是3，②3 或11 9 ；（3）6 或6+6❑ √2或6❑ √2 6 ﹣． 【解析】 解：（1）把点坐标代入直线表达式y＝3 4 x+， 解得：＝﹣3，则：直线表达式为：y═3 4 x 3 ﹣，令x＝0，则：y＝﹣3， 则点B 坐标为（0，﹣3）， 将点B 的坐标代入二次函数表达式得：＝﹣3， 把点的坐标代入二次函数表达式得：3 4 ×16+4b 3 ﹣＝0， 解得：b＝﹣9 4 ， 故抛物线的解析式为：y＝3 4 x2﹣9 4 x 3 ﹣， （2）①∵M（m，0）在线段上，且M x ⊥轴， ∴点P（m，3 4 m 3 ﹣），（m，3 4 m2﹣9 4 m 3 ﹣）， P ∴＝3 4 m 3 ﹣﹣（3 4 m2﹣9 4 m 3 ﹣）＝﹣3 4 （m 2 ﹣）2+3， ∵＝﹣3 4 ＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当m＝2 时，P 有最大值是3， ②当∠BP＝90°时，点的纵坐标为﹣3， 把y＝﹣3 代入抛物线的表达式得：﹣3＝3 4 m2﹣9 4 m 3 ﹣，解得：m＝3 或0（舍去m＝0）， m ∴＝3； 当∠BP＝90°时，∵B B ⊥，两直线垂直，其k 值相乘为﹣1， 设：直线B 的表达式为：y＝﹣4 3 x+， 把点B 的坐标代入上式，解得：＝﹣3，则：直线B 的表达式为：y＝﹣4 3 x 3 ﹣， 将上式与抛物线的表达式联立并解得：m＝11 9 或0（舍去m＝0）， 当∠BP＝90°时，不合题意舍去， 故：使△BP 为直角三角形时m 的值为3 或4 3 ； （3）∵＝4，B＝3， 在Rt B △ 中，tα＝4 3 ，则：sα＝3 5，sα＝4 5 ， PM y ∵ ∥轴， BP ∴∠ ＝∠B＝α， 若抛物线上有且只有三个点到直线B 的距离是， 则只能出现：在B 直线下方抛物线与过点的直线与抛物线有一个交点，在直线B 上方的交点有两个． 当过点的直线与抛物线有一个交点， 点M 的坐标为（m，0），设：点坐标为：（m，）， 则：＝3 4 m2﹣9 4 m 3 ﹣，过点作B 的平行线， 则点所在的直线表达式为：y＝3 4 x+b，将点坐标代入， 解得：过点直线表达式为：y＝3 4 x+（﹣3 4 m）， 将抛物线的表达式与上式联立并整理得：3x2 12x 12+3m 4 ﹣ ﹣ ﹣＝0， △＝144 3×4× ﹣ （﹣12+3m 4 ﹣）＝0， 将＝3 4 m2﹣9 4 m 3 ﹣代入上式并整理得：m2 4m+4 ﹣ ＝0， 解得：m＝2，则点的坐标为（2，﹣9 2）， 则：点P 坐标为（2，﹣3 2）， 则：P＝3， B ∵＝3，P B ∥， ∴四边形BP 为平行四边形，则点到直线B 的距离等于点到直线B 的距离， 即：过点与B 平行的直线与抛物线的交点为另外两个点，即：′、″， 直线的表达式为：y＝3 4 x，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得： x2 4x 4 ﹣ ﹣＝0，解得：x＝2±2❑ √2， 则点′、″的横坐标分别为2+2❑ √2，2 2 ﹣❑ √2， 作⊥B 交直线B 于点， 则＝＝Psα＝12 5 ， 作′P′ x ⊥轴，交x 轴于点P′，则：∠′P′＝α，′＝O P ' sin α ＝5 4 （2+2❑ √2）， S 四边形BP＝BP•＝5 2 × 12 5 ＝6， 则：S 四边形BP′′＝S P′′+S BP′ △ △ ＝6+6 ❑ √2， 同理：S 四边形B″P″＝6 ❑ √2﹣6， 故：点，B，，P 构成的四边形的面积为：6 或6+6❑ √2或6❑ √2 6 ﹣． 7、在平面直角坐标系 中，直线 经过点 ，与y 轴交于点B，与抛物线 的对称轴交于点 ． （1）求m 的值； （2）求抛物线的顶点坐标； （3） 是线段B 上一动点，过点作垂直于y 轴的直线与抛物线交于点 ， （点P 在点Q 的左侧）．若 恒成立，结合函数的图象，求的取值范围． 【答】（1）1；（2） ．（3） ． 【解析】 解：（1）∵ 经过点 ， ∴将点 的坐标代入 ，即 ，得 ． ∵直线 与抛物线 的对称轴交于点 ， ∴将点 代入 ，得 ． (2)∵抛物线 的对称轴为 ， ∴ ，即 ． ∴ ． ∴抛物线的顶点坐标为 ． (3)当 时，如图， 若拋物线过点 ，则 ． 结合函数图象可得 ． 当 时，不符合题意． 综上所述， 的取值范围是 ． 8、如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ x2+bx+的图象与坐标轴交于，B，三点，其中点的坐 标为（﹣3，0），点B 的坐标为（4，0），连接，B．动点P 从点出发，在线段上以每秒1 个单位长度的 速度向点作匀速运动；同时，动点Q 从点出发，在线段B 上以每秒1 个单位长度的速度向点B 作匀速运动， 当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t 秒．连接PQ． （1）填空：b＝ ，＝ ； （2）在点P，Q 运动过程中，△PQ 可能是直角三角形吗？请说明理由； （3）点M 在抛物线上，且△M 的面积与△的面积相等，求出点M 的坐标。 【答】（1） ，4；（2）不可能是直角三角形，见解析；（3）M(1,4)或M( ,-4）或M( ,-4） 【思路引导】 (1)设抛物线的解析式为y=（x+3）（x-4）．将=- 代入可得到抛物线的解析式，从而可确定出b、的值； （2）先求得点的坐标，依据勾股定理可求得=5，则P=5-t，Q=3+t,再判断当△PQ 是直角三角形时，则∠PQ ＝90°，从而得出△∽△PQ，得到比例式列方程求解即可； (3)根据点M 在抛物线上，设出点M 的坐标为（m，﹣ m2+ m+4），再根据△M 的面积与△的面积相等， 从而得出﹣ m2+ m+4= ，解方程即可． 【解析】 解：（1）设抛物线的解析式为y＝（x+3）（x 4 ﹣）．将＝﹣ 代入得：y＝﹣ x2+ x+4， b ∴＝ ，＝4． （2）在点P、Q 运动过程中，△PQ 不可能是直角三角形． 理由如下：∵在点P、Q 运动过程中，∠PQ、∠PQ 始终为锐角， ∴当△PQ 是直角三角形时，则∠PQ＝90°． 将x＝0 代入抛物线的解析式得：y＝4， ∴（0，4）．∵点的坐标为（﹣3，0）， ∴在Rt△中，