40 二次函数中翻折及动点引起的图形存在性问题

二次函数中翻折及动点引起的图形存在性问题 思路指导： ·直角三角形的判定方法：勾股定理的逆定理；两锐角互余 ·等边三角形存在性问题：作出图形，利用60°、30°等特殊角在直角三角形中利 用三角函数知识求解三角形各边的长度； ·平行四边形存在性问题：表示出各点坐标，利用对角线上两对点的横坐标和相 等，纵坐标和相等列出方程，进而解答 题型一、三角形折叠与等边三角形存在性问题 1 （2019·成都中考）如图，抛物线 经过点(－2,5)，与x 轴交于点B(－1,0)，(3,0) （1）求抛物线的函数表达式； （2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将△BD 沿直线BD 翻折得到△B’D 若点’恰好落 在抛物线的对称轴上，求点’和点D 的坐标； （3）设P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q 在抛物线的对称轴上，当△PQ 为等边三角形时， 求直线BP 的解析式 O x y C B A C' D 【答】见解析 【解析】解：（1）由题意知， ∴ ，解得： ， ∴抛物线的函数表达式为： ； （2）由（1）知，抛物线的对称轴为：x=1， 由翻折知：B=B’=4， 设抛物线对称轴与x 轴交点为M， 则BM=M=2， ∠ ∴ B’M=30°， ∠ ∴ DM=30°，’M=2 ， 即’(1, 2 )， 在Rt△DM 中，DM=M·t30°= ， ∴点D 的坐标为（1， ）； （3）方法一： 根据点P 的位置分类讨论： ①当P 在x 轴上方时，如下图所示， O x y C B A C' P Q 连接BQ，’P， △ ∵PQ，△’B 是等边三角形， ∴Q=P=PQ，B=B’=’，∠PQ=∠’B=60°， ∠ ∴ BQ=∠’P， △ ∴BQ △ ≌’P， ∴BQ=’P， ∵BQ=Q， ∴’P=Q=P， ∵B=B’， ∴BP 是’的垂直平分线， 由折叠知，点D 在直线BP 上， 设BP 的解析式为：y=kx+b， ∴ ，解得： ， ∴直线BP 的表达式为： ； ②当点P 在x 轴下方时，点Q 在x 轴下方， 由上知，△QP、△’B 为等边三角形， 可得：△BP △ ≌’Q， ∠ ∴ BP=∠’Q， 由B’=’，’⊥B， ∠ ∴ ’Q=30°，即∠BP=30°， 设BP 与y 轴交于点， 在Rt△B 中， =B·t30°= ， ∴点E 的坐标为（0，－ ）， 设BP 的解析式为：y=mx+， ∴ ，解得： ， ∴直线BP 的表达式为： ； O x y C B A C' P Q N 综上所述，直线BP 的解析式为： 或 方法二：当点Q、点P 在x 轴上方时，如图所示，连接BQ， x y C B P Q H 易知BQ=Q=PQ， ∠ ∴ BPQ=∠QBP，∠BQ=∠QB，∠BPQ+∠QBP+∠BQ+∠QB=∠PQ=60°， 即∠PB=30°， 设BP 与y 轴交于点，可得点坐标为（0， ），可得直线BP 的解析式为： ； 当点Q、点P 在x 轴下方时，如图所示，连接BQ， x y C B P Q H 同理可得：∠PB=30°， 设BP 与y 轴交于点，可得点坐标为（0，－ ），可得直线BP 的解析式为： ； 综上所述，直线BP 的解析式为： 或 2 （2019·浙江湖州中考）如图1，已知在平面直角坐标系xy 中，四边形B 是矩形，点、分别在x 轴和 y 轴的正半轴上，连接，=3，t∠= ，D 是B 的中点 （1）求的长和点D 的坐标； （2）如图2，M 是线段上的点，M= ，点P 是线段M 上的一个动点，经过P、D、B 三点的抛物线交 x 轴的正半轴于点E，连接DE 交B 于点F ①将△DBF 沿DE 所在的直线翻折，若点B 恰好落在上，求此时BF 的长和点E 的坐标； ②以线段DF 为边，在DF 所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P 从点运动到点M 时，点G 也随 之运动，请直接写出点G 运动路径的长 【答】见解析 【解析】 解：（1）∵=3，t∠= ， 在Rt△中，t∠= ， ∴= ， ∵BD 