54 二次函数中的线段长度有关的综合问题

二次函数中的线段长度有关的综合问题 1、如图抛物线y＝x2+bx+的图象过点（﹣1，0），B（3，0），（0，3）． （1）求抛物线的解析式，并指出抛物线的顶点坐标． （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△P 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及△P 的周长； 若不存在，请说明理由． （3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点M（不与点重合），使得S△PM＝S△P，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】（1）y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为（1，4）；（2）存在，点P 的坐标为（1，2），△P 的周长是 ；（3）存在，点M 的坐标为（1，4），（ ， ）或（ ， ）． 【解析】 （1）∵抛物线y＝x2+bx+的图象过点（﹣1，0），B（3，0），（0，3）， ∴ ，得 ， y ∴＝﹣x2+2x+3＝﹣（x 1 ﹣）2+4， ∴该抛物线的顶点坐标为（1，4）， 即该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为（1，4）； （2）点关于对称轴的对称点是点B，连接B 与对称轴的交点为P，此时点P 即为所求，如图所示： 设过点B（3，0），点（0，3）的直线解析式为y＝kx+m， ，得 ， ∴直线B 的解析式为y＝﹣x+3， 当x＝1 时，y＝﹣1+3＝2， ∴点P 的坐标为（1，2）， ∵点（﹣1，0），点（0，3），点B（3，0）， ∴＝ ，B＝3 ， P ∴△的周长是：+P+P＝+B＝ ， 即点P 的坐标为（1，2），△P 的周长是 ； （3）存在点M（不与点重合），使得S PM △ ＝S P △， S ∵ PM △ ＝S P △， ∴当以P 为底边时，只要两个三角形等高即可， 即点M 和点到P 的距离相等， 当点M 在点的上方时， 则M P ∥时，点M 和点到P 的距离相等， 设过点（﹣1，0），点P（1，2）的直线l1解析式为：y＝kx+m， ，得 ， ∴直线P 的解析式为y＝x+1， ∴直线M 的解析式为y＝x+3， 由 得， ， ， ∴点M 的坐标为（1，4）； 当点M 在点的下方时， 则点M 所在的直线l2与P 平行，且直线l2与直线P 之间的距离与直线l1与直线P 之间的距离相等， ∴直线l2的的解析式为y＝x 1 ﹣， 由 得， ， ， M ∴ 的坐标为（ ， ）或（ ， ）； 由上可得，点M 的坐标为（1，4），（ ， ）或（ ， ）． 2、如图，抛物线y=x2﹣ 3 2 x+（≠0）的图象与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点（0，﹣2），已知B 点坐 标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M 是线段B 下方的抛物线上一点，记点M 到线段B 的距离为d，当d 取最大值时，求出此时M 点的坐标； （3）若点P 是抛物线上一点，点E 是直线y= x ﹣上的动点，是否存在点P、E，使以点，点B，点P，点E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E 坐标；若不存在，请说明理由． 【答】（1）y= 1 2 x2﹣ 3 2 x-2；（2）M（2，-3）；（3）存在；点E 坐标为( 9 57 2   , 9 57 2  )、( 9 57 2   , 9 57 2  )、（ 5 41 2  , 5 41 2   )或( 5 41 2  , 5 41 2   ) 【解析】 （1）解：由题意得=-2，0=×42- 3 2 ×4-2， 解得= 1 2 ， ∴抛物线的解析式为：y= 1 2 x2﹣ 3 2 x-2 （2）解：作M y ∥轴交B 于点， ∵BCM  的面积= 1 4 2 MN  =2M= 1 2 BC d  ， ∴当M 最大时，BCM  的面积也最大，此时M 到线段B 的距离d 也最大， 设直线B 的解析式为y=kx+b, ∴ 0 4 2 0 k b k b       , 解得 1 2 2 k b      , y= ∴ 1 2 x-2， M= ∴ 1 2 x-2-( 1 2 x2 - 3 2 x-2)=- 1 2 x2+2x=- 1 2 (x-2)2+2， ∴当x=2 时，M 有最大值2， M ∴ （2，-3） ∴当d 取最大值时， M 点的坐标是（2，-3）； （3）解：存在，理由如下： 设点 E 的坐标为 (,−), 以点,点B,点P,点E 为顶点的平行四边形分两种情况，如图， ①以线段B 