是矩形， ∴B==3， 又D 是B 的中点， ∴D= , 即D 的坐标为（ ， ） （2）① 由t∠= ， 知：∠=30°， ∠ ∴ B=∠=30°， 若△DBF 折叠后，B 的落点为B’ 由折叠性质，知： DB’=DB=D，∠BDF=∠B’DF， ∠ ∴ DB’=∠B=30°， ∠ ∴ BDB’=60°，∠BDF=30°， 在Rt△BDF 中，BF=BD·t30°= ， ∵B= ， ∴F=BF= , 在△BFD 和△FE 中，∠BFD=∠EF，∠B=∠FE=90°，F=BF， △ ∴BFD △ ≌FE， ∴E=BD= 即E=+E= ， 故E 点坐标为（ ，0） ②由题意知：F 点横坐标不变为3，而∠DFB=60°，即G 点与F 点的连线与y 轴平行，即G 点横坐标不 变，所以G 点运动轨迹为一条线段，求出P 点从点至M 点运动过程中，G 点的纵坐标的差即为G 点运动路 径的长 x y O A C D B G F E 当P 点在点时，如图所示，设抛物线解析式为：y=x2+bx， 将点D（ ， ）, B（3， ）代入解析式，可得： ， 解得： ，即抛物线解析式为： 令y=0，得 ， 即E（ ，0）， 设直线DE 的解析式为：y=kx+b，将D（ ， ）、E（ ，0）代入得： ， 令x=3，得y= ， 即F(3, ),由BF=BG 得，G（3， ） x y O A C D B G F E P(M) 当P 点在M 点时，如图所示，设抛物线解析式为：y=x2+bx+， 将点D（ ， ）, B（3， ），M（0， ）代入解析式，可得： ， 抛物线解析式为： 令y=0，得 ， 即E（6，0）， 设直线DE 的解析式为：y=kx+b，将D（ ， ）、E（6，0）代入得： ， 令x=3，得y= ， 即F(3, ),由BF=BG 得，G（3， ） 即G 点由（3， ）运动至（3， ），运动路径长为： － = 题型二、二次函数由增减性求解参数范围及角度相等存在性问题 3 （2019·山东德州中考）如图，抛物线 与x 轴交于（x1，0），B（x2，0）两点，与 y 轴交于点，且 ． （1）求抛物线的解析式； （2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当≤x1≤+2， 时，均有y1≤y2，求的取值范 围； （3）抛物线上一点D（1，－5），直线BD 与y 轴交于点E，动点M 在线段BD 上，当∠BD=∠ME 时， 求点M 的坐标． 【答】见解析 【解析】解：（1）函数的对称轴为： ， 解得： ，x2=4， 将（4,0）代入则函数的表达式为得，抛物线的表达式为： ； （2）当 时，y2≥2， 另y=2，得x=－2，x= ， ∵y1≤y2， ∴－2≤≤+2，+2≤ ， 解得：－2≤≤ ； （3）点M 的坐标为 ， x y B C D E M F G 如图，连接B，M，过点D 作DG⊥E 于点G， 由题意知，B==4，G=DG=1， △ ∴B 是等腰直角三角形，△DG 是等腰直角三角形， ∠ ∴ B=∠DG=45°，B=4 ,D= ， ∠ ∴ BD=180°－∠B－∠DG=90°， △ ∴BD 为直角三角形， ∴t∠BD= =4， 设直线BD 的解析式为：y=kx+b， 将(4,0)，（1，－5）代入得： ，解得： 即直线BD 的解析式为： ， 设M 坐标为（m， ）,过M 作MF⊥E 于F， 则∠MF=90°， MF=m，F=F－= ， 在Rt△FM 中，t∠MF= =t∠BD=4, ∴m=4（ ），解得：m= ， 即M 点坐标为： 题型三、二次函数中直角三角形判定及圆心轨迹问题 4 （2019·湖南怀化中考）如图，在直角坐标系中有Rt△B，为坐标原点，B＝1，t∠B＝3，将此三角形 绕原点顺时针旋转90°，得到Rt△D，二次函数y＝﹣x2+bx+的图象刚好经过，B，三点． （1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标； （2）过定点Q 的直线l：y＝kx﹣k+3 与二次函数图象相交于M，两点． ①若S△PM＝2，求k 的值； ②证明：无论k 为何值，△PM 恒为直角三角形； ③当直线l 绕着定点Q 旋转时，△PM 外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式． 【答】见解析 【解析】解：（1）由题意知，B＝1，t∠B＝3， ∴＝3，＝3， 即点、B、的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0）， 将点（0，3）、（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+ 得二次函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3， 顶点坐标为：P（1，4）； （2）联立y＝﹣x2+2x+3，y=kx－k+3 得： x2﹣（2﹣k）x﹣k＝0， 设点M、的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）， 则x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣k， y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k+6＝6﹣k2， 同理：y1y2＝9 4 ﹣k2， ①y＝kx﹣k+3，当x＝1 时，y＝3，即点Q（1，3）， ∵S△PM＝2 ∴2＝ PQ×（x2﹣x1），即x2﹣x1＝4， ∴（x2﹣x1）2＝16，即（x1+x2）2－2x1x2=16， 可得：k＝± ； ②点M、的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、点P（1，4）， 由勾股定理得： ， , , ∴ = = = = ∴ , 故无论k 为何值，△PM 恒为直角三角形； ③取M 的中点，则点是△PM 外接圆圆心， 设点坐标为（x，y）， 则x＝ ， y＝ ， 整理得：y＝﹣2x2+4x+1， 即：该抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+4x+1． 题型四、平行四边形及两直线平行存在性问题 5 （2019·江苏连云港中考）如图，在平面直角坐标系xy 中，抛物线L1： 过点(0，﹣ 3)，与抛物线L2： 的一个交点为，且点的横坐标为2，点P、Q 分别是抛物线L1、抛物 线L2上的动点． （1）求抛物线L1对应的函数表达式； （2）若以点、、P、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P 的坐标； （3）设点R 为抛物线L1上另一个动点，且平分∠PR，若Q∥PR，求出点Q 的坐标． 【答】见解析 【解析】解：（1）当x=2 时， =－3，即点坐标为（2，－3）， 将（2，－3）,（0，－3）代入 得： ，解得： ， 即抛物线L1的函数表达式为： （2）设P 点坐标为（m，m2－2m－3），点Q 坐标为（， ）， ∵以点、、P、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形， ①若PQ 为平行四边形时， ，解得： 或 ∵m=0 时，P 与重合，舍去， ∴P 点坐标为（－1,0）； ②若QP 为平行四边形时， ，解得： 或 ∴P 点坐标为（3,0）， ； ③若QP 为平行四边形时， ，解得： （舍）或 ∴P 点坐标为（－3,12）； 综上所述，点P 的坐标为：（－1,0），（3,0）， ，（－3,12） （3）当点P 在y 轴左侧时，不存在动点R 使得平分∠PR， 当点P 在y 轴右侧时，如下图所示， 过点P 作PS⊥y 轴于S，过点R 作RT⊥y 轴于T，过点P 作P⊥TR 于，过Q 作QK⊥x 轴于K， 由平分∠PR，得∠P=∠R，∠PS=∠RT， △ ∴PS∽△RT， ∴ , 设点P 坐标为 ，点R 坐标为 ， ∴ ，得：x1+x2=4， 在Rt△PR 中，t∠PR= = x1+x2－2=2， 设点Q 坐标为（x， ）， ∵Q∥PR， ∠ ∴ QK=∠PR， ∴t∠QK=2， ∴2m= ，解得：m= ， 即点Q 坐标为：（ ）或（ ）