为边，点E 在点P 的左边时， (−1,0),B(4,0),E(,−) ∵ ， P(5+,−) ∴ ， ∵点P(5+,−)在抛物线y= 1 2 x2 - 3 2 x-2 上， −= ∴ 1 2 (5+)2− 3 2 (5+)−2, 解得：1= 9 57 2   , 2= 9 57 2   ， 此时点E 的坐标为( 9 57 2   , 9 57 2  )或( 9 57 2   , 9 57 2  )； 以线段B 为边，点E 在点P 的右边时， (−1,0),B(4,0),E(,−) ∵ ， P(−5,−) ∴ ， ∵点P(−5,−)在抛物线y= 1 2 x2− 3 2 x−2 上， −= ∴ 1 2 (−5)2− 3 2 (−5)−2, 即2−11+36=0， 此时△=(−11)2−4×36=−23<0， ∴方程无解； ②以线段B 为对角线时， (−1,0),B(4,0),E(,−) ∵ ， P(3−,) ∴ ， ∵点P(3−,)在抛物线y= 1 2 x2− 3 2 x−2 上， = ∴ 1 2 (3−)2− 3 2 (3−)−2, 解得：3= 5 41 2  ,4= 5 41 2  ， 此时点E 的坐标为（ 5 41 2  , 5 41 2   )或( 5 41 2  , 5 41 2   ) 综上可知：存在点P、E, 使以、B、P、E 为顶点的四边形是平行四边形, 点E 坐标为( 9 57 2   , 9 57 2  )、 ( 9 57 2   , 9 57 2  )、（ 5 41 2  , 5 41 2   )或( 5 41 2  , 5 41 2   ) 3、如图，抛物线y=x2+bx-3 与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），(-1,0)，B(3,0)，直线l与抛物线交于 A，C两点，其中C点的横坐标为2。 （1）求抛物线的函数解析式； （2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值； （3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A，C，F，G这样的四个点为顶点的四边形是平 行四边形?如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。 【答】（1）y=x2 2x 3 ﹣ ﹣；（2）9 4 ；（3）存在4 个符合条件的F 点，分别为F（﹣3，0），（1，0）， （4+❑ √7，0），（4﹣❑ √7，0）． 【解析】 （1）将（﹣1，0），B（3，0）代入y=x2+bx-3，得：=1，b= 2 ﹣，∴y=x2 2x 3 ﹣ ﹣． （2）将点的横坐标x=2 代入y=x2 2x 3 ﹣ ﹣，得：y= 3 ﹣，∴（2，﹣3），∴直线的函数解析式是y= x ﹣﹣ 1． 设P 点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E 的坐标分别为：P（x，﹣x 1 ﹣），E（x，x2 2x 3 ﹣ ﹣）． P ∵点在E 点的上方，∴PE=（﹣x 1 ﹣）﹣（x2 2x 3 ﹣ ﹣）= x2+x+2 ﹣ ，∴当x=1 2 时，PE 的最大值=9 4 ． （3）存在．讨论如下： ①如图，连接与抛物线和y 轴的交点． ∵（2，﹣3），G（0，﹣3），∴G x ∥轴，此时F=G=2，∴F 点的坐标是（﹣3，0）； ②如图，F=G=2，点的坐标为（﹣1，0），因此F 点的坐标为（1，0）； ③如图，设F（x，0）． FG ∵ 是平行四边形，∴F 的中点与G 的中点重合． F ∵的中点的纵坐标为0，∴，G 两点的纵坐标互为相反数，∴G 点的纵坐标为3，∴x2 2x 3=3 ﹣ ﹣ ，解得： x=1±❑ √7，∴G 点的坐标为（1±❑ √7，3），∴F 的中点的横坐标=G 的中点的横坐标，∴2+1± ❑ √7 2 =−1+x 2 ， 解得：x=4± ❑ √7，∴F 的坐标为（4± ❑ √7，0）． 综上所述：存在4 个符合条件的F 点，分别为F（﹣3，0），（1，0），（4+❑ √7，0），（4﹣❑ √7，0）． 4、在如图的平面直角坐标系中，抛物线y＝x2 2 ﹣mx+m2+1（＜0）与x 轴交于点和点B，点在点B 的左侧， 与y 轴交于点，顶点是D，且∠DB＝45°． （1）填空：点的纵坐标是 （用含、m 的式子表示）； （2）求的值； （3）点绕逆时针旋转90°得到点′，当﹣1 2 ≤m≤5 2 时，求B′的长度范围． 【答】（1）m2+1；（2）＝﹣1；（3）0≤B′≤9 4 ． 【解析】 解：（1）当x＝0 时，y＝x2 2mx+m2+1 ﹣ ＝m2+1， ∴点的纵坐标为m2+1． 故答为：m2+1． （2）设抛物线对称轴与x 轴交于点E，如图1 所示． D ∵＝DB，∠DB＝45°， BD ∴△ 为等腰直角三角形， B ∴＝2DE． y ∵＝x2 2mx+m2+1 ﹣ ＝（x m ﹣）2+1， ∴点D 的坐标为（m，1）． 当y＝0 时，x2 2mx+m2+1 ﹣ ＝0，即（x m ﹣）2＝﹣1， 解得：x1＝m﹣❑ √ −1 a ，x2＝m+❑ √ −1 a ， B ∴＝2❑ √ −1 a ＝2， 解得：＝﹣1． （3）由（1）（2）可知：点的坐标为（0，1 m2 ﹣ ），点B 的坐标为（m+1，0）． ∵点绕逆时针旋转90°得到点′， ∴点′的坐标为（m2 1 ﹣，0）， B′ ∴ ＝|m+1﹣（m2 1 ﹣）|＝| m2+m+2| ﹣ ． m2+m+2 ∵﹣ ＝﹣（m﹣1 2 ）2+9 4 ，﹣1 2 ≤m≤5 2 ， ∴当m＝5 2 时，﹣m2+m+2 取得最小值，最小值为﹣7 4 ； 当m＝1 2 时，﹣m2+m+2 取得最大值，最大值为9 4 ， ∴当﹣1 2 ≤m≤5 2 时，﹣7 4 ≤﹣m2+m+2≤9 4 ， ∴当﹣1 2 ≤m≤5 2 时，0≤B′≤9 4 ． 5、如图，直线y＝﹣x+5 与x 轴交于点B，与y 轴交于点D，抛物线y＝﹣x2+bx+与直线y＝﹣x+5 交于 B，D 两点，点是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）点M 是直线BD 上方抛物线上的一个动点，其横坐标为m，过点M 作x 轴的垂线，交直线BD 于点 P，当线段PM 的长度最大时，求m 的值及PM 的最大值； （3）在抛物线上是否存在异于B、D 的点Q，使△BDQ 中BD 边上的高为3 ，若存在求出点Q 的坐标； 若不存在请说明理由． 【答】（1）抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5；（2）当m＝ 时，PM 有最大值 ；（3）存在满足条 件的点Q，其坐标为Q1（2，9），Q2（3，8），Q3（﹣1，0），Q4（6，﹣7）． 【思路引导】 （1）y=-x+5，令x=0，则y=5，令y=0，则x=5，故点B、D 的坐标分别为（5，0）、（0，5），利用待定 系数法即可求解； （2）由题意可得M 点坐标为（m，﹣m2+4m+5），则则P 点坐标为（m，﹣m+5），表示出PM 的长度： PM=-m2+4m+5-（-m+5）=-m2+5m=-（m- ）2+ ，利用二次函数的性质即可求解； （3）过Q 作QG y ∥轴交BD 于点G，交x 轴于点E，作Q BD ⊥ 于，设出Q 点坐标Q（x，﹣x2+4x+5），则 G（x，﹣x+5），表示出QG 的长度QG=|-x2+4x+5-（-x+5）|=|-x2+5x|，由条件可得△BD 是等腰直角三角 形，，可证得△QG 为等腰直角三角形，则当△BDQ 中BD 边上的高为3 时，即Q=G=3 ，QG= ×3 =6，|-x2+5x|=6，即可求解． 【解析】 解：（1）y＝﹣x+5，令x＝0，则y＝5，令y＝0，则x＝5， 故点B、D 的坐标分别为（5，0）、（0，5）， 则二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+5，将点B 坐标代入上式并解得：b＝4， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5； （2）设M 点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+5），M（m，﹣m2+4m+5）， PM ∴ ＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m- ）2+ ， ∴当m＝ 时，PM 有最大值 ； （3）如图，过Q 作QG y ∥轴交BD 于点G，交x 轴于点E，作Q BD ⊥ 于， 设Q（x，﹣x2+4x+5），则G（x，﹣x+5）， QG ∴ ＝| x ﹣ 2+4x+5﹣（﹣x+5）|＝| x ﹣ 2+5x|， BD ∵△ 是等腰直角三角形， DB ∴∠ ＝45°， GQ ∴∠ ＝∠BGE＝45°， QG ∴△ 是等腰直角三角形， 当△BDQ 中BD 边上的高为3 时，即Q＝G＝3 ， QG ∴ ＝ ×3 ＝6， | x ∴﹣ 2+5x|＝6， 当﹣x2+5x＝6 时，解得x＝2 或x＝3， Q ∴（2，9）或（3，8）， 当﹣x2+5x＝﹣6 时，解得x＝﹣1 或x＝6， Q ∴（﹣1，0）或（6，﹣7）， 综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为Q1（2，9），Q2（3，8），Q3（﹣1，0），Q4（6，﹣7）． 【方法总结】 本题考查二次函数综合运用，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质 及方程思想等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段 的长度，从而求出线段之间的关系．在（1）中主要是待定系数法的考查，在（2）中用P 点坐标表示出 PM 的长是解题的关键，在（3）中构造等腰直角三角形求得QG 的长是解题的关键． 6、如图1，抛物线y＝﹣x2+mx+交x 轴于点( 2 ﹣，0)和点B，交y 轴于点(0，2)． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点M 在抛物线上，且S M △＝2S B △，求点M 的坐标； (3)如图2，设点是线段上的一动点，作D x ⊥轴，交抛物线于点D，求线段D 长度的最大值． 【答】（1）y=﹣x2﹣x+2； （2）（0，2）或（﹣1，2）或（ ，﹣2）或（ ，﹣2）； （3）1 【解析】 解：（1）（﹣2，0），（0，2）代入抛物线的解析式y=﹣x2+mx+ ， 得 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2． （2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2，则易得B（1，0），设M（m，）然后依据S△M=2S△B 列方程可得： •×||=2× ×B×， ∴ ×2×|﹣m2﹣m+2|=2， ∴m2+m=0 或m2+m 4=0 ﹣ ， 解得m=0 或﹣1 或 ， ∴符合条件的点M 的坐标为：（0，2）或（﹣1，2）或（ ，﹣2）或（ ，﹣2）． （3）设直线的解析式为y=kx+b，将（﹣2，0），（0，2）代入 得到 ，解得 ， ∴直线的解析式为y=x+2， 设（x，x+2）（﹣2≤x≤0），则D（x，﹣x2﹣x+2）， D=（﹣x2﹣x+2）﹣（x+2）=﹣x2 2 ﹣x=﹣（x+1）2+1， 1 ∵﹣＜0， ∴x= 1 ﹣时，D 有最大值1． ∴D 的最大值为1． 7、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x（x b ﹣）﹣1 2与y 轴相交于点，与x 轴相交于B、两点，且点 在点B 的右侧，设抛物线的顶点为P． （1）若点B 与点关于直线x＝1 对称，求b 的值； （2）若B＝，求△BP 的面积； （3）当﹣1≤x≤1 时，该抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为，求出与b 的关系；若有最大值或最小值， 直接写出这个最大值或最小值． 【答】（1）2（2）27 64 （3）存在最小值，最小值为1 【解析】 解：（1）∵点B 与点关于直线x＝1 对称，y＝x（x b ﹣）﹣1 2＝x2 bx ﹣ ﹣1 2， ∴﹣−b 2 ＝1， 解得：b＝2． （2）当x＝0 时，y＝x2 bx ﹣ ﹣1 2＝﹣1 2， ∴点的坐标为（0，﹣1 2）． 又∵B＝， ∴点B 的坐标为（﹣1 2，0）． 将B（﹣1 2，0）代入y＝x2 bx ﹣ ﹣1 2，得：0＝1 4 +1 2b﹣1 2， 解得：b＝1 2， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣1 2x﹣1 2． y ∵＝x2﹣1 2x﹣1 2＝（x﹣1 4 ）2﹣9 16 ， ∴点P 的坐标为（1 4 ，﹣9 16）． 当y＝0 时，x2﹣1 2x﹣1 2＝0， 解得：x1＝﹣1 2，x2＝1， ∴点的坐标为（1，0）． S ∴ BP △＝1 2×[1﹣（﹣1 2）]×|﹣9 16|＝27 64 ． （3）y＝x2 bx ﹣ ﹣1 2＝（x﹣b 2）2﹣1 2﹣b 2 4 ． 当b 2≥1，即b≥2 时，如图1 所示， y 最大＝b+1 2，y 最小＝﹣b+1 2， ∴＝2b； 当0≤b 2＜1，即0≤b＜2 时，如图2 所示， y 最大＝b+1 2，y 最小＝﹣1 2﹣b 2 4 ， ∴＝1+b+b 2 4 ＝（1+b 2）2； 当﹣1＜b 2＜0，﹣2＜b＜0 时，如图3 所示 y 最大＝1 2﹣b，y 最小＝﹣1 2﹣b 2 4 ， ∴＝1 b+ ﹣ b 2 4 ＝（1﹣b 2）2； 当b 2≤﹣1，即b≤ 2 ﹣时，如图4 所示， y 最大＝﹣b+1 2，y 最小＝b+1 2， ＝﹣2b． 综上所述：＝¿，存在最小值，最小值为1． 8、如图，抛物线 2 y x bx c    交x 轴于点（﹣3，0）和点B，交y 轴于点（0，3）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P 在抛物线上，且 ΔAOP ΔBOC 4 S S  ，求点P 的坐标； （3）如图b，设点Q 是线段上的一动点，作DQ x ⊥轴，交抛物线于点D，求线段DQ 长度的最大值． 【答】（1） 2 2 3 y x x    ；（2）P（﹣1，4）， ( 1 2 2, 4) P   ， ( 1 2 2, 4) P   ；（3） 9 4 ． 【解析】 （1）把（﹣3，0），（0，3）代入 2 y x bx c    ，得： 0 9 3 {3 b c